数学分析格林公式曲面积分的条件
第三节 格林公式
其中D 其中 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . ,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
y= x
= ∫ xe
∂D
− y2
dy
o
x
=∫
OA
xe
− y2
dy = ∫ ye
0
1
− y2
dy = 1(1 − e−1 ) 2
16
3. 计算平面图形的面积
y
由于 ∫OA xdy = 0,
∫BO xdy = 0,
A
D
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
o
L
B
x
8
ydx − xdy L为以(1,0) , , 例2 计算第二型曲线积分 ∫ L x+ y
(0,1) , ( −1,0) , (0,−1)为顶点的正方形闭路， 取逆时针方向. 为顶点的正方形闭路，
推论: 推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A = ∫ xdy − ydx 2 L x = acosθ , 0 ≤ θ ≤ 2π 所围面积 例如, 例如, 椭圆 L : y = bsinθ
1 2π = ∫ (abcos2 θ + absin2 θ )dθ = π ab 20
6
二、简单应用
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂ y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P D
∂ ∂x
∂ ∂y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
2
格林公式
L1 : y 1 ( x : 1 2) L L1 L2 , 其中， 取积分路径： L2 : x 2 ( y : 1 3)
y
2 2 3 2
则
(2, 3) ．
(2,1)
4 1 ( x 1)d x 1 (2 y )d y 3
(1,1)
．
o
x
例6
y
L
o
D A(2,0) x l
5d xd y
D
0
2
8 5 x d x . 3 2
2
例4
计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑逆时针向闭曲线. 解 令 则
y
L
D
o
x
记 L 所围成的闭区域为 D .
(1) 当( 0, 0) D 时, 由格林公式知
(2) 当(0,0) D 时, 作位于 D 内圆周 l : x 2 y 2 r 2 ,
D
yx
o
x
1 0 d x x (1 x )d y . 3
1 1
例3
计0,0)到点A(2,0)的上半圆周 x y 2 x .
解
令 P x 2 2 y , Q 3 x ye y , 则
设 l : y 0 ( x : 2 0), 则 利用格林公式 , 得
1 故 . 0d x y d y xy d x y ( x )d y 0 0 (0,0) 2
(1,1) 2
计算
解
令
则
y
(1,1) ．
o
故原曲线积分在全平面内与路径无关．
(1,0)
x
L1 : y 0 ( x : 0 1) 取积分路径：L L1 L2 , 其中， L2 : x 1 ( y : 0 1) 2 2 4 ( x 2 xy )d x ( x y )d y 故 L
微积分 格林公式
A.
证明 : 例2、
2 xydx
D
x dy 0 , D 分段光滑 .
2
求 例3、 e
D
y
2
dxdy , D 是以 O ( 0 , 0 ), A ( 1 ,1 ), B ( 0 ,1 ) 为顶点 .
xdy ydx
的三角形闭区域
设 例4、 D 是包含原点的有界闭区
y
Q ( x , y ) dy
y0
y0
Q ( x 0 , y ) dy
例7、 已知 du
xdy ydx x
2
y
2
( x 0 ), 求 u ( x , y ).
P 全微分方程： ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy 0
(
Q x
P y
)
例8、 解全微分方程 作业
(4)
Q x
P y
在 G 内处处成立 .
关键：
Q x
P y
P ( x , y ) dx
L
Q ( x , y ) dy 与路径无关
.
例5、计算
L
(x
2
2 xy ) dx ( x
2
y ) dy , 其中 L 为
4
由点 O ( 0 , 0 )到点 B ( 1 ,1 )的曲线弧 y sin
( x, y)
( x0 , y)
( x, y)
( x0 , y0 )
(1 )
u 按（1）： ( x , y ) u 按（2）： ( x , y )
( x, y0 ) ( x0 , y0 )
17-1格林公式及曲线积分与路径无关的条件
第十七章 各类积分的联系回顾:一元函数积分学:)()()('a F b F dx x F ba -=⎰§17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件一、格林公式概念:单连通区域, 复连通区域; 正向;格林定理:设闭区域2R D ⊂,是由有限多条分段光滑的闭曲线Γ所围成. 函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具连续的一阶偏导,则有 σd yPx Q Qdy Pdx D)(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰Γ(格林公式) 其中Γ是取正向记: 图示 光设D(既是X 型又是Y 型)即穿过区域D 内部且平行于坐标轴的直线与D 的边办曲Γ的交点恰两点.设D:b x a ≤≤, )()(21x y x ϕϕ≤≤()()[]dx x x P x x P dy y y x P dx dxdy y Pb a b a x x D⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂)(,)(,),(12)()(21ϕϕϕϕ ()()()()[]dxx x P x x P dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx baa bb a⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+=+=ΓΓΓ)(,)(,)(,)(,212112ϕϕϕϕ 因此 ⎰⎰⎰Γ=∂∂-Pdx dxdy yPD设D:d y c ≤≤ )(2)(1y y x ϕϕ≤≤ 类似可证 ⎰⎰⎰Γ=∂∂DQdy dxdy xQ即得格林公式例1:计算曲线积分ydx x dy xy 22-⎰ΓΓ:(1)222a y x =+ 逆时针(2)222a y x =+ 上半部分,x 轴,逆 解:y x P 2-= 2xy Q +=2x y P -=∂∂ 2y xQ=∂∂ 由Green 公式 (1)u a dr r d d x y ydx x dy xy aD-=⋅=+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ420322222)(πθσπ计算曲线积分(2)403022224)(a dr r d d x y ydx x dy xy aDπθσπ==+=-⎰⎰⎰⎰⎰Γ例2:计算椭圆12222=+by a x 所围面积A.解: Γ:常数方程 t a x cos = t b y sin = []ab dt t a t b t b t a ydx xdy A ππ=-⋅-⋅=-=⎰⎰Γ20)sin (sin cos cos 2121 例3:计算⎰Γ+-=22y x ydxxdy I ,其中Γ是(1)使所含区域D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2) 含原点但不径原点解:22y x y P +-= 22y x x Q += 22222)(y x x y y p x +-=∂∂=∂∂θ (1) 满足Green Th 连续条件 ⎰⎰⎰==+-=ΓDd y x ydxxdy I 0022σ(2) 不满足Green Th 连续条件选取适当小的0>ε,作圆周 :222ε=+y x (使 全部含于Γ所围区域) 记 +Γ围成D, 于是在1D 内, 格林公式成立 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++ΓΓΓ=-=+==001D d σ 故⎰⎰+-=+-Γ 2222y x ydxxdy y x ydx xdy 法一:右式πθθθθεθεπ2)sin (cos 2sin ,cos 202=+==========⎰d y x 学数方程法二:右式⎰⎰⎰≤+=⋅==-=222221122επσεεy x G d ydx xdy公式二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分⎰Γ+Qdy Qdx 与路径无关:⎰⎰ΓΓ+=+12Qdy Pdx Qdy Pdx图示 (且公与B A y y ,有关)定理:),(),,(y x Q y x P 和平面单连通域D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价. (1)xQ y P ∂∂=∂∂ D y x ∈),( (2)⎰Γ=+0Qdy Pdx D ∈Γ 分段光滑闭曲线(3)积分⎰Γ+ABQdy Pdx 在D 内与路径Γ无关,公与A,B 位置有关(4)存在单值函数),(y x u u =, D y x ∈),( 使它全微分 Qdy Pdx dy y u dx x u du +=∂∂+∂∂=即P xu =∂∂ Q y u =∂∂ 证明:同证)2()1(⇔, )3()2(⇔ 下证)1()4(⇒, )4()3(⇒, )1()4(⇒ 存在函数),(y x u 使 dy y x Q dx y x P du ),(),(+= 则),(y x P xu=∂∂ ),(y x Q y u =∂∂ 于是 y