乘法公式综合复习讲义(按知识点)
乘法知识点公式总结
乘法知识点公式总结一、乘法知识点总结1. 乘法的基本概念乘法是数学中的基本运算法则之一，它是将两个数相乘得到积的过程。
在乘法运算中，我们把要相乘的两个数分别称为乘数和被乘数，它们的乘积称为积。
例如，3 × 4 = 12，其中3和4分别是乘数和被乘数，12是它们的积。
2. 乘法的性质（1）交换律：a × b = b × a乘法的交换律是指乘数和被乘数的位置可以交换，积不变。
例如，3 × 4 = 4 × 3 = 12。
（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)乘法的结合律是指乘数之间可以结合起来，先乘两个数再乘第三个数的积等于先乘第二个数再乘这个积。
（3）分配律：a × (b + c) = a × b + a × c乘法对加法的分配律是指一个数乘一个括号中的两个数，等于这个数分别乘这两数后再加和。
（4）单位元：任何数乘以1等于它本身。
a × 1 = a， 1 × a = a。
3. 乘法的运算法则（1）乘法的口诀乘法的口诀是指用来记忆乘法表的方法，例如1乘到9的乘法口诀表为：```1 × 1 = 1 1 ×2 = 2 1 ×3 = 3 ... 1 × 9 = 92 × 1 = 2 2 × 2 = 4 2 ×3 = 6 ... 2 × 9 = 18...9 × 1 = 9 9 × 2 = 18 9 × 3 = 27 ... 9 × 9 = 81```通过口诀表，可以帮助孩子们快速记忆乘法表。
（2）乘法的计算方法乘法的计算方法有竖式、横式等多种，不同的计算方法适用于不同的题目，掌握多种计算方法可以帮助孩子更加灵活地运用乘法知识。
乘法公式的讲义
一、知识回顾计算下列各式（1）（－x ＋2x 2＋5）＋（－3＋4x 2－6x ） (2)107×104； （3） ()()()y x x y y x -⋅-÷-48(4)x 2·x 5． （5）2（x 2）n －（x n ）2 （6）[（x 2）3]7_____(___)(__)(__))52(2222=⋅⋅=-pq 二、平方差公式 公式： ________________________语言叙述：两数的 。
公式结构特点：左边： ______右边：熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。
(5+6x)(5-6x)中 ____ 是公式中的a ， ___________ 是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中 _____ 是公式中的a ， __________ 是公式中的b(x-2y)(x+2y)中 ______ 是公式中的a ， ______ 是公式中的b(-m+n)(-m-n)中 ________ 是公式中的a ， _______ 是公式中的b（a+b+c ）(a+b-c)中 _____ 是公式中的a ， ______ 是公式中的b（a-b+c ）(a-b-c)中 _____ 是公式中的a ， _______ 是公式中的b（a+b+c ）(a-b-c)中 ______ 是公式中的a ， _______ 是公式中的b填空：1、(2x-1)( )=4x 2-12、(-4x+ )( -4x)=16x 2-49y 2第一种情况：直接运用公式1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (2x+12)(2x-12) 6. (a+2b)(a-2b) 7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)第二种情况：运用公式使计算简便1、1998×20022、498×5023、999×10014、1.01×0.995、30.8×29.26、（100-13）×（99-23） 7、（20-19）×（19-89）第三种情况：两次运用平方差公式1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.(x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式公式：语言叙述：两数的 。
乘法公式知识点归纳总结
乘法公式知识点归纳总结一、乘法的基本概念1. 乘法的定义乘法是指将两个数相乘得到一个结果的运算。
乘法的结果称为积，被乘数和乘数称为因数。
2. 乘法的表示方式乘法可以用符号“×”表示，例如：3×4=12，表示3和4相乘得到12。
3. 乘法的运算规律乘法满足交换律、结合律和分配律。
- 交换律：a×b=b×a- 结合律：(a×b)×c=a×(b×c)- 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c4. 乘法的倍数和因数在乘法中，被乘数叫做被乘数，乘数叫做乘数，积叫做乘积。
被乘数的倍数是由被乘数乘以一个数所得的积。
因数是能整除给定数的数，除数是商的因数，商是被除数的倍数。
5. 乘法的逆运算乘法的逆运算是除法。
在乘法中，将积除以一个因数所得的商就是被除数。
二、乘法的性质1. 乘法的奇偶性两个奇数的积是奇数，一个奇数和一个偶数相乘得到的积是偶数，两个偶数相乘得到的积也是偶数。
2. 乘法的零乘性质任何数与0相乘得到的积都是0。
3. 乘法的幂运算乘法运算中，相同的因数相乘多次，可以使用幂的形式表示。
例如：a的n次方，表示n个a相乘的结果。
4. 乘法的乘方运算乘方运算是一种特殊的乘法运算，指的是一个数自己相乘多次。
例如：2的3次方，表示2乘以自己三次，结果为8。
三、乘法的特殊情况1. 乘法中的0任何数与0相乘的结果都是0。
这是乘法运算的一个特殊情况。
2. 乘法中的1任何数与1相乘的结果都是这个数本身。
这也是乘法运算的一个特殊情况。
3. 乘法中的相同因数相乘相同因数相乘得到的积，可以用幂的形式表示。
例如：a×a=a的2次方。
4. 乘法中的倒数非零数的倒数与原数相乘得到1。
例如：2的倒数为1/2，2乘以1/2等于1。
四、乘法的应用1. 乘法在计算中的应用乘法在计算中的应用非常广泛，可以用于数学题目、实际计算、建模等各个领域。
14.2 乘法公式讲义 学生版
