第二章 谐振腔理论

L' δ = cτ R 4、设无源腔中光子寿命为τR，则光腔对光的损耗因子为________, − t /τ R I ( t ) = I e 0 光在腔中传输时光强随时间的变化函数为____________
α =δ L 5、损耗系数α与单程损耗因子δ之间的关系为_________ a2 Lλ 6、腔镜的菲涅耳数 N= _________
光腔的损耗（二）
平均单程损耗因子 δ (α= δ/L) 定义（1）：单程渡越时光强的平均衰减指数。设初始光强为I0，在 无源腔（无激光介质）内往返一次后，光强衰减为I1，将光强写成 指数衰减形式 1 I0 −δ −δ − 2δ
I 1 = ( I 0e )e
= I0e
⇒ δ =
2
In
I1
定义（2）：单程渡越时光强的平均衰减百分数
光学谐振腔内的多纵模振荡
在谐振腔中，满足模的谐振条件的纵模数有无数个（q可取任 意整数）。但实际上只有那些既满足谐振的相位条件又满足自 激振荡的增益阈值条件（ g 0 ≥ α )的模式才能起振。 ΔνT:增益曲线中满足增益 阈值条件的频带宽度。 在谐振 DL β
L' η L βL δβ = = = 2D τ Rc τ Rc
结论：腔镜倾斜角越大，腔长越长，腔镜横向尺寸越小，几何 偏折损耗越大。
光腔的损耗（九）
开腔模的形成过程
3）衍射损耗 考察均匀平面波通过圆孔时由衍射产生的能量变化，开孔处对 应的是腔反射镜，则衍射到孔外的光损失掉了（越过腔反射镜 跑到腔外）。 均匀平面波入射到半径为 a 的 L 第一个圆孔上，穿过孔径时将 Lθ 发生衍射，其衍射角（第一极 θ 小值处对光轴的张角）为 I’ 2a I0
λ0 q L' = q ⋅ 2
光腔中纵向场分布——驻波
将由 q 表征的腔内纵向场 分布称为腔的纵模，不同 的q 对应不同的纵模。 （3）模式的谐振频率是分立的。
c 纵模间隔（相邻两个纵模之间的频率差）为 ∆v q = 2 L'
光学谐振腔中的纵模（三 ）
注意: 以上模式频率是在不考虑衍射时在几何光学近似下 推出的，在腔长确定后，模式的频率由纵模阶次 q 单值 决定，实际情况并非如此。严格的模式理论应考虑光在 腔镜上的衍射，模式的频率将由纵模阶次 q 和横模阶次 m、n 共同决定。但几何光学近似下推出的纵模间隔公式 是一个普适公式。该式表明：腔长越小，纵模间隔越大。
由损耗因子的定义，由镜面反射不完全所引入损耗因子 δr 为 −2δ r
I1 = I 0 r1r2 = I 0 e
得到
1 1 δ r = − ln r1r2 = ln 2 r1r2
结论：腔镜反射率越小，即透射率越大，透射损耗越大。
光腔的损耗（七）
2）几何偏折损耗 设两个腔镜构成小的角度β，腔镜 横向尺寸为D，光在两镜面间经有 限次往返后必将逸出腔外。设开始 时光与一个镜面垂直。入射光与反 射光的夹角将依次为2 β，4 β，6 β，8 β，……第i 次往返，沿腔面 移动L•2β(2i-1)。设光在腔内往返m 次才逸出腔外。则 L ⋅ 2 β + L ⋅ 6 β + Λ + L( 2 m − 1) 2 β = D
课堂小节（二）
判断： × 1、激光器中实际存在的纵模数为无穷个。 √ 2、腔长越长，激光器中能起振的纵模数为越多。 √ 3、不同横模，几何偏折损耗及衍射损耗大小不同。 × 4、光子在腔内平均寿命越长，腔的损耗越大。 √ 5、腔镜反射率越小，透射损耗越大。 × 6、腔长越长，腔镜面积越小，光波波长 λ 越小，衍射损耗越大。 √ 7、腔镜倾斜角越大，腔长越长，腔镜横向尺寸越小，几何偏折 损耗越大。
腔与模
光波模式与光子态
电磁场的本征态：在给定边界条件的有限空间内，电磁场的空间 分布不是随意的，而是由麦克斯韦方程组及空间的边界条件决定 的。场的本征态就是麦克斯韦方程组在给定边界条件下的稳态解 解，每一个稳态解对应于一个本征态。一旦给出边界条件，场的 本征态就确定下来。场的每一个本征态将具有特定的频率和特定 的空间分布（振幅和相位分布） 。 光波模式与光学谐振腔：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征 态称为模式。一旦给出光学谐振腔的具体几何结构（腔长、腔镜 曲率半径、腔镜形状及尺寸），麦克斯韦方程组的解E(x,y,z)可 求出，场的本征态/模式就确定下来。这就是腔与模的对应关系。 因此，光学谐振腔理论就是激光模式理论。 模式的基本特征：光强和相位的空间分布、频率、在腔内往返一 次的相对功率损耗、与该模式所对应的激光束的发散角。只要知 道了腔的的参数，就可以唯一确定模式的上述特征。
光学谐振腔中的纵模（一）
