乘法公式综合复习讲义(按知识点)

乘法公式综合复习讲义（按知识点）

1．平方差公式

(1)平方差公式的推导：

因为(a ＋b )(a －b )＝a 2－ab ＋ab －b 2＝a 2－b 2，

所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.

(2)语言叙述：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

(3)公式的特点：

①公式中的a 和b 可以是实数，也可以是单项式或多项式；

②公式的左边是两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积，公式的右边是这两个数(式)的平方差(先平方后作差)．

警误区 平方差公式的特征 利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了．

【例1】 利用平方差公式计算．

(1)(2a ＋3b )(－2a ＋3b )；(2)503×497.

分析：(1)可直接运用平方差公式进行计算．(2)题可经过适当变形，把503写成(500＋3),497写成(500－3)，就能利用公式来计算了．

解：(1)(2a ＋3b )(－2a ＋3b )＝(3b )2－(2a )2

＝9b 2－4a 2.

(2)503×497＝(500＋3)(500－3)＝5002－32＝250 000－9＝249 991.

解技巧 平方差公式的理解和应用 要注意辨别因式中哪些相当于公式中的a (完全相同的部分)，哪些相当于公式中的b (符号不同的部分)．

2．完全平方公式

(1)两数和的完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；

两数差的完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.

(2)语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．

(3)公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同．

析规律 完全平方公式的特征 完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．

【例2】 计算：

(1)(4m ＋n )2；

(2)(y －12

)2； (3)(－a －b )2；

(4)(－2a ＋12

b )2. 解：(1)(4m ＋n )2＝(4m )2＋2×4m ·n ＋n 2＝(4m )2＋8mn ＋n 2＝16m 2＋8mm ＋n 2；

(2)(y －12)2＝y 2－2×y ×12＋(12

)2 ＝y 2－y ＋14

； (3)(－a －b )2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；

(4)(－2a ＋12

b )2 ＝(－2a )2＋2×(－2a )×(12b )＋(12

b )2 ＝4a 2－2ab ＋14

b 2. 3．添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．

警误区 添括号法则的易错点 添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a －b ＋c ＝a －(b ＋c )，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．

【例3】 填空：(1)(x －y ＋z )(x ＋y －z )

＝[x －( )][x ＋( )]；

(2)(x ＋y ＋z )(x －y －z )

＝[x ＋( )][x －( )]．

答案：(1)y －z y －z (2)y ＋z y ＋z

4．平方差公式、完全平方公式的推导

从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式．

(1)“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式．

(2)“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式．

5．添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用

添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单．

【例4】 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________．

解析：左上图的阴影部分的面积为a 2－b 2

，因为右上图为梯形，梯形的高为(a －b )，所以阴影部分的面积为(2a ＋2b )(a －b )÷2＝(a ＋b )(a －b )．

答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2

【例5】 利用乘法公式计算：(a ＋b ＋c )(a －b －c )．

分析：可将(a ＋b ＋c )用添括号变形为[a ＋(b ＋c )]，再把(a －b －c )变形为[a －(b ＋c )]，然后先用平方差公式，再用完全平方公式计算即可．

解：(a ＋b ＋c )(a －b －c )＝[a ＋(b ＋c )][a －(b ＋c )]

＝a 2－(b ＋c )2＝a 2－(b 2＋2bc ＋c 2)

＝a 2－b 2－2bc －c 2.

6．运用乘法公式解探索规律题

解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律． 这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用．

【例6】 观察下列各式的规律：

12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；