1.7 线性变换的特征值与特征向量
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。
它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。
一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。
特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。
特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。
对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。
我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。
二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。
然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。
三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。
在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。
特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。
通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。
2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。
3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。
特征值与特征向量
特征值与特征向量在数学中，特征值和特征向量是矩阵与线性变换的重要概念。
特征值可以帮助我们理解线性变换对向量运动的影响，而特征向量则描述了这种影响的方向。
本文将介绍特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义对于一个n维向量空间中的线性变换T，如果存在一个非零向量v使得T(v) = λv 成立，其中λ为一个标量，那么我们称λ为T的特征值，v为T对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量可以通过求解线性方程组来获得。
设A是一个n×n的矩阵，并且v是一个非零向量，则有Av = λv 成立。
这是一个齐次线性方程组。
解该方程组即可得到特征值和特征向量。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的存在性和唯一性对于一个n×n的矩阵A，它的特征值存在和特征向量存在的条件是相同的。
一个矩阵最多有n个不同的特征值，每个特征值对应的特征向量也可以有多个。
但是特征向量一定是线性相关的。
2. 特征值与特征向量的性质（1）特征值的和等于矩阵的迹如果A是一个n×n的矩阵，λ₁、λ₂、...、λₙ是其特征值，则有λ₁+λ₂+...+λₙ = tr(A)，其中tr(A)表示矩阵A的迹。
（2）特征值的乘积等于矩阵的行列式如果A是一个n×n的矩阵，则特征值的乘积等于矩阵的行列式，即λ₁*λ₂*...*λₙ = det(A)，其中det(A)表示矩阵A的行列式。
（3）特征值的倒数等于矩阵的逆矩阵的特征值如果A是一个可逆矩阵，λ₁、λ₂、...、λₙ是其特征值，则A的逆矩阵的特征值为λ₁⁻¹、λ₂⁻¹、...、λₙ⁻¹。
三、特征值与特征向量的应用特征值和特征向量在实际问题中有广泛的应用。
下面列举了其中的几个应用领域：1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的形式。
特征值分解在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、图像压缩和降维等。
【清华 线性代数】线性变换的核、值域、特征值与特征向量
7
定义4 设 W 是 的不变子空间, 则1 : W W , 是 W 上的线性变换, 称为 在 W 上的限制, 记为1 W . 定理6 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 1, ,k
为 W 的一组基, 扩充为 V 的一组基 1, ,k ,k1, ,n , 则 (1) W 是 的不变子空间的充分必要条件为 在 V 的基
证明 在 V 的某组基下的矩阵为 Ir
0
.
证明 V, (-) = - = 0, 所以 {-|V} ker,
反之, ker, 有 = 0, 所以 {-|V } ker .
所以 {-|V } = ker . V Im ker ,
由本讲定理5可知 V ker 组基, r1, ,n 为ker 的一组基, 则
1, ,r ,r1, ,n 线性无关, 所以 k1 k2 kn 0,dim Im n r.
dimV dimker dimIm.
5
注1 任意给定 V 中元素 , 若存在 使 = , 则
1( ) ker { 0, V}
所以 是单射 ker = {0} dimker = 0
1, ,r ,r1, ,n 为 V 的一组基, i i , i 1, , r;
i
0,
r 1 i
n.
在 V 的这组基下的矩阵为
Ir
0 .
定义3 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 如果对 W
中任一向量 , 有 属于 W, 则称 W 为 的不变子空间.
显然 {0}, V, Im 和 ker 均为 不变子空间.
2 0 , 0 1
1 1 0 1 1 0
解
2
2
0 0 0 1，
0 0 1 0 0 0
线性变换的特征值和特征向量ppt课件
相似的矩阵有相同的特征多项式, 因此有相同的特征值
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9
.
例题 3.5
解: (1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
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1
.
例子: 线性变换的矩阵
12.08.2020向量
1) 特征向量与经过线性变换后的向量共线.
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3
.
例子
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4
.
例子
思考: 对于n维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量.
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5
.
特征子空间, 矩阵的特征值与特征向量
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13
.
例题
因此, 矩阵R在实数域上没有特征值. 如果把R看成复数域上的矩阵, 则有两个特征值, 但没有几何意义.
特征值与特征向量与矩阵所在的数域有关系
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14
.
特征值与行列式, 迹
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15
.