14.2 乘法公式教学目标（1）经历探索平方差公式，完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．（2）会推导平方差公式，完全平方公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．（3）了解平方差公式，完全平方公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．重难点分析教学重点：公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．教学难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．理解公式的结构特征，并灵活应用公式知识点一：平方差公式（重点）（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a-b）=a2-b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；①右边是相同项的平方减去相反项的平方；①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；①对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．【例题】下列算式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣2x﹣1）（﹣2x﹣1）C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）【变式1】已知是方程的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（）A．25B．45C．﹣25D．﹣45【变式2】已知a2﹣4b2=12，且a﹣2b=﹣3，则a+2b=．（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b²可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；①右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；①对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；①对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．【例题】已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（）A．1B．﹣C．±1D．±【变式1】将9.52变形正确的是（）A．9.52=92+0.52B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52D．9.52=92+9×0.5+0.52【变式2】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘方（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64的展开式中第三项的系数为（）A．2016B．2017C．2018D．2019（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．（2）去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；①a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号．说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；①去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．【例题】下列变形中，不正确的是（）A．a﹣b﹣（c﹣d ）=a﹣b﹣c﹣d B．a﹣（b﹣c+d ）=a﹣b+c﹣dC．a+b﹣（﹣c﹣d ）=a+b+c+d D．a+（b+c﹣d ）=a+b+c﹣d【变式1】已知a﹣b=﹣3，c+d=2，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（）A．1B．5C．﹣5D．﹣1【变式2】在横线内填上恰当的项：ax﹣bx﹣ay+by=（ax﹣bx）﹣（）．拓展点一：乘法公式的应用【例题】利用乘法公式计算：98²【变式1】利用平方差公式计算：30.1×29.9．【变式2】写出计算结果：（x﹣1）（x+1）=（x﹣1）（x2+x+1）=（x﹣1）（x3+x2+x+1）=根据以上等式进行猜想，可得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）=．拓展点二：完全平方公式的变形应用【例题】已知x+y=10，xy=5，求x2+y2的值．【变式1】已知x2﹣3x+1=0，求（1）；（2）．【变式2】已知x+=4，求x﹣的值．拓展点三：数形结合问题【例题】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积=（上底+下底）×高）．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．【变式1】已知一个长方体的长为2a，宽也是2a，高为h．（1）用a、h的代数式表示该长方体的体积与表面积．（2）当a=3，h=时，求相应长方体的体积与表面积．（3）在（2）的基础上，把长增加x，宽减少x，其中0＜x＜6，问长方体的体积是否发生变化，并说明理由．【变式2】如图所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．（1）请用字母a和b表示出图中阴影部分的面积；（2）将阴影部分还能拼成一个长方形，如图乙这个长方形的长和宽分别是多少？表示出阴影部分的面积；（3）比较（1）和（2）的结果，可以验证平方差公式吗？请给予解答．拓展点四：乘法公式的实际应用【例题】已知一块“十字型”纸板如图，请画出一个面积和这块纸板面积相等的长方形，并指出此长方形的长和宽．【变式1】原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积．【变式2】如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义．易错点一：平方差公式中没有找准a与b【例题】已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．【变式1】计算：（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）【变式2】运用乘法公式计算：（a﹣b﹣3）（a﹣b+3）．易错点二：完全平方公式中某些系数漏掉平方【例题】如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=．【变式1】一个二次三项式的完全平方式是4x4+4x3+ax2﹣6x+b，求这个二次三项式．【变式2】如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值．易错点三：运用完全平方公式时丢掉中间乘积或系数“2倍”【例题】运用乘法公式计算（a﹣2）2的结果是（）A．a2﹣4a+4B．a2﹣2a+4C．a2﹣4D．a2﹣4a﹣4【变式1】若n满足（n﹣1）2+（2﹣n）2=1，则（n﹣1）（2﹣n）=（）A．﹣1B．0 C．D．1【变式2】若a+b=，a﹣b=，则ab=．。
乘法公式综合复习讲义
乘法公式综合复习讲义乘法公式是数学中常用的运算法则，它可以用于进行乘法运算。
下面将按知识点进行综合复习乘法公式。
1.乘法的交换律：乘法运算中，两个数的乘积不受它们的顺序影响，即a×b=b×a。
例如，2×3=3×2=62.乘法的结合律：乘法运算中，三个或更多个数相乘，可以任意改变它们的顺序，结果保持不变，即(a×b)×c=a×(b×c)。