P y x u ∂∂=∂∂∂2 x Qx y u ∂∂=∂∂∂2 由条件 xy uy x u ∂∂∂=∂∂∂22 (连续) 故xQ y P ∂∂=∂∂ )4()3(⇒曲线积分⎰Γ+ABQdy Pdx 仅与 ),(00y x A ,),(y x B 有关, 记⎰+=),(),(00),(y x B y x A Qdy Pdx y x u (说明右式是y x ,函数)下证 P xu=∂∂ Q y u =∂∂xy x u y x x u x u x ∆-∆+=∂∂→∆),(),(lim 0 xQdyPdx Qdy Pdx y x x y x y x y x x ∆+-+=⎰⎰∆+→∆),(),(),(),(00000limxdxy x P x QdyPdx xx xx y x x y x x ∆=∆+=⎰⎰∆+→∆∆+→∆),(lim lim0),(),(0),(),(lim ),(lim 1y x P y P xxy P x x Th 连续中值===∆∆===→→∆ξξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆+=∆∆∆+===→∆→∆≤≤),(),(lim ),(lim0010y x P y x x P x x y x x P x x θθθ 同理,),(y x Q yu=∂∂ 故 Qdy Pdx dy yu dx x u du +=∂∂+∂∂=推出公式: 图示 CB AC AB +=⋂AC:0y y = 10x x x ≤≤ 0=dy CB:1x x = 10y y y ≤≤ 0=dx 曲线积分计算公式dy y x Q dx y x P Qdy Pdx Qdy Pdx y y y x B y x A x x AB),(),(11100121),(),(0⎰⎰⎰⎰+=+∆+Γ原函数计算公式C dy y y Q dx y x P C Qdy Pdx y x u yy y x y x xx Th ++=++===⎰⎰⎰),(),(),(00000),(),(0过程特D ∈)0,0( ⎰⎰++=x y C dy y x Q dx x P y x u 0),()0,(),( 可证 ),(),(),(0011),(),(1100y x u y x u y x u Qdy Pdx Qdy Pdx ABy x B y x A B A -==+=+⎰⎰Γ------曲线积分的N-2公式 例4:计算dy x xydx OA⎰Γ+22 三路径.解: 图示 xy y x P 2),(= 2),(x y x Q =xQ x y P ∂∂==∂∂2 11)002(2212102)1,1()0,0(22=+⋅+⋅=+=+⎰⎰⎰⎰Γdy x dx x dy x xydx dy x xydx OA例5:计算dy y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(22-++=⎰Γ.Γ是1)1(22=+-y x 的上半圆周.从)0,0(O 到)0,2(A解:xQ y P ∂∂=∂∂.I 值与路径无关0=⋅→y OA 0=O x 1=A x ,0=dy则⎰⎰===→242xdx I OA⎰Γ-=-=2I例6:dy x y x x y dx x y y x I )sin sin 2()cos cos 2(221+-++=⎰Γ.Γ:例5. 解一:xQ y P ∂∂+∂∂:不能用与路径无关的相关公式. Γ非闭 :才能用Green 公式.原始方法(第二类曲线积分) 图示 ⎩⎨⎧=+=t y t x sin 1cos 几乎不可能解二:(设法满足二之一: Γ闭)x y y x y P cos 2sin 2+-=∂∂,1sin 2cos 2+-=∂∂y x x y xQ 设1Γ:(从A 到O 直线段)0,0,1,0====dy x x y O A ,则1Γ+Γ构成闭曲线,顺进针.1Γ+Γ所围闭域D:πθ≤≤0, θcos 20≤≤r由Green 公式2)(1πσσ-=-=∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰⎰Γ+ΓD Dd d y P x Q (即⎰⎰ΓΓ-=+12π)而dy x y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(221+-++⎰Γ⎰-==0242xdx故⎰⎰ΓΓ-=--==12421ππI .解三:(设法满足二之另一,xQy P ∂∂=∂∂) .cos cos 22x y y x P += 设y x x y Q sin sin 221-= x Q =221Q Q Q +=则xQ y P ∂∂=∂∂1dy Q Pdx ⎰Γ+1与路径无关.dy Q dy Q Pdx I ⎰⎰ΓΓ++=2111⎰⎰⋅++=2cos )cos 1(2πtdt t xdx24π-=例7:(得用曲线积分求)dy y xy x dx y xy x )2()2(2222--+-+的原函数),(y x u . 并求⎰)2,2()0,1(.(其中Γ是从A(1,0)到B(2,2)的曲线段)解:222y xy x P -+= 222y xy x Q --= y x xQ y P 22-=∂∂=∂∂ C dy y xy x dx y xy x y x u y x +--+-+=⎰)2()2(),(222),()0,0(2C y xy y x x C dy y xy x dx x yx+--+=+--+=⎰⎰3223202023131)2(31),()2()2()2,2()0,1(222)2,2()0,1(2-==--+-+⎰y x u dy y xy x dx y xy x作业: 151P 1(1)(4) 2(已提示) 4(1) 5(2) 6(2)。
第四节格林公式
EAC c
⌒
证明(2) 若区域D由按段光滑的 闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是 x 型又是 y 型的 区域D1, D2, D3.
L3 D3
D2
L2
L1
D1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D1 D2 D3
(
D1 D2 D3
Q P )( )dxdy x y
(
D1
D2
D3
) Pdx Qdy
D
Pdx Qdy.
证明(3) 若D是复连通区域 ,添加直线段
AB,CE. 则D由AB, BA,AFC,CE, EC 及CGA构成. 由(2)知 ( Q P )dxdy D y D x
y2
1
x
e
D
y2
dxdy
x2
OA AB BO
xe
dy
OA
xe
y2
dy
0 xe
1
1 1 x2 1 dx [ e ] 0 (1 e 1 ). 2 2
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
Q P )dxdy Pdx Qdy 格林公式: ( y D x D
y
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
( y
D
2
x )dxdy
2
O
2 x
d 0
2 2
2 cos
d 8
3
2 0
3 cos d . 2
第三节格林公式及其应用
Qdx ddydy2(y)Q dx
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
y
CQ B (x E ,y )d y CQ A (x E ,y )ddy
x1(y)
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
y
L
D1
l
or
x
02r2co2sr2r2si2nd
2.
(其中l 的方向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
格 林 公 式 :D ( Q x P y )dx L d P y d Q xdy
取 Py,Qx, 得 2dxd yLxdyydx
即
(x2y3xex)d x1x3ysiyn d y
L
3
3e2π(12π)3.
xdy ydx
例 6
计算
L
x2 y2 , 其中 L 由点 A(- , - )
经曲线 y = cos x 到点 B(, - ) (如图).
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
( 1 ) 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 .
(2) 函 数 P (x,y),Q (x,y)在 G 内 具 有 一 阶 连
续 偏 导 数 . 两条件缺一不可
证 充分性：
因为 Q P , (x, y) G，所以对 G 内任
D
闭 区 域 D 的 面 积 A 1 2Lxd yyd . x
取 P0,Qx, 得ALxdy 取 Py,Q0, 得ALydx
高等数学教学课件-2019 第三节 格林公式及其应 用
F 是
保 u (x 守 ,y)(场 x ,y) P (x ,y)d x Q (x ,y)d是 y x ,y 的
二 .
u(xx,y)u(x,y)(x 0,y0)
lim
x 0
x
l x 0 i 1 x m ( ( x x 0 ,y 0 x ) ,y ) P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d ( ( x y x 0 , , y y ) 0 ) P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d y
LL
(xy)3
y3x 3yx
D
x((xy)3
) ( y (xy)3
)d
xdy
3 ( x y ) 3 ( y 3 x ) 3 ( x y ) 2 3 ( x y ) 3 ( 3 y x ) 3 ( x y ) 2
[
D
( x y ) 6
( x y ) 6
] d xd
L x2y2
c x2y2
2 0 co t((c so itt))2 n s (ssiti(tn )n 2 co t)d s t022co2ts22si2ntdt
2
0 dt2.