§3 线性变换的特征值与特征向量
在有限维的线性空间中，取定一组基后，线性变换的矩阵就 确定下来。线性变换在不同基下的矩阵是相似的。这一节 初步讨论如何选择基，使得线性变换的矩阵的形式尽量简单。
线性变换的特征值与特征向量 若干例子 矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的求法
➢ 特征多项式, 齐次线性方程组 特征值的一些重要性质
如果存在非零列向量X使得
12.08.2020
线性变换与特征值特征向量的计算
线性变换与特征值特征向量的计算线性变换是线性代数中一个重要的概念，它描述了向量空间内的一种变换关系。
在线性变换中，特征值与特征向量是一对重要的概念，能够帮助我们更好地理解和分析线性变换的性质。
本文将介绍线性变换的定义与性质，并详细阐述特征值与特征向量的计算方法。
一、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个向量空间中的向量，通过某种变换关系，映射到另一个向量空间中的向量。
具体来说，设有两个向量空间V和W，线性变换T是从V到W的一种映射，满足以下两个性质：首先，对于V中的任意向量x和y，以及任意的标量a和b，都有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)；其次，对于V中的零向量0，有T(0)=0。
这两个性质使得线性变换具有保持向量加法和数量乘法运算的特点，从而可以表示向量空间之间的变换关系。
对于线性变换T，我们常常用矩阵A来表示它的变换关系。
设V的一组基为{v1,v2,...,vn}，W的一组基为{w1,w2,...,wm}，则矩阵A的第j 列表示向量vj在基{w1,w2,...,wm}下的表示，即A=[T(v1)|T(v2)|...|T(vn)]。
根据线性变换的定义和性质，我们可以通过计算矩阵A来描述线性变换T。
二、特征值与特征向量的计算特征值与特征向量是线性代数中一个重要的概念，在线性变换中有着重要的应用。
设有线性变换T和向量v，如果存在一个标量λ使得T(v)=λv，那么称λ为线性变换T的特征值，v为对应的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们揭示线性变换的性质和变换结果的特点。
在计算特征值与特征向量时，我们面临的一个关键问题是如何求解特征值方程T(v)=λv。
设A是线性变换T的矩阵表示，v是对应的特征向量，那么特征值方程可以表示为Av=λv。
将其转化为(A-λI)v=0，其中I是单位矩阵，0是零向量。
为了使(A-λI)v=0有非零解，必须满足矩阵A-λI的行列式为零，即|A-λI|=0。
这样就得到了特征值方程的表达式。
高等代数选讲第六讲 线性变换的特征值、特征向量
j 1 n
i 1,2,, r
6
就是属于这个特征值 0 的全部线性无关的特征向量. 而 k11 k22 krr , （其中， k1 , k2 ,, kr P 不全为零） 就是 的属于 0 的全部特征向量.
7
例1 设线性变换 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵是
1 , 2 ,r 5、设 为n 维线性空间V的一个线性变换，
为全部不同的特征值，则 可对角化
dimVi n,
i 1 r
Vi 为 的特征子空间.
22
例2 设
4 10 0 A 1 3 0, 3 6 1
求 A 特征值、特征向量和
21
4、（定理 ）设 为线性空间V的一个线性变换，
1 , 2 ,k 是 的不同特征值，而 i 1 , i 2 , iri是属于
特征值 i 的线性无关的特征向量， i 1,2,, k ,
则向量 11 , , 1r1 , , k 1 , , krk 线性无关.
第三节 线性变换的特征值、特征向量
1
引入
有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性
变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质，
希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.
从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的
基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个 对角矩阵?
2
一、特征值与特征向量
定义 设 是数域P上线性空间V的一个线性变换，
解得它的一个基础解系为： (1,1,1) 因此，属于5的一个线性无关的特征向量为
3 1 2 3
而属于5的全部特征向量为 k3 3 ,
线性变换与特征值特征向量
线性变换与特征值特征向量线性变换是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算、向量空间、特征值特征向量等方面起到了关键作用。
本文将重点探讨线性变换与特征值特征向量的相关概念及其应用。
一、线性变换线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的映射。
具体来说，对于向量空间V中的两个向量u和v，以及一个标量c，若对于线性变换T，满足以下两个条件：1. T(u+v) = T(u) + T(v)2. T(cu) = cT(u)其中，T(u)表示向量u的变换结果。
线性变换可以通过矩阵乘法来表示。