例如，(2×3)×4=2×(3×4)=243.乘法的分配律：乘法运算中，一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个数，再将结果相加，即a×(b+c)=a×b+a×c。
例如，2×(3+4)=2×3+2×4=144.平方公式：将一个数平方，等于这个数乘以它本身，记作a^2=a×a。
例如，5^2=5×5=255.平方差公式：两个数的乘积等于它们的平方和减去它们的平方差，记作a×b=(a+b)×(a-b)。
例如，6×4=(6+4)×(6-4)=60。
6. 二次方差公式：两个数的平方和等于它们的平方差加上它们的乘积的两倍，记作 a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab。
例如，3^2 + 4^2 = (3 + 4)^2 - 2 × 3 × 4 = 49 - 24 = 257.乘法的倒数公式：一个非零数的倒数等于它的倒数乘以它自己，等于1，记作a×(1/a)=1、例如，2×(1/2)=18.乘法的零律：任何数与0相乘，结果都为0，即a×0=0。
例如，7×0=0。
9.乘法的单位元素：任何数与1相乘，结果都等于它自己，即a×1=a。
例如，6×1=610.乘法的负数规律：一个数与它的相反数相乘，结果为负数，即a×(-b)=-(a×b)。
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题及答案(师)
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。
乘法公式知识点梳理
乘法公式知识点梳理乘法公式是数学中常用的一种运算法则，它用于求解数的乘积。
乘法公式包含了一些常用的模式，可以提高计算乘法的效率。
以下是对乘法公式的知识点进行梳理。
一、基本乘法公式1.乘法的结合律：乘法满足结合律，即a*(b*c)=(a*b)*c，任意三个数的乘法运算结果不受括号位置的影响。
2.乘法的交换律：乘法满足交换律，即a*b=b*a，任意两个数的乘法运算结果不受顺序的影响。
3.乘零律：任何数与零相乘，结果为零，即a*0=0。
4.乘一律：任何数与一相乘，结果为其本身，即a*1=a。
5.乘法分配律：乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c，用于将括号内部的乘法运算分布到括号外的加法运算中。
二、特殊乘法公式1.平方：一个数自身乘以自身等于它的平方，即a*a=a^22.相同数相乘：相同的两个数相乘，结果等于这个数的平方，即a*a=a^23.倍数相乘：任意数与它的倍数相乘，结果等于这个数乘以倍数，即a*n=n*a。
4.零乘任意数等于零：零与任意数相乘，结果都等于零，即0*a=0。
5.倒数相乘等于一：一个数与它的倒数相乘等于一，即a*(1/a)=16.乘方运算：乘方是指一个数的连乘积的运算，表示为a^n，其中a为底数，n为指数。
乘方运算可以用于表示重复乘法、面积和体积等问题。
三、乘法规律1.指数相加：相同底数的指数相加，底数保持不变，指数相加，即a^m*a^n=a^(m+n)。
2.倍数相乘：两个数的乘积与其中一个因数的倍数相乘，结果等于乘积与该因数相同倍数的乘积，即a*b=(n*a)*b=a*(n*b)。
3.乘方相乘：两个乘方相乘，底数相乘，指数相加，即(a^m)*(a^n)=a^(m+n)。
四、应用举例乘法公式不仅适用于两个数的乘法，还可以用于解决更复杂的问题。
以下是几个与乘法公式相关的应用举例：1.多项式的乘法：多项式的乘法运算可以利用乘法分配律和结合律，将多项式展开成一系列乘法运算的和。
【精品讲义】人教版八年级上册数学乘法公式讲义知识点讲解+练习题
1、同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加。
即（疋（咏n都是正整数）注：底数可以是单项式，也可以是多项式：底数不同的幕相乘，不能用该法则：不要忽视指数为1的因数:三个或三个以上同底数幕相乘时，也具有这一性质；该法则可以逆用，即严=屮 7（m、n都是正整数）2、幕的乘方法则：幕的乘方，底数不变，指数相乘。
即__________________________注：不要将幕的乘方与同底数幕的乘法混淆，幕的乘方运算转化为指数的乘法壳牌（底数不变）.同底数幕的乘法运算转化为指数的加法运算（底数不变九在形式上，底数本身就是一个幕，底数为多项式时，应视为一个整体，切忌分开；幕的乘方法则可进一步推广为：= ______________________ （M、N、P都是正整数）该法则可逆用，即______________________3、积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘。
即（ab）n = a tl b n（N 为正整数）。
注：法则中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式：运用该法则时，注意系数为-1时的号的确左：三个或三个以上因式的乘方，也具有这一性质：该法则可逆用，即_________________ ,逆向运用可将算式灵活性变形或简化讣算。
单项式的乘法1、单项式乘单项式法则：把它们的系数、同底数分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为枳的因式。
积的系数等于各因式系数的积，注意相乘时积的符号；相同字母相乘，要运用同底数幫的乘法，即底数不变，指数相加：2、单项式乘多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单位项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；积的符号由单项式的符号与多项式的符号同时决定的；对于混合运算，应注意运算顺序，先算积的乘方与幕的乘方，再算乘法，最后有同类项要合并，使所得的结果是要最简。
多项式的乘法：多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
乘法公式复习课件ppt
变式：若 a b 3, ab 1 ， 求 ab
(a-b)2=(a+b)2-4ab=9-4=5
A （1）如果a+
1
a
=3,则
a2+
1
a2
=(
)
(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11
解：
因为
a+
Hale Waihona Puke 1a=3所以
(a+
1
a
2
)
=9
所以
a2 + 2 +
1
a2
=9
故
a2+
1
a2
=7
已知(n-2015)2+(2016-n)2=2,求 (n-2015)(2016-n)的值
一、回忆公式
(1) 平方差公式: (a+b)（a-b）= a²-b²
（2）完全平方公式： （a+b）²= a²+2ab+b² （a-b）²= a²-2ab+b²
二．揣摩公式
1. 平方差公式 (a+b) (a-b)=a2-b2
左边：两个二项式相乘，两项相同， 另两项相反
右边：（相同项）2—（相反项）2.
