万有引力(一)

22.太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是T。在行星 的赤道处用弹簧测力计测量物体的重力读数比在两级时测量的读数小10%。已知引力 常量G，求此行星的平均密度。
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四、天体质量、密度期末真题：
23.（2010 辽宁期末）天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并 测出了行星轨道半径和运动周期。由此可推算出（ ） A.行星的质量； B.行星的半径； C.恒星的质量； D.恒星的半径。 24.（2010 北京海淀期末）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。如果认 为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量（ ） A.飞船的轨道半径； B.飞船的运行速度； C.飞船的运行周期； D.行星的质量。 25.（2010 黄冈期末）某媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度 200km，运行周期127min。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用上述条件不能 求出的是（ ） A.月球表面的重力加速度； B.月球对卫星的吸引力； C.卫星绕月运行的速度； D.卫星绕月运行的加速度。 26.（2010 重庆期末）某行星绕太阳运动可近似看做匀速圆周运动，已知行星运动的 轨道半径为R，周期为T，万有引力衡量为G，则该行星的线速度大小为 ___________；太阳的质量可表示为___________。 27.（2010 绵阳期末）木星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等，线 度从1μm到10m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104m延伸 到1.4×105m。已知环的外缘颗粒绕木星做圆周运动的周期约为14h，引力常量为 6.67×10-11N·m2/kg2，则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用） （ ） A.9.0×1016kg； B.6.4×1017kg； C.9.0×1025kg； D.6.4×1026kg。
! 2.万有引力定律： 内容 文字表述 自然界中任何两个物体都是相 互吸引的，引力的大小跟两个 物体的质量的乘积成正比，跟 它们的距离的平方成反比 说明 万有引力作用是自然界中四中基本 作用力之一，是一个宏观力，引力 与物体所在的空间的性质无关，与 周围是否存在其他的物体无关。 m1、m1是被视为质点的物体质量， 或质量分布均匀的球体，r为球心距 首先由卡文迪许扭秤实验测出
16.（2005 全国）把火星和地球绕太阳运动的轨道视为圆周，由火星和地球绕太阳运 动的周期之比可求得（ ） B.火星和太阳的质量之比； A.火星和地球的质量之比； C.火星和地球到太阳的距离之比； D.火星和地球绕太阳运行的速度大小之比。 17.利用下面哪一组数据可以计算出地球的质量（ A.地球的半径及表面重力加速度； B.卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径和周期； C.卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径和线速度； D.卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度和周期。 18.地球半径为R，距地心距离r处有一同步卫星，另一半径为3R的x星球在距球心3r处 也有一同步卫星，周期为72h，则x星球的平均密度与地球的平均密度之比为（ ） A.1:9； B.1:3； C.3:1； D.9:1。 ）
变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地 下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。
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专题三：天体质量的计算： ! 原理依据 利用重力加速度 结果 说明 g为该星球表面重力 加速度。 r为轨道半径，T为周 期
G
Mm R2 g = mg ，求得： M = r2 G Mm 4 π 2 rm 4π 2r 3 = ，求得： M = r2 T2 GT 2
8.如图所示为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星， 它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨 道半径为R0，周期为T0。 ⑴.中央恒星O的质量是多大？ ⑵.长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏 离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这 种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同 一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离．根据 上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测。
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三、过关练习：
12.美国天文学家于今年3月15日宣布，他们发现了可能成为太阳系第十大行星的以女 神“赛德娜”命名的红色天体。如果把该行星的轨道近似为圆轨道，则它绕太阳公转的 轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的470倍，这是迄今为止发现的离太阳最远的 太阳系行星。该天体半径约为1000km，约为地球半径的1/6。由此可以估算出它绕太 阳公转的周期最接近（ ） C. 470年 D. 104年 A. 15年 B. 60年
利用天体的卫 星
r为轨道半径，T为 周期
10.（2009 全国）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的 4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量 G=6.67×10-11N·m2/kg2,,由此估算该行星的平均密度为（ A.1.8×103kg/m3 C. 1.1×104kg/m3 ）
公式
F =G
m1m2 r2
引力常量
G＝6.67 ×10-11N·m2/kg2
! 二、专题详解： ! 专题一：开普勒定律的应用：
1.某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远 日点时行星的速率为va，则过近日点时的速度vb为（ ） A. vb =
b va ； a a va ； b
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万有引力（一）
一、知识梳理： ! 1.开普勒行星定律：
! ! ! ! ! ⑴.所有行星绕太阳的运动轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上； ⑵.对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积； ⑶.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等，即
r3 是常量。 T2
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B．1.6小时；
C．4.0小时；
