常数项级数
合集下载
常数项级数的概念和
n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3
定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1
则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn
级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,
并且
4
n
n0 5
1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1
证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,
(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11
性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和
例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0
常数项级数的应用
常数项级数的应用在数学中，常数项级数是一种由常数项组成的数学级数。
常数项级数在各个领域的应用非常广泛，从物理学到工程学，从经济学到计算机科学。
本文将介绍常数项级数的定义和性质，并探讨其在实际应用中的一些例子。
1. 常数项级数的定义常数项级数是指一个无穷序列的和，其中每一项都是常数。
具体地，常数项级数的一般形式为：$$ S = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + \\ldots $$其中，a i表示第i项的常数。
2. 常数项级数的性质常数项级数有许多重要的性质，下面列举其中几个常见的性质。
2.1 收敛与发散常数项级数可能收敛或发散。
当常数项级数的部分和有一个有限的极限值时，我们称该级数收敛。
如果常数项级数的部分和趋向于无穷大，我们称该级数发散。
2.2 收敛级数的性质如果一个常数项级数收敛，那么它有以下性质：•唯一性：常数项级数的和是唯一确定的。
•加法性：如果两个常数项级数收敛，那么它们的和也收敛，并且和的值等于两个级数的和之和。
•数乘性：如果一个常数项级数收敛，那么把每一项乘以同一个常数，所得到的级数也收敛，并且和的值等于原级数的和乘以该常数。
2.3 绝对收敛与条件收敛如果一个常数项级数的每一项的绝对值都收敛，那么我们称该级数是绝对收敛的。
如果一个常数项级数是收敛的但不是绝对收敛的，那么我们称该级数是条件收敛的。
2.4 收敛级数的收敛方法常数项级数有多种判定方法来确定其是否收敛。
其中一些重要的方法包括比值判别法、根值判别法和积分判别法。
3. 常数项级数的应用常数项级数在实际应用中发挥着重要作用。
下面我们将介绍一些常见的应用。
3.1 数值逼近常数项级数可以用来进行数值逼近。
通过适当选择常数项的值，我们可以使用有限个项的和来近似表达无穷级数。
这在计算机科学、物理学和工程学中非常常见。
3.2 统计学常数项级数在统计学中有广泛的应用。
例如，在统计模型中，我们经常需要计算概率分布的累积分布函数（CDF）。
11.1 常数项级数
称为交错级数 . 定理5 ( Leibnitz 判别法 )
1)
2)
若 ( 1)
n1
n1
un
满足条件:
un un1 ( n 1 , 2 , ) ;
n
lim un 0 ,
但
1 n1
1 n2
1 nn
1 2
lim ( S 2 n S n ) 0 ,
n
所以， 级数
1 n
是发散的
n 1
例3. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn ln 2 1 ln 3 2
ln 4 3 ln n1 n
(ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) ln( n 1) ln n
ln( n 1)
( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
(2) Sn
1 1 2
1 2 3
1 34
1 n ( n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1
1 (1 1 n
n
lim
( n 1) n! n
n
n !
n
n lim n n 1
n
lim
n
)
n
1 e
1
n1
n! n
n
收敛.
( 2 ) lim
n
u n 1 un
lim
n 1 10
n
常数项级数的概念与性质
性质1
如果级数
un
n1
收敛于和S，则它的各项同乘以一
个常数k所得的级数 kun 也收敛，且其和为kS。
n1
性质2 如果级数 un、 vn 收敛于和S1, S2 ，则级数 n1 n1
un vn 也收敛，且其和为S1 ± S2 。
n1
性质3 若级数 un收敛，则对该级数的项任意加（或去）
4
3 5
0
所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。
高等数学
性质4 在一个级数中任意去掉、增加或改变有限项后，级 数的收敛性不会改变，但对于无穷级数收敛级数，其和将受 到影响。
性质5
如果
lim
n
un
0
（包括极限不存在），则级数
un
n1
必发散。
例4 判定级数
3n 的敛散性。
n1 5n 4
解 级数的一般项
un
3n 5n
4
因为
lim
n
un
lim
n
3n 5n
3 103
，
可以得到如下的表达式
33 3
3
0.33 3 10 102 103 10n
显然，如果n →∞，那么我们就得到
0.3
1 3
3 10
13 3 3
3
3 10 102 103 10n
二、常数项级数的概念
定义1 如果给定一个数列u1, u2, u3, …, un, …，则由这数列 构成的表达式
定义2 如果级数 un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
常数项级数的概念和..