例 3、 计算 (ey1x 2)d y x(xyecoy)d s,其 y L 是 中 L 曲y线 11x2上A 从 (1,1)到 B (1,1)一.段
则
L
P(x,
y)dxQ(x,
y)dy
D(Qx
P)dxd.y y
证明 由 引 1 理 LP(x,y)dx D P ydxdy
由引 2 理 LQ (x,y)dy D Q xdxdy
LP(x,y)d xQ (x,y)d yD Q x P y dxdy
用第二型曲线积分表示区域的面积公式：
格林公式、曲线积分与路径无关的条件
定理3
设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导
数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的
充分必要条件是等式
在G内恒成立 >>>
P Q y x
原函数
如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函数
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三、二元函数的全微分求积
二元函数u(x y)的全微分为 du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy
表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分
那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元 函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出 这个二元函数呢？
解 记L所围成的闭区域为D
当(0 0)D时 由格林公式得
L
x
dy x2
ydx y2
0
提示:
这里
P
y x2 y2
Q
x2
x
y2
当x2y20时 有
Q x
y2 x2 (x2 y2)2
P y
下页
例 4
计算
L
xdy x2
ydx y2
线
L的方向为逆时针方向
问
L
xdy x2
ydx y2
0
是否一定成立？
提示: >>>
下页
L
Pdx
Qdy与路径无关
L
Pdx
Qdy
0
高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式
4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2
高 等 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 数 学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y
顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y
2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高 等 数 学 电 子 案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
高 等 数 学 电 子 案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件
格林公式与曲面积分总结
曲面积分与格林公式总结1．曲面积分的概念（1）对面积的曲面积分1）定义：设函数),,(z y x f 在光滑曲面∑上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对面积的曲面积分，即ini iiiS f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=∑→1),,(lim ),,(τηξλ． 2）性质： ① 与曲面∑侧的选择无关，即⎰⎰⎰⎰∑-∑=dS z y x f dS z y x f ),,(),,(．② 对曲面具有可加性，即若21∑+∑=∑，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12),,(),,(),,(dS z y x f dS z y x f dS z y x f ．（2）对坐标的曲面积分1）定义：设函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在光滑的有向曲面∑上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对坐标的曲面积分，即∑⎰⎰=∑→∆+∆+∆=++ni xy i i xz i i yziiS R S Q S P Rdxdy Qdxdz Pdydz 1))()()((lim λ．2）性质： ① 与曲面∑的侧有关， 即⎰⎰⎰⎰∑∑--=．② 对曲面具有可加性，即若21∑+∑=∑，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12．2．曲面积分的计算方法（1）对面积的曲面积分――化为投影域上的二重积分． 计算方法与步骤：1）画出曲面∑草图，写出曲面方程∑=),(y x z z ：；2）做三代换： ① ),(y x z z =；②dS =；③ 曲面∑在xoy 面上的投影域xy D ．将对面积的曲面积分化为二重积分(,,)(,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰；3）在投影域xy D 上计算二重积分． （2）对坐标的曲面积分计算方法与步骤 1）利用高斯公式① 若∑为封闭曲面，则dxdydz zR y Q x P Rdxdy Qdxdz Pdydz ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω∂∂+∂∂+∂∂=++)(． 条件一：R Q P ,,在空间区域Ω内偏导连续； 条件二：曲面∑为闭曲面的外侧． ② 若∑为非封闭曲面，且R Q P ,,比较复杂, R Q P ,,在由'∑+∑ ('∑+∑为闭合)所围成的空间闭区域Ω中有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑Ω∑-=-+='''．2）通过投影到坐标面上化为二重积分⎰⎰⎰⎰∑±=++=Dxydydz z y z y x P Rdxdy Qdxdz Pdydz I ],),([⎰⎰⎰⎰±±xyxzD D dxdy y x z y x R dxdz z z x y x Q )],(,,[]),,(,[．其中±号的确定：若曲面∑的法向量→n 与x 轴夹角),(→∧→x n 为锐角时，第一个积分前取正号，否则取负号； 若曲面∑的法向量→n 与y 轴夹角),(→∧→y n 为锐角时，第二个积分前取正号，否则取负号； 若曲面∑的法向量→n 与z 轴夹角),(→∧→z n 为锐角时，第三个积分前取正号，否则取负号． 3）利用两类曲面积分之间的联系改变投影面dS dSdxdyR dS dxdz Q dS dydz PRdxdy Qdxdz Pdydz ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++)(． dS R Q P ⎰⎰∑++=)cos cos cos (γβα．其中cos dydz dS α=，cos dxdz dS β=，cos dxdy dS γ=，γβαcos ,cos ,cos 为曲面∑上点),,(z y x P 处法向量的方向余弦．（3）两类曲面积分的联系dS dSdxdy R dS dxdz Q dS dydz PRdxdy Qdxdz Pdydz ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++)( dS R Q P ⎰⎰∑++=)cos cos cos (γβα．其中γβαcos ,cos ,cos 为曲面∑上点),,(z y x P 处法向量的方向余弦．3．曲面积分应用1）几何应用： 空间曲面的面积⎰⎰∑=dS S ．2）物理应用： 面密度为(,,)x y z μ的物质曲面， 质量： (,,)M x y z d S μ∑=⎰⎰；重心坐标： 1(,,)x x x y z dS Mμ∑=⎰⎰，1(,,)y y x y z dS Mμ∑=⎰⎰，1(,,)z z x y z dS Mμ∑=⎰⎰；转动惯量： 22()(,,)x I y z x y z dS μ∑=+⎰⎰，22()(,,)y I x z x y z dS μ∑=+⎰⎰， 22()(,,)z I x y x y z dS μ∑=+⎰⎰，222()(,,)o I x y z x y z dS μ∑=++⎰⎰．流体流量：设流体的密度1μ=，速度→→→→++=k R j Q i P v ，单位时间内流过曲面指定侧的流量 ⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdxdz Pdydz ．4．高斯公式设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面所围成，函数(,,)P x y z (,,)Q x y z(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有Rdxdy Qdxdz Pdydz dv z Ry Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω)((cos cos cos )P Q R dS αβγ∑=++⎰⎰．