(x+y)2=x2+2xy+y2
2xy=(x+y)2-(x2+y2)
2. 己知x-y=4 , xy=21 ,则 x2+y2 的值等于多少？
(x-y)2=x2-2xy+y2
x2+y2=(x-y)2+2xy
x+y x2+y2 xy x-y
(x+y)2+(x-y)2=2(x2+y2) (x+y)2-(x-y)2=4xy
《乘法公式》复习课件
练习2： （1）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。
（2）已知 a b 4，ab 5 ，求 a2 b2 的值。
（3）已知
x1 3 x
，求
(x 1)2 x
，x4
1 x4
的值。
活动四、中考与乘法公式
x 1x 1 x2 1
x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x3 x2 x 1 x4 1
由猜想到的规…律…可得
x 1 xn xn1 xn2 … x 1 ____________。
活动二、乘法公式的用法：
例1：运用乘法公式计算：
(-1+3x)(-1-3x)
通常先提出负号， 以避免负号多带来的麻烦。
(1+3a 4b)(1 4b 3a)
(x 1)(x2 1)(x+ 1)
2
42
改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项 的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.
分析：由已知等式观察可知，结果为 xn+1-1
练习3： （1）已知 1－4x＋kx2 是一个完全平方式，则k等于
() A、2 B、±2 C、4 D、±4
（2）如果36x2－mxy＋49y2是一个完全平方式，则m 等于 ( ) A、42 B、±42 C、84 D、±84
知识巩固
例4 计算：
(1) (x 1)(x 1) (2x 1)(2x 1) (x 1)2； (2) (m 2)(m 2) 2(m 2)2 (m 3)2； (3) (x 1)2 (x 1)2 (x2 1)2.
专题08 乘法公式(知识点串讲)(解析版)
专题08乘法公式知识网络重难突破知识点一完全平方公式1、完全平方公式222+=++a b a ab b()2222-=-+()2a b a ab b文字语言：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍．速记口诀首平方，尾平方，乘积2倍放中央，符号确定看前方。
注意：①两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；②公式的拓展：公式中的a ，b 可以是数，也可以是单项式或多项式；③完全平方公式的变形公式：222()2a b a b ab+=+- 222()2a b a b ab+=-+ 2222()()ab a b a b =+-+2222()()ab a b a b =+--224()()ab a b a b =+--2、完全平方公式的几何意义图① 图②表示图①中大正方形的面积，可以得到：222()2a b a ab b +=++表示图②中左下正方形的面积，可以得到：222()2a b a ab b -=-+3、利用完全平方公式进行简便运算典例1（2019春•宝应县期末）已知关于x 的二次三项式29x mx ++是一个完全平方式，则m 的值是()A ．3±B ．6±C ．9±D ．12± 【解答】解：关于x 的二次三项式29x mx ++是一个完全平方式，2136m ∴=±⨯⨯=±．故选：B ．典例2（2019春•滨湖区期中）已知：2x y +=，3xy =-，则22x y +的值( )A ．10B ．3C ．16D ．4【解答】解：2x y +=，3xy =-，∴原式2()24610x y xy =+-=+=，故选：A ．典例3（2019春•姑苏区期中）用四个完全一样的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是121，小正方形的面积是9，若用a ，b 分别表示矩形的长和宽()a b >，则下列关系中不正确的是( )A ．11a b +=B ．3a b -=C ．28ab =D ．22121a b +=【解答】解：由题意得，大正方形的边长为11，小正方形的边长为3，11a b ∴+=，3a b -=，22()()33a b a b a b ∴+=+-=，7a =，4b =，28ab ∴=，故选：D ．典例4（2019春•常熟市期末）对于代数式：222x x -+，下列说法正确的是( )A ．有最大值1B ．有最小值1C ．有最小值2D ．无法确定最大最小值【解答】解：222x x -+2211x x =-++2(1)1x =-+， 2(1)0x -，2(1)11x ∴-+，即222x x -+有最小值1，故选：B ．知识点二 平方差公式1、公式的推导2222()()a b a b a ab ab b a b +-=-+-=-2、两种表达方式数学语言：22()()a b a b a b +-=-；文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．注意：①平方差公式适用于两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项只是符号相反，计算结果是相同项的平方减去相反项的平方；②运用公式时，关键是确定公式中的a 和b ，完全相同的项是a ，符号相反的项是b ，然后再套用公式； ③公式的拓展：公式中的两个二项式相乘可以拓展到两个多项式相乘，只要满足有完全相同的部分，其余部分正好符号相反即可套用平方差公式．3、平方差公式的几何意义22()()a b a b a b+-=- 4、利用平方差公式进行简便运算典例1（2019春•玄武区校级期中）下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是( )A ．(2)(2)a b b a +-B ．()()x b x b --+C ．()()a b b a --D ．()()22x x y y +- 【解答】解：A 、(2)(2)a b b a +-，不符合平方差公式，故此选项错误；B 、()()()()x b x b x b x b --+=-++，不符合平方差公式，故此选项错误；C 、()()()()a b b a a b a b --=---，不符合平方差公式，故此选项错误；D 、()()22x x y y +-，符合平方差公式，故此选项正确；故选：D ．典例2（2018秋•涟水县期中）如图，边长为(4)a +的正方形纸片剪出一个边长为a 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（无缝隙，不重叠），若拼成的矩形一边长为4，则另一边长是（ ）A ．4a +B ．8a +C ．24a +D ．28a +【解答】解：依题意得剩余部分面积为：2222(4)816816a a a a a a +-=++-=+，拼成的矩形一边长为4，∴另一边长是(816)424a a +÷=+．故选：C ．典例3（2019春•宿豫区期中）计算：2201920182020-⨯= ．【解答】解：原式222222019(20191)(20191)2019(20191)2019201911=--⨯+=--=-+=，故答案为：1典例4（2019春•滨湖区期中）[问题1]在学完平方差公式后，小滨出示了一串呈“数字”链的计算题：248(21)(21)(21)(21)++++小梅根据算式的特点，结合平方差公式，发现：只要在算式最前面添上一个“引线”一一数字1，就可用平方差公式，像点鞭炮一样依次“点燃”整个“数字”链．（1）请根据小梅的思路，求出这个算式的值．（2）计算：248161(31)(31)(31)(31)(31)2++++++．【解答】解：（1）原式248(21)(21)(21)(21)(21)=-++++2248(21)(21)(21)(21)=-+++448(21)(21)(21)=-++88(21)(21)=-+1621=-；（2）原式2481611(31)(31)(31)(31)(31)(31)22=+-+++++ 22481611(31)(31)(31)(31)(31)22=+-++++ ⋯3211(31)22=+- 32132=⨯．知识点三 整式计算及化简求值化简求值的一般步骤：第一步：运用相关的乘法公式将代数式展开；第二步：寻找代数式中的同类项，合并成最简形式；第三步：将字母的值代入化简后的代数式，并计算得出结果．