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
常数项级数
n=1
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
根值判别法
设
∑a
n=1
∞
n 为正项级数
, 且 lim
n
n
n→ ∞
an = ρ
则 (1 ) ρ < 1 时 ,
∑a
n=1 ∞
∞
收敛 ,
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 . n=1 ρ 1 , 注 : 根值判别法对 = 1的情形没有下任何结论
, 比值判别法无效 且比值判别法不是充要 . 条件 2 : 由根值判别法的证明过 程可见： 程可见：
ρ > 1 时, lim an ≠ 0,因而 an发散 ∑
n→∞ n=1
∞
积分判别法
且单减， 设 (1) f在[1,+∞ )上连续 , f ≥ 0且单减， ( 2) an = f ( n) ( n = 1,2,K),
与条件收敛 常数项级数的绝对收敛
定义： 定义：
, , 若绝对值级数 an 收敛 则称级数 an绝对收敛 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
, , 若级数 an收敛 但绝对值级数 an 发散 则称级 ∑ ∑
n=1 n=1
∞
∞
. 数∑an条件收敛
n=1
∞
定理
, 若级数 an绝对收敛 则级数 an收敛. ∑ ∑
n=1 n=1
n
为正项级数 , 且
∞
an+1 lim = ρ n→ ∞ a n
则 (1) ρ < 1 时 , ∑ a n 收敛 .
n=1 ∞
( 2 ) ρ > 1 时 , ∑ a n 发散 .
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
1-1常数项级数
从而从而
( q称为公比 ) 的敛散性.解 : 1) 若 则部分和
例1. 讨论等比级数(又称几何级数)
从而 不存在 , 因此级数发散.综合 1)、2)可知,ql1 时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 .
2). 若 则当q=1时, sn=na 因此级数发散 ;当q=-1时,级数成为
n 为奇数n 为偶数
因此
技巧 :利用 “拆项相消 ” 求 和
例2. 判别下列级数的敛散性 :
所以级数 (1) 发散 ;
解 : (1)
技巧 :利用 “拆项相消 ” 求 和
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
(2)
二 、无穷级数的基本性质性质1. 若级数 收敛于 S,即
内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正3×2"边形面积为
+a1 +a2 … +dn这个和逼近于圆的面积 A.
即
定义：给定一个数列 将各项依次相加, 简记为 即
称为级数的部分和.收敛 ,并称 S为级数的和, 记作
三 、级数收敛的必要条件设收敛级数 则必有证 :
不趋于0,因此这个级数发散.
可见 : 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
其一般项为
例如,
注意 : 并非级数收敛的充分条件. 例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .事实上 , 假设调和级数收敛于 S, 则但 S2n-sn= 矛盾! 所以假设不真 .
乘以常数 c 所得级数
同敛散
也收敛 ,其和为 cS.
