第八章 电子的自旋分析
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第八章 电 子 的 自 旋
本章要求
1.掌握电子的内禀属性—自旋的概念。 2.掌握电子的自旋算符和自旋波函数。
教学内容
§1 电子的自旋概念 §2 电子的自旋态和自旋算符
§1 电子的自旋概念
(一)电子自旋的引入
许多实验证实电子具有自旋, 斯特恩(Stern)-盖拉赫(Gerlach)实 验就是其中之一。
1 0
(本征值ħ/2)
1 2
sz
0 1
( 理由? )
(本征值-ħ/2)
(二)电子自旋算符和Pauli矩阵
1. 自旋算符
电子的自旋角动量可用自旋算符 sˆ 描写,它虽
然无经典对应,但作为角动量,应该满足角动量
的一般定义:
分量形式
sˆ sˆ i sˆ
(参见第3章角动量算 符部分)
[Sˆx , Sˆy ] i Sˆz
③ 自旋角动量用自旋算符 sˆ 描写,它无经典对
应,因为不能写成坐标和动量的函数。
那么,电子的自旋算符该如何表示?计及自 旋后,电子的态函数又该如何表示?
§2 电子的自旋态和自旋算符
(一)电子自旋态的描述 考虑自旋后,电子的波函数写为二分量形式:
(r , sz )
(r, )
2
第4个变量
分量形式
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆ x
2iˆ z
ˆ yˆ z ˆ zˆ y 2iˆ x
ˆ zˆ x ˆ xˆ z 2iˆ y
基于σ的对易关系,可以证明σ各分量之间满足:
ˆ xˆ y ˆ yˆ x 0 ˆ yˆ z ˆ zˆ y 0 ˆ zˆ x ˆ xˆ z 0
类似于地球绕太阳的运动,电子一方面绕 原子核运转,相应有轨道角动量,一方面又 有自转(自旋),有自转(自旋)角动量。
其理论主要内容:
(1)每个电子都具有自旋角动量 s ,它在空间任何
方向上的投影只能取两个数值:
sz 2
(2)每个电子都具有自旋磁矩,它与自旋角动量
的关系为:
e s (SI); e s (CGS)
(r , 2 )
自旋向上分量
sz = ħ/2 (1)
自旋向下分量
sz = -ħ/2
(r , 2) 2 自旋向上且位置在r处的概率密度
(r , 2) 2 自旋向下且位置在r处的概率密度
(r , 2) 2 d (r , 2) 2 d
电子自旋向上的总概率 电子自旋向下的总概率
归一化条件
2(r
,
sz
)
2
1
2
(r
,
sz
)
(5)
本征值-ħ/2(自旋向下),本征函数-1/2。
0
1 2
(
r
,
sz
)
(r
,
2
)
,
(sz
) 2
自旋向下的态 — (6)
令
sˆz
2
a
c
b
d
由(3)-(6)式,易知
sˆz
2
1
0
0 1
如何计算 sˆx , sˆy ?
2. Pauli算符
引入Pauli算符ˆ :
电子自旋角动量的z分量sz =±ħ/2;电子 “轨道”角动量的z分量lz = mħ。
二者的朗德因子(g因子)或回转磁比率不同。
自旋运动 “轨道”运动
gs
z
sz
e m
gl
l
lz
e 2m
② 自旋是电子的一种内禀属性,和电子的坐标 以及动量无关,是描述电子运动状态的第四个变 量或自由度。(电子状态变量=空间坐标+自旋)
若自旋和轨道相互作用可以忽略,则电子波函数 可分离变量:
(r, sz ) (r )(sz )
(sz)即是描述自旋态的波函数,其一般形式
(
sz
)
a b
其归一化形式
—自旋波函数
a*
b
*
a b
a
2
b
2
1
来自百度文库
自旋向上的概率
自旋向下的概率
自旋角动量的z分量算符 sˆz 的本征态:
1
2
sz
S2 s(s 1)
2
3 4
2
s1 2
自旋量子数s只有
一个数值
下面先计算 sˆz 。其本征值方程如下(3)和(5)式:
sˆz 1
2 (r ,
sz )
2
1
2 (r ,
sz
)
(3)
本征值ħ/2(自旋向上),本征函数1/2 :
1
(
r
,
sz
)
(
r
,
2
)
,
2
0
(sz
) 2
自旋向上的态 — (4)
sˆz
1
d 1
复数共轭* 共轭态
厄米共轭+
*(r,
) 2
*
(r
,
2
)
1 * (r , 2)
*
(r
,
2
)
(r
(r ,
,) 2 ) 2
d
归一化条件
(r ,
2) 2 (r ,
2)
2
d
1
电子自旋向上 的概率
电子自旋向下 的概率
因此,电子波函数归一化时,必须同时对自旋求和 以及对空间坐标积分。
Z
N
S
实验结论
I. 银原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转
II. 银原子磁矩只有两种取向 即空间是量子化的
处于s态的 银原子
理论分析
设银原子磁矩为 ,非均匀磁场为 B ,方向是
z 向。则原子在外场中的附加势能
U B Bz cos
银原子沿z 方向的受力:
磁矩与磁场 (z轴)之夹角
Fz
U z
(
cos ) Bz
m
mc
( m 电子折合质量 )
自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个值:
z
e 2m
B
(SI)
所以Stern-Gerlach实验中,原子磁矩应该来自于 电子的自旋运动,即自旋磁矩,它在 z 向投影有2个 值,所以观察到2条个分立线。
电子自旋运动的几点说明:
① 电子自旋运动与电子的“轨道”运动不同,主 要表现在两方面:
z
or
z
Bz z
若原子磁矩可任意取向,则 cos 可在 (-1, +1)之间
连续变化,感光板将呈现连续带。但实验结果是出
现两条分立线,对应cos = -1 和+1 。处于s态的银
原子 =0,没有轨道磁矩。那么原子磁矩来自哪里 呢?又如何解释原子的这种空间取向量子化呢?
