[VIP专享]第二章 离散傅里叶变换 数字信号处理习题答案8
数字信号处理第2章习题答案
根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2π 变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点 附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形 成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则 形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的 极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。
故
X (z)z 1zN z 1 N (z 1 1 )zN z 1 N (z 1 1 )z2 1 N 1 zz N 1 1 2
［例2.4.4］ 时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为
H(z) 1 , a和b为常数 (za)(zb)
（1） 要求系统稳定， 确定a和b的取值域。 （2） 要求系统因果稳定， 重复（1）。 解： （1） H(z)的极点为a、 b， 系统稳定的条件是收敛 域包含单位圆， 即单位圆上不能有极点。 因此， 只要满足 |a|≠1, |b|≠1即可使系统稳定， 或者说a和b的取值域为除单位圆 以的整个z平面。 （2） 系统因果稳定的条件是所有极点全在单位圆内， 所以a和b
采样间隔T=0.25 s， 得到 xˆ ( t ) ， 再让 xˆ ( t ) 通过理想低通
滤波器G(jΩ)， G(jΩ)用下式表示:
G(j)0.025
≤ 4π 4π
(1) 写出xˆ ( t )的表达式;
(2) 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。
解：(1)
x ˆ(t) [c2 o πn s)T (co 5πs n()T ](tn)T n
（3） 若y(n)=x(n)h(n), 则
Y(ej)1H(ej)X(ej) 2π
这是频域卷积定理或者称复卷积定理。
（4）
xe(n)12[x(n)x(n)]
数字信号处理第2章习题解答
e
n 0
e
j ( 0 )
n
1 1 e e j (0 )
当 e 1 0
2-9 求 x(n) R5 (n) 的傅里叶变换 解：X (e j )
5 j 2
n
j
x ( n )e j n e j n
1 1 1 z 2
1 1 1 2 1 z z 2 4 1
1 1 1 2 X ( z) 1 z z 2 4 n 1 n z 2 n 0
1 x(n ) u(n ) 2
n
1 1 1 z 2 1 1 z 2 1 1 1 2 z z 2 4 1 2 z 4
解：
1 由x1 ( n ) u( n ) 2
1 z 2
n
1 得 X 1 ( z ) ZT [ x1 ( n )] 1 1 1 z 2 n 1 由x2 ( n ) u( n ) 3 1 得 X 2 ( z ) ZT [ x2 ( n )] 1 1 1 z 3
1 z 3
z3 z 3z 5 1 1 1 1 1 z 1 z z 3 z 2 3 2
1 z 3 2
j x ( n ) X ( e ): 2-7 求以下序列 的频谱
（1） (n n0 )
X ( e j )
n j n ( n n ) e 0
0
1/ 4 Re[ z ]
当 n 1 时， F ( z )在围线c内有一 (n 1)阶极点 z 0 在围线c外有单阶极点 z 1/ 4， 且分母阶次高于分子阶次二阶以上
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
DTFT [ x ( n )]
)
1 2
[ X (e
j
) X (e
j
j
n
x (n )e
j n
[
n
x (n )e
j n
] [
*
n
x (n )e
j( )n
]
X (e
*
j
)
满足共轭对称性 共轭反对称函数
x a (t ) X a ( s )
§2.1 三大变换之间的关系
即：
X (z)
ze
sT
X (e
sT
ˆ (s) ) X a
取样信号
ˆ (s) ˆ a (t ) X x a
ˆ (s) X a
ˆ a (t )e x
st
dt
st
x ( n ) x a ( nT )
ˆ (s) 1 X a T
§2.1 三大变换之间的关系
k
X a ( s jk s )
令s=jΩ
ˆ ( j ) X ( e X a
j T
)
1 T
k
X a ( j jk s )
X (e
j
)
1 T
k
X a( j
k 2
d
11
X (e
j
)e
j n
d
非周期离散
12
2
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
《数字信号处理》(2-7章)习题解答
第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。
(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。
(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。
(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。
(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。
(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。
(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。