这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦．高斯公式的物理意义：若∑是高斯公式中闭区域Ω的边界曲面的外侧，那么⎰⎰∑++Rdxdy Qdxdz Pdydz ()P Q Rdxdydz x y zΩ∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰ 解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的总质量等于分布在Ω内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量．所以高斯公式另一写法n A dS divAdV ∑Ω=⎰⎰⎰⎰⎰其中∑是空间闭区域Ω的边界曲面，而γβαcos cos cos R Q P n A A n ++=⋅=是A Pi Q j Rk =++在∑外侧法向量上的投影．向量场A 的散度： 称zRy Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂= 为向量场A 的散度． 5．斯托克斯公式设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有dxdy yPx Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑Pdx Qdy Rdz Γ=++⎰．另一种写法 d y d z d z d x d x d yP d x Q D yR d zx y z P Q RΓ∑∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰． 环流量：沿有向闭曲线Γ的曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++⎰叫向量场A Pi Q j Rk =++沿有向闭曲线Γ的环流量．向量场A 的旋度：A rot ()R Q i y z ∂∂=-∂∂j x R z P )(∂∂-∂∂+()Q P k x y ∂∂+-∂∂RQP z y xk j i∂∂∂∂∂∂＝ 斯托克斯公式物理意义：向量场A 沿有向闭曲线Γ的环流量等于向量场A的旋度场通过曲线Γ所张的曲面∑的通量．二、例题分析1．对面积的曲面积分例1．计算dS z y x I ⎰⎰∑++=)(222，其中∑为球面az z y x 2222=++． 解：方法1：曲面∑分成两个半球面22222221,y x a a z y x a a z ---=∑--+=∑：：,则面积元素分别为z a adxdyyx a adxdy dS a z adxdy y x a adxdy dS -=--=-=--=22222221,，又它们在xoy 面上的投影均为222a y x D xy ≤+：， 因此积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-==++=∑∑xyxy D D dxdy a z aa z a a z zdxdy a azdS dS z y x I 222221222)( 4442222264222221a a a dS a a a dxdy a z aa dxdy a xy xyD D ππππ=+=+⋅=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑ 同理 444222242)(2a a a ds z y x πππ=+-=++⎰⎰∑,于是 =I 444222222826)()(21a a a dS z y x dS z y x πππ=+=+++++⎰⎰⎰⎰∑∑． 方法2：之间投影到xoy 平面计算．2．对坐标的曲面积分上述三种计算方法适用情况：（1）若曲面∑在xoy 面上投影为一个区域，则用方法3）简便；（2）若曲面∑在xoy 面上投影为一条线，且,,P Q R 具有连续的偏导数，则通常用加面*∑，使*∑+∑封闭，利用高斯公式；（3）若曲面∑在xoy 面上投影为一条线，,,P Q R 偏导数不连续的情况下，使用方法2）处理．例2．计算曲面积分212222()()axdydz z a dxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中∑为下半球面z =的上侧，a 为大于零的常数．解：因为被积函数在点(0,0,0)O 没有定义，不能用加、减一块面0z =构成闭曲面计算积分，应先将半球面方程带入被积函数中，得2()axdydz z a dxdyI a ∑++=⎰⎰以下利用三种方法计算本题：方法1： 利用高斯公式补一张面0z '∑=：，投影域为222D x y a +≤：，且是下侧，这里21(),0,,(32)P Q R z a P x Q R a z a x y z a ∂∂∂+===++=+∂∂∂则 I ''∑∑∑=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰211(32)[()]a z dv axdydz z a dxdy a a 'Ω∑=-+-++⎰⎰⎰⎰⎰ 2322002121[32cos sin ]3a D a a d d r r dr a dxdy a a ππππθϕϕϕ=-++⎰⎰⎰⎰⎰44221[24cos sin ]4a a d a a a ππππϕϕϕπ=-++⎰3333222a a a a ππππ=-++=-．方法2：投影法：曲面∑投影到yoz 平面上应分成前后两块，即x x ⎫∑=⎪∑=前后：：曲面∑在yoz 平面的投影域为222{(,)|,0}yz D y z y z a z =+≤≤， 曲面∑在xoy 平面的投影域为22{(,)|1}xy D y z x y =+≤，因为 22()1()axdydz z a dxdy xdydz z a dxdy a a ∑∑∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰而x d y d z x d y d zx d∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰后前(向后)yzyzD D =--⎰⎰2302223yzD da πθπ=-==-⎰⎰⎰⎰，21()z adxdy a ∑+⎰⎰21(xyDa dxdy a =⎰⎰ 22230011(22)6a d a r rdr a a πθπ=-=⎰⎰， 于是333211362I a a a πππ=-+=-．方法3：转换投影法：投影到xoy 平面上，曲面z∑=：曲面法向量为{,,1}x y n f f ''=--}=，{,,}{,,1}yzx y D I P Q R f f dxdy ''=⋅--⎰⎰ 投影域为22:1xy D x y +≤，2221{,0,(22)}}yzD x a x y dxdya =--⋅⎰⎰221()]yzD a dxdy a=⎰⎰2222200122)a d a r rdr a πθ=+-⎰⎰323214cos 6ad a πθθπ=-+⎰⎰323332200114cos sin 62ad tdt a a ππθθππ=-+=-⎰⎰例3．计算32222()xdydz ydxdz zdxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中∑是椭球面2222221x y z a b c++=外侧．解：当(,,)(0,0,0)x y z ≠时，0P Q Rx y z∂∂∂++=∂∂∂，但是曲面方程不满足222x y z ++=常数，将曲面∑改换为'∑：2222x y z ξ++=外侧，（,,a b c ξ<），于是()()0P Q Rdv x y z'∑-∑Ω∂∂∂+=++=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰空心球， 即32222()xdydz ydxdz zdxdy x y z ''∑-∑∑++=-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰31xdydz ydxdz zdxdy ξ'∑=++⎰⎰31()x y zdv x y zξ'Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰（球） （2222x y z ξ'Ω++≤：） 3331143343dv πξπξξΩ==⋅=⎰⎰⎰． 例5． 计算22xy z dxdy x y zdydz ∑+⎰⎰，其中∑为由曲面22z x y =+与平面1z =所围成的闭曲面外侧．解：对第一个积分可以用高斯公式，即221()I xy z dxdy xyz dv z∑Ω∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰ 128xy zdv xyzdv ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （其中1Ω：为Ω在0,0x y ≥≥部分）222211342010,0184sin cos (1)4x yx y x y dxdy xyzdz d r r dr πθθθ++≤≥≥==-=⎰⎰⎰⎰⎰， 对于第二个积分不能用高斯公式，因为2x y z P =在0x =处偏导数不存在，只能投影，将曲面∑分成两块，2211,1z x y ∑=+≤上侧，222,01z x y z ∑=+≤≤：下侧， 因为1z =垂直于yoz 平面，所以120x yzdydz ∑=⎰⎰，对于积分22x y zdydz ∑⎰⎰，将∑投影到yoz 平面还需要分2∑麻烦，采用转换投影法，投影到xoy 平，因为曲面22z x y =+法向量{2,2,1}n x y =--，所以2222{,0,0}{2,2,1}x y zdydz x y z x y dxdy ∑∑=⋅--⎰⎰⎰⎰2222222()0Dxyx x y zdxdy x x y x y dxdy ∑=-=+=⎰⎰⎰⎰（因为被积函数关于x 的奇函数且积分区域xy D 关于y 轴对称），于是110044I =++=． 