若向量u∈R^n，线性变换T 可以表示为T(u) = Au，其中A为n×n的矩阵，称为变换矩阵。
二、特征值与特征向量特征值和特征向量是线性变换中十分重要的概念。
对于一个线性变换T，若存在非零向量v使得满足以下等式：T(v) = λv其中，λ为标量，则称该标量λ为线性变换T的特征值，向量v为T对应于特征值λ的特征向量。
特征值特征向量的重要性在于它可以帮助我们理解线性变换的效果。
特征值决定了变换的缩放比例，而特征向量则决定了变换的方向。
三、特征值特征向量的计算为了计算线性变换的特征值特征向量，我们需要解决以下方程：T(v) = λv上式可以转化为(A-λI)v = 0的形式，其中A为线性变换的矩阵表示，I为单位矩阵，v为特征向量，λ为特征值。
为了非零解存在，需要满足(A-λI)的行列式为零，即|A-λI| = 0。
这个方程称为特征方程。
解特征方程可以得到特征值λ的值。
然后，将特征值代入(A-λI)v = 0，解得特征向量v。
四、特征值特征向量的应用特征值特征向量在图像处理、数据压缩、机器学习等领域有广泛应用。
在图像处理中，特征值特征向量可用于图像压缩和图像增强。
通过计算图像的协方差矩阵的特征值特征向量，可以提取出图像的主要特征，从而实现图像的降维和压缩。
在数据压缩中，特征值特征向量可用于主成分分析（PCA）算法。
PCA通过计算数据的协方差矩阵的特征值特征向量，将数据映射到低维空间中，以实现数据的降维和压缩，从而简化数据处理过程。
线性代数的特征值与特征向量
线性代数的特征值与特征向量在线性代数中，特征值与特征向量是非常重要的概念。
它们的定义和性质在很多领域中都有广泛的应用，包括数学、物理、工程等等。
特征值与特征向量是线性变换中的一种描述方法，它们能够揭示出线性变换对向量空间的影响。
通过求解线性变换对应的方程，我们可以找到这些特征值与特征向量。
一、特征值和特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v和一个实数λ，使得Av=λv，那么称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
可以看出，特征向量v在经过矩阵A的作用之后，只改变了向量的模，而没有改变方向。
二、计算特征值与特征向量的方法计算特征值与特征向量的方法有很多种，下面介绍其中两种常用的方法。
1. 特征多项式法根据特征值和特征向量的定义，我们可以得出以下定理：一个矩阵A的特征值λ是它的特征多项式det(A-λI)的根，其中I是单位矩阵。
因此，我们可以通过求解特征多项式的根来得到特征值。
举例来说，给定一个2阶方阵A，我们可以通过求解特征多项式det(A-λI)=0来找到特征值。
假设特征多项式为det(A-λI)=(a-λ)(b-λ)，则特征值λ1=a，λ2=b。
2. 可逆矩阵法另一种求解特征值与特征向量的方法是通过求解(A-λI)v=0的解。
如果(A-λI)是可逆矩阵，那么唯一的解是零向量。
如果(A-λI)不可逆，那么就存在非零向量v使得(A-λI)v=0，这时候v就是特征向量，λ是特征值。
三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量具有以下性质：1. 特征值之和等于矩阵的迹（即矩阵对角线上元素的和），特征值之积等于矩阵的行列式。
2. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
3. 如果特征值是复数，那么它的共轭也是特征值，对应的特征向量也是共轭的。
四、应用举例特征值与特征向量在线性代数的很多领域中有广泛的应用，下面举例说明：1. 对角化通过找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=Λ，其中Λ是一个对角阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
特征值与特征向量
特征值与特征向量1.特征值与特征向量的数学定义在矩阵论中，一个n阶方阵A的特征值（eigenvalue）是一个数λ，使得存在一个非零n维向量x，满足以下关系式：Ax=λx其中x称为该特征值对应的特征向量（eigenvector）。
特征向量x是与特征值λ对应的“向量空间”中的非零向量，它描述了特征值所对应的变换方向或拉伸比例。
2.特征值与特征向量的性质（1）特征值与特征向量的关系：对于方阵A和其特征值λ，Ax=λx。
这意味着矩阵A将特征向量x拉伸（或压缩）了λ倍。
（2）特征值的重要性质：矩阵A的特征值λ满足特征多项式的方程式p(λ) = det(A-λI) = 0，其中I是单位矩阵。
这个方程式的根就是矩阵A的特征值。
（3）特征向量的线性组合：如果x1、x2、..、xk是矩阵A的特征向量，对应的特征值分别是λ1、λ2、..、λk，那么对于任意常数a1、a2、..、ak，它们的线性组合a1x1+a2x2+...+akxk也是矩阵A的特征向量。
（4）特征值的数量：对于一个n阶方阵A，一般有n个不同的特征值。
3.特征值与特征向量的应用（1）矩阵对角化：通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以将一个方阵对角化。
对角化后的矩阵能更方便地进行计算和理解，例如求解高阶矩阵的幂、指数函数等。
（2）主成分分析（PCA）：PCA是一种经典的降维方法，它通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量，将高维特征转换为低维特征，从而实现数据的降维和可视化。