(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。
邹理和《数字信号处理上》课后习题答案
n = −∞ ∞
∑ cos 2 n
n = −∞ ∞
∞
π
∑ − cos
3π n 2
n = −∞
∑ cos
5π n 2
频谱混淆现象是指采样频率小于带限信号的最高频率(0 到 2π内) 的 2 倍时所产生 的一种频谱混叠，使得采样后的序列不能真正反映原信号。
3．解：
对于 x a1 来说 ω M =2π，而 ω s =8π>2 ω M =4π，∴ y a (t ) 无失真，可以被还原； 对于 x a 2 来说 ω M =5π，而 ω s =8π<2 ω M =10π，∴ y a (t ) 有失真，不可以被还原；
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发邮件到：huntsmanydw@
数字信号处理(邹理和编)
课后习题答案
第 2 页，共 84 页
4．解： (1)δ(n)因果稳定 (3)u(n), 因果非稳定
；(2) δ(n- n 0 )， n0 >=0，因果稳定； n 0 <0，稳定非因果 ；(4)u(3-n)，非因果非稳定
y ( n ) = 0 .5 n u ( n ) ⊗ R 5 ( n ) a )0 ≤ n < 4时, y (n) = 2 − 2 n b)n ≥ 4时, y (n) = 31 ⋅ 2 n y (n) = 0.5 n u (n) ⊗ R5 (n)
6．解：
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(11)
； (12)
5．解： (1)
R4 (n) = δ (n) + δ (n − 1) + δ (n − 2) + δ (n − 3) y (n) = R4 (n) ⊗ R4 (n) = δ (n) + 2δ (n − 1) + 3δ (n − 2) + 4δ (n − 3) + 3δ (n − 4) + 2δ (n − 5) + δ (n − 6) R4 (n) = δ (n) + δ (n − 1) + δ (n − 2) + δ (n − 3) y (n) = R4 (n) ⊗ R4 (n) = δ (n) + 2δ (n − 1) + 3δ (n − 2) + 4δ (n − 3) + 3δ (n − 4) + 2δ (n − 5) + δ (n − 6) (2) y (n) = 2 n R4 (n) ⊗ [δ (n) − δ (n − 2)] = 2 n R4 (n) − 2 n − 2 R4 (n − 2) (3)
数字信号处理教程课后习题及答案
6.试判断:
是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?
分析：利用定义来证明线性：满足可加性和比例性， T [a1 x1 (n ) + a 2 x2 (n )] = a1T [ x1 (n )] + a2T [ x2 (n )] 移不变性：输入与输出的移位应相同 T[x(n-m)]=y(n-m)。
,
(2)x(n) = R3(n)
,
(3)x(n) = δ (n − 2) ,
(4)x(n) = 2n u(−n − 1) ,
h(n) = R5(n) h(n) = R4 (n) h(n) = 0.5n R3(n) h(n) = 0.5n u(n)
分析：
①如果是因果序列 y (n ) 可表示成 y (n ) ={ y (0) ， y(1) ， y(2) ……}，例如小题（2）为
y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = 0 y1 (2) = ay1 (1) + x1 (2) = 0
┇
8
y1(n) = ay1(n − 1) + x1(n) = 0 ∴ y1 (n) = 0 , n ≥ 0 ii) 向 n < 0 处递推，将原方程加以变换
y1(n + 1) = ay1(n) + x1(n + 1)
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
数字信号处理第二章习题答案
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωω（等比数列求解）ωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee ((1-e^a)提出e^(0.5a))（5） 3350011()(3)44nkj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。
数字信号处理(方勇)第二章习题答案
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωωωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee（5） 3350011()(3)44n kj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。
数字信号处理习题答案
部分练习题参考答案第二章2.1 )1(2)(3)1()2(2)(-+++-+=n n n n n x δδδδ)6()4(2)3()2(-+-+-+-+n n n n δδδδ2.2 其卷积过程如下图所示)5(5.0)4()3()2(5.2)1(5)(2)(-------+-+=n n n n n n n y δδδδδδ2.3 （1）3142,73==ωππω这是有理数，因此是周期序列。
周期N =14。
（2）k kp ππ168/12==，k 取任何整数时，p 都不为整数，因此为非周期序列。
（3）k kp k k p 45.02,5126/5221====ππππ，当p 1，p 2 同时为整数时k =5,x (n )为周期序列,周期N =60。
