数字信号处理 离散傅里叶变换的性质及应用

数字信号处理实验

题目：离散傅里叶变换的性质及应用

学院：

专业：

学生姓名：班级/学号

指导老师：

一、实验目的

1．了解DFT的性质及其应用

2．熟悉MATLAB编程特点

二、实验仪器及材料

计算机，MATLAB软件

三、实验内容及要求

1．用三种不同的DFT 程序计算8()()x n R n =的256点离散傅里叶变换()X k ，并比较三种程序计算机运行时间。

（1）编制用for loop 语句的M 函数文件dft1.m ，用循环变量逐点计算()X k ； （2）编写用MATLAB 矩阵运算的M 函数文件dft2.m ，完成下列矩阵运算：

000

0121

012(1)

(1)(1) (0)(0) (1)(1)

(1)(1) N N

N N

N N N N

N

N N N N N N

N N X x W W W W X x W W W W x N X N W W W W -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（3）调用fft 库函数，直接计算()X k ；

（4）分别调用上述三种不同方式编写的DFT 程序计算序列()x n 的离散傅里叶变换

()X k ，并画出相应的幅频和相频特性，再比较各个程序的计算机运行时

间。

M 函数文件如下： dft1.m:

function[Am,pha]=dft1(x) N=length(x); w=exp(-j*2*pi/N); for k=1:N sum=0; for n=1:N

sum=sum+x(n)*w^((k-1)*(n-1)); end

Am(k)=abs(sum); pha(k)=angle(sum); end dft2.m:

function[Am,pha]=dft2(x) N=length(x); n=[0:N-1];

k=[0:N-1];

w=exp(-j*2*pi/N);

nk=n'*k;

wnk=w.^(nk);

Xk=x*wnk;

Am=abs(Xk);

pha=angle(Xk);

dft3.m:

function[Am,pha]=dft3(x)

Xk=fft(x);

Am=abs(Xk);

pha=angle(Xk);

源程序、运行结果及结论

1、源程序

<1>function[Am,pha] = dft1(x)

N = length(x);

w = exp(-j*2*pi/N);

for k=1:N

sum = 0;

for n = 1:N

sum = sum+x(n)*w^((k-1)*(n-1));

end

Am(k) = abs(sum);

pha(k) = angle(sum);

end

end

<2> function[Am,pha] = dft2(x)

N = length(x);

n = [0:N-1];k = [0:N-1];

w = exp(-j*2*pi/N);nk = n'*k;

wnk = w.^(nk);

Xk = x*wnk;

Am = abs(Xk); pha = angle(Xk);

end

<3> function[Am,pha] = dft3(x)

Xk = fft(x);

Am = abs(Xk); pha = angle(Xk);

end

<4> clear all;

clc;

x = [ones(1,8),zeros(1,256-8)];

t = cputime;

[Am1,pha1] = dft1(x);

t1 = cputime-t;

t = cputime;

[Am2,pha2] = dft2(x);

t2 = cputime-t;

t = cputime;

[Am3,pha3] = dft3(x);

t3 = cputime-t;

subplot(6,1,1);stem(Am1);title('幅频特性1'); subplot(6,1,2);stem(pha1);title('相频特性1'); subplot(6,1,3);stem(Am2);title('幅频特性2'); subplot(6,1,4);stem(pha2);title('相频特性2'); subplot(6,1,5);stem(Am3);title('幅频特性3'); subplot(6,1,6);stem(pha3);title('相频特性3');

2、运行结果

3、 结论

从以上运行结果可以看出，调用FFT 库函数直接计算X(k)速度最快，所

用时间趋于0，矩阵运算次之，用循环变量逐点计算运行速度最慢。因此FF T 算法大大提高了DFT 的实用性。

2．利用DFT 实现两序列的卷积运算，并研究DFT 点数与混叠的关系。

（1）已知两序列： ⎩⎨⎧>≤≤=3;0

3

0;)5/3()(n n n h n ，用MATLAB 生成随机输入

信号x(n)，n 的取值为0～2；

（2）用直接法（即用线性卷积的定义计算，见下式）计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的结果，并以图形方式表示结果；

20),()()(1

-+≤≤-⨯=

∑-=M N n m n h m x n y N m

其中：序列)1N n 0(),n (x -≤≤和序列)1M n 0(),n (h -≤≤

（3）用MATLAB 编制利用DFT 计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的程序；分别令圆周卷积的点数为L=5，6，8，10，以图形方式表示结果。 （4）对比直接法和圆周卷积法所得的结果。 源程序如下：

用直接法和MATLAB 编制利用DFT 分别计算线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的程序： N=0:3; M=3;

x=rand(1,M); h=(3/5).^N; y1=conv(h,x);

Xk2=fft(x,10); %做10点fft Hk2=fft(h,10); Yk2=Xk2.*Hk2; y2=ifft(Yk2);

Xk3=fft(x,8); %做点8点fft Hk3=fft(h,8);