注意：有时对第二类曲面积分的几项，各采用不同的方法去做会带来方便．3．利用斯托克斯公式计算曲线积分例7．计算222222()()()I y z dx z x dy x y dx Γ=-+-+-⎰，其中Γ为球面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥的边界线，从球心看Γ为逆时针方向．解：方法1： 曲线用参数方程表示，将Γ分成3段，xoy 平面上一段：1cos ,sin ,0x t y t z Γ===：（t 从2π到0），则 122124(sin (sin )cos cos )3I t t t t dt πΓ==--=⎰⎰， 由Γ的轮换对称及表达式的轮换对称知道 4343I =⨯=． 方法2： 用斯托克斯公式计算 斯托克斯公式：P d x Q d y R dΓ++⎰()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ cos cos cos dydz dzdx dxdy dS x y z x y z P Q R P Q Rαβγ∑∑∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰其中（1）Γ为分段光滑的空间闭曲线；∑是以Γ为边界的分片光滑有向曲面（符合右手规则）；（2）函数,,P Q R 在含∑的空间区域内偏导数连续． 这里22P y x =-，22Q z x =-，22R x y =-，则2222222()()()dydzdzdx dxdy I y z dydz z x dzdx x y dxdy x y z y x z x x y ∑∑∂∂∂==-+++++∂∂∂---⎰⎰⎰⎰ 6()6(1)()Dx y dxdy x y dxdy ∑=-+=--+⎰⎰⎰⎰ （221,0,0D x y x y +≤≥≥：）13201212cos 4Dxdxdy d r dr πθθ===⎰⎰⎰⎰．注意：方向：从球心看去是逆时针方向，从外看去是顺时针方向，曲面∑法向量指向球心．4．曲面积分的应用例8．设空间曲线构件的线密度为μ=，且曲线方程是曲面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线，求曲线构件的质量M ．解：相交的曲线方程⎩⎨⎧=++=Γ2222a z y x xy ：，消去x 得到一个过曲线Γ的柱面方程2222a z y =+．又该曲线的质量 ⎰Γ+=ds z y M 222，将曲线方程代入被积函数即可计算出该积分⎰Γ+=ds z y M 222⎰Γ=ads 222a a a ππ==注意：也可以利用参数方程计算该积分．例9．设向量22{,,}A xy y z =，曲面∑为上半球面222(1)1x y z -++=(0)z ≥，被锥面z =所截部分（即z ≥A 通过曲面∑的流量（流体质量）．解：流量 022[cos cos cos ]A n dS xy y z dS αβγ∑∑Φ=⋅=++⎰⎰⎰⎰ 22xydydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰ 因为曲面∑在xoy 面上投影域的边界曲线比较容易求，所以用转换投影法，由222(1)1x y z -++=与222z x y =+，消去z ，得到22x x y =+，所以曲面∑在xoy 面上投影区域为：22{(,) }xy D x y x y x =+≤，并且∑在xoy 面上的投影点不重合，z ∑==：因为z z x y ∂∂==∂∂}n =于是222{,,}{}2xy y z dxdy x x ∑Φ=-⎰⎰232)z dxdy ∑=+⎰⎰23222)yD x x y dxdy =--⎰⎰2222(2)xyxyD D x x y dxdy =+--⎰⎰cos 22020(2cos )d r r rdr πθπθθ-=+-⎰⎰442221[cos cos ]34d ππθθθ-=-⎰ 42052cos 12d πθθ=⎰5315642232ππ==． 一、格林公式牛顿—莱布尼兹公式⎰-=baa Fb F dx x F )()()('表示：)('x F 在区间[]b a ,上的定积分可以通过它的原函数)(x F 在这个区间端点的值来表达．而格林公式表示：在平面区域D 上的二重积分可以通过沿闭区域D 的边界曲线L 的曲线积分来表达．这样，牛顿——莱布尼兹公式成为格林公式的特殊情形．平面单连通域的概念．设D 为平面区域，如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域．例如：平面上的圆形区域(){}1|,22<+y x y x ，上半平面(){}0|,>y y x 都是单连通区域，圆环形区域(){}(){}10|,,41|,2222<+<<+<y x y x y x y x 都是复连通区域．对平面区域D 的边界曲线L ，规定L 的正向如下：当观察者沿L 的方向行走时，D 总在他的左边．例如D 是边界曲线L 及l 所围成的复连通域(图8)，作为D 的正向边界，L 的正向是逆时针方向，而l 的正向是顺时针方向．定理 1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy y Px Q )(, (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线．公式(1)叫做格林公式．证 先假设区域D 既是X 型又是Y 型的情形，即穿过区域D 且平行坐标轴的直线与D 的边界曲线L 的交点恰好为两点(图9)设(){}b x a x y x y x D ≤≤≤≤=),()(|,21ϕϕ，因为y P∂∂连续，所以{}⎰⎰⎰⎰⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂=∂∂b a b a x x Ddx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P))(,())(,(),(12)()(21ϕϕϕϕ.另一方面，对坐标的曲线积分{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+=+=LL L baa bbadxx x P x x P dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx 12))(,())(,())(,())(,(2121ϕϕϕϕ.因此得⎰⎰⎰=∂∂-LDPdx dxdy y P. (2)类似地，设(){}d y c y x y y x D ≤≤≤≤=),()(|,21ϕϕ，则可证⎰⎰⎰=∂∂L D Qdy dxdy x Q.(3)由于D 既是X 型又是Y 型的区域，(2)(3)同时成立，二式合并即得公式(1)区域D 既是X 型又是Y 型这样的要求是相当严格的，但是对于一般情形，即区域D 不满足这个条件时，我们可在D 内引进辅助线把D 分成有限个部分闭区域，使得每个部分闭区域都满足这个条件，如图10，应用公式(1)于每个部分区域，即可得证．因此，一般地对于由分段光滑曲线围成的闭区域公式(1)都成立．证毕．注 (1) 格林公式中左端二重积分的被积函数是y Px Q ∂∂-∂∂，而且在D 内偏导连续．这是初学者容易记错或者忽略的地方．右端曲线积分中曲线L 对区域D 来说都是正向，这也是需要注意的．(2) 对于复连通区域D ，格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分．例如对图8的复连通域1D (阴影部分)格林公式应为⎰⎰⎰⎰+++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L l D QdyPdx Qdy Pdx dxdy y P x Q 1.其中+L 、+l 是D 的取正向的闭曲线．(3) 格林公式揭示出二重积分与平面曲线积分之间的联系，同时也给出了通过二重积分计算曲线积分的一个重要公式．许多情况，曲线积分化为二重积分计算往往是方便的．当然有些二重积分也可以化为曲线积分来计算，但是在化为曲线积分时，被积表达式并不是唯一的．例如，⎰⎰Dxdxdy化为曲线积分时，即可以是dy x L ⎰221，也可以是()dx xy ⎰-或者是xydx dy x L -⎰22121，等等．格林公式的一个简单应用，在公式(1)中取y P -=，x Q =，即得⎰⎰⎰-=LDydxxdy dxdy 2，上式左端为闭区域D 的面积A 的两倍，因此区域D 的面积A 可以用下面的曲线积分计算⎰-=L ydx xdy A 21. (4)例1 求椭圆θcos a x =，θsin b y =所围成的面积A ． 解 由公式(4)()222200111cos sin 222L A xdy ydx ab ab d ab d ab ππθθθθπ=-=+==⎰⎰⎰.例4 计算⎰+-L y x ydx xdy 22，其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L 的方向为逆时针方向．