（4）k kp πππ25.16.12==，取k =4，得到p =6，因此是周期序列。
周期N =6。
2.4 （1） ∑∞-∞=-=*=m m n R m R n h n x n y )()()()()(45(a) 当n <0 时，y (n )=0-0.5 -1 2.55h (m ) x (m ) 00 mm-121 0.51 2 h (0-m)m-121 h (-1-m)m-12 1h (1-m) 0m-121y (n )n-12(b) 当30≤≤n 时，11)(0+==∑=n n y nm(c) 当74≤≤n 时，n n y n m -==∑-=81)(34(d) 当n>7时，y (n )=0所以743070810)(≤≤≤≤><⎪⎩⎪⎨⎧-+=n n n n n n n y 或 （2）)2(2)(2)]2()([)(2)(444--=--*=n R n R n n n R n y δδ)]5()4()1()([2-----+=n n n n δδδδ（3）∑∞-∞=--=*=m mn m n u m R n y n x n y )(5.0)()()()(5∑∞-∞=--=m mnm n u m R )(5.0)(5.05(a) 当n <0 时，y (n )=0 (b) 当40≤≤n 时，n n nnm mn n y 5.0221215.05.05.0)(1-=--==+=-∑(c) 当5≥n 时，n nm mn n y 5.03121215.05.05.0)(540⨯=--==∑=- 最后写成统一表达式：)5(5.031)()5.02()(5-⨯+-=n u n R n y nn（4）∑∞-∞=-=*=m mn m R n h n x n y 5.0)()()()(3(a) 当n ≤0 时，y (n )=0(b) 当31≤≤n 时，n nnn m mnn y 5.0121215.05.05.0)(1-=--==∑-=-(c) 当54≤≤n 时，25.05.01621)21(25.05.05.0)(6232-⨯=--==---=-∑n n n nn m mnn y(d) 当n ≥6时，y (n )=0)5(25.0)4(75.0)3(875.0)2(75.0)1(5.0)(-+-+-+-+-=n n n n n n y δδδδδ2.6 （1）非线性、移不变系统（2）线性、移不变系统 （3）线性、移变系统 （4）非线性、移不变系统 （5）线性、移变系统2.7 （1）若∞<)(n g ，则稳定，因果，线性，时变（2）不稳定，0n n ≥时因果，0n n <时非因果，线性，时不变 （3）线性，时变，因果，不稳定 2.8 （1）因果，不稳定（2）因果，稳定（3）因果，稳定 （4）因果，稳定 （5）因果，不稳定 （6）非因果，稳定 （7）因果，稳定 （8）非因果，不稳定 （9）非因果，稳定 （10）因果，稳定2.9 因为系统是因果的，所以0)(,0=<n h n令)()(n n x δ=，)1(5.0)()1(5.0)()(-++-==n x n x n h n h n y 1)1(5.0)0()1(5.0)0(=-++-=x x h h15.05.0)0(5.0)1()0(5.0)1(=+=++=x x h h 5.0)1(5.0)2()1(5.0)2(=++=x x h h 25.0)2(5.0)3()2(5.0)3(=++=x x h h 15.0)1(5.0)()1(5.0)(-=-++-=n n x n x n h n h所以系统的单位脉冲响应为)1(5.0)()(1-+=-n u n n h n δ2.10 （1）初始条件为n <0时，y (n )=0设)()(n n x δ=，输出)(n y 就是)(n h 上式可变为)()1(5.0)(n n h n h δ+-=可得 11)1(5.0)0(=+-=h h 依次迭代求得5.00)0(5.0)1(=+=h h25.00)1(5.0)2(=+=h hn n h n h 5.00)1(5.0)(=+-=故系统的单位脉冲响应为)(5.0)(n u n h n= （2）初始条件为n ≥0时，y (n )=0)]()([2)1(n x n y n y -=-0,0)(≥=n n h2)]0()0([2)1(-=-=-x h h 22)]1()1([2)2(-=---=-x h h 32)]2()2([2)3(-=---=-x h hn n h n h 2)1(2)(-=+=所以)1(2)(---=n u n h n2.11 证明（1）因为∑∞-∞=-=*m m n h m x n h n x )()()()(令m n m -='，则)()()'()'()()('n x n h m h m n x n h n x m *=-=*∑∞-∞=（2）利用（1）证明的结果有)]()([)()]()([)(1221n h n h n x n h n h n x **=**∑∞-∞=-*-=m m n h m n h m x )]()()[(12∑∑∞-∞=∞-∞=--=m k k m n h k h m x )()()(12交换求和的次序有∑∑∞-∞=∞-∞=--=**k m k m n h m x k h n h n h n x )()()()]()([)(1221∑∞-∞=-*-=k k n h k n x k h )]()()[(12)]()([)(12n h n x n h **= )()]()([21n h n h n x **=（3）∑∞-∞=-+-=+*m m n h m n h m x n h n h n x )]()()[()]()([)(2121∑∑∞-∞=∞-∞=-+-=m m m n h m x m n h m x )()()()(21)()()()(21n h n x n h n x *+*=2.12 ∑∞-∞=--=*=m m n Nm n u a m Rn y n