一种基于响应面法与蒙特卡罗法的改进的结构可靠度分析方法
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采用该法进行结构可靠度分析的优点是概念明 确、方法简单，其精度仅与模拟的次数 N 有关。 该法回 避了结构可靠度分析中的数学困难，不需要考虑极
限状态曲面的复杂性， 且对高次非线性问题较为有 效。由于该法具有相对精确的特点，故其常用于结构 可靠度各种近似方法计算精度的检验和计算结果校 核。 但由于每次样本响应需计算，故计算量巨大，对 解决大型复杂结构可靠度问题仍不现实。
G（P（k）） G（P（k））-G（P*（k））
⑸
比 较 PM（k）和 P*（k），选 择 较 接 近 极 限 状 态 曲 面 的 点作为新的迭代点，并返回到第 2 步进行下一轮迭 代，直至收敛条件满足为止。
可见，响应面法结合 JC 法求解时，需要对响应 面函数进行线性化，由此会带来一定误差。
3 蒙特卡罗法
表 1 两算例计算结果与传统方法的计算精度和计算时间比较
结构相当简单，还可采用传统蒙特卡罗法
Fra Baidu bibliotek算例 1
算例 2
求解，但遇到复杂结构或非线性等复杂问
计算方法 传统响应面法
样本 失效 误差
数 概率 （%）
（万） （%）
验算点
样本 失效
计算
误差
数 概率
时间
（%）
（万） （%）
（s）
-- 2.49 2.73 （0.4561，2.1589， -- 0.52 7.14 0.438
⑴ 采用响应面法，通过外层响应面函数迭代和 内层 JC 法迭代，求出设计验算点 P* 的坐标值；
⑵ 基于 P* 展开新的响应面函数， 作为结构功能 函数，也可近似地取上一步骤最终迭代的响应面函数；
⑶ 采用蒙特卡罗法计算结构的失效概率，可克 服传统响应面法因线性化而带来误差的缺点，但应注 意此时的结构功能函数是显式表达的，仅为简单的二 次多项式， 因此即使该法需进行大量的样本试验但 其计算量不大，仍能保持较高的计算效率。
于结构本身构造复杂，作用形式多样，往往不能给出
功能函数的明确表达式，若直接应用上述方法进行
结构可靠度分析就会遇到困难。 响应面法就是用来
处理结构功能函数不能明确表达的一种有效方法。
26
传统上运用响应面法进行结构可靠度分析时， 主要 是通过结合 JC 法计算可靠指标及验算点。 JC 法的特 点是适用于随机变量为任意分布下结构可靠指标的 求解，且可以计算出比较精确的验算点，同时对非线 性程度不高的结构功能函数，其精度能满足实际工程 需要，其不足之处是当结构功能函数为高度非线性时 会带来较大误差。
由此可见， 本文提出的响应面-蒙特卡罗法综 合了两种分析方法的优点， 又克服了传统方法的缺 点，是目前一种较理想的结构可靠度分析方法。
5 算例
5.1 ［算例 1］设功能函数 Z＝567X1X2-0.5X32，当 Z＜0 时 失 效 。 其 中 随 机 变 量 X1 服 从 正 态 分 布 N （0.6，
Z＝［u］-u3 ＝0.007-u3 ＝0
⑹
式中：［u］为允许的最大水平位移，取 7mm。
特卡罗法，具有较好的实用性，本文可为相关的研究 与应用提供参考。
表 2 随机变量的统计特征
随机变量 A1（m2） A2（m2）
A3［×106kN m2］
均值 0.36 0.18 2.0
标准差 分布类型
0.036 对数正态
Key words：structual reliability； response surface method； Monte-Carlo method； failure probability
1 引言
在结构可靠度分析中，结构的极限状态方程可
由功能函数表达为：
Z=G（X1，X2，…，Xn）＝0
⑴
式 中 ：Xi（i＝1，2，3… ，n）为 随 机 变 量 ，即 工 程 结 构 中
摘 要：响应面法和蒙特卡罗法是结构可靠度分析的常用方法，本文在此基础上提出一种改进的结构可靠度分析方法，数 值算例表明该法在计算精度方面优于传统的响应面法，而在计算效率方面则优于传统的蒙特卡罗法。