（3）图像处理：特征值和特征向量在图像压缩、图像增强和图像分析等领域中有广泛应用。
例如，可以利用图像的特征值和特征向量进行边缘检测、纹理提取和目标识别。
（4）量子力学中的态矢量：在量子力学中，态矢量可以看成是一个特殊的向量，它对应于系统的一个可观测性质。
量子态的演化过程可以用特征向量和特征值来描述。
总结：特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，它们可以描述线性变换的特性，并且在多个学科领域中有广泛的应用。
线性变换的特征值与特征向量
设 a1 , a2 ,an 是 n 维线性空间V 的一组基向量， 线性变换 A 在这组 基下的矩阵表示是 A.若设 0 是 A 的一个特征值， 它的一个特征向量 在基 a1 , a2 ,an 下的坐标是 T ( x1 , x2 , xn ) ，即
x1 x =（ a1 , a2 ,an ） 2 （1.8.2） x4
因此，只要将 A 的全部特征值求出来，它 们就是线性变换 f 的全部特征值；只要将矩阵 A 的属于 0 的全部特征向量求出来，分别以它 们为坐标的向量就是 f 的属于 0 的全部特征 向量。
例 1 设V 是数域 K 上的 3 维线性空间， f 是V 上的一个线性变换， f 在V 的一个基1 , 2 , 3 下 的矩阵是
a12 a22 an2
a1n a2n
ann
称为 A 的特征多项式。
n 次 代 数 方 程 0 E n A 0 称 为 A 的 特 征 方
程，它的根称为 A 的特征根（或特征值） A ，以 的特征根 0 代入方程
(0 E A) X 0
2
1 0 ,
T
2
0 1
T
从而 f 的属于 3 的极大线性无关特征向量组是
1 21 2 , 2 21 3
于是 f 的属于 3 的全部特征向量是
k11 k2 2 , k1 , k2 K 这里 K1 , K 2 为数域 K 中不全为零的数对。
对于特征值-6，解齐次线性方程组
i 的几何重数为 qi ， i 1 , i 2 ,, iq 是对应于 i 的 qi 个
i
线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量
11 ,12 ； r 1 , r 2 ,, rq
线性变换的特征值与特征向量
则称λ0为σ的一个特征值,称α为σ的属于 特征值λ0的一个特征向量.
从几何直观上看,特征向量的方向经
过线性变换后保持在同一条直线上.当λ0
，
＞0时,变换后保持原方向;当λ0＜0时,变
， 换后与原方向相反;当λ0 = 0,特征向量被 变换到零向量.
当α是σ的属于特征值λ0的特征向量 时,kα (k≠0,k∈P)也必是σ的属于λ0的特
x1
A
x2
.
xn
， 由于σ(α) =λ0α,而λ0α在ε1,ε2,…,εn下的坐
标为
，
x1
0
x2
,
xn
故有
x1
x1
A
x2
0
x2
.
(8.2.1)
，
xn
xn
与第五章(5.1.1)式比较,可知若把α的
， 坐标看作数域P上n维向量,则线性变换σ的
特征值与特征向量与σ在取定基下的矩阵A
§8.3 线性变换的特征值与特征向量
在第五章中已经讨论了n阶方阵的特征 值与特征向量.由于线性变换与n阶方阵有 着密切的联系,可以把特征值与特征向量的 概念推广到一般线性空间的线性变换上.
定义8.3.1 设σ是数域P上线性空间V 的一个线性变换,如果对于数域P中某个数 λ0,存在一个V中的非零元素α,使得
特征向量是完全一致的.
由此可知,第五章中所有关于矩阵A的 特征值和特征向量的讨论可以完全适用于
线性变换σ的特征值与特征向量.例如,根据 定理5.2.3,线性变换σ在某组基下的矩阵为 对角形矩阵的充分必要条件是σ有n个线性 无关的特征向量α1,α2,…,αn.把这n个线性 无关的特征向量作为V的基,则σ在这组基
线性代数中特征值与特征向量
线性代数中特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，它们在矩阵理论和线性变换中有着广泛的应用。
本文将针对特征值与特征向量展开探讨，介绍其定义、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得满足以下关系式：A*x = λ*x其中，λ为一个标量，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应特征值的特征向量。
特征值与特征向量通常是成对出现的，即一个特征值对应一个特征向量。
特征值与特征向量的定义为我们理解矩阵的性质和行为提供了重要的数学工具。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值和特征向量的性质：（1）特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
（2）特征值可以是复数，但特征向量通常是实数向量。
（3）特征向量的倍数仍为特征向量，即k倍的特征向量仍然是对应的特征向量。
（4）特征向量的长度可以为0，但特征向量不可能为零向量。
2. 特征值和特征向量的关系：（1）特征值和特征向量通过特征方程进行关联，特征方程的形式为：|A-λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
（2）特征值是特征方程的解，即满足方程|A-λI| = 0的λ即为矩阵A的特征值。