x n y )()()()()(∑∞-∞=--=m m Nnm n u a m Ra)()((a) 当n <0 时，y (n )=0(b) 当10-≤≤N n 时，11/11)/1(1)(110--=--==++=-∑a a a a a aan y n n nnm mn(c) 当N n ≥时，1)/1(1)/1(1)(111--=--==+-+-=-∑a a a a a a aan y N n n N nN m mn最后写成统一表达式：)(1)(11)(111N n u a a a n R a a n y N n n N n ---+--=+-++ 2.13 )]4()([*)()()()(11--=*=n n n u n h n x n y δδ)()4()(4n R n u n u =--=)()()()()(421n u a n R n h n y n y n *=*=)4(1)(113141---+--=-++n u a a a n R a a n n n2.14 （1）采样间隔为005.0200/1==T)()82sin()(ˆ0nT t nT f t xn a -+=∑∞-∞=δππ)()8100sin(nT t nT n -+=∑∞-∞=δππ（2）)85.0sin()(ππ+=n n x数字频率πω5.0=，42=ωπ，周期N =42.15 （1）0)()(0n j n n j j e e nn eX ωωωδ-∞-∞=-=-=∑ （2）∑∑∞=-+-∞-∞=-==0)(0)()(n n j n j n nj j e e en x eX ωωαωω∑∞=--=0)(0n nj eeωωα)(01ωωα---=j ee （3）∑∑∑∞=+-∞=--∞-∞=-===)(0)()(n n j n nj nn nj j e eeen x eX ωαωαωω)(11ωαj e +--=（4）∑∑∞=--∞-∞=-==0cos )()(n n j n n nj j ne e en x eX ωαωωω∑∑∞=----+---∞=-+=+=0)()(0][21)(210000n n j j n j j nj n j n j n ne e e e e e ωωαωωαωωωααωαωαωωωαωωαωω2200)()(cos 21cos 111112100------+----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=e e e e e e e e e e j j j j j （5）nj N N n n nj j e n N en x eX ωωωπ--=∞-∞=-∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==12cos 1)()( ∑∑-=---=-++=1212)(21N N n n j n N j nN j N Nn nj e e e eωππω ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--+--=+-+-+-------)()()()()()(1)1(1)1(211)1(ωπωπωπωπωπωπωωωN j N N j N N j N j N N j N N j j Nj Nj e e e e e e e e e-0.92-0.380.920.38x (n ) 0nωωωωωωπωN j j j j N j e N e e Ne N e N 232)123()2cos(cos 21cos 12sin )2sin(------+--+=2.16 （1）⎰⎰⎰-==--πωπωππωωωπωπωπ002121)(21)(d je d je d e e H n h n j nj n j j ⎪⎩⎪⎨⎧=--=为奇数为偶数n n n n n ππ20)1(1 （2）)sin()()()(011n n h n x n y ω=*=)cos()()()(022n n h n x n y ω-=*=2.17 （1）)(ωj eX -*（2）)]()([21ωωj j e X eX -*+（3）)]()([2122ωωj j e X e X -+（4）)(2ωj e X2.18采样间隔为25.0=T ，采样频率π8=Ωs)(1t y a 没有失真，因为输入信号的频率π21=Ω小于π42=Ωs)(2t y a 失真，因为输入信号频率π52=Ω大于π42=Ωs第三章3．1 设)(ωj eX 和)(ωj e Y 分别是)(n x 和)(n y 的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换：（1）)(0n n x - （2） )(*n x （3） )(n x - （4） )(*)(n y n x （5） )()(n y n x ∙ （6） )(n nx （7） )2(n x （8）)(2n x （9）⎩⎨⎧===奇数，偶数n n n x n x 0),2()(9解：（1） FT[)(0n n x -]=∑∞-∞=--n n j e nn x ω)(0令0n n n -='，0n n n +'=，则FT[)(0n n x -]=)()(00)(ωωωj n j n n n j e X e e n x -∞-∞=+''-='∑ （2） FT[)(*n x ]=)(*])([)(**ωωωj n n j n nj e X e n x en x-∞-∞=-∞-∞=-∑∑==（3） FT[)(n x -]=∑∞-∞=--n nj en x ω)(令n n -='，则FT[)(n x -]=∑∞-∞=''n n j e n x ω)()(ωj e X -=（4） FT[)(*)(n y n x ]=)(ωj eX )(ωj e Y证明 )(*)(n y n x =∑∞-∞=-m m n y m x )()(FT[)(*)(n y n x ]=∑∑∞-∞=-∞-∞=-n