数学分析格林公式曲面积分的条件

解
D , 记 L 所围成的闭区域为
y x , Q 2 令P 2 , 2 2 x y x y 2 2 Q y x P 2 2 2 则当 x y 0 时, 有 . 2 2 x ( x y ) y
y
(1) 当(0, 0) D 时,
L
D
xdy ydx 0 由格林公式知 L 2 2 x y
dxdy
y2
xe OA AB BO
1 0
y2
dy
xe
OA
dy xe
x2
dx
1 1 (1 e ). 2
xdy ydx 例 3 计算 ,其中 L为一条无重 2 2 L x y 点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L
的方向为逆时针方向.
c o
C
x 2 ( y)
x
同理可证
P dxdy L P ( x , y )dx D y
两式相加得
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
3
L D 证明(2) 若区域D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D1 将 D 分成三个既是X 型又是 L Y 型的区域 D1 ,D2 ,D3 .
L2
L2
Pd x Qd y
L2
B
L1
Pd x Qd y Pd x Qd y
L1 L 2
Pd x Qd y
A (根据条件(1))

L2
B
Pd x Q源自文库 y
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB Pdx Qd y A Pdx Qd y
y
1 L D
其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。
解
x x ( e sin y y ) d x ( e cos y 1)dy L
②
-1
①
1 x
( e x cos y e x cos y 1) dxdy
D
O
A 2 2 2
③
-1
④
练习2 解
求星形线 L：x cos t , y sin t 所界图形的面积。 Q P y A dxdy d x d y x y 1 D D L 2π 4 2
(2) 当(0,0) D 时,
o y
L
x
作位于D 内圆周 l : x y r ,
2 2 2
记 D1 由 L和 l 所围成,
应用格林公式,得
o
l
r
D1
x
xdy ydx xdy ydx L x 2 y 2 l x 2 y 2 0 xdy ydx xdy ydx L x 2 y 2 l x 2 y 2
3 3

xdy 3 cos t sin tdt•
L
0
12 [cos 4 t cos6 t ]dt
3 1 5 3 1 3 12 4 2 2 6 4 2 2 8 重要意义：
π 2 0
D -1 O
1
x
-1
1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式 4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用 更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。
2. 简化二重积分
y
例 2 计算 e
D
y2
D 是 dxdy ,其中
1
B D
A
以O ( 0,0), A(1,1), B( 0,1) 为顶点 的三角形闭区域.
o
1
x
解
令 P 0, Q xe
y2
,
Q P y2 e , 则 x y
应用格林公式,有
e D
y2
格林公式的实质 :
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
沟通了沿闭曲线的积分
与二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
D
x y dxdy L Pdx Qdy . P Q
三、简单应用
1. 简化曲线积分
例 1 计算
AB
y
A
D
xdy,其中曲
o L
B
线 AB 是半径为 r 的圆 在第一象限部分.
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y ax x , x [0, a ]表示,
1 A xdy ydx 2 L
1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx 2 2
1 AMO xdy ydx 2
M
A(a ,0)
N
1 0 a a x( 1)dx ( ax x )dx 2 2 ax
公式(1)叫做格林公式.
(1)
L1 L1
D
L2
D
L2
L由L1与L2连成
边界曲线L的正向:
L由L1与L2组成
当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
y
证明(1)
若区域 D 既是 X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和 L至 多交于两点.
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
D
B
c
o a
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b} D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
d ( y ) Q Q dxdy c dy ( y ) dx x D x
L
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
即
在 D 内是某一函数
的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
证明 (1) (2) 设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
L
L1
1
Pd x Qd y
Pd x Qd y
Pd x
P( x x, y)x xu u lim P( x x, y ) P( x , y ) lim x x 0 x x 0 u 同理可证 Q( x , y), 因此有 d u P d x Q d y y
(如图) , 因此在 D上 P Q y x 利用格林公式 , 得
2 1
c Q( 2 ( y ), y )dy c Q( 1 ( y ), y )dy
y
d
d
CBE Q( x , y )dy CAE Q( x , y )dy d
CBE Q( x , y )dy EAC Q( x , y )dy
E D
x 1 ( y)
L Q ( x , y )dy
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
二、格林公式
定理1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线
L
围成,函数 P ( x , y )及Q( x , y )在 D 上具有一阶 连续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L是 D 的取正向的边界曲线,

L Pdx Qdy 0.
L L1 ( L2 )
平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 Pd x Qd y 0 .
L
在D 内
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
a a 1 2 x dx a . 4 0 6
格林公式的应用
从
Q P x y dxdy D
证明了：
P ( x, y)dx Q( x, y)dy （格林公式）
L
练习1
计算积分
x x ( e sin y y ) d x ( e cos y 1)dy L
四、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
y
L1 Pdx Qdy
L
2
Pdx Qdy
o
L1
B
L2
G
A

则称曲线积分 L Pdx Qdy
x
在 G 内与路径无关, 否则与路径有关.
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy
D
闭区域D 的面积
1 A L xdy ydx . 2
取 P 0, Q x , 得 取 P y , Q 0, 得
A L xdy
A L ydx
x 轴所 例 4 计算抛物线( x y )2 ax (a 0)与 围成的面积.
解 ONA 为直线 y 0 .
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
d u P dx Q d y u u P( x, y ), Q ( x, y ) x y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 P Q y x
证明 (4) (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D
§3 格林(Green)公式
曲线积分与路径无关的条件
一、区域连通性的分类
二、格林公式
三、简单应用 四、曲线积分与路径无关的定义
一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D
D
单连通区域
复连通区域
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
由(2)知
Q P ( )dxdy y D x
2 3
G
L3
E
L2
B
A
L1
C F
L EC CGA } ( Pdx Qdy) { AB L BA AFC CE
( L L L )( Pdx Qdy)
2 3 1
L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B( x, y )
A( x0 , y0 )
( x x , y ) ( x, y )
C ( x x, y )
则
x u u( x x, y) u ( x, y )

( x x , y ) ( x, y )

2 2 0
y
L
l
D1
o
r
x
r cos 2 r 2 sin2 d 2 r
2 .
( 其 中l 的 方 向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
Q P 格林公式: ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
取 P y , Q x , 得 2 dxdy L xdy ydx
x
解
引入辅助曲线 L, L OA AB BO
P 0, Q x 有
应用格林公式,
dxdy xdy
D L
OA xdy AB xdy BO xdy , 由于OA xdy 0,
BO xdy 0,
1 2 xdy dxdy r . AB 4 D
3
D2
L2
D
1
L
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy y y D x D D D x
1 2 3
Q P Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy x y x y x y D D D