（3）特征向量在特征值所对应的方程中，为非零解。
通过以上性质我们可以发现，特征值与特征向量是矩阵的固有属性，它们具有重要的几何和物理意义，对于理解矩阵的本质和行为起着关键作用。
三、特征值与特征向量的计算方法计算特征值和特征向量是矩阵分析的关键步骤。
常用的计算方法有以下几种：1. 特征值与特征向量的直接计算：对于某些特殊的矩阵，如对角矩阵和上（下）三角矩阵，可以直接通过观察矩阵的对角元素或三角形式，得到特征值和特征向量。
2. 特征值与特征向量的求解算法：本征值问题是一个广义特征值问题，其计算方法较为复杂。
常见的求解算法有幂迭代法、Jacobi迭代法、QR方法等。
这些算法通过迭代过程逼近特征值和特征向量。
线性代数中的特征值和特征向量
线性代数中的特征值和特征向量线性代数是数学的一个分支，它主要研究向量空间、线性变换和矩阵等代数结构及其性质。
特征值和特征向量是线性代数中一个很重要的概念，广泛应用于诸多领域中，如物理、工程、计算机科学等。
一、特征值和特征向量的定义在线性代数中，如果一个向量空间 V 上的线性变换 A 对某个非零向量 v 作用后，得到的向量依旧在同一条线上，即存在一个标量λ，使得Av = λv，v ≠ 0其中λ 称为该线性变换的特征值，v 称为该线性变换的特征向量。
需要注意的是，特征向量不为零向量，否则，特征值会等于零，特征向量也就没有意义。
二、特征值和特征向量的意义特征值和特征向量在矩阵和线性变换中都有很重要的意义。
1. 矩阵的特征值和特征向量考虑一个 n 维方阵 A，其特征值和特征向量的意义如下：(1) 特征向量表示在变换矩阵 A 的作用下仍朝着原来的方向进行变化；(2) 特征值表示变换的幅度，即特征向量在 A 的作用下的缩放比例。
也就是说，矩阵的特征值和特征向量可以帮助我们更好地理解矩阵的变换效果及其缩放比例，从而更好地应用于各种实际问题中。
2. 线性变换的特征值和特征向量线性变换的特征值和特征向量同样具有重要的意义。
例如，在物理学中，线性变换通常表示各种物理量的转换关系。
研究线性变换的特征值和特征向量可以帮助我们更好地理解物理现象和探索物理规律。
此外，在工程领域中，线性变换的特征值和特征向量被广泛应用于自然频率、振动确定和控制等方面的工作中。
三、计算矩阵的特征值和特征向量的方法现在，让我们来看一下计算矩阵的特征值和特征向量的方法。
假设 A 是一个 n 维方阵，我们需要求得它的特征值和特征向量。
其步骤如下：1. 求解特征方程。
由特征值和特征向量的定义可知，Av = λv，即矩阵 A 作用在 v 上，等于将 v 的长度缩放λ 倍。
因此，根据矩阵的定义，我们可以得到以下方程：det(A - λE) = 0其中，E 是单位矩阵。
线性变换与特征值特征向量
线性变换与特征值特征向量线性变换是线性代数中的重要概念，它描述了一个向量空间中的向量在经过变换后的规律。
而特征值和特征向量则是线性变换的重要性质，它们可以帮助我们更好地理解和分析线性变换的特性。
本文将从定义、性质和应用三个方面来探讨线性变换与特征值特征向量的重要性。
一、线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间V上的变换T，它满足以下两个性质：1. 对于所有的向量u和v以及标量k，T(u+v) = T(u) + T(v) 和 T(ku) = kT(u)。
也就是说，线性变换保持向量的加法和数乘运算的性质。
2. 对于向量空间V中的零向量0，有T(0) = 0，即线性变换将零向量映射为零向量。
线性变换的性质使得它能够保持向量空间的结构，同时也为我们之后的讨论奠定了基础。
二、特征值与特征向量的定义与性质在线性代数中，特征值和特征向量是描述线性变换特性的重要工具。
我们定义一个向量空间V上的线性变换T，对于非零向量v，如果存在非零标量λ使得T(v) = λv，那么v就是T的特征向量，λ就是v对应的特征值。
特征值和特征向量的性质如下：1. 特征向量不为0，即零向量不是特征向量。
2. 如果v是T的特征向量，对于任意非零标量k，kv也是T的特征向量，且对应的特征值是λ/k。
3. 如果v1和v2是T的特征向量，且对应的特征值分别是λ1和λ2，那么v1+v2也是T的特征向量，对应的特征值是λ1+λ2。
特征值和特征向量提供了一种理解和分析线性变换的方法。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到线性变换的重要性质，比如变换的方向、伸缩比例等。
三、线性变换与特征值特征向量的应用线性变换与特征值特征向量的应用广泛，包括但不限于以下几个方面：1. 矩阵对角化对称矩阵是一类特殊的矩阵，它的特征值都是实数，并且存在一组线性无关的特征向量。
通过对称矩阵进行对角化，我们可以得到一个对角矩阵，其对角线上的元素就是原矩阵的特征值。
对角化后的矩阵更加简洁，便于分析和计算。
线性变换的特征值与特征向量
线性变换的特征值与特征向量
但是，一个线性变换的矩阵表示是与线性空间的一 组基联系在一起的，随着线性空间的基的变化，矩阵表示 可能是不同的.那么，将求线性变换的特征值与特征向量 转化为求矩阵的特征值与特征向量，会不会出现歧义呢？ 回答是否定的.这是因为，根据第五章的定理5-6，同一个 线性变换在不同基下的矩阵表示是相似的，而根据本章第 一节的定理6-2，相似矩阵的特征值相同.因此，线性变换 的矩阵表示的特征值与基的选取无关.于是，通常也将线 性变换σ的矩阵表示A的特征多项式和特征方程，称为线 性变换σ的特征多项式和特征方程.