nj m em n y m x ω)]()([令m n k -=，则FT[)(*)(n y n x ]=m j k kj m e ek y m x ωω-∞-∞=-∞-∞=∑∑)]()([=mj k m kj em x ek y ωω-∞-∞=∞-∞=-∑∑)()(=)(ωj eX )(ωj e Y（5） FT[)()(n y n x ∙] =∑∞-∞=-n nj en y n x ω)()(=∑⎰∞-∞=-'-''n n j n j j e d e eY n x ωωππωωπ])(21)[(=ωπωωππω'∑⎰∞-∞='---'d e n x eY n n j j )()()(21=ωπωωππω''--'⎰d e X e Y j j )()(21)( 或者 FT[)()(n y n x ]=)(*)(21ωωπj j e Y e X（6） 因为∑∞-∞=-=n nj j en x eX ωω)()(，对该式两边对ω求导，得到j e n nx j d e dX n n j j -=-=∑∞-∞=-ωωω)()(FT[)(n nx ] 因此 FT[)(n nx ]=ωωd e dX j j )(（7） FT[)2(n x ]=∑∞-∞=-n nj en x ω)2(令n n 2='，则FT[)2(n x ]=∑''-'取偶数n n j en x 2)(ω=n j nn e n x n x ω21)]()1()([21-∞-∞=-+∑=])()([212121n j n n j n j n e n x e en x ωπω-∞-∞=-∞-∞=∑∑+ =)]()([21)21(21πωω-+j j e X e X 或者FT[)2(n x ]=)()]()([21212121ωωωj j j e X e X eX =+ （8） FT[)(2n x ]=∑∞-∞=-n n j e n xω)(2利用（5）题结果，令)()(n y n x =，则FT[)(2n x ]=)(*)(21ωωπj j e X e X =ωπωωππω''--'⎰d e X e X j j )()(21)( （9） FT[)(9n x ]=∑∞-∞=-取偶数n n n j e nx ω)2(令∞≤'≤∞-='n n n ,2，则FT[)(9n x ]=)()(22ωωj n n n j e X en x ='∑∞-∞='-取偶数3．2 已知⎩⎨⎧≤<<=πωωωωω||,0||,1)(00j e X求)(ωj eX 的傅里叶反变换)(n x 。
数字信号处理(方勇)第二章习题答案
2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωωωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee（5） 3350011()(3)44n kj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。
数字信号处理 课后习题答案 第2章.docx
习题1.设X（e"。
）和r（e JC0）分别是印7）和）仞的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换:(1) x("-"o) (3) x(-n) (5) x(")y(")(7) x(2n)⑵ x*(〃)(4) x(") * v(«) (6) nx(n) (8) /(〃)解：⑴00 FT[X(/7-Z70)] = £x(〃一〃o)e—S令n r = n-n0,即〃=n' + n Q,贝!J00FT[x(n-n o y\=工》(〃')以"''*""="初。
乂(烈)00 00(2)FT[x («)] = £ x* (n)e*= [ £ 戏〃)攻以]* = X* (e「W=—00 w=—00(3)00FT[x(—")]= 〃)e*"令=一〃,则00FT[x(—”)]= Zx(〃')e" =X(e—〃")”'=—00(4)00 x(〃) *'(〃)= ^\x(jrT)y(n -m)W=-0000 00FT[x(n) * v(w)] = Z【Z x("y("-初)]e""' n=-<x> w=-oo k = n-m,贝U00 00FT[x(ri)*y(ri)]= £[ £x(初) k=—CD W=-0000 00k=-<x> m=—cc= X(e5(em)_00 00 1时[x(M)贝〃)]= Z》(〃)贝〃)e「9 = Zx(〃)[-Lf/(em'"'"d 渺]e-加""=—00 〃=—00 2l "1 00=—£ Y(e j0)')2l " n=—<x>1 伙=一L "口")*?®"、技或者FT[x{n)y{ny\ = —「171 »兀oo(6)因为X(e，")= »("初,对该式两边口求导，得到叫、)=-J £仗"如=-jFT[nx(n)]因此矶孙(〃)]=j至@3)dco00⑺ FT\x(2ri)\=加n=-(x)令n' = 2n ,则FT[X(2W)]= £x(z/)e 7 %W--00,且取偶数00 1 r r・l 八1°0 . 1 00 . 1£?kO + (T)“x(")厂=| 广伽+£ef ("广伽〃=—oo 匕匕〃=—oo 〃=—00=L「xa*+x(/*E)F7[x(2z?)] = | X(e‘2") + X(—e'尸)(8) F7[X2(»)]= J X2(77)6^»=-OO利用(5)题结果，令x{n) = y{n),则F巾2(”)] = _£x(em)*X(eS) = —「X®。
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
最后结果为 0
n<0或n>7
y(n)= n+1 0≤n≤3 8－n 4≤n≤7
y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2)
