北师大版版高考数学一轮复习第三章导数及其应用导数的应用导数与函数的极值最值教学案理

利用导数解决函数的极值问题（多维探究）

角度一根据图象判断函数的极值

设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（１—x）·f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

Ａ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（１）

Ｂ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（１）

Ｃ．函数f（x）有极大值f（２）和极小值f（—２）

Ｄ．函数f（x）有极大值f（—２）和极小值f（２）

【解析】由题图可知，当x<—２时，１—x>３，此时f′（x）>0；当—２２时，１—x<—１，此时f′（x）>0，由此可以得到函数f（x）在x＝—２处取得极大值，在x＝２处取得极小值．【答案】D

错误!

知图判断函数的极值的情况；先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号，最后判断是极大值点还是极小值点．

角度二求函数的极值

（２0２0·湖南省五市十校联考）已知函数f（x）＝ln x—错误!ax２＋x，a∈R.

（１）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（１，f（１））处的切线方程；

（２）令g（x）＝f（x）—（ax—１），求函数g（x）的极值．

【解】（１）当a＝0时，f（x）＝ln x＋x，

则f（１）＝１，所以切点为（１，１），

又f′（x）＝错误!＋１，

所以切线斜率k＝f′（１）＝２，

故切线方程为y—１＝２（x—１），

即２x—y—１＝0．

（２）g（x）＝f（x）—（ax—１）＝ln x—错误!ax２＋（１—a）x＋１，

则g′（x）＝错误!—ax＋（１—a）＝错误!，

当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．

所以g（x）在（0，＋∞）上是增函数，函数g（x）无极值点．

当a＞0时，g′（x）＝错误!

＝—错误!，

令g′（x）＝0得x＝错误!.

所以当x∈错误!时，g′（x）＞0；

当x∈错误!时，g′（x）＜0．

因为g（x）在错误!上是增函数，在错误!上是减函数．

所以x＝错误!时，g（x）有极大值g错误!＝ln错误!—错误!×错误!＋（１—a）·错误!＋１＝错误!—ln a.

综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；

当a＞0时，函数g（x）有极大值错误!—ln a，无极小值．

错误!

利用导数研究函数极值问题的一般流程

角度三已知函数的极值求参数

设函数f（x）＝[ax２—（４a＋１）x＋４a＋３]e x.

（１）若曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线与x轴平行，求a；

（２）若f（x）在x＝２处取得极小值，求a的取值范围．

【解】（１）因为f（x）＝[ax２—（４a＋１）x＋４a＋３]e x，

所以f′（x）＝[ax２—（２a＋１）x＋２]e x.

f′（１）＝（１—a）e.

由题设知f′（１）＝0，即（１—a）e＝0，

解得a＝１．

此时f（１）＝３e≠0．

所以a的值为１．

（２）由（１）得f′（x）＝[ax２—（２a＋１）x＋２]e x＝（ax—１）（x—２）e x.

若a>错误!，则当x∈错误!时，f′（x）<0；

当x∈（２，＋∞）时，f′（x）>0．

所以f（x）在x＝２处取得极小值．

当a≤错误!，则当x∈（0，２）时，x—２<0，ax—１≤错误!x—１<0，

所以f′（x）>0．

所以２不是f（x）的极小值点．

综上可知，a的取值范围是错误!.

错误!

已知函数极值点或极值求参数的两个要领

（１）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

（２）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．

１．（２0２0·安徽毛坦厂中学４月联考）已知函数f（x）＝２ln x＋ax２—３x在x＝２处取得极小值，则f（x）的极大值为（）

Ａ．２Ｂ．—错误!

Ｃ．３＋ln ２Ｄ．—２＋２ln ２

解析：选Ｂ．由题意得，f′（x）＝错误!＋２ax—３，因为f（x）在x＝２处取得极小值，所以f′（２）＝４a—２＝0，解得a＝错误!，

所以f（x）＝２ln x＋错误!x２—３x，f′（x）＝错误!＋x—３＝错误!，

所以f（x）在（0，１），（２，＋∞）上是增加的，在（１，２）上是减少的，

所以f（x）的极大值为f（１）＝错误!—３＝—错误!.故选Ｂ．

２．已知函数f（x）＝ln x.

（１）求f（x）的图象过点P（0，—１）的切线方程；

（２）若函数g（x）＝f（x）—mx＋错误!存在两个极值点x１，x２，求m的取值范围．

解：（１）由题意得，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!.设切点坐标为（x0，ln x0），则切线方程为y＝错误!x＋ln x0—１．

把点P（0，—１）代入切线方程，得ln x0＝0，

所以x0＝１，

所以过点P（0，—１）的切线方程为y＝x—１．

（２）因为g（x）＝f（x）—mx＋错误!＝ln x—mx＋错误!，所以g′（x）＝错误!—m—错误!＝错误!＝—错误!，

令h（x）＝mx２—x＋m，

要使g（x）存在两个极值点x１，x２，

则方程mx２—x＋m＝0有两个不相等的正数根x１，x２.

故只需满足错误!即可，解得0

利用导数研究函数的最值（师生共研）

（２0１9·高考全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝２x３—ax２＋b.

（１）讨论f（x）的单调性；

（２）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，１]的最小值为—１且最大值为１？若存在，求出a，b 的所有值；若不存在，说明理由．

【解】（１）f′（x）＝6x２—２ax＝２x（３x—a）．