与矩阵的特征值和特征向量一样，线性变换的特征向量是非零 向量，并且一个特征向量只能属于一个特征值，从而特征值由特征 向量所唯一决定；但是，特征向量却不是由特征值唯一决定的.
线性变换的特征值与特征向量
下面，利用线性变换与矩阵之间的对应，介绍求得线性 变换的特征值和特征向量的方法.
设V是数域F上的一个n维线性空间，α1,α2,…,αn是V的一 组基，σ是V上的一个线性变换，矩阵A为σ在基α1,α2,…,αn下 的矩阵表示.
线性变换的特征值与特征向量
再次根据第五章的定理5-4，有
因为(a1,a2,…,an) T非零，故ξ≠0.因此，λ是线性变换σ 的一个特征值，非零向量ξ是σ属于特征值λ的一个特征向 量.
于是，把上面的结论综合起来，即得下面的定理.
线性变换的特征值与特征向量
定理6-7
设V是数域F上的一个n维线性空间，α1,α2,…,αn 是V的一组基，σ是V上的一个线性变换，矩阵A为σ 在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.则
线性变换的特征值与 特征向量
线性变换的特征值与特征向量
一、 线性变换的特征值与特征向量的定义
线性变换的特征值和特征向量 PPT
的基础解系.
特征子空间:
特征子空间
变换的特征值与特征向量的求法
(1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
例题
因此, 矩阵R在实数域上没有特征值. 如果把R看成复数域上的矩阵, 则有两个特征值, 但没有几何意义. 特征值与特征向量与矩阵所在的数域有关系
一个n阶方阵在数域 K 上至多有 n 个特征值, 在复数域上正好有 n 个特征值(重根计算重数).
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
特征多项式的性质
➢线性变换的特征值是与基的取法没有关系的量 ➢ 在不同的基下的矩阵应该有相同的特征值
➢矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在基下的坐标 ➢随着基的变化而变化
相似的矩阵有相同的特征多项式, 因此有相同的特征值
例题 3.5
解: (1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
例3.5 续
解: 1) 特征多项式
特征值： 2) 特征向量
的基础解系.
…
例3.5 续
线性变换的特征值和特征向量
例子: 线性变换的矩阵
线性变换的特征值与特征向量
1) 特征向量与经过线性变镜像变换求出其特征值和特征向量.
特征子空间, 矩阵的特征值与特征向量
如果存在非零列向量X使得
变换的特征向量与矩阵的特征向量
特征矩阵与特征多项式
特征值与特征向量
§4 特征值与特征向量一、线性变换的特征值和特征向量的概念定义4 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换,如果对于数域P 中一数0λ,存在一个非零向量ξ,使得A ξ=0λξ. （1） 那么0λ称为A 的一个特征值,而ξ叫做A 的属于特征值0λ的一个特征向量.从几何上来看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变)0(0>λ或者方向相反)0(0<λ,至于)0(0=λ时，特征向量就被线性变换变成0.如果ξ是线性变换A 的属于特征值0λ的特征向量，那么ξ的任何一个非零倍数ξk 也是A 的属于特征值0λ的特征向量.这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值.二、特征值与特征向量的求法设V 是数域P 上n 维线性空间，n εεε,,,21 是它的一组基，线性变换A 在这组基下的矩阵是A .设0λ是特征值，它的一个特征向量ξ在n εεε,,,21 下的坐标是n x x x 00201,,, ,则A ξ的坐标是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x A 00201 . ξλ0的坐标是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 002010 λ因此（1）式相当于坐标之间的等式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x A 00201000201 λ (2) 或0)(002010=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n x x x A E λ 这说明特征向量ξ的坐标),,,(00201n x x x 满足齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,02211202222121101212111n n nn n n n n n n x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a λλλ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+---=---+-=----,0)(,0)(,0)(022112222012112121110n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a λλλ (3) 由于0≠ξ,所以它的坐标n x x x 00201,,, 不全为零，即齐次方程组有非零解.而齐次方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零，即00212220211121100=---------=-nnn n n n a a a a a a a a a A E λλλλ. 定义5 设A 是数域P 上一个n 级矩阵,λ是一个数字.矩阵A E -λ的行列式.212222111211nnn n n na a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ(4) 叫做矩阵A 的特征多项式,这是数域P 上的一个n 次多项式.