《概率论与数理统计》第七章假设检验.

第七章 假设检验

学习目标

知识目标：

理解假设检验的基本概念小概率原理；掌握假设检验的方法和步骤。 能力目标：

能够作正态总体均值、比例的假设检验和两个正态总体的均值、比例之差的假设检验。

参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利用样本对总体进行某种推断，然而推断的角度不同。参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。而在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出一个假设，然后利用样本数据检验这个假设是否成立，如果成立，我们就接受这个假设，如果不成立就拒绝原假设。当然由于样本的随机性，这种推断只能具有一定的可靠性。本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的一般步骤，然后重点介绍常用的参数检验方法。由于篇幅的限制，非参数假设检验在这里就不作介绍了。

第一节 假设检验的一般问题

关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误

一、假设检验的基本概念

（一）原假设和备择假设

为了对假设检验的基本概念有一个直观的认识，不妨先看下面的例子。 例7.1 某厂生产一种日光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2μN ，从过去的生产经验看，灯管的平均寿命为1550=μ小时，。现在采用新工艺后，在所生产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650小时。问采用新工艺后，灯管的寿命是否有显著提高？这是一个均值的检验问题。灯管的寿命有没有显著变

化呢？这有两种可能：一种是没有什么变化。即新工艺对均值没有影响，采用新工艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。另一种情况可能是，新工艺的确使均值发生了显著性变化。这样，1650=X 和15500=μ之间的差异就只能认为是采用新工艺的关系。究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。假如给定显著性水平05.0=α。

在上面的例子中，我们可以把涉及到的两种情况用统计假设的形式表示出来。第一个统计假设1550=μ表示采用新工艺后灯管的平均寿命没有显著性提高。第二个统计假设1550>μ表示采用新工艺后灯管的平均寿命有显著性提高。这第一个假设称为原假设（或零假设），记为0H ：1550=μ；第二个假设1550>μ称为备择假设，记为1H ：1550>μ。至于在两个假设中，采用哪一个作为原假设，哪一个作为备择假设，要看具体的研究目的和要求而定。假如我们的目的是希望从子样观察值对某一陈述取得强有力的支持，则把该陈述的否定作为原假设，该陈述本身作为备择假设。譬如在上例中，我们的目的当然是希望新工艺对产品寿命确有提高，但又没有更多的数据可以掌握。为此，我们取“寿命没有显著性提高)1550(=μ”作原假设，而以“寿命有显著性提高)1550(>μ”作为备择假设。

（二）检验统计量

假设检验问题的一般提法是：在给定备择假设1H 下对原假设0H 作出判断，若拒绝原假设0H ，那就意味着接受备择假设1H ，否则就接受原假设0H 。在拒绝原假设0H 或接受备择假设1H 之间作出某种判断，必须要从子样),,,(21n X X X 出发，制定一个法则，一旦子样),,,(21n x x x 的观察值确定之后，利用我们制定的法则作出判断：拒绝原假设0H 还是接受原假设0H 。那么检验法则是什么呢？它应该是定义在子样空间上的一个函数为依据所构造的一个准则，这个函数一般称为检验统计量。如上面列举的原假设0H ：)1550(00==μμμ，

那么子样均值X 就可以作为检验统计量，有时还可以根据检验统计量的分布进一步加工，如子样均值服从正态分布时将其标准化，n X Z /0

σμ-=作为检验统计

量，简称Z 检验量。或者在总体方差2σ未知的条件下，n S X t n /0μ-=

作为检验量，

称为t 检验量。

（三）接受域和拒绝域 假设检验中接受或者拒绝原假设0H 的依据是假设检验的小概率原理。所谓小概率原理，是指发生概率很小的随机事件在一次实验中几乎是不可能发生的，根据这一原理就可以作出接受或是拒绝原假设的决定。如，一家厂商声称其某种产品的合格率很高，可以达到99﹪，那么从一批产品（如100件）中随机抽取一件，这一件恰好是次品的概率就非常之小，只有1﹪。如果把厂商的宣称，即产品的次品率仅为1﹪作为一种假设，并且是真的。那么由小概率原理，随机抽取一件是次品的情形就几乎是不可能发生的。如果这种情形居然发生了，这就不能不使人们怀疑原来的假设，即产品的次品率仅为1﹪的假设的正确性，这时就可以作出原假设为伪的判断，于是否定原假设。

接受域和拒绝域是在给定的显著性水平α下，由检验法则所划分的样本空间的两个互不相交的区域。原假设0H 为真时的可以接受的可能范围称为接受域，另一区域是当原假设0H 为真时只有很小的概率发生，如果小概率事件确实发生，就要拒绝原假设，这一区域称为拒绝域（或否定域）。落入拒绝域是个小概率事件，一旦落入拒绝域，就要拒绝原假设而接受备择假设。那么应该确定多大的概率算作小概率呢？这要根据不同的目的和要求而定，一般选择05.0或者01.0，通常用α表示。它说明用多大的小概率来检验原假设。显然α愈小愈不容易推翻原假设，而一旦拒绝原假设，原假设为真的可能性就越小。所以在作假设检验时通常要事先给定显著性水平.α（α-1称为置信水平）。图7-1所示Z 检验时的拒绝域和接受域。

（四）假设检验中的两类错误

由前面已知，假设检验是在子样观察值确定之后，根据小概率原理进行推断的，由于样本的随机性，这种推断不可能有绝对的把握，不免要犯错误。所犯错

H为真时却被拒绝了。这类错误称为弃真误的类型有两类：一类错误是原假设

错误，犯这种错误的概率用α表示，所以也叫α错误或第一类错误。另一类错误H为伪时，却被人们接受而犯了错误。这是一种取伪的错误，这种是指原假设

错误发生的概率用β表示，故也称β错误或第二类错误。在厂家出售产品给消费者时，通常要经过产品质量检验，生产厂家总是假定产品是合格的，但检验时厂家总要承担把合格产品误检为不合格产品的某些风险，生产者承担这些风险的概率就是α，所以α也称为生产者风险。而在消费者一方却耽心把不合格产品误检为合格品而被接受，这是消费者承担的某些风险，其概率就是β，因此第二类错误β也称为消费者风险。正确的决策和犯错误的概率可以归纳为表7.1。

自然，人们希望犯这两类错误的概率愈小愈好。但对于一定的子样容量n，不可能同时做到犯这两类错误的概率都很小。通常的假设检验只规定第一类错误α，即显著性水平，而不考虑第二类错误β，并称这样的检验为显著性检验。

表7.1 假设检验中各种可能结果的概率