零点存在的判定与证明

零点存在的判定与证明

一、基础知识：

1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。

2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b ∃∈，使得()00f x =

注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在

3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调

4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续） （1）若()()0f a f b ⋅<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点

（2）若()()0f a f b ⋅>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果()f x 单调，那么“一定”没有零点

（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ⋅的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果()f x 单调，则()()f a f b ⋅一定小于0

5、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续

函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b ∈，则()0,x a x ∈时，()0f x <；()

0,x x b ∈时，()0f x >

6、判断函数单调性的方法： （1）可直接判断的几个结论：

① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数 ② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则

()f x -为增函数

③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ⋅为增函数 （2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围）

，若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，

则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异

减”）

（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像 7、证明零点存在的步骤：

（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数

（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间

（4）利用零点存在性定理证明零点存在

例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）

A. 1,02

⎛⎫- ⎪

⎝

⎭

B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝

⎭

C. 1

,12⎛⎫

⎪⎝

⎭

D. 31,2⎛⎫

⎪⎝⎭

思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可

解：12112340

22f e -⎛⎫

⎛⎫-=+⋅--=-< ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，()020f =-<

11

232022

f ⎛⎫=+⋅-=-< ⎪

⎝⎭

()12310f e e =+-=-> ()1102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭ 01,12x ⎛⎫

∴∈ ⎪⎝⎭

，使得

()00f x =

答案：C

例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）

A. 31,2⎛⎫ ⎪

⎝⎭

B. 3,22⎛⎫

⎪⎝⎭ C. ()2,e D. (),e +∞

思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。1x →时，()ln 1x -→-∞，从

而()f x ⇒-∞，313ln 022

2

f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭

，所以031,2x ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

，使得()00f x =

答案：A

小炼有话说：（1）本题在处理1x →时，是利用对数的性质得到其()ln 1x -的一个趋势，从而确定符号。那么处理零点问题遇到无法计算的点时

也要善于估计函数值的取向。

（2）本题在估计出1x →时，()ln 1x -→-∞后，也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明，比如()1

1.1 1.1ln

010

f =+<。正是在已分析清楚函数趋势的前提下，才能保证快速找到合适的例子。 例3：（，浙江）已知0x 是函数()1

21x f x x

=+

-的一个零点，若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则（ ）

A. ()()120,0f x f x <<

B. ()()120,0f x f x <>

C. ()()120,0f x f x ><

D. ()()120,0f x f x >> 思路：条件给出了()f x 的零点，且可以分析出()f x 在()1,+∞为连续的增函数，所以结合函数性质可得()()()()10200,0f x f x f x f x <=>= 答案：B

例4：已知函数()()log 0,1a f x x x b a a =+->≠，当234a b <<<<时，函数

()f x 的零点()0,1,x n n n N *∈+∈，则n =________

思路：由a 的范围和()f x 解析式可判断出()f x 为增函数，所以0x 是唯一的零点。考虑

()3l o g 3

3l o g 3

3

4l o g

a a a f

b =

+->+-=->，()2log 22log 223log 210a a a f b =+-<+-=-<，所以()02,3x ∈，从而2n =

答案：2n =

例5：定义方程()()'f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若()()()()3,ln 1,1g x x h x x x x ϕ==+=-的

“新驻点”分别为,,αβγ，则（ ） A. αβγ>> B. βαγ>> C. γαβ>> D.

βγα>>

思路：可先求出()()()''',,g x h x x ϕ，由“新驻点”的定义可得对应方程为：