关键词：结构可靠度； 响应面法； 蒙特卡罗法； 失效概率
The Response Surface Method in Conjunction with Monte-Carlo Method in Structural Rellability Analysis
2009 年 2 月 第 2 期
丘晋文等： 一种基于响应面法与蒙特卡罗法的改进的结构可靠度分析方法
FEB 2009 No．2
n
n
Z=G（X1，X2，…，Xn）＝a+Σbi Xi +Σci Xi2 ⑷
i=1
i=1
式中：a，bi，ci（i=1，2，…，n）为表达式的待定系数。 从 响应面函数表达式可以看出，如果考虑 n 个随机变
题时则传统方法效率更低甚至无法实施。 6 结论
本文方法 10 2.53 1.17 传统蒙特卡罗法 10 2.56 --
33.4158） --
10 0.58 3.57 2.225 对于工程中常见的功能函数不能明
10 0.56 -- 21.563 确表达的情况，采用响应面法进行结构可
弹性模量均为 E，Ii＝ai Ai2（i＝1，2）（式中 Ii 为截面惯性 靠度分析，较其他方法更为简便。 本文结合蒙特卡罗
存在的不确定性参数，如结构的材料、几何以及荷载
参数等。 当 Z＞0 时，结构处于安全状态；当 Z＜0 时，
结构处于失效状态。 结构的失效概率为：
Pf ＝P［G（X1，X2，…，Xn）＜0］
乙 乙 ＝ f x x x dx x x ⑵ … G（X1，X2，… ，Xn）＜0
（ x1，x2，…，xn 1， 2，…， n） 1 2… n
A2
本不需要通过拟合功能函数去 P 1
2
4m
求解，其目的主要是比较传统响 A1
A1
应面法和本文方法的计算精度。 3
4
5.2 ［算 例 2］某 门 式 平 面 框 架
4m
如图 1，外 荷 载 P=20kN，各 单 元 图 1 计算简图
27
2009 年 2 月 第 2 期
广东土木与建筑
FEB 2009 No．2
矩；Ai 为单元截面积）。 随机变量取 A1、A2 及 E，其彼 法提出一种改进的结构可靠度分析法即响应面-蒙
此独立，统计特征见表 2。 以节点 3 的水平位移 u3 作 为需控制的结构变形，可建立极限状态方程为：
特卡罗法。 数值计算表明，该法比传统响应面法具有 更高精度， 同时在计算效率方面也明显优于传统蒙
式 中 ：f X1，X2，… ，Xn（x1，x2， … ，xn） 为 随 机 变 量 的 联 合 概 率 密度函数。 结构的可靠度为：
Pr ＝1-Pf
⑶
目前结构可靠性分析中的大多数方法，如数值
积分法和一次二阶矩法及其改进方法等，都是针对
功 能 函 数 是 明 确 表 达 的 情 形 ［1］，而 在 实 际 工 程 中 ， 由
0.0786），X2 服从正态分布 N （2.18，0.0654），X3 服从
正态分布 N（32.8，0.984），X1～X3 彼此独立。 采用两种
传统方法和本文方法的计算结果见表 1。
由表 1 可见，本文方法的计算结果与相对精确解
更吻合，计算精度高于传统响应面法。 值得注意的是，
本算例是给定功能函数的，因此
Abstract：The response surface method and the Monte-Carlo method are the common methods in structural reliability analysis. In this paper， an new response surface approach is proposed by combination of the conventional response surface method and Monte-Carlo method. In addition，the method also keeps the characteristies of the Monte-Carlo method in terms of straightforwardness and high accuracy.