典例1（2019春•常州期中）下列计算正确的是( )A ．22(2)(2)4x y x y x y ++=+B ．22(2)4x x -=-C ．2(2)(3)6x x x x +-=+-D ．2(1)(1)1x x x ---=-【解答】解：22(2)(2)44x y x y x xy y ++=++，A 错误；22(2)44x x x -=-+，B 错误；2(2)(3)6x x x x +-=--，C 错误；2(1)(1)1x x x ---=-，D 正确；故选：D ．典例2（2019春•徐州期末）先化简，再求值：225()(2)(3)a a b a b a b -++--，其中3a =-，15b =． 【解答】解：原式222225544965a ab a ab b a ab b ab =-+++-+-=，当3a =-，15b =时，原式3=-．典例3（2019春•张家港市期末）若7a b +=，且(2)(2)2a b --=．（1）求ab 的值．（2）求223a ab b ++的值．【解答】解：（1）7a b +=，且(2)(2)2()42a b ab a b --=-++=，1442ab ∴-+=， 解得：12ab =；（2）7a b +=，12ab =，∴原式2()491261a b ab =++=+=．巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2019春•无锡期末）计算(3)(3)a b a b +-的结果为( )A ．229a b -B ．229b a -C ．2296a ab b --D ．2296a ab b -+【解答】解：(3)(3)a b a b +-22(3)a b =-229a b =-故选：A ．2．（2019春•姑苏区期末）下列运算正确的是( )A ．33a a a =B ．632a a a ÷=C ．22(2)4a a -=-D ．2(3)(2)6a a a a -+=--【解答】解：A 、原式4a =，不符合题意；B 、原式3a =，不符合题意；C 、原式244a a =-+，不符合题意；D 、原式26a a =--，符合题意，故选：D ．3．（2019春•天宁区校级期中）下列运算中，正确的是( )A ．222()x y x y -=-B ．2(2)(3)6x x x +-=-C ．22211(2)2424x y x xy y +=++D ．22(2)(2)4y x y x y x -+-=-【解答】解：A 、222()2x y x xy y -=-+，故此选项不合题意；B 、2(2)(3)6x x x x +-=-+，故此选项不合题意；C 、22211(2)2424x y x xy y +=++，故此选项符合题意；D 、22(2)(2)44y x y x y xy x -+-=-+-，故此选项不合题意；故选：C ．4．（2019春•淮安区期末）若多项式291x mx ++是一个含x 的完全平方式，则m 等于（）A ．6B ．6或6-C ．9D ．9或9- 【解答】解：多项式291x mx ++是一个含x 的完全平方式，6m ∴=±，故选：B ．5．（2019春•江阴市期中）24323(21)(21)(21)1++⋯++计算结果的个位数字是( )A ．4B ．6C ．2D ．8【解答】解：原式22432(21)(21)(21)(21)1=-++⋯++44832(21)(21)(21)(21)1=-++⋯++64211=-+642=；122=，224=，328=，4216=，个位数按照2，4，8，6依次循环，而64164=⨯，∴原式的个位数为6．故选：B ．6．（2018秋•沛县期末）如图，从边长为(4)a cm +的大正方形纸片中剪去一个边长为(1)a cm +的小正方形(0)a >，剩余部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（不重盘无縫隙），则矩形的面积为( )A ．2(25)a a cm +B ．23(25)a cm +C ．23(21)a cm +D ．2(21)a a cm +【解答】解：矩形的面积是22(4)(1)a a +-+81621a a a a =++---615a =+．故选：B ．二、填空题（共5小题）7．（2019春•鼓楼区期中）已知2a b +=，1a b -=-，则22a b -= ．【解答】解：因为2a b +=，1a b -=-，则22()()2(1)2a b a b a b -=+-=⨯-=-，故答案为：2-．8．（2019春•玄武区期中）计算：2201920172021-⨯= ．【解答】解：2201920172021-⨯22019(20192)(20192)=--+222201920192=-+4=．故答案为：4．9．（2019春•泰兴市期中）已知2()20x y +=，2()4x y -=，则xy 的值为 ．【解答】解：222()220x y x xy y +=++=①，222()24x y x xy y -=-+=②，∴①-②得：416xy =，则4xy =，故答案为：410．（2019秋•泗洪县校级月考）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么2()a b +的值是 ．【解答】解：根据题意得：22213c a b =+=，14131122ab ⨯=-=，即212ab =， 则222()2131225a b a ab b +=++=+=，故答案为：25．11．（2019春•东台市期中）我们规定一种运算：a b ad bc c d =-，例如353645246=⨯-⨯=-．按照这种运算规定，已知21012x x x x -+=++，则x = ． 【解答】解：由题意可知：2(2)(2)(1)0x x x -+-+=，224(21)0x x x ∴--++=250x ∴--=，52x ∴=-， 故答案为：52-．三、解答题（共2小题）12．（2019春•南京期末）先化简，再求值：22()()()2a b a b a b b +---+，其中3a =-，12b =． 【解答】解：原式22222222a b a ab b b ab =--+-+=，当3a =-，12b =时，原式3=-． 13．（2019春•无锡期末）先阅读下面的内容，再解答问题．【阅读】例题：求多项式2222613m mn n n ++-+的最小值．解；222222222613(2)(69)4()(3)4m mn n n m mn n n n m n n ++-+=+++-++=++-+， 2()0m n +，2(3)0n -∴多项式2222613m mn n n ++-+的最小值是4．【解答问题】（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 ；（2）已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足2210841a b a b +=+-，求第三边c 的取值范围；（3）求多项式2224367x xy y y -+--+的最大值．【解答】解：（1）完全平方公式．（2）2210841a b a b +=+-，2210258160a a b b ∴-++-+=，22(5)(4)0a b ∴-+-=．2(5)0a -，2(4)0b -，5a ∴=，4b =．19c ∴<<．（3）原式2222426916x xy y y y =-+----+222()(3)16x y y =---++，22()0x y --，2(3)0y -+，∴多项式2224367x xy y y -+--+的最大值是 16．。
乘法公式知识点讲解
乘法公式知识点讲解乘法公式是数学中常用的一种运算规则，用于求解两个或多个数的乘积。
乘法公式是各个数学分支中基础且重要的内容，涉及到一系列的运算法则和性质。
本文将从基本的乘法性质和运算法则出发，逐步介绍乘法公式的相关知识点。
一、基本的乘法性质1.乘法的交换律乘法的交换律指出，两个数相乘，其积不受因数的位置交换的影响。
即a×b=b×a，其中a和b是任意实数。
这个性质可以通过实际数的例子进行验证，比如3×4=12，4×3=12，结果都是122.乘法的结合律乘法的结合律指出，三个数相乘，在保持因数的顺序不变的情况下，可以任意选择两个因数进行先乘后乘的运算。
即(a×b)×c=a×(b×c)，其中a、b和c是任意实数。
