(完整版)解析几何基础知识汇总

解析几何基础知识
5．0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含
6.椭圆
一、椭圆的定义和方程 1．椭圆的定义
平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (大于|F 1F 2|=2c )的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点.
定义中特别要注意条件2a ＞2c ，否则轨迹不是椭圆；当2a ＝2c 时，动点的轨迹是线段；当2a ＜2c 时，动点的轨迹不存在。

2．椭圆的方程
(1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
(2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
二、椭圆的简单几何性质(a 2＝b 2＋c 2)
标准方程 x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)
y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0) 图 形
性 质
范围
－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b
－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a
对称性 对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点
顶点
A 1(－a,0)，A 2(a,0)
B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0)
性 质
轴
长轴A 1A 2的长为2a
短轴B 1B 2的长为2b
焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c
a
∈(0,1) a ，b ，c 的关系
c 2＝a 2－b 2
8．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。

定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

方程()022
>=p px
y 叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2
p ,0），它的准线方程是2p x -= ；
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22
-=，py x 22
=，py x 22
-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： [一次项的字母定轴（对称轴），一次项的符号定方向（开口方向）]
标准方程
22(0)
y px
p =>
22(0)
y px p =->
22(0)x py p =>
22(0)
x py
p =->
图形
焦点坐标 (,0)2
p (,0)2p -
(0,)2p
(0,)2
p -
准线方程 2
p x =-
2
p x =
2
p y =-
2
p y =
范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤
对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率
1e = 1e =
1e = 1e =
说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。

2.焦点弦(以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例) 设AB 是过焦点F 的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则|AB |＝x 1＋x 2＋p ；|AB |min ＝2p ；x 1·x 2＝p 2
4；y 1·y 2＝－p ；|AF |＝x 1＋p 2,|BF |＝x 2＋p
2.
o F
x
y
l
o
x
y
F l
x
y
o
F l。