量，则有 m＝2n+1 个待定系数。 其计算步骤如下：
⑴ 假定迭代 P（0）＝（x1（0），x2（0），…，xn（0）），初次计算
一般取平均值点；
⑵ 利用试验（复杂结构的可靠度分析一般采用
数值模拟试验，如有限元法）计算 Z=G（x1（0），x2（0），…， xn（0））以及 Z=G（x1（0），…，xi（0）±fs i，…，xn（0）），得到 2n+1
求 解 该 响 应 面 下 的 验 算 点 P*（k）和 可 靠 指 标 b （k）（上
标 k 表示第 k 步迭代）；
⑸ 判断收敛条件 b b - （k） （k-1） ＜e 是否满足（e 为
收 敛 精 度 ），若 满 足 则 停 止 迭 代 ， 否 则 用 插 值 法 得 出
插值点：
PM（k）＝P + （k） （P*（k）-P（k））
Qiu Jinwen1 Xu Rui2
（1、Guangdong Provincial Academy of Building Research Guangzhou 510500，China； 2、Department of Civil Engineering，South China University of Technology Guangzhou 510640，China）
蒙特卡罗法又称统计试验法或随机抽样技巧方 法，是一种数值模拟方法。 其过程如下［3］：
设结构功能函数 Z=G（X1，X2，…，Xn），Xi（i=1，2， …，n）为任意分布的随机变量。 对 Xi（i=1，2，…，n）进 行 N 次随机抽样，得 N 组 Xij（j=1，2，…，N）。 将第 j 组 （j=1，2，… ，N）的 Xij（i=1，2，… ，n）的 值 代 入 结 构 功 能函数式，得到 N 个 Zj 值（j=1，2，…，N）。 设在 N 个 Zj 中存在 Nf 个 Zj＜0，当 N 充分大时，则 结 构 构 件 的 失效概率近似为 Pf＝Nf N。
0.018 对数正态
0.2
正态
ai 0.8333e-01
0.1667 --
采用两种传统方法和本文方法的计算结果及其 相应的计算时间见表 2，可见本文方法在计算效率方 面明显优于传统蒙特卡罗法。 值得指出的是，本算例
第2期 2009 年 2 月
广东土木与建筑 GUANGDONG ARCHITECTURE CIVIL ENGINEERING
No．2 FEB 2009
一种基于响应面法与蒙特卡罗法的改进的结构可靠度分析方法
丘晋文 1 徐 瑞 2
（1、广东省建筑科学研究院 广州 510500； 2、华南理工大学土木与交通学院 广州 510640）
4 响应面-蒙特卡罗法
响应面法可将功能函数近似表达为显式的二次 多项式， 再结合 JC 法即可进行结构可靠度计算，适 用于功能函数无法表达为基本随机变量显式函数的 情况，计算效率较高。 但由于需结合 JC 法求解结构 可靠度，因此不可避免地存在线性化带来的误差。 为 了克服上述缺点， 本文提出了一种改进的结构可靠 度分析方法，即响应面-蒙特卡罗法，具体步骤如下：
本文首先简要介绍传统的响应面法与蒙特卡罗 法，然后提出一种改进的结构可靠度分析方法，即响 应面-蒙特卡罗法，并进行数值算例分析。
2 响应面法
可靠度计算的响应面法最早由 Wong（1985）［2］提 出，并应用于土坡稳定的可靠度分析，随后各国学者 进行了这方面的大量研究。
响应面法采用有限的试验，通过回归拟合解析表 达式 Z=G（X1，X2，…，Xn）代替真实功能函数曲面 Z= G（X1，X2，…，Xn）。 通过响应面法，可将功能函数近似 表示为随机变量的显式，再结合 JC 法等方法进行结 构可靠度计算，可大大提高计算效率。对 n 个随机变 量 X1，X2，… ，Xn 的 情 况 ，响 应 面 函 数 通 常 采 用 不 含 交叉项的二次多项式形式：
个功能函数值， 其中系数 f 在第 1 轮估算中取 2 或
3，在以后的迭代计算中取 1，s i 为 Xi 的标准差； ⑶ 由于式⑷只有 2n+1 个待定系数，利用第 2 步