则各项
与
和的级数等于 级数的和，差的级数等于 级数的差。
则级数 也收敛, 其和为
性质2. 设有两个收敛级数
12-1常数项级数的概念和性质
n1
n1
n1
即 收敛级数可以逐项相加与逐项相减．
例6 若级数 an 与 bn 均发散，
n1
n1
则级数 (an bn )是否必发散？ (1987)
n1
解 结论是错误的．
例如级数 ln n 1 及 ln n 1 均发散，
n1
n
n1
n
但级数 [ln n 1 ln n 1] 0 是收敛的．
23
n
n1 n
n
2. 级数的部分和与部分和数列
n
设有级数 un，其前 n 项的和 sn ui
n1
i 1
称为级数的部分和． 它所构成的数列 sn
s1 u1， s2 u1 u2，，sn u1 u2 un，
称为级数的部分和数列．
3. 级数的敛散性
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性．
n0
解
当
|
当 q 1 时，sn q | 1时，lim qn
n
a
aq 0，
aq2 lim
n
sn
1
aqn1 a. q
a1 qn 1q
收敛
当综当当上q|qq所|述111时ln时i时m， ，，ssansnqn不 lninm存a当nqa在 n，|aq．| 发a，1ln散i时m,lns收inm(敛s1n于)n.11a发a.q散发.a0散nn为为偶奇数数，
第十二章质
一、常数项级数的概念
1. 常数项级数的定义
设有数列 un：u1，u2，，un，，按其次序求和
u1 u2 u3 un un 称为(常数项)级数．
高等数学(微积分)课件-71常数项级数的概念与性质
间接法求和
定义
间接法求和是通过将级数中的某些项 进行变换，然后利用已知的级数求和
公式或性质，得到级数的和。
适用范围
适用于项数较多、数值较大的级数。
计算步骤
选择适当的变换方式，利用已知的级 数求和公式或性质，计算级数的和。
幂级数求和
01
定义
幂级数是一种特殊的常数项级数，其每一项都是某个变量的幂次方。幂
了解常数项级数的应用实例。
掌握常数项级数的收敛与发散的 判断方法。
理解常数项级数的定义和性质。
01
03 02
02 常数项级数的定义
有限级数与无限级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以明确写出 其和。
无限级数
级数的项数是无限的，其和可能是一 个有限的数、无穷大或未定型。
常数项级数的定义与示例
常数项级数是由一系列常数组成的级数，例如
03
判断常数项级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$是否收敛， 并说明理由。
解答与解析
01
对于常数项级数$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n$，由于$(-1)^n$在$n$趋向 无穷大时，其值在$-1$和$1$之间交替，因此该级数不收敛。
02
对于常数项级数$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$，由于$frac{1}{n^2}$是单 调递减且趋向于0的，根据收敛级数的性质，该级数收敛。其和为 $frac{pi^2}{6}$。
乘法运算
将一个级数的每一项与另一个 级数的每一项相乘得到一个新 的级数。
注意
在进行级数的四则运算时，常数项级数的求和
直接法求和
定义
直接法求和是根据级数的定义，将每一项的 值直接相加得到级数的和。
常数项级数
常数项级数
常数项级数
人们认识事物在数量方面的特性，往往是一个由近似 到精确的过程,在这种认识过程中，会遇到由有限个数量相 加到无穷多个数量相加的问题.
例如，约在公元前300年，中国古代经典著作《庄 子·天下篇》中提出过如下命题：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭.”如果用数学方式来表示此命题，可以写作
常数项级数
称Sn为级数 一个数列
的前n项和.当n依次取1,2,3,…时，就得到
S1,S2,S3,…,Sn,…
数列{Sn}就称为级数
的部分和数列.
定义2
常数项级数
如果级数 有极限，即
则称级数 数的和，记作
{Sn} 收敛，S称为该级
常数项级数
如果级数
的部分和数列{Sn}极限不存在，
则称该级数是发散的.
常数项级数
设有序列u1，u2，u3，…，un，…，则称u1+ u2+u3+…+un+…为无穷级数，简称级数，记 为 ，即
其中第n项un称为级数的一般项.我们称un是 常数的级数为常数项级数.
常数项级数
【例1】
是一个常数项级数，其中通 项为1n.此级数通常称为调和级数.
【例2】
是一个常数项级数，其中 通项为arn－1.此级数称为公比为r的等比级数，又称为几何级数.
常数项级数
【例3】
是一个通项为1np的常数项 级数，称它为p级数.
调和级数、等比级数和p级数是以后经常用到的级数，请 注意识记.
级数是无穷多项和的形式.怎样理解无限项相加得到的和呢？ 结合以上计算圆面积的例子，可以从有限项的和出发，观察它 们的变化趋势，从而便可理解无穷多项相加的含义.
先看级数前n项的和 Sn=u1+u2+u3+…+un，
常数项级数
人们认识事物在数量方面的特性，往往是一个由近似 到精确的过程,在这种认识过程中，会遇到由有限个数量相 加到无穷多个数量相加的问题.
例如，约在公元前300年，中国古代经典著作《庄 子·天下篇》中提出过如下命题：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭.”如果用数学方式来表示此命题，可以写作
常数项级数
称Sn为级数 一个数列
的前n项和.当n依次取1,2,3,…时，就得到
S1,S2,S3,…,Sn,…
数列{Sn}就称为级数
的部分和数列.
定义2
常数项级数
如果级数 有极限，即
则称级数 数的和，记作
{Sn} 收敛，S称为该级
常数项级数
如果级数
的部分和数列{Sn}极限不存在，
则称该级数是发散的.
