11.7导体电介质和磁介质之球形电容器的电容

2 R
2
Q 4πε r 2
-Q Q R0 r
dr E R
所以
4πε R0 R Q2 Q 2 R − R0 Q 1 1 Q dr = . , C= ⋅ ( −= ) = W dW = ∫= ∫ R − R0 2W V 8πε R0 R 8πε R0 R 8πε R0 r 2
{范例11.7} 球形电容器的电容
① 内球半径越大，外球半径 越小，导体的电容就越大。 令R→∞，可得孤立导体的电容C = 4πεR0， 在真空中孤立导体的电容为C = 4πε0R0，
2 εS ②设R – R0 = d，当 C ≈ 4πε R0 =这是平行板电容 器的电容公式。 d很小时，可得 d d
在球形电容器内半径一定时， 外半径越大，电容就越小。
U=
∫
R
R0
E ⋅ ds =
∫
R
R0
Edr=
4πε 4πε R0 R 根据电容的 C Q = = = . 定义可得 U 1/ R0 − 1/ R R − R0
R0
∫
R
Q 1 1 Q ( − ) = dr 2 4πε R0 R 4πε r
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{范例11.7} 球形电容器的电容
两个同心导体球面的内半径为R0，外半径为R，构成球形电 容器，球面间充满介电常数为ε的各向同性的介质。求球形 电容器的电容(内球面也可以用同样半径的球体代替)。 方法二：利用电容能量公式。 E =
根据电场强度公式， 1 2 Q2 we = = εE 电场的能量密度为 2 π 32 2ε r 4 如图所示，在电容器中取一个半径为r， 厚度为dr的球壳，其体积为dV = 4πr2dr，
Q2 该体积的 由于 = we dV dW = dr 能量为 Q2 8πε r 2 W= 2C 电容器的总能量为
在球体中取一个半径为r，厚度为dr的球 壳，其表面积为S = 4πr2，电容的倒数为 R 1 d dr 总电容的 1 1 = 1 ( 1 − 1 ) dr d( = = ) = ∫ C ε S ε 4πr 2 倒数为 4πε R0 R C 4πε R r 2
0
再取倒数 C = 4πε R0 R . 得总电容 R − R0
{范例11.7} 球形电容器的电容
两个同心导体球面的内半径为R0，外半径为R，构成球形电 容器，球面间充满介电常数为ε的各向同性的介质。求球形 电容器的电容(内球面也可以用同样半径的球体代替)。
4πε [讨论] C = 4πε R0 R = 1/ R0 − 1/ R R − R0
-Q Q R0 R
{范例11.7} 球形电容器的电容
两个同心导体球面的内半径为R0，外半径为R，构成球形电 容器，球面间充满介电常数为ε的各向同性的介质。求球形 电容器的电容(内球面也可以用同样半径的球体代替)。 [解析]此题有多种解法。 方法一：利用电容定义公式。 如图所示，使内球面带电+Q，外球面带电-Q，电荷均匀分布 在内球的外表面和外球的内表面上。 -Q S 导体间电场是沿着径向的，取半径为 E r(R0 < r < R)的同心球面为高斯面，根 Q r Q 据高斯定理，场强大小为 E= R0 R 4πε r 2 两球间的电势差为
两个同心导体球面的内半径为R0，外半径为R，构成球形电 容器，球面间充满介电常数为ε的各向同性的介质。求球形 电容器的电容(内球面也可以用同样半径的球体代替)。 方法三：利用电容器串联公式。 把球形电容器中划分为许多同心球壳， 在球壳之间插入无限薄的导体，每两 个导体之间就形成一个电容器，因此， 所有电容器都是串联的。 -Q Q R0 r dr E R