求得的 2n+1 个函数值，可以解出待定系数 a，bi，ci（i=
1，2，…，n），从而确定结构的响应面函数；
⑷ 利用一般常用的可靠度求解方法如 JC 法等
限状态曲面的复杂性， 且对高次非线性问题较为有 效。由于该法具有相对精确的特点，故其常用于结构 可靠度各种近似方法计算精度的检验和计算结果校 核。 但由于每次样本响应需计算，故计算量巨大，对 解决大型复杂结构可靠度问题仍不现实。
G（P（k）） G（P（k））-G（P*（k））
⑸
比 较 PM（k）和 P*（k），选 择 较 接 近 极 限 状 态 曲 面 的 点作为新的迭代点，并返回到第 2 步进行下一轮迭 代，直至收敛条件满足为止。
可见，响应面法结合 JC 法求解时，需要对响应 面函数进行线性化，由此会带来一定误差。
3 蒙特卡罗法
表 1 两算例计算结果与传统方法的计算精度和计算时间比较
结构相当简单，还可采用传统蒙特卡罗法
Fra Baidu bibliotek算例 1
算例 2
求解，但遇到复杂结构或非线性等复杂问
计算方法 传统响应面法
样本 失效 误差
数 概率 （%）
（万） （%）
验算点
样本 失效
计算
误差
数 概率
时间
（%）
（万） （%）
（s）
-- 2.49 2.73 （0.4561，2.1589， -- 0.52 7.14 0.438
⑴ 采用响应面法，通过外层响应面函数迭代和 内层 JC 法迭代，求出设计验算点 P* 的坐标值；
⑵ 基于 P* 展开新的响应面函数， 作为结构功能 函数，也可近似地取上一步骤最终迭代的响应面函数；
⑶ 采用蒙特卡罗法计算结构的失效概率，可克 服传统响应面法因线性化而带来误差的缺点，但应注 意此时的结构功能函数是显式表达的，仅为简单的二 次多项式， 因此即使该法需进行大量的样本试验但 其计算量不大，仍能保持较高的计算效率。
于结构本身构造复杂，作用形式多样，往往不能给出
功能函数的明确表达式，若直接应用上述方法进行
结构可靠度分析就会遇到困难。 响应面法就是用来
处理结构功能函数不能明确表达的一种有效方法。
26
传统上运用响应面法进行结构可靠度分析时， 主要 是通过结合 JC 法计算可靠指标及验算点。 JC 法的特 点是适用于随机变量为任意分布下结构可靠指标的 求解，且可以计算出比较精确的验算点，同时对非线 性程度不高的结构功能函数，其精度能满足实际工程 需要，其不足之处是当结构功能函数为高度非线性时 会带来较大误差。
由此可见， 本文提出的响应面-蒙特卡罗法综 合了两种分析方法的优点， 又克服了传统方法的缺 点，是目前一种较理想的结构可靠度分析方法。
5 算例
5.1 ［算例 1］设功能函数 Z＝567X1X2-0.5X32，当 Z＜0 时 失 效 。 其 中 随 机 变 量 X1 服 从 正 态 分 布 N （0.6，
Z＝［u］-u3 ＝0.007-u3 ＝0
⑹
式中：［u］为允许的最大水平位移，取 7mm。
特卡罗法，具有较好的实用性，本文可为相关的研究 与应用提供参考。
表 2 随机变量的统计特征
随机变量 A1（m2） A2（m2）
A3［×106kN m2］
均值 0.36 0.18 2.0
标准差 分布类型
0.036 对数正态
Key words：structual reliability； response surface method； Monte-Carlo method； failure probability
1 引言
在结构可靠度分析中，结构的极限状态方程可
由功能函数表达为：
Z=G（X1，X2，…，Xn）＝0
⑴
式 中 ：Xi（i＝1，2，3… ，n）为 随 机 变 量 ，即 工 程 结 构 中
摘 要：响应面法和蒙特卡罗法是结构可靠度分析的常用方法，本文在此基础上提出一种改进的结构可靠度分析方法，数 值算例表明该法在计算精度方面优于传统的响应面法，而在计算效率方面则优于传统的蒙特卡罗法。
关键词：结构可靠度； 响应面法； 蒙特卡罗法； 失效概率