上面的分析说明，如果0λ是线性变换A 的特征值，那么0λ一定是矩阵A 的特征多项式的一个根；反过来，如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根，即00=-A E λ，那么齐次方程组（3）就有非零解.这时，如果),,,(00201n x x x 是方程组（3）的一个非零解，那么非零向量)0202101n n x x x εεεξ+++=满足（1），即0λ是线性变换A 的一个特征值，ξ就是属于特征值0λ的一个特征向量.因此确定一个线性变换A 的一个特征值与特征向量的方法可以分成以下几步：1.在线性空间V 中取一组基n εεε,,,21 ，写出A 在这组基下的矩阵A ；2.求出A 的特征多项式A E -0λ在数域P 中全部的根，它们也就是线性变换A 的全部特征值；3.把所求得的特征值逐个地代入方程组（3），对于每一个特征值，解方程组（3），求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基n εεε,,,21 下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征征的全部线性无关的特征向量.矩阵A 的特征多项式的根有时也称为A 的特征值，而相应的线性方程组（3）的解也就称为A 的属于这个特征值的特征向量.例1 在n 维线性空间中，数乘变换K 在任意一组基下的矩阵都是kE ，它的特征多项式是n k kE E )(-=-λλ.因此，数乘变换K 的特征值只有k ，由定义可知，每个非零向量都是属于数乘变换K 的特征向量.例2 设线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122212221A ,求A 的特征值与特征向量.例3 在空间n x P ][中，线性变换D )()(x f x f '= 在基)!1(,,!2,,112--n x x x n 下的矩阵是 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010 D D 的特征多项式是n D E λλλλλ=---=- 0001000010001.因此，D 的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.例4 平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，§1例1中旋转ℱθ在直角坐标系下的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 它的特征多项式为 1cos 2cos sin sin cos 2+-=---θλλθλθθθλ 当πθk ≠时，这个多项式没有实根.因之，当πθk ≠时，ℱθ没有特征值.从几何上看，这个结论是明显的.容易看出，对于线性变换A 的任一个特征值0λ，全部适合条件A αλα0=的向量α所成的集合，也就是A 的属于0λ的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是V 的一个子空间，称为A 的一个特征子空间，记为0λV .显然，0λV 的维数就是属于0λ的线性无关的特征向量的最大个数.用集合记号可写为.{}V A V ∈==ααλααλ,|00在线性变换的研究中，矩阵的特征多项式是重要的.下面先来看一下它的系数.在.212222111211nnn n n na a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积)())((2211nn a a a ---λλλ展开式中的其余项，至多包含2-n 个主对角线上的元素，它对λ的次数最多是2-n .因此特征多项式中含λ的n 次与1-n 次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是12211)(-+++-n nn n a a a λλ .在特征多项式中令0=λ，即得常数项A A n )1(-=-.因此，如果只写特征多项式的前两项与常数项，就有A a a a A E n n nn n )1()(12211-+++++-=-- λλλ. (5)由根与系数的关系可知，A 的全体特征值的和为nn a a a +++ 2211（称为A 的迹）.而的A 全体特征值的积为A .特征值自然是被线性变换所决定的.但是在有限维空间中，任取一组基后，特征值就是线性变换在这组基下矩阵的特征多项式的根.随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的.但是这些矩阵是相似的，对于相似矩阵有定理6 相似矩阵有相同的特征多项式.定理6说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取无关，它直接被线性变换所决定的.因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵有相同的行列式.因此，以后就可以说线性变换的行列式.应该指出，定理6的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的.例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011,1001B A 它们的特征多项式都是)1(-λ，但A 和B 不相似，因为和A 相似的矩阵只能是A 本身.哈密顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理 设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，A E f -=λλ)(是A 的特征多项式，则0)1()()(12211=-+++++-=-E A A a a a A A f n n nn n推论 设A 是有限维空间V 的线性变换，)(λf 是A 的特征多项式，那么f (A )=ℴ.。
线性变换的特征值与特征向量
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在奇异值分解中，可以将一个矩阵表 示为一个正交矩阵、一个对角矩阵和 一个正交矩阵的乘积，其中对角矩阵 的对角线元素即为特征值。