这个性质也可以通过具体的实例进行验证，比如(2×3)×4=6×4=24，2×(3×4)=2×12=24，结果仍然是243.乘法的分配律乘法的分配律是乘法运算与加法运算之间的关系。
乘法分配律分为左分配律和右分配律：-左分配律：a×(b+c)=a×b+a×c，其中a、b和c是任意实数。
-右分配律：(a+b)×c=a×c+b×c，其中a、b和c是任意实数。
以上三种基本的乘法性质可以通过简单的代数运算进行验证，也是进行乘法公式推导的基础。
二、乘法公式的运算法则有了基本的乘法性质为基础，可以进一步推导得到一系列的乘法公式。
以下是其中一些常见的乘法公式及其应用。
1.平方公式平方公式是一种常见的乘法公式，用于计算一个数的平方。
平方公式可以表示为：(a + b)² = a² + 2ab + b²，其中a和b是任意实数。
应用平方公式，可以求得两个数的和的平方，例如(3 + 4)² = 3² + 2 × 3× 4 + 4² = 492.二次方差公式二次方差公式是根据平方公式推导得到的，用于计算两个数相乘后的差的平方。
专题3.4 乘法公式(知识解读)(解析版)
专题3.4 乘法公式（知识解读）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题【知识点梳理】知识点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 222()()a b a b a b +-=-b a ,知识点3：完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点4：拓展、补充公式2222222a b c ab ac bc =+++++（a+b+c ）222112a a a±=+±（a ）；； ；.【典例分析】【考点1：平方差公式】【典例1】用平方差公式计算：（1）（1+x ）（1﹣x ）； （2）（a +3b ）（a ﹣3b ）；（3）（3+2a ）（3﹣2a ）； （4）（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）．【解答】解：（1）原式＝1﹣x 2；（2）原式＝a 2﹣（3b ）2＝a 2﹣9b 2；（3）原式＝32﹣（2a ）2＝9﹣4a 2；（4）原式＝＝．【变式1-1】计算：（a ﹣b ）（a +b ）．【解答】解：原式＝a 2﹣b 2．【变式1-2】（2m +n ）（2m ﹣n ）．【解答】解：（2m +n ）（2m ﹣n ）＝4m 2﹣n 2．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab+=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±m 33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【变式1-3】（2022秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）【答案】A【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；∴选项A符合题意；∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴选项B不符合题意；∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，∴选项C不符合题意；∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，∴选项D不符合题意，故选：A．【典例2】用简便方法计算下列各题：（1）992；（2）1022﹣101×103．【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）2＝1002﹣2×100×1+1＝10000﹣200+1＝9801；（2）原式＝1022﹣（102﹣1）（102+1）＝1022﹣1022+1＝1．【变式2-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（ ）A．1B．﹣1C．0D．2×20212﹣1【答案】A【解答】解：原式＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．故选：A．【变式2-2】简便计算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【解答】（1）20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．（2）1882﹣376×88+882＝1882﹣2×188×88+882＝（188﹣88）2＝1002＝10000．【考点2：平方差公式的几何背景】【典例3】（2022秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【解答】解：（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为：a2﹣b2，由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，∵x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）＝＝＝．【变式3-1】（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】B【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：B．【变式3-2】乘法公式的探究及应用．（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式 ；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．【解答】解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32＝10000﹣9＝9991；②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]＝（2x）2﹣（y﹣3）2＝4x2﹣（y2﹣6y+9）＝4x2﹣y2+6y﹣9．【变式3-3】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是 ．（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：．【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）⋯（1﹣）（1+）＝××××⋯××＝．【考点3：完全平方公式】【典例4】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：（1）（3a+b）2 （2）（x﹣2y）2（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．【解答】解：（1）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2；（2）（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2；（3）（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；（4）1992＝（200﹣1）2＝40000﹣400+1＝39601．【变式4-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．【解答】解：原式＝（4x+）2＝16x2+4xy+y2．【变式4-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．【解答】解：（3a﹣b）2＝（3a）2﹣2×3a×b+b2＝9a2﹣6ab+b2．【变式4-3】（2019秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．【解答】解：原式＝[（a+b）﹣c]2＝（a+b）2﹣2（a+b）c+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2．