The Response Surface Method in Conjunction with Monte-Carlo Method in Structural Rellability Analysis
2009 年 2 月 第 2 期
丘晋文等： 一种基于响应面法与蒙特卡罗法的改进的结构可靠度分析方法
FEB 2009 No．2
n
n
Z=G（X1，X2，…，Xn）＝a+Σbi Xi +Σci Xi2 ⑷
i=1
i=1
式中：a，bi，ci（i=1，2，…，n）为表达式的待定系数。 从 响应面函数表达式可以看出，如果考虑 n 个随机变
题时则传统方法效率更低甚至无法实施。 6 结论
本文方法 10 2.53 1.17 传统蒙特卡罗法 10 2.56 --
33.4158） --
10 0.58 3.57 2.225 对于工程中常见的功能函数不能明
10 0.56 -- 21.563 确表达的情况，采用响应面法进行结构可
弹性模量均为 E，Ii＝ai Ai2（i＝1，2）（式中 Ii 为截面惯性 靠度分析，较其他方法更为简便。 本文结合蒙特卡罗
存在的不确定性参数，如结构的材料、几何以及荷载
参数等。 当 Z＞0 时，结构处于安全状态；当 Z＜0 时，
结构处于失效状态。 结构的失效概率为：
Pf ＝P［G（X1，X2，…，Xn）＜0］
乙 乙 ＝ f x x x dx x x ⑵ … G（X1，X2，… ，Xn）＜0
（ x1，x2，…，xn 1， 2，…， n） 1 2… n
A2
本不需要通过拟合功能函数去 P 1
2
4m
求解，其目的主要是比较传统响 A1
A1
应面法和本文方法的计算精度。 3
4
5.2 ［算 例 2］某 门 式 平 面 框 架
4m
如图 1，外 荷 载 P=20kN，各 单 元 图 1 计算简图
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2009 年 2 月 第 2 期
广东土木与建筑
FEB 2009 No．2
矩；Ai 为单元截面积）。 随机变量取 A1、A2 及 E，其彼 法提出一种改进的结构可靠度分析法即响应面-蒙
此独立，统计特征见表 2。 以节点 3 的水平位移 u3 作 为需控制的结构变形，可建立极限状态方程为：
特卡罗法。 数值计算表明，该法比传统响应面法具有 更高精度， 同时在计算效率方面也明显优于传统蒙
式 中 ：f X1，X2，… ，Xn（x1，x2， … ，xn） 为 随 机 变 量 的 联 合 概 率 密度函数。 结构的可靠度为：
Pr ＝1-Pf
⑶
目前结构可靠性分析中的大多数方法，如数值
积分法和一次二阶矩法及其改进方法等，都是针对
功 能 函 数 是 明 确 表 达 的 情 形 ［1］，而 在 实 际 工 程 中 ， 由
0.0786），X2 服从正态分布 N （2.18，0.0654），X3 服从
正态分布 N（32.8，0.984），X1～X3 彼此独立。 采用两种
传统方法和本文方法的计算结果见表 1。
由表 1 可见，本文方法的计算结果与相对精确解
更吻合，计算精度高于传统响应面法。 值得注意的是，
本算例是给定功能函数的，因此
Abstract：The response surface method and the Monte-Carlo method are the common methods in structural reliability analysis. In this paper， an new response surface approach is proposed by combination of the conventional response surface method and Monte-Carlo method. In addition，the method also keeps the characteristies of the Monte-Carlo method in terms of straightforwardness and high accuracy.