解 令22y x y P +-=，22y x x Q +=，当022≠+y x 时，有()y P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222 记L 所围成闭区域为D ，当()D ∉0,0时，由格林公式(1)得022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰dxdy y P x Q y x ydxxdy D L .当()D ∈0,0时，P 、Q 不满足格林公式中的条件，因此不能直接应用格林公式．我们选取适当小的0>r 作位于D 内的圆周l ：222r y x =+，记L 和l 所围成的闭区域为1D (图12)．这时，P 、Q在1D 内具有一阶连续偏导数．对复连通区域1D 应用格林公式⎰⎰⎰⎰+--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂l L D y x ydxxdy y x ydx xdy dxdy y P x Q 2222.其中l 的方向为逆时针方向，由于上式左端积分值为零，所以πθθθπ2sin cos 20222222222=+=+-=+-⎰⎰⎰d r r r y x ydxxdy y x ydx xdy l L .注 如果积分曲线L 不是闭曲线，可以作适当的辅助线使与L 构成闭曲线，这时只要()y x P ,，()y x Q ,在闭曲线围成的区域内具有一阶连续偏导数，也可以应用格林公式，间接计算沿着L 的曲线积分．二、平面上曲线积分与路径无关的条件我们知道场力沿曲线作功的问题，可以用对坐标的曲线积分来计算．在许多物理与力学问题中，场力作功常常与路径无关，而只与路径的起点和终点有关．这个问题在数学上就表现为曲线积分与路径无关的问题．为此首先要明确什么叫做曲线积分与路径无关，并进一步讨论在什么条件下曲线积分与路径无关：设G 是一个区域，()y x P ,，()y x Q ,在G 内具有一阶连续偏导数，如果对于G 内任意指定的两点A 、B ，以及G 内以点A 到点B 的任意两条曲线1L 、2L (图13) 等式⎰⎰+=+12L L QdyPdx Qdy Pdx恒成立，就说曲线积分⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关，否则便说与路径有关．由此我们得到一个重要结论，即： 曲线积分⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关等价于沿G 内任意闭曲线C 的曲线积分⎰+CQdyPdx 等于零．事实上，如果曲线积分与路径无关，那么，对于具有相同起点与终点的任意曲线1L 、2L ，有⎰⎰+=+12L L QdyPdx Qdy Pdx由于⎰⎰-+-=+22L L QdyPdx Qdy Pdx所以⎰⎰-=+++120L L Qdy Pdx Qdy Pdx .从而⎰-+=+210L L Qdy Pdx .这里-+21L L 是一条有向闭曲线，因此在区域G 内由曲线积分与路径无关可以推得在G 内沿闭曲线的曲线积分为零．反过来如果在G 内沿任意闭曲线的曲线积分为零，也可以推得在G 内曲线积分与路径无关．由格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D QdyPdx dxdy y P x Q ，启示我们，如果沿闭曲线的曲线积分为0，应该有0=∂∂-∂∂y Px Q ，并且利用格林公式我们可以证明如下定理．定理2 设区域G 是一个单连通域，函数()y x P ,，()y x Q ,在G 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关(或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是y Px Q ∂∂=∂∂ (5) 证 (充分性) 设在G 内任取一条闭曲线C ，要证条件(5)成立时，⎰=+CQdy Pdx 0．因为闭曲线C 所围成闭区域D 全部在G 内，应用格林公式有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂C D QdyPdx dxdy y P x Q .由条件(5)即得右端曲线积分等于0．(必要性) 现在要证：如果沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零，那么在G 内恒有y P x Q ∂∂=∂∂成立．用反证法，假设 y Px Q ∂∂≠∂∂，那么在G 内至少有一点0M 使0)(0≠∂∂-∂∂M y P x Q ．为确定起见，不妨假设00>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ηM y P x Q ．由于x Q ∂∂、y P∂∂在G 内连续，可以在G 内取得一个以0M 为圆心、半径足够小的圆形闭曲域K ，使得在K 上恒有2η≥∂∂-∂∂y P xQ ，于是由格林公式 ση2>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰dxdy y P x Q Qdy Pdx r K 这里r 是K 的正向边界曲线，σ是K 的面积，0>η，0>σ，从而0>+⎰rQdy Pdx这与在G 内沿任意闭曲线的曲线积分为零的假定相矛盾，所以在G 内(5)式处处成立．证毕．注 定理2要求G 是单连通域，且()y x P ,，()y x Q ,在G 内具有一阶连续偏导数，如果这两个条件之一不满足，那么定理结论不能保证成立，如例4．三、二元函数的全微分求积二元函数()y x f u ,=，有全微分公式()()dy y x f dx y x f du y x ,,''+=，对应曲线积分的表达式()()dy y x Q dx y x P ,,+，我们要问()y x P ,，()y x Q ,满足什么条件时，这个表达式也恰好是某个函数()y x u ,的全微分？如果这个二元函数存在，又应该如何求出？定理3 设区域G 是一个单连通域，函数()y x P ,，()y x Q ,在G 内具有一阶连续偏导数，则()()dy y x Q dx y x P ,,+在G 内是某个函数()y x u ,的全微分的充分必要条件是x Qy P ∂∂=∂∂ (5)在G 内恒成立．证 (略)根据这个定理，如果函数()y x P ,，()y x Q ,在单连通域G 内具有一阶连续偏导数，而且满足(5)，那么Q d y P d x+是某个函数的全微分，即存在某个函数()y x u ,，使=du Q d y P d x+，并且这个函数u 可以用曲线积分求出： ()()()⎰+=y x y x QdyPdx y x u ,0,0,. (6)又因为条件(5)，所以这个积分与路径无关，为计算简便，可以选择平行于坐标轴的直线连成的折线RM M 0或SM M 0作为积分路径(图14)．当需要保证这些折线完全位于G 内，于是取RM M 0为积分路径得到()()()dyy x Q dx y x P y x u yy x x ⎰⎰+=0,,,0.若取SM M 0为积分路径得到()()()dxy x P dy y x Q y x u xx y y ⎰⎰+=0,,,0.例5 验证22y x ydx xdy +-在右半平面()0>x 内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数．解 令22y x y P +-=，22y x x Q +=，则()x Q y x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222 在右半平面内恒成立．因此在右半平面内22y x ydxxdy +-是某个函数的全微分，且取积分路径如图15 得()()(),1,02222220220,0arctan arctan .x yAB BCyyxdy ydx xdy ydx xdy ydxu x y x y x y x y xdy y y x y x x ---==+⎰⎰⎰+++⎡⎤=+==⎰⎢⎥+⎣⎦。
格林公式
L
1 ∴ ∫ − y d x + x d y 是 L 所围区域 D 的面积 . 2 L 例1 求椭圆 x = a cos θ , y = b sin θ 所围成图形的面积 A . 1 解 A = ∫ − ydx + xdy 2L 1 2π = ∫ − b sin θ ⋅ d ( a cos θ ) + a cos θ ⋅ d ( b sin θ ) 2 0 2π 1 = ab ∫ dθ = πab. 7 2 0
∂Q ∂P ∵ = ∂x ∂y
y yd x − x d y , 其中 L 为圆 课堂练习 求 ∫ 2 2 L 2( x + y ) P214.3 周 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 2 , L 的方向逆时针 . O l D 所围区域为 解 设 L所围区域为 D . y −x P( x, y) = , Q( x, y) = . 2 2 2 2 2( x + y ) 2( x + y ) x2 − y2 ∂P ∂Q ∵ = = 在 D 内不连续 , ( 0,0 )是奇点 . 2 2 2 ∂ y 2( x + y ) ∂x ∴ D 上不能用格林公式 (见 P 202 定理 1条件 ).
在 D 内作小圆周 l : x 2 + y 2 = r 2方向逆时针 (如图 ).
ydx − xdy 用P 205 第 8 −10 ∫ 2( x 2 + y 2 ) ======== 行的方法得 L
L
x
∫
( 小圆 )
l
y d x − x d y 曲线L上的积分可以化成同 上的积分可以化成同 上的积分. 2 ( x 2 + y 2 ) 方向的小圆周 l 上的积分.