D．24小时。
专题二：万有引力公式： 2个推论： ! 1.在匀质球层空腔中任意位置处，质点收到地壳的万有引力的合力为零； 2.在匀质球体内部距球心r处。质点受到的万有引力等于半径为r的球体的引力。
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3.如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体 R处有一质量为m的质点，此时球体对质点的万有引力为F1. 当从球体中挖去一半径为R/2的球体时，剩下部分对质点的 万有引力为F2，求F1:F2。 4.（2009 全国）如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内 储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为 ；石油密度远小于 ，可将上述球形区域视为空腔。
B. 5.6×103kg/m3 D.2.9×104kg/m3
11.如图所示，某星球有A、B两颗卫星。已知这两颗卫星绕星球做匀速圆周运动的周 期分别为TA和TB，两颗卫星在同一轨道平面运行，两者间所能达到的最大距离为L，万 有引力常量为G。则由以上已知量可求出的物理量有（ ） A．两颗卫星的线速度大小 B．该星球的质量 C．该星球的密度 D．该星球表面的重力加速度
利用天体的卫星
G
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5.据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200km，运行周期127 分钟。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件能求出的是（ ） A．月球表面的重力加速度； B．月球对卫星的吸引力； C．卫星绕月球运行的速度； D．月球的质量。 6.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在 某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处（取地球 表面重力加速度g=l0m/s2,空气阻力不计）。 ⑴.求该星球表面附近的重力加速度g’； ⑵.已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶4，求该星球的质量与地球质 量之比M星：M地。
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19.（2010 安徽）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月 发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆 形轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可以视为质量分布均匀的球体，且忽略火 星的自转影响，引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出（ A.火星的密度和火星表面的重力加速度； B.火星的质量和火星对“萤火一号”的引力； C.火星的半径和“萤火一号”的质量； D.火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力。 ）
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9.（2009 黄冈中学模拟）借助于物理学，人们可以了解到无法用仪器直接测量的物理 量，使人类对自然界的认识更完善。现已知太阳光经过时间t0到达地球，光在真空中 的传播速度为c，地球绕太阳的轨道可以近似认为是圆，地球的半径为R，地球赤道表 面的重力加速度为g，地球绕太阳运转的周期为T，试由以上数据以及你所知道的物理 知识推算太阳的质量M与地球的质量m之比为多大？
B. vb =
a va ； b b va 。 a
C. vb =
D. vb =
2.（2008 四川）1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km 的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆 轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为 3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周 期的是（ ） A．0.6小时； ! ! ! !
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专题四：天体密度的计算： ! 原理依据 利用重力加速 度 结果 说明 g为该星球表面重 力加速度,R为天体 球半径。
⎧ Mm G = mg ⎪ ⎪ r 2 3g ，求得： ρ = ⎨ 4 π GR ⎪ M = ρ i 4 π R 3 ⎪ ⎩ 3 ⎧ Mm 4 π 2 rm ⎪ ⎪G r 2 = T 2 3π r 3 ，求得： ρ = ⎨ GT 2 R 3 ⎪ M = ρ i 4 π R 3 ⎪ ⎩ 3
20.如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。如果 通过球心挖去一个直径为R的小实心球，然后置于相距为d的 地方，试计算空心球与小实心球之间的万有引力。
21.地球是一个密度均匀的球体，其半径R＝6.4×103km，现假想 在地球内挖一球形内切空腔，球心O点在其腔壁上，如图所示。 有一小球自切点A处释放，试问，这小球在释放后经多少时间到 达球心？
13.地球的质量是月球的81倍，一飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球 对它的引力相等时，飞行器距地心的距离与距月心距离之比是（ A.1:81； B.81:1； C.1:9； ） D.9:1。
14.（2010 江苏）要使相距较远的两物体间的万有引力减小到原来的 1/4，下列办法可 行的是（ ） A．使两物体的质量各减少一半、距离不变； B．使其中一个物体的质量减小到原来的 1/2，距离不变； C．使两物体间的距离增为原来的 2 倍，质量不变； D．使两物体间的距离和质量都减少原来的1/4。 15.（2008 江苏）火星的质量和半径分别约为地球的1/10和1/2,地球表面的重力加速度 为g,则火星表面的重力加速度约为（ A.0.2 g B.0.4 g ） C.2.5 g D.5 g
7.（2008 河北邯郸一中月考）“嫦娥一号”的成功发射,为实现中华民族几千年的奔月梦 想迈出了重要的一步。已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似圆周,距月球表面高度为H， 飞行周期为T,月球的半径为R．试求: ⑴.月球的质量； ⑵.如果在月球表面做平抛运动实验,物体抛出时离地面高度为h（h远小于R）,水 平位移为L,则物体抛出时初速度是多少?
如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值） 沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大 小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原 坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏 离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力 加速度反常现象。已知引力常数为G。 （1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径）， 起的Q点处的重力加速度反常 （2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在 与 （k>1）之间 =x，求空腔所引