光的纵模描述 沿光的传播方向上光波场的分布 。考察均匀平面波在 F-P腔中 的沿轴线方向往返传播的情形（假设腔镜无限大， 不考虑衍射 ）。 一个纵模对应一个沿腔轴的稳定场分布 q:某个整数 联想：驻波 各点振幅只 和位置有关 和时间无关 沿腔轴为驻波场 真空中第 q个 纵模的波长
λ0 q L' = q ⋅ 2
光腔的光学长度
λ0 q =
2 L' q
c vq = q 2 L'
满足条件的纵 模有无数个
模的谐振条件 第 q个纵模在腔内 往返一周的相移
2 L' ∆φ = 2π = q ⋅ 2π λ0 q
光学谐振腔中的纵模（二）
结论： （1）模的谐振条件为往返一次的相移为2π的整数倍 （2）腔内模式沿纵向形成驻波，光腔的光学长度是可以 在腔内存在的纵模的半波长的整数倍。
I’
θ
2a
光腔的损耗（十一）
1 δd ≈ N a2 N= Lλ
结论：衍射损耗随菲涅耳数 N 的增大而减小。腔长越长， 腔镜面积越小，光波波长 λ 越长——N 越小，衍射越明 显，衍射损耗越大。
衍射损耗随腔的类型、几何尺寸、传播模式的不同而不同。 该结论只是就均匀平面波在圆孔上的衍射对腔的损耗作粗略 估计所得，但其规律性对任何腔和任何光波模式均适用。
8β
β
L•6β
6β
L•2β
4β 2β
D m= 2 βL
2 βL[1 + 3 + 5 + Λ ( 2m − 1)] = D
光腔的损耗（八）
光在腔内往返一周的时间为t0=2L’/c，则由腔镜不平行引 起的腔内光子的平均寿命为
折射率
D 2η L η τ R = mt 0 = = 2 βL c c
相应的损耗因子δβ为
m = t /( 2 L' / c )
−
I (t ) = I 0e
= I 0e
t L' /( c δ )
= I0e
−t /τ R
L' τR = cδ L' δ = cτ R
τR 为光子在无源腔内的平均寿命，即无光增益时，由损耗决定 的寿命。 δ 越大，则τR 越小，光强衰减越快。 损耗因子与无源腔中光子寿命之间的关系式
2δ ' = ( I 0 − I1 ) / I 0 ⇒ δ ' = ( I 0 − I 1 ) /( 2 I 0 )
当损耗很小时，δ≈δ’ I 0 − I1 I 0 − I 0 e −2δ 1 1 δ '= = = (1 − e − 2 δ ) ≈ [1 − (1 − 2δ )] = δ 2I0 2I0 2 2 如果损耗由多种因素引起，每一种原因引起的损耗以相应的损耗因 子δi描述，则总的损耗因子 δ = ∑ δ i
第二章 开放式光腔与高斯光束
�
光腔理论 �光腔的分类、光腔的损耗 �几何光学矩阵分析法、共轴球面腔的稳定性条件 �模式的衍射理论分析法 �共焦腔模式、稳定球面腔模式
� 模式理论
�
高斯光束 �高斯光束表达式与特征 �高斯光束的传输与变换规律 �高斯光束的聚焦和准直 �高斯光束的自再现变换、腔与模的对应关系
1 1 t= [ −dN ( t )] ⋅ t = ∫ N 0 所有光子的寿命和 N 0
∫
∞
0
N0 t⋅ e τR
−
t τR
dt = τ R
光腔的损耗（六）
典型单程损耗推导 1）透射损耗 以 r1 r2 分别表示两个腔镜的反射率，则初始光强为 I0 的光，在腔 内往返一周后，其强度为
I1 = I 0 r1r2
θ
θ = 1.22
λ λ = 0.61 2a a
Lθ 越大，衍射效应越明显，即腔长L越长，腔镜尺寸a 越小，光 波波长 λ 越长，衍射效应越明显。损失的能量越多。
光腔的损耗（十）
损耗的定义为单程渡越后光强的平均衰减百分数。简化分析，忽 略第一暗环以外的光，并假设在中央亮斑内光强均匀分布
I 0 − I' δd = I0
g
0
ν α ν
ν
⎡ ∆ν T ⎤ N=⎢ ⎥ (+1) ⎢ ⎣ ∆ν q ⎥ ⎦
腔长越长， Δνq 就越小，能同时起振的纵模数越多。
光腔的损耗（一）
(1)(2)两种损耗为选择损耗，不同横 模各不相同； (3)(4)两种损耗为非选 择损耗，对各个横模大体一样。
（1）几何偏折损耗：光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏 折出去，由此引起的损耗称几何偏折损耗。其大小首先取决于腔的 类型和几何尺寸。稳定腔的几何偏折损耗小，非稳腔几何偏折损耗 大。其次，还取决于模式的发散角。高阶横模由于发散角大，传播 方向与轴的夹角大，几何偏折损耗比低阶横模要大。 （2）衍射损耗：由于腔的反射镜具有有限大小的孔径，因而光在 镜面上发生衍射将造成能量损失。衍射损耗与腔镜的菲涅耳数 λ) 和腔的几何参数 g 有关。不同横模，展布空间不同，衍 N=a2/(L /(Lλ 射损耗也不同。高阶横模衍射损耗比低阶横模要大。 （3）腔镜反射不完全引起的损耗：包括腔镜对光的吸收、散射以 及透射。 （4）激光物质对光的非激活吸收（受激吸收以外的吸收）、散 射，以及腔内插入物（如布儒斯特窗、调Q元件、调制器等）引 起的损耗。