=2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5) y(n)的波形如题8解图（二）所示
因此系统是非线性系统。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（6） y(n)=x(n2)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x((n－n0)2) y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
因此系统是非时变系统。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（5） y(n)=x2(n)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x2(n－n0) y(n－n0)=x2(n－n0)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=［ax1(n)+bx2(n)］2 ≠aT［x1(n)］+bT［x2(n) =ax21(n)+bx22(n)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题4解图（一）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题4解图（二）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题4解图（三）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)
第2章 离散傅里叶变换题解
(1 N
N 1
F (k)WNkn )RN
k 0
(n)
[N 4
(WN n
WN(N 1)n )RN
(n)
N 4
j 2 n
(e N
j 2 n
e N )RN (n)
N 4
cos 2 N
nRN (n)
(2)
N 1
f (n) y(n) * x(n) ( y(m)x((n m)) N )RN (n) m0
DF
T[
x(
n)]
[
1 2
1 e j0N
1
e
j
0
W
k N
1 1 e j0N
2
1
e
W j0 k N
]RN
(k)
1 cos0 N WNk cos0 WNk cos(N 1 2 cos0WNk WN2k
1) 0
RN (k)
(3)
x(n) sin0nRN (n)
sin 0 n
Im[e
j0n
N 1
n sin 2
m0
2 N
m)RN
(n)
N 2
cos 2 N
nRN
(n)
N2
F
(k
)
4
, k 1, N 1
0, 其他k
f
(n)
(1 N
N 1
F
(k
)W
kn N
)
RN
(n)
k 0
[
N 4
(WNn
W
( N
N
1)
n
)
]R
N
(n)
N 2
cos 2 N
nRN (n)
第2章_傅立叶变换与频谱分析_习题
第二章 傅立叶变换与频谱分析 （习题参考答案）
数字信号处理
2-1 解: Q
ω0 =
Ω
TS
=
2πf fS
0
∴ 10 f S = 1000ΗZ ,
20 f S = 10000 ΗZ
ω0 =
2π ×100 = 0.2π rad
1000
s
ω0 =
2π ×100 = 0.02π rad
10000
s
2-2 证明: 根据线性移不变系统的频率响应特性:当一个 LSI 系统的输入信号 x(n)是一
e− jw
−
d
∗ k
1 − dke−jw
( ) (( )) ∏ Η∗ ejw
=
M
G∗
k =1
e jw − dk 1 − d∗ke jw
( ) ( ) ( ) Η e jw = Η e jw • Η∗ e jw
M
( )( ) = G • G∗∏ ( )( ) k=1
e jw − dk 1 − d∗ke jw
πn
( ) X ejw
( ) 10 X e jw = 1000,− π ≤ w ≤ π
5
5
( ) 2 0 X e jw = 300,− 2π ≤ w ≤ 2π
3
3
( ) 30 X e jw = 150,− 4π ≤ w ≤ 4π
3
3
10
20
6
苏州大学
( ) X e jw
1000
数字信号处理
( ) X e jw
( ) ∞
(3) ∑ Aξ n − k e−jwn ,当且仅当 n = k 时有值 n =−∞ e = A − jwk
数字信号处理习题集(附答案)
第一章数字信号处理概述简答题:1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答:在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时,采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器.在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化,故又称之为“平滑”滤波器.判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
( ）答：错.需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理.（ ) 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析,再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础.第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器,如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应)，把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器.（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于,求整个系统的截止频率. （b)对于kHz T 201=，重复(a ）的计算.解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响,故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定,是625Hz 。