【典例5】（2022秋•丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（ ）A．±18B．±9C．9D．18【答案】A【解答】解：∵x2+mx+81是一个完全平方式，∴mx＝±2•x•9，解得：m＝±18．故选：A．【变式5-1】（2022秋•新会区校级期末）已知x2﹣ax+16可以写成一个完全平方式，则a可为（ ）A．4B．±4C．8D．±8【答案】D【解答】解：若x2﹣ax+16＝（x﹣4）2时，此时a＝8，若x2﹣ax+16＝（x+4）2时，此时a＝﹣8，所以a＝±8，故选：D．【变式5-2】（2022秋•沙坪坝区期末）若x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值是（ ）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．±2【答案】C【解答】解：∵（x±1）2＝x2±2x+1，∴k+1＝±2，∴k＝﹣3或1，故选：C【考点4：完全平方公式的几何背景】【典例6】（2022秋•西岗区校级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形的边长是 ；（用含a、b的式子表示）（2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系；（3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m ﹣n的值．【解答】解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为a﹣b的正方形，故答案为：a﹣b；（2）图2整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图2各个部分的面积和为（a﹣b）2+4ab，所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，答：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）∵m+n＝8，mn＝12，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝64﹣48＝16，∴m﹣n＝±4．【变式6-1】（2022秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是 ；（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别 张．【解答】解：（1）由题意知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，∴需要A、B、C三种纸片分别2张，1张，3张，故答案为：2，1，3．【变式6-2】（2022秋•黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（ ）A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2C．（x+y）2＝x2+2xy+y2D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2【答案】C【解答】解：首先看四个等式都是成立的，但是却并未都正确反映图示内容．图中大正方形的边长为：x+y，其面积可以表示为：（x+y）2分部分来看：左下角正方形面积为x2，右上角正方形面积为y2，其余两个长方形的面积均为xy，各部分面积相加得：x2+2xy+y2，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2故选：C．【变式6-3】（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．【解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26，∴xy＝13．（2）①令a＝4﹣x，b＝x，则a+b＝4，ab＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，∴（4﹣x）2+x2＝6，故答案为：6．②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，则a﹣b＝﹣1，ab＝8，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，故答案为：17．（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，令a＝25﹣x，b＝15﹣x，则：a﹣b＝10，ab＝200，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500，所以阴影部分的面积和为500平方米．【考点5：完全平方公式拓展运用】【典例7】（2022春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．（1）求x2+y2的值；（2）求（x﹣y）2的值．【解答】解：（1）∵x+y＝﹣5，xy＝﹣3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）＝25+6＝31；（2）∵xy＝﹣3，x2+y2＝31，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝31﹣2×（﹣3）＝37．【变式7-1】（2022春•平桂区期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．【解答】解：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×2＝21．【变式7-2】（2021秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（x﹣y）2．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，x+y＝3，xy＝﹣1，∴9＝x2+y2﹣2，∴x2+y2＝11；（2）∵x2+y2＝11，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝11﹣2×（﹣1）＝13．【变式7-3】（2021秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：（1）xy；（2）x﹣y．【解答】解：（1）∵x+y＝7，∴（x+y）2＝49，∴x2+2xy+y2＝49，∵x2+y2＝29，∴2xy＝20，∴xy＝10．（2）∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝29﹣20＝9，∴x﹣y＝±3．。
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乘法公式综合复习讲义（按知识点）1．平方差公式(1)平方差公式的推导：因为(a ＋b )(a －b )＝a 2－ab ＋ab －b 2＝a 2－b 2，所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.(2)语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(3)公式的特点：①公式中的a 和b 可以是实数，也可以是单项式或多项式；②公式的左边是两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积，公式的右边是这两个数(式)的平方差(先平方后作差)．警误区 平方差公式的特征 利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了．【例1】 利用平方差公式计算．(1)(2a ＋3b )(－2a ＋3b )；(2)503×497.分析：(1)可直接运用平方差公式进行计算．(2)题可经过适当变形，把503写成(500＋3),497写成(500－3)，就能利用公式来计算了．解：(1)(2a ＋3b )(－2a ＋3b )＝(3b )2－(2a )2＝9b 2－4a 2.