常数项级数

常数项级数

所谓无穷级数即表示无穷项相加，他是一种研究函数以及数值计算的工具。

一、 常数项级数的概念和性质

① 引例y ǐn l ì

：求圆的周长，可以内接正多边形，当正多边形边数无穷

增加时的极限值近似可以得到圆的周长： 123n A a a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

一般地 ，如果给定一个数列：

123,,,,n u u u u ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

则由这个数列所构成的和的表达式：

123,n u u u u +++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

叫做（常数项）无穷级数，简称（常数）级数，记为：

1231,n n n u u u u u ∞==+++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅∑

其中第n 项称为级数的一般项。

n u

下面从有限项的和出发，观察它的变化趋势，来理解无穷多个数量相加的意义：

作（常数项）级数的前n 项的和，记作： 123n n S u u u u =+++⋅⋅⋅⋅⋅+

n S 称为级数的部分和，当n 依次取得1，2，3，……时，他们构成了一个新的数列：

11S u =，21S u u 2=+，312S u u u 3=++

123n n S u u u u =+++⋅⋅⋅⋅⋅+

② 常数项级数的和函数定义：如果级数

1231

,n n n u u u u u ∞

==+++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅∑的部分和数列 {}n S 有极限s ，即：lim n n S s →∞

= 称无穷级数收敛，这时极限s 叫做这个级数的和，并写成：

1n n u

∞=∑123n s u u u u =+++⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅ 如果极限不存在，则称无穷级数

1n n u ∞=∑发散。