量，则有 m＝2n+1 个待定系数。 其计算步骤如下：
⑴ 假定迭代 P（0）＝（x1（0），x2（0），…，xn（0）），初次计算
一般取平均值点；
⑵ 利用试验（复杂结构的可靠度分析一般采用
数值模拟试验，如有限元法）计算 Z=G（x1（0），x2（0），…， xn（0））以及 Z=G（x1（0），…，xi（0）±fs i，…，xn（0）），得到 2n+1
求 解 该 响 应 面 下 的 验 算 点 P*（k）和 可 靠 指 标 b （k）（上
标 k 表示第 k 步迭代）；
⑸ 判断收敛条件 b b - （k） （k-1） ＜e 是否满足（e 为
收 敛 精 度 ），若 满 足 则 停 止 迭 代 ， 否 则 用 插 值 法 得 出
插值点：
PM（k）＝P + （k） （P*（k）-P（k））
Qiu Jinwen1 Xu Rui2
（1、Guangdong Provincial Academy of Building Research Guangzhou 510500，China； 2、Department of Civil Engineering，South China University of Technology Guangzhou 510640，China）
蒙特卡罗法又称统计试验法或随机抽样技巧方 法，是一种数值模拟方法。 其过程如下［3］：
设结构功能函数 Z=G（X1，X2，…，Xn），Xi（i=1，2， …，n）为任意分布的随机变量。 对 Xi（i=1，2，…，n）进 行 N 次随机抽样，得 N 组 Xij（j=1，2，…，N）。 将第 j 组 （j=1，2，… ，N）的 Xij（i=1，2，… ，n）的 值 代 入 结 构 功 能函数式，得到 N 个 Zj 值（j=1，2，…，N）。 设在 N 个 Zj 中存在 Nf 个 Zj＜0，当 N 充分大时，则 结 构 构 件 的 失效概率近似为 Pf＝Nf N。
0.018 对数正态
0.2
正态
ai 0.8333e-01
0.1667 --
采用两种传统方法和本文方法的计算结果及其 相应的计算时间见表 2，可见本文方法在计算效率方 面明显优于传统蒙特卡罗法。 值得指出的是，本算例
第2期 2009 年 2 月
广东土木与建筑 GUANGDONG ARCHITECTURE CIVIL ENGINEERING
No．2 FEB 2009
一种基于响应面法与蒙特卡罗法的改进的结构可靠度分析方法
丘晋文 1 徐 瑞 2
（1、广东省建筑科学研究院 广州 510500； 2、华南理工大学土木与交通学院 广州 510640）
4 响应面-蒙特卡罗法
响应面法可将功能函数近似表达为显式的二次 多项式， 再结合 JC 法即可进行结构可靠度计算，适 用于功能函数无法表达为基本随机变量显式函数的 情况，计算效率较高。 但由于需结合 JC 法求解结构 可靠度，因此不可避免地存在线性化带来的误差。 为 了克服上述缺点， 本文提出了一种改进的结构可靠 度分析方法，即响应面-蒙特卡罗法，具体步骤如下：
本文首先简要介绍传统的响应面法与蒙特卡罗 法，然后提出一种改进的结构可靠度分析方法，即响 应面-蒙特卡罗法，并进行数值算例分析。
2 响应面法
可靠度计算的响应面法最早由 Wong（1985）［2］提 出，并应用于土坡稳定的可靠度分析，随后各国学者 进行了这方面的大量研究。
响应面法采用有限的试验，通过回归拟合解析表 达式 Z=G（X1，X2，…，Xn）代替真实功能函数曲面 Z= G（X1，X2，…，Xn）。 通过响应面法，可将功能函数近似 表示为随机变量的显式，再结合 JC 法等方法进行结 构可靠度计算，可大大提高计算效率。对 n 个随机变 量 X1，X2，… ，Xn 的 情 况 ，响 应 面 函 数 通 常 采 用 不 含 交叉项的二次多项式形式：
个功能函数值， 其中系数 f 在第 1 轮估算中取 2 或
3，在以后的迭代计算中取 1，s i 为 Xi 的标准差； ⑶ 由于式⑷只有 2n+1 个待定系数，利用第 2 步
求得的 2n+1 个函数值，可以解出待定系数 a，bi，ci（i=
1，2，…，n），从而确定结构的响应面函数；
⑷ 利用一般常用的可靠度求解方法如 JC 法等