数字信号处理答案第2章
X (k ) − W X (k ) = ∑ WNkm − ( N − 1)
k N m =1
kn = ∑ W N − 1 − ( N − 1) = − N n =0 N −1
N −1
14
所以，
X (k ) =
−N , k ≠ 0 ，即 k 1 − WN N ( N − 1) k =0 2 X (k ) = −N k = 1, 2, L, N − 1 k 1 − WN
2． 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFT［X(k)］
N jθ 2e N − jθ X (k ) = e 2 0 k =m k = N −m 其它k
15
(1)
(2)
N jθ − j 2 e N − jθ X (k ) = j e 2 0
2π j( 2 π mn +θ ) − j( mn +θ ) 1 = e N +e N 2
2π = cos mn + θ N
n=0, 1, …, N－1
17
(2)
1 x ( n) = N
N jθ − mn N − jθ − ( N −m ) n − 2 je WN + 2 je WN
=
1− e
−j
2π (m−k ) N N 2π (m−k ) N
1− e
−j
N = 0
k =m k≠m
0≤k≤N－1
5
(6) X (k ) = ∑ cos
n =0
N −1
1 2π kn mn ⋅ WN = (e 2 N n =0
∑
N −1
j
2π mn N
数字信号处理课后习题答案 全全全
1
1 >
. . z
z
(3) , | | 0.5
1 0.5
1
1 <
. . z
z
(4)
, | | 0
1 0.5
1 (0.5 )
1
1 10
>
.
.
.
.
z
z
z
1.8 (1) ) , 0
1
( ) (1 2
1 3 3
3.014 2.91 1.755 0.3195
0.3318 0.9954 0.9954 0.3318
1 0.9658 0.5827 0.1060
z z z
z z z
z z z
z z z
. . .
. . .
. . .
. . .
. + .
=
= . . +
= . . . +
..
.
..
. π
2.13
0,1,2, , 1
( ) ( )
= .
=
k N
Y rk X k
..
2.14
Y(k) = X ((k)) R (k) k = 0,1, ,rN .1 N rN ..
2.15 (1) x(n) a R (n) N
= n y(n) b R (n) N
= n
(2) x(n) =δ (n) y(n) = Nδ (n)
2.16 ( )
1
1 a R N
a N
n
. N
离散数字信号处理答案
离散数字信号处理答案【篇一：数字信号处理答案】xt>(1)(2)(3)(1)(2)(3)1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。
图1.41信号x(n)的波形(1)(2)(3)(4)(5)(6)(修正：n=4处的值为0，不是3）（修正：应该再向右移4个采样点）1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期(1)解：非周期序列;(2)解：为周期序列，基本周期n=5;(3)解：，为周期序列，基本周期，取。
(4)解：其中，为常数，取则为周期序列，基本周期n=40。
，，取1-4判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1)非线性移不变系统(2)(3)非线性移变系统（修正：线性移变系统）非线性移不变系统(4)(5)线性移不变系统线性移不变系统（修正：线性移变系统）1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1)，其中因果非稳定系统(2)(3)非因果稳定系统非因果稳定系统(4)非因果非稳定系统(5)因果稳定系统1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图 (1)(2)(3)解：（1）（2）（3）【篇二：数字信号处理试题和答案】线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为（yn）；则输入为2x （n）时，输出为输入为x（n-3）时，输出为 y(n-3) 。
2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率fmax3、已知一个长度为n的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为x（ejw），它的n点离散傅立叶变换x（k）是关于x（ejw）的n 点等间隔采样。
4、有限长序列x(n)的8点dft为x（k），则x（k）。
5、用脉冲响应不变法进行iir数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的所产生的现象。
6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为n，则它的对称中心是7、用窗函数法设计fir数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。