在求解微分方程中的应用
在求解微分方程时，特征值和特征向量可以用于分析解的性质。例如，对于常微分方程，特征值和特征向量可 以用于分析解的稳定性。
在偏微分方程中，特征值和特征向量可以用于分析解的振动频率和模式。例如，在波动方程中，特征值和特征 向量可以用于计算波速和波长。
在信号处理和图像处理中的应用
在信号处理中，特征值和特征向量可以用于信号压缩和降噪。例如，通过将信号表示为一组特征向量 的线性组合，可以去除噪声并保留信号的主要特征。
在图像处理中，特征值和特征向量可以用于图像识别和分类。例如，通过将图像表示为一组特征向量 的线性组合，可以提取图像的主要特征并进行识别。此外，在图像压缩中，也可以利用特征值和特征 向量的性质进行压缩和重建。
02
03
计算方法
特性
通过构建线性变换的矩阵，并对 其进行行列式运算，得到特征多 项式。
特征多项式的根即为特征值，根 的重数等于相应特征值的代数重 数。
特征值的求解
定义
特征值是线性变换在特征向量上的一个标量乘数， 它决定了特征向量的变化规律。
计算方法
通过解特征多项式得到特征值，也可以通过直接 计算矩阵的特征值得到。
对于给定的线性变换 $T$ 和标量 $lambda$，如果存在一个非零 向量 $vec{v}$ 使得 $T(vec{v}) = lambda vec{v}$，则 $vec{v}$ 是 $T$ 的对应于特征值 $lambda$ 的特征向量。 特征向量可以是实数向量或复数向量。
特征值与特征向量的关系01 Nhomakorabea04
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称之为矩阵 A 的属于特征值 0 的特征子空间， 记 为V0 ，dim(V0 ) 称为 0 的几何重数。不难看出
V0 正是特征方程组
(0 I A) X 0 的解空间。
（2） 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 （3）设 1 , 2 ,, r 是 A 的 r 个互不同的特征值，
A 的谱，并用 A 表示。
定理 相似矩阵有相同的特征多项式。 推论 1 相似矩阵有相同的谱。 推论 2 设 是矩阵 A 的特征值 所对应的特征 1 1 向量，则 P 是矩阵 B P AP 的特征值 所 对应的特征向量。
线性变换的特征值和特征向量
定义 设 f 是数域 F 上的线性空间V 的一个线 性变换，如果对于数域 F 中任一元素 0 ，V 中 都存在一个非零向量 ，使得
2 2
2
2
2 4
1
4
1Βιβλιοθήκη ( 3) ( 6) 所以 A的特征值是 3（二重）与-6。 对于特征值 3，解齐次线性方程组 (3 I A) X 0
得到一个基础解系：
2
1 0 ,
T
2
0 1
T
从而 f 的属于 3 的极大线性无关特征向量组是
1 21 2 , 2 21 3
f ( ) 0 AX 0 X
由此可得 定理： 0 是 f 的特征值 0 是 A 的特征值。 是 f 的属于 0 的特征向量 X 是 A 的 属于 0 的特征向量。
因此，只要将 A 的全部特征值求出来，它 们就是线性变换 f 的全部特征值；只要将矩阵 A的属于 0 的全部特征向量求出来，分别以它 们为坐标的向量就是 f 的属于 0 的全部特征 向量。
于是 f 的属于 3 的全部特征向量是
k11 k22 , k1 , k2 K 这里 K1 , K 2 为数域 K 中不全为零的数对。
对于特征值-6，解齐次线性方程组 (6 I A) X 0 得到一个基础解系：
1
2 2
T
从而 f 的属于-6 的极大线性无关特征向量组是
3 1 22 23
i 的几何重数为 qi ， i 1 , i 2 , , iq 是对应于 i 的
i
则的所有这些特征向 qi 个线性无关的特征向量， 量
11 ,12 , ,1q ；
1
21 , 22 , , 2q ； r 1 , r 2 , , rq
2
r
仍然是线性无关的。 （4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代 数重数。 （5）一个特征向量不能属于不同的特征值。
称为 A 的特征多项式。
n 次 代 数 方 程 0 En A 0 称 为 A 的 特 征 方
程，它的根称为 A 的特征根（或特征值） ，以 A 的特征根 0 代入方程
(0 E A) X 0
所得的非零解 X ， 称为 A 的对应于 0 的特征向 量。矩阵 A 的特征多项式在复数范围内有 n 个 根，因此一个 n 阶方阵有 n 个特征根（重根应 记及重数） 。矩阵 A 的所有特征值的全体称为
§1.7 矩阵（或线性变换）的 特征值与特征向量 定义 设 A 是数域 F 上的 n 阶矩阵， 是一个数 字，矩阵 E A 称为的特征矩阵，行列式
a11
a21 En A an1
a12 a22 an2
a1n a2n
ann
于是 f 的属于-6 的全部特征向量
k3 , k K 这里 k 为数域 K 中任意非零数。
矩阵的相似与相似对角化 相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的 特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有 相同的迹，有相同的谱。 矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） n 阶矩阵 A 的属于特征值 0 的全部特征向 量再添上零向量，可以组成 R n 的一个子空间，
例 1 设V 是数域 K 上的 3 维线性空间， f 是V 上的一个线性变换， f 在V 的一个基1 ,2 , 3 下 的矩阵是
2 2 2 2 1 4 A 2 4 1 求 f 的全部特征值与特征向量。
解： A的特征多项式为
2 I A
f 0
那么称 0 为 f 的一个特征值，而 称为 f 的属 于特征值 0 的一个特征向量。
现在设V 是数域 F 上的 n 维线性空间，V 中取定 一个基 1 ,2 ,,n ，设线性变换 f 在这组基下 的矩阵是 A ，向量 在这组基下的坐标是 X ， 0 F 。那么我们有