(2)503×497＝(500＋3)(500－3)＝5002－32＝250 000－9＝249 991.解技巧 平方差公式的理解和应用 要注意辨别因式中哪些相当于公式中的a (完全相同的部分)，哪些相当于公式中的b (符号不同的部分)．2．完全平方公式(1)两数和的完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；两数差的完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.(2)语言叙述：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．(3)公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同．析规律 完全平方公式的特征 完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央．【例2】 计算：(1)(4m ＋n )2；(2)(y －12)2； (3)(－a －b )2；(4)(－2a ＋12b )2. 解：(1)(4m ＋n )2＝(4m )2＋2×4m ·n ＋n 2＝(4m )2＋8mn ＋n 2＝16m 2＋8mm ＋n 2；(2)(y －12)2＝y 2－2×y ×12＋(12)2 ＝y 2－y ＋14； (3)(－a －b )2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；(4)(－2a ＋12b )2 ＝(－2a )2＋2×(－2a )×(12b )＋(12b )2 ＝4a 2－2ab ＋14b 2. 3．添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．警误区 添括号法则的易错点 添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a －b ＋c ＝a －(b ＋c )，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的．【例3】 填空：(1)(x －y ＋z )(x ＋y －z )＝[x －( )][x ＋( )]；(2)(x ＋y ＋z )(x －y －z )＝[x ＋( )][x －( )]．答案：(1)y －z y －z (2)y ＋z y ＋z4．平方差公式、完全平方公式的推导从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式．(1)“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式．(2)“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式．5．添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单．【例4】 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式__________．解析：左上图的阴影部分的面积为a 2－b 2，因为右上图为梯形，梯形的高为(a －b )，所以阴影部分的面积为(2a ＋2b )(a －b )÷2＝(a ＋b )(a －b )．答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2【例5】 利用乘法公式计算：(a ＋b ＋c )(a －b －c )．分析：可将(a ＋b ＋c )用添括号变形为[a ＋(b ＋c )]，再把(a －b －c )变形为[a －(b ＋c )]，然后先用平方差公式，再用完全平方公式计算即可．解：(a ＋b ＋c )(a －b －c )＝[a ＋(b ＋c )][a －(b ＋c )]＝a 2－(b ＋c )2＝a 2－(b 2＋2bc ＋c 2)＝a 2－b 2－2bc －c 2.6．运用乘法公式解探索规律题解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律． 这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用．【例6】 观察下列各式的规律：12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；…写出第n 行的式子，并证明你的结论．解：第n 行的式子为：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.证明如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝n 2＋(n 2＋n )2＋n 2＋2n ＋1＝(n 2＋n )2＋2(n 2＋n )＋1＝(n 2＋n ＋1)2.乘法公式综合练习一、选择题（每题5分，共25分）1．下列变形①22a b -（-）=（a+b ）；②22a b +（-）=（a-b ）；③22b a -（）=（a-b ）；④222b a b ++（）=a 。
其中正确的有几个…………………………………（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．若a+b=100,ab=48,那么22b +a 值等于………………………………（ ）A ．5200B ．1484C ．5804D ．9904 3．已知a=5,2b a +（）=0,那么-2ab 等于……………………………（ ） A ．50 B ．25 C ．-25 D ．-504．下列各式中计算正确的是…………………………………………（ ）A ．22222x y y xy -+-（）=4xB ．22222244a b a b b +++（）=a C ．22a b =-2（a-b ） D ．221133924x x x +=++（） 5．已知a+b=2, 那么2212a b ab +++的值等于…………………（ ）A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（每题5分，共25分）6． 若2282x y xy --=-=-，，则2x y -（）的值是_________ 7． 计算22a b c ++（）=_____________ 8． 计算29.9=______9． 化简22x y +=（）__________10．在多项式241x +中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是________（只写一个）三、解答题（每题10分，共50分）11．计算(1)（２a ＋１）2－（１－２a ）2 (2）（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）.(3)(x+5)2-(x -5)2- (2x+1)(-2x- 1)12．已知22()19,()5,a b a b +=-=求：求（1）：22a b + （2）：ab13．若2282x y xy +==-，，求；22x y -（）14．利用完全平方求下列各式：2(1)11-（） 2(2)9.8- 2（3）10115．已知a+b=2,ab=1 求：224a b ab ++16．333331218912912121233636+=+=+=+=+++==222，而（），所以（），，而（1+2+3） 33312121233636+=+++==22以（），，而（1+2+3） 所以333231*********1001234++=+++++=+++（），，而（） 233332312312341001234100+=+++++=+++=（），，而（），所以33331234+++=21234+++（）3333312345++++=2（ ）=_____求：（1）333322123...(_______)[__________](n n ++++==为整数）（2）333331112131415++++答案1． B2． D3． A4． D5． B6．127． 2224424a b c ab ac bc +++++ 98。
018．9． 2244x xy y ++10．44/4/1x x -11．(1)8a(2)xy 5-(3) 12442++x x12；12; 3.5 13．2414．121； 96.04；1002115．616．1+2+3+4+5；225；12nn +（）；11375。