为了解释实验现象,乌伦贝克(Uhlenbeck) 和古 德斯密特(Goudsmit)于1925年提出电子自旋假设:
[Sˆy , Sˆz ] i Sˆx
(2)
[Sˆz , Sˆx ] i Sˆy
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值,所以
Sˆx , Sˆy, Sˆz 的本征值都是±/2,其平方为[/2]2
Sˆ 2
算符的本征值是
S2
S
2 x
S
2 y
Sz2
3 4
2
仿照
l2 l(l 1) 2
分量形式
sˆ ˆ
2
Sˆ
x
2 ˆ x
Sˆ
y
2 ˆ y
Sˆ z
2 ˆ z
Pauli算符 是否厄米 算符?
Sˆx、Sˆy、Sˆz 的本征值都是±/2,
ˆx、ˆ y、ˆz 的本征值都是±1;
ˆ
x2、ˆ
y2、ˆ
2 z
的本征值都是1 。
即:
2 x
2 y
2 z
1
对易关系
Sˆ Sˆ i Sˆ
ˆ ˆ 2iˆ
本章要求
1.掌握电子的内禀属性—自旋的概念。 2.掌握电子的自旋算符和自旋波函数。
教学内容
§1 电子的自旋概念 §2 电子的自旋态和自旋算符
§1 电子的自旋概念
(一)电子自旋的引入
许多实验证实电子具有自旋, 斯特恩(Stern)-盖拉赫(Gerlach)实 验就是其中之一。
1 0
(本征值ħ/2)
1 2
sz
0 1
( 理由? )
(本征值-ħ/2)
(二)电子自旋算符和Pauli矩阵
1. 自旋算符
电子的自旋角动量可用自旋算符 sˆ 描写,它虽
然无经典对应,但作为角动量,应该满足角动量
的一般定义:
分量形式
sˆ sˆ i sˆ
(参见第3章角动量算 符部分)
[Sˆx , Sˆy ] i Sˆz
③ 自旋角动量用自旋算符 sˆ 描写,它无经典对
应,因为不能写成坐标和动量的函数。
那么,电子的自旋算符该如何表示?计及自 旋后,电子的态函数又该如何表示?
§2 电子的自旋态和自旋算符
(一)电子自旋态的描述 考虑自旋后,电子的波函数写为二分量形式:
(r , sz )
(r, )
2
第4个变量
分量形式
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆ x
2iˆ z
ˆ yˆ z ˆ zˆ y 2iˆ x
ˆ zˆ x ˆ xˆ z 2iˆ y
基于σ的对易关系,可以证明σ各分量之间满足:
ˆ xˆ y ˆ yˆ x 0 ˆ yˆ z ˆ zˆ y 0 ˆ zˆ x ˆ xˆ z 0
类似于地球绕太阳的运动,电子一方面绕 原子核运转,相应有轨道角动量,一方面又 有自转(自旋),有自转(自旋)角动量。
其理论主要内容:
(1)每个电子都具有自旋角动量 s ,它在空间任何
方向上的投影只能取两个数值:
sz 2
(2)每个电子都具有自旋磁矩,它与自旋角动量
的关系为:
e s (SI); e s (CGS)
(r , 2 )
自旋向上分量
sz = ħ/2 (1)
自旋向下分量
sz = -ħ/2
(r , 2) 2 自旋向上且位置在r处的概率密度
(r , 2) 2 自旋向下且位置在r处的概率密度
(r , 2) 2 d (r , 2) 2 d
电子自旋向上的总概率 电子自旋向下的总概率
归一化条件
2(r
,
sz
)
2
1
2
(r
,
sz
)
(5)
本征值-ħ/2(自旋向下),本征函数-1/2。
0
1 2
(
r
,
sz
)
(r
,
2
)
,
(sz
) 2
自旋向下的态 — (6)
令
sˆz
2
a
c
b
d
由(3)-(6)式,易知
sˆz
2
1
0
0 1
如何计算 sˆx , sˆy ?