格林公式使用条件
格林公式使用条件1．格林公式当(1)积分曲线为闭曲线L；(2)积分曲线L的方向相对于其围成的封闭区域D以左手法则判定为正方向；(3)在闭区域上，两个二元函数P(x,y)和Q(x,y)存在有一阶连续偏导数，则有【注1】正确使用以上标准格林公式，三个条件：闭曲线、正方向、闭区域上的偏导连续性，一个都不能少。
【注2】格林公式中闭区域的边界曲线不取由左手法则确定的正向，而是取相反的方向时，则借助于对坐标的曲线积分的方向性计算性质，有即不管边界曲线取什么方向，有利用“左手法则”判断为正方向，则取正；否则取负。
【注3】判断平面区域的边界曲线正向的“左手法则”：当沿着边界曲线的正方向行走时，平面区域应该位于我们左手一侧，所以对于单连通区域，即只有外边界曲线的实心区域来说，曲线的正方向为逆时钟方向；对于多连通区域，则边界曲线由内外边界曲线构成，外边界曲线的正方向为逆时钟方向，内边界的边界曲线为顺时钟方向。
【注4】注意封闭曲线切向量方向与外法线方向的关系。
如果切向量方向为T0=(cosα,cosβ)（T=(x’(t),y’(t))），则当曲线的切向量指向为逆时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n0=(cosβ,-co sα)（n=(y’(t),-x’(t))）；当曲线的切向量指向为顺时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n0=(-cosβ,cosα)（n=-(y’(t),-x’(t))）。
即曲线的法向量与切向量的关系为：n=±(y’(t),-x’(t))。
取正号时，法向量为切向量顺时钟旋转90度得到；取负号时，法向量为切向量逆时钟旋转90度得到。
2．利用格林公式计算对坐标的曲线积分的基本思路与步骤依据以上定理，有如下使用格林公式计算关于平面上的积分曲线对坐标的曲线积分计算步骤：第一步：明确被积表达式中的P(x,y)和Q(x,y)函数(dx前面的函数为P(x,y)，dy 前面的函数为Q(x,y)，如果有负号，记得带上负号)。
数学分析格林公式曲面积分的条件
(1)
L1 L1
D
L2
D
L2
L由L1与L2连成
边界曲线L的正向:
L由L1与L2组成
当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
y
证明(1)
若区域 D 既是 X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和 L至 多交于两点.
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通设闭区域d由分段光滑的曲线在d上具有一阶连续偏导数则有qdypdxdxdy其中l是d的取正向的边界曲线公式1叫做格林公式
§3 格林(Green)公式
曲线积分与路径无关的条件
一、区域连通性的分类
二、格林公式
三、简单应用 四、曲线积分与路径无关的定义
Pd x Qd y
Pd x
P( x x, y)x xu u lim P( x x, y ) P( x , y ) lim x x 0 x x 0 u 同理可证 Q( x , y), 因此有 d u P d x Q d y y
x
解
引入辅助曲线 L, L OA AB BO
P 0, Q x 有
应用格林公式,
dxdy xdy
D L
OA xdy AB xdy BO xdy , 由于OA xdy 0,
BO xdy 0,
1 2 xdy dxdy r . AB 4 D
a a 1 2 x dx a . 4 0 6
格林公式的应用
从
Q P x y dxdy D
格林公式
C 不定积分法: u x2 x3 y, x
( x2 x3 y)dx x3 x4 xy C( y),
34
u x C( y), 又 u 1 x,
y
y
x C( y) 1 x, C( y) 1, C( y) y, 原方程的通解为 y xy x3 x4 C .
L P( x, y)dx Q( x, y)dy 0.
证明: 由格林公式得
L
P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
D
Q x
P y
dxdy
0
其中D是L所围平面区域.
（4）对G内的任意一条分段光滑的闭曲线 L,
L P( x, y)dx Q( x, y)dy 0. (1) 曲线积分 L P( x, y)dx Q( x, y)dy 在G内与路径
无关.
证明: 在G内任取两点M0, M1, y 设L1和L2是G内从M0到M1的任 意两条定向曲线, 现要证
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
o
L1
M1
G
M0
L2
x
已知条件是什么?
Pdx Qdy 0
L1 L2
有关定理的说明： (1) 开区域 G 是一个单连通域.
(2) 函数P( x, y), Q( x, y)在 G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可 以上四个等价命题最好用的是
曲线积分 L P( x, y)dx Q( x, y)dy在G内与路
曲线积分与曲面积分-格林公式
注 求原函数 u ( x , y )的常见方法：
(1) 分项组合法； ( 2 ) 特殊路径法，如：折线 法； u( x, y) = ∫ =∫
或
x x0
y G
( x, y) ( x0 , y0 )
P( x, y)dx + Q( x, y)d y
y y0
P ( x , y0 )d x + ∫
Q ( x , y )d y
D
O
L x
解
P = y , Q = 3x − x
3
3
∂Q ∂ P − ) d x d y = ∫∫ [( 3 − 3 x 2 ) − 3 y 2 ]d x d y I = ∫∫ ( ∂x ∂y
D
D
= 3 ∫∫ [1 − ( x 2 + y 2 )]d x d y
D
= 3∫
2π
0
dθ ∫ (1 − ρ 2 ) ρ d ρ
∂Q ∂P ∴ − = 2x − 2x = 0 ∂x ∂ y ∴ 2 xydx + x 2dy = ± ∫∫ 0dxdy = 0 ∫
L D
将曲线积分转化为二重积分
例2 计算 I = ∫ y 3 d x + ( 3 x − x 3 ) d y ,
L
y
其中 L为圆周 x + y = R 的正向.
2
2
2
l
y L
O
l x
xd y − yd x x2 + y2
D1
( 其 中 l − 的方向
=∫
2π 0
r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ dθ 2 r
= 2 π.
取逆时针方向) (注意格林公式的条件)
高数下之---7,格林公式
y
d x ( xy
2 2
3
xe
2 y )d y ,
其中L为圆周 x y 2 x 的正向. 解 P e y , Q xy 3 xe y 2 y
P y
Q x
y
e ,
y
Q x
y
3
y e
3
y
O
. 1
2
x
P y
由格林公式有 I y d x d y 0
5
( x
Q
P y
)d x d y
L P d x Q d y
E
Q x
dxdy
c
d
dy
2( y)
Q x
D
c c
D d
1( y)
dx
y
x 1( y)
d
Q ( x , y )
2( y)
1
dy ( y)
D
B
d
Q ( 2 ( y ), y ) d y
2
P y
19
Q x
P y
D
(
Q x
P y
)d x d y
L P d x Q d y
L
( 1 ) 当 ( 0 , 0 ) D 时，即L为不包围原点
y
的任一闭曲线.
由格林公式
L
xd y yd x x y
2 2
D
0
O
y
x
( 2 ) 当 ( 0 , 0 ) D 时， 即L为包围原点在内的任一
L1
L D
D1
数学分析之格林公式
y
1
A
∂Q ∂ 2 4 = (x + y ) = 2x ∂x ∂x
∂P ∂Q , 即 = ∂y ∂x
1 2 1 4
o
1
x
23 故原式 = ∫0 x dx + ∫0 (1 + y )dy = . 15
区域连通性的分类
为平面区域, 设D为平面区域 如果 内任一闭曲线所围成 为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域 为平面单连通区域, 的部分都属于 则称 为平面单连通区域 否 则称为复连通区域. 则称为复连通区域
∫ Pdx + Qd y
L
与路径无关, 的起点及终点有关. 与路径无关 只与 L 的起点及终点有关 (iii) 是 D 内是某一函数 即 d u( x, y) = P dx + Q d y 的全微分, 的全微分,
∂ P ∂Q (iv) 在 D 内处处成立 . = ∂ y ∂x
(ii) 证明 (i) 设 L , L2 为D 内任意两条由 到B 的有向分段光滑曲 内任意两条由A 1 线, 则
= ∫ F cos α ds − G cos β ds
L
= ∫ F sin(τ , x )ds − G cos(τ , x )ds
L
= ∫ F cos( n, x )ds + G cos( n, y )ds
L
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy D
=∫ P(x, y)dx +Q(x, y)dy
∫∫ (
D
∂Q ∂ P ) dxd y − ∂x ∂ y
D1
D 1
D2
= ∫∫
+ ∫∫
第四章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用
y x
y
Q ( x , y ) dy
0
( x2 , y2 )
y
y
0
Q ( x 0 , y ) dy
x
P ( x , y ) dx
0
此时有
Pdx
( x 1 , y1 )
Qdy u ( x 2 , y 2 ) u ( x 1 , y 1 )
- 19 -
第三节
格林公式及其应用
1 x
(e e
1
) sin 1
2m 3
- 10 -
第三节
格林公式及其应用
例5 计算曲线积分 其中 L 为由点
第 十 章
L ( 2 xye
x
2
) dx ( e
2
x
2
mx ) dy
B ( 1 ,1 ).