常数项级数
设有序列u1，u2，u3，…，un，…，则称u1+ u2+u3+…+un+…为无穷级数，简称级数，记 为 ，即
其中第n项un称为级数的一般项.我们称un是 常数的级数为常数项级数.
常数项级数
【例1】
是一个常数项级数，其中通 项为1n.此级数通常称为调和级数.
【例2】
是一个常数项级数，其中 通项为arn－1.此级数称为公比为r的等比级数，又称为几何级数.
常数项级数
【例3】
是一个通项为1np的常数项 级数，称它为p级数.
调和级数、等比级数和p级数是以后经常用到的级数，请 注意识记.
级数是无穷多项和的形式.怎样理解无限项相加得到的和呢？ 结合以上计算圆面积的例子，可以从有限项的和出发，观察它 们的变化趋势，从而便可理解无穷多项相加的含义.
先看级数前n项的和 Sn=u1+u2+u3+…+un，
常数项级数敛散性的判定法
应用广泛
常数项级数在数学物理方程、概 率论、统计学等领域有广泛的应 用，是解决实际问题的重要工具。
理论价值
常数项级数的敛散性判定法是数 学理论的重要组成部分，对于数 学的发展和深入研究具有重要意 义。
判定常数项级数敛散性的意义
解决问题
通过判定常数项级数的敛散性，可以解决一系列数学问题，如求和、 积分、无穷乘积等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$n>N$，级数 中相邻两项的绝对值都小于$epsilon$，则级数收敛。
柯西收敛准则的适用范围
适用于所有常数项级数，是判定级数收敛性的最基本准则。
柯西收敛准则的证明
通过反证法，假设存在一个不收敛的级数，然后构造一个满足条件的$epsilon$和$N$，使得 对于所有的$n>N$，级数中相邻两项的绝对值都大于$epsilon$，这与假设矛盾，因此级数 必须收敛。
几何级数
总结词
几何级数是每一项都与前一项成固定 比例的级数。
详细描述
几何级数是一种特殊的等比级数，其一般形式 为$sum_{n=0}^{infty} a_n r^n$，其中$a_n$ 是首项，$r$是公比。当$|r| < 1$时，几何级数 收敛；当$|r| = 1$时，几何级数可能收敛或发 散；当$|r| > 1$时，几何级数发散。
常数项级数的性质
常数项级数的每一项都是非负的或非正的，即an ≥ 0或an ≤ 0。 常数项级数的和可以是有限的、无限的或无穷的。
常数项级数的分类
收敛级数
当常数项级数的和是有限的，则该级 数为收敛级数。
发散级数
当常数项级数的和是无限的或无穷的 ，则该级数为发散级数。
常数项级数的概念和性质解析ppt课件
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
常数项级数
所谓无穷级数即表示无穷项相加，他是一种研究函数以及数值计算的工具。
一、 常数项级数的概念和性质
① 引例y ǐn l ì
：求圆的周长，可以内接正多边形，当正多边形边数无穷
增加时的极限值近似可以得到圆的周长： 123n A a a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
一般地 ，如果给定一个数列：
123,,,,n u u u u ,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
则由这个数列所构成的和的表达式：
123,n u u u u +++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅
叫做（常数项）无穷级数，简称（常数）级数，记为：
1231,n n n u u u u u ∞==+++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅∑
其中第n 项称为级数的一般项。
n u
下面从有限项的和出发，观察它的变化趋势，来理解无穷多个数量相加的意义：
作（常数项）级数的前n 项的和，记作： 123n n S u u u u =+++⋅⋅⋅⋅⋅+
n S 称为级数的部分和，当n 依次取得1，2，3，……时，他们构成了一个新的数列：
11S u =，21S u u 2=+，312S u u u 3=++
123n n S u u u u =+++⋅⋅⋅⋅⋅+
② 常数项级数的和函数定义：如果级数
1231
,n n n u u u u u ∞
==+++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅∑的部分和数列 {}n S 有极限s ，即：lim n n S s →∞
= 称无穷级数收敛，这时极限s 叫做这个级数的和，并写成：
1n n u
∞=∑123n s u u u u =+++⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅ 如果极限不存在，则称无穷级数
1n n u ∞=∑发散。