2. Pauli算符
引入Pauli算符ˆ :
电子自旋角动量的z分量sz =±ħ/2;电子 “轨道”角动量的z分量lz = mħ。
二者的朗德因子(g因子)或回转磁比率不同。
自旋运动 “轨道”运动
gs
z
sz
e m
gl
l
lz
e 2m
② 自旋是电子的一种内禀属性,和电子的坐标 以及动量无关,是描述电子运动状态的第四个变 量或自由度。(电子状态变量=空间坐标+自旋)
若自旋和轨道相互作用可以忽略,则电子波函数 可分离变量:
(r, sz ) (r )(sz )
(sz)即是描述自旋态的波函数,其一般形式
(
sz
)
a b
其归一化形式
—自旋波函数
a*
b
*
a b
a
2
b
2
1
来自百度文库
自旋向上的概率
自旋向下的概率
自旋角动量的z分量算符 sˆz 的本征态:
1
2
sz
S2 s(s 1)
2
3 4
2
s1 2
自旋量子数s只有
一个数值
下面先计算 sˆz 。其本征值方程如下(3)和(5)式:
sˆz 1
2 (r ,
sz )
2
1
2 (r ,
sz
)
(3)
本征值ħ/2(自旋向上),本征函数1/2 :
1
(
r
,
sz
)
(
r
,
2
)
,
2
0
(sz
) 2
自旋向上的态 — (4)
sˆz
1
d 1
复数共轭* 共轭态
厄米共轭+
*(r,
) 2
*
(r
,
2
)
1 * (r , 2)
*
(r
,
2
)
(r
(r ,
,) 2 ) 2
d
归一化条件
(r ,
2) 2 (r ,
2)
2
d
1
电子自旋向上 的概率
电子自旋向下 的概率
因此,电子波函数归一化时,必须同时对自旋求和 以及对空间坐标积分。
Z
N
S
实验结论
I. 银原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转
II. 银原子磁矩只有两种取向 即空间是量子化的
处于s态的 银原子
理论分析
设银原子磁矩为 ,非均匀磁场为 B ,方向是
z 向。则原子在外场中的附加势能
U B Bz cos
银原子沿z 方向的受力:
磁矩与磁场 (z轴)之夹角
Fz
U z
(
cos ) Bz
m
mc
( m 电子折合质量 )
自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个值:
z
e 2m
B
(SI)
所以Stern-Gerlach实验中,原子磁矩应该来自于 电子的自旋运动,即自旋磁矩,它在 z 向投影有2个 值,所以观察到2条个分立线。
电子自旋运动的几点说明:
① 电子自旋运动与电子的“轨道”运动不同,主 要表现在两方面:
z
or
z
Bz z
若原子磁矩可任意取向,则 cos 可在 (-1, +1)之间
连续变化,感光板将呈现连续带。但实验结果是出
现两条分立线,对应cos = -1 和+1 。处于s态的银
原子 =0,没有轨道磁矩。那么原子磁矩来自哪里 呢?又如何解释原子的这种空间取向量子化呢?
为了解释实验现象,乌伦贝克(Uhlenbeck) 和古 德斯密特(Goudsmit)于1925年提出电子自旋假设:
[Sˆy , Sˆz ] i Sˆx
(2)
[Sˆz , Sˆx ] i Sˆy
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 ±/2 两个值,所以
Sˆx , Sˆy, Sˆz 的本征值都是±/2,其平方为[/2]2
Sˆ 2
算符的本征值是
S2
S
2 x
S
2 y
Sz2
3 4
2
仿照
l2 l(l 1) 2
分量形式
sˆ ˆ
2
Sˆ
x
2 ˆ x
Sˆ
y
2 ˆ y
Sˆ z
2 ˆ z
Pauli算符 是否厄米 算符?
Sˆx、Sˆy、Sˆz 的本征值都是±/2,
ˆx、ˆ y、ˆz 的本征值都是±1;
ˆ
x2、ˆ
y2、ˆ
2 z
的本征值都是1 。
即:
2 x
2 y
2 z
1
对易关系
Sˆ Sˆ i Sˆ
ˆ ˆ 2iˆ