B
O ( 0 , 0 ) 沿曲线 y
2x x
y
到点
L
D
解 L 不是一条封闭曲线，
D D
单连通区域
复连通区域
区域D的正向边界： 内边界顺时针。外边界逆时针
-2-
第三节
格林公式及其应用
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
Q P x y d xd y D
4 3 2 2 4
2
Qx
曲 线因此积分与路径无关。 积 4 3 2 2 4 分 ( 5 x 4 xy ) dx ( 6 x y 5 y ) dy L 与 曲 4 3 2 2 4 面 ( 5 x 4 xy ) dx ( 6 x y 5 y ) dy AO 积 分 4 3 2 2 4 ( 5 x 4 xy ) dx ( 6 x y 5 y ) dy
高等数学格林公式及其应用
16
L
Pdx
Qdy
D
(Q x
P y
)dxdy
设L为取正向的圆周x2 y2 9,则曲线积分
(2xy 2 y)dx ( x2 4x)dy ( 18π ). L
解 设P 2xy 2 y, Q x2 4x
由格林公式 P 2x 2, Q 2x 4
y
x
(2xy 2 y)dx ( x2 4x)dy L
y
my ,
Q
ex
cos
y
O
m
•
A(a,0) x
Q ex cos y, P ex cos y m
x
y
可知 Q P m
x y
非常简单.
18
为L应不用闭格合林+公边式L＊再, 使补L充+一L＊段曲线, 使之构成
闭闭曲合线, .再因用在格补林充公的式曲.线上还要算曲线积分, 所以
补充的曲线要简单, 通常是补充与坐标轴平行的 直线段. 因而这里补加直线段 OA. y
Qdy
D
(Q x
P y
)dxdy
计算I e ydx ( xy3 xe y 2 y)dy, L
其中L为圆周 x2 y2 2x 的正向.
解 P e y , Q xy3 xe y 2 y y
P e y , Q y3 e y
y
x
.D
O
1
2x
Q P y3 x y
对称性
由格林公式有 I y3dxdy 0.
解 由格林公式 Q P m
x y
(e x
cos
y
O
m)dy
AOOA
•
A(a,0) x
D
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四、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
y
L1 Pdx Qdy
L
2
Pdx Qdy
o
L1
B
L2
G
A
则称曲线积分 L Pdx Qdy
x
在 G 内与路径无关, 否则与路径有关.
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy
c o
C
x 2 ( y)
x
同理可证
P dxdy L P ( x , y )dx D y
两式相加得
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
3
L D 证明(2) 若区域D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D1 将 D 分成三个既是X 型又是 L Y 型的区域 D1 ,D2 ,D3 .
a a 1 2 x dx a . 4 0 6
格林公式的应用
从
Q P x y dxdy D
证明了：
P ( x, y)dx Q( x, y)dy （格林公式）
L
练习1
计算积分
x x ( e sin y y ) d x ( e cos y 1)dy L
x
解
引入辅助曲线 L, L OA AB BO
P 0, Q x 有
应用格林公式,
dxdy xdy
D L
OA xdy AB xdy BO xdy , 由于OA xdy 0,
BO xdy 0,
1 2 xdy dxdy r . AB 4 D
2. 简化二重积分
y
例 2 计算 e
D
y2
D 是 dxdy ,其中
1Hale Waihona Puke B DA以O ( 0,0), A(1,1), B( 0,1) 为顶点 的三角形闭区域.
o
1
x
解
令 P 0, Q xe
y2
,
Q P y2 e , 则 x y
应用格林公式,有
e D
y2
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
d u P dx Q d y u u P( x, y ), Q ( x, y ) x y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 P Q y x
证明 (4) (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D
由(2)知
Q P ( )dxdy y D x
2 3
G
L3
E
L2
B
A
L1
C F
L EC CGA } ( Pdx Qdy) { AB L BA AFC CE
( L L L )( Pdx Qdy)
2 3 1
L Pdx Qdy
(2) 当(0,0) D 时,
o y
L
x
作位于D 内圆周 l : x y r ,
2 2 2
记 D1 由 L和 l 所围成,
应用格林公式,得
o
l
r
D1
x
xdy ydx xdy ydx L x 2 y 2 l x 2 y 2 0 xdy ydx xdy ydx L x 2 y 2 l x 2 y 2
dxdy
y2
xe OA AB BO
1 0
y2
dy
xe
OA
dy xe
x2
dx
1 1 (1 e ). 2
xdy ydx 例 3 计算 ,其中 L为一条无重 2 2 L x y 点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L
的方向为逆时针方向.
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
二、格林公式
定理1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线
L
围成,函数 P ( x , y )及Q( x , y )在 D 上具有一阶 连续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L是 D 的取正向的边界曲线,
§3 格林(Green)公式
曲线积分与路径无关的条件
一、区域连通性的分类
二、格林公式
三、简单应用 四、曲线积分与路径无关的定义
一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D
D
单连通区域
复连通区域
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
L2
L2
Pd x Qd y
L2
B
L1
Pd x Qd y Pd x Qd y
L1 L 2
Pd x Qd y
A (根据条件(1))
L2
B
Pd x Qd y
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB Pdx Qd y A Pdx Qd y
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y ax x , x [0, a ]表示,
1 A xdy ydx 2 L
1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx 2 2
1 AMO xdy ydx 2
M
A(a ,0)
N
1 0 a a x( 1)dx ( ax x )dx 2 2 ax
3
D2
L2
D
1
L
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy y y D x D D D x
1 2 3
Q P Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy x y x y x y D D D
2 1
c Q( 2 ( y ), y )dy c Q( 1 ( y ), y )dy
y
d
d
CBE Q( x , y )dy CAE Q( x , y )dy d
CBE Q( x , y )dy EAC Q( x , y )dy
E D
x 1 ( y)
L Q ( x , y )dy
y
1 L D
其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。
解
x x ( e sin y y ) d x ( e cos y 1)dy L
②
-1
①
1 x
( e x cos y e x cos y 1) dxdy
D
O
A 2 2 2
③
-1
④
练习2 解
求星形线 L：x cos t , y sin t 所界图形的面积。 Q P y A dxdy d x d y x y 1 D D L 2π 4 2
D
闭区域D 的面积
1 A L xdy ydx . 2
取 P 0, Q x , 得 取 P y , Q 0, 得
A L xdy
A L ydx
x 轴所 例 4 计算抛物线( x y )2 ax (a 0)与 围成的面积.
解 ONA 为直线 y 0 .
L
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
即
在 D 内是某一函数
的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
证明 (1) (2) 设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
L
L1
1
Pd x Qd y
格林公式的实质 :
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
沟通了沿闭曲线的积分
与二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
D
x y dxdy L Pdx Qdy . P Q
三、简单应用
1. 简化曲线积分
例 1 计算
AB
y
A
D
xdy,其中曲
o L
B
线 AB 是半径为 r 的圆 在第一象限部分.
(如图) , 因此在 D上 P Q y x 利用格林公式 , 得
1 2 3
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D
解
D , 记 L 所围成的闭区域为
y x , Q 2 令P 2 , 2 2 x y x y 2 2 Q y x P 2 2 2 则当 x y 0 时, 有 . 2 2 x ( x y ) y
y
(1) 当(0, 0) D 时,
L
D
xdy ydx 0 由格林公式知 L 2 2 x y