离散傅里叶变换DFT的性质

0 n N 1 0 k N 1
DFT :
X R (k)
N 1 n0
xR
(n)
cos
2 kn
N
xI
(n) sin
2 kn
N
X
I
(k)
N 1
n0
xR
(n) sin
2 kn
N
xI
(n)
cos
2 kn
N
IDFT :
xR (n)
1 N
N 1 n0
X
R
(k )
cos
2 kn
N
X
I
(k ) sin
2 kn
N
xI (n)
1 N
N 1 n0
X
R
(
k
)
sin
2 kn
N
X I (k ) cos
2 kn
N
(1) 实序列
x(n)为实序列 X (N k)=X*(k) X (k)
X (N k) X (k) , X (N k) X (k)
Q xl (n) 0,
x(n)
xR (n)
X (k) j N1 x(n) sin 2 kn
n0
N
0 k N 1
X R (k)
0
x(n)
j
1 N
N 1
X (k)sin
k 0
2 kn
N
0 n N 1
DFT
:
X R (k)
N 1 n0
xR
(n)
cos
2 kn
N
xI
(n)
sin
2 kn
N
X
I
(k)
N 1
n0
xR
(n)
sin
N点序列的圆周移位等 价于它的周期延拓的 线性移位
• 序列关于零点对称，称为圆周偶序列:
x(N n) x(n) 1 n N 1
对应于周期序列 xp (n)为偶序列：xp (n) xp (n) xp (N n)
• 序列关于零点反对称，称为圆周奇序列：
x(N n) x(n) 1 n N 1
自行查阅并掌握 表7.1(P348) 中列出的所有性质
4、序列的圆周对称性
xp (n)是x(n)的周期延拓，xp (n) x(n l n) l
现将x
p
(n)向右移位k个单位，x
' p
(n)
xp
(n
k
)
x(n l n k)
l
x
' p
(n)对应的有限长序列x
'(n)
x 'p (n),0 0, 其他
2 kn
N
0 n N 1
DFT
:
X R (k)
N 1 n0
xR
(n)
cos
2 kn
N
xI (n) sin
2 kn
N
X
I
(k
)
N 1 n0
xR
(n)
sin
2 kn
N
xI
(n)
cos
2 kn
Nபைடு நூலகம்
x[n]为实偶函数，则X (k)也为实偶函数
（3）实奇序列
x(n) x(N n) 0 n N 1 X R (k) 0
对应于周期序列 xp (n) 为奇序列：xp (n) xp (n) xp (N n)
• 共轭偶序列和共轭奇序列
5、两个DFT的乘法和圆周卷积
N 1
X1(k) x1(n)e j2nk /N n0
N 1
X 2 (k) x2 (n)e j2nk /N n0
2 kn
N
xI
(n)
cos
2 kn
N
x[n]为实奇函数，则X (k)为虚奇函数
（4）纯虚序列
x(n)
jxI
(n)
X X
R (k) I (k)
N 1
xI
n0 N 1
xI
n0
(n) sin (n) cos
2 kn
N
2 kn
N
如果xl (n)是奇数，那么Xl (k) 0，则X (k)为实奇函数；另一 方面，如果xl (n)是偶数，那么X R (k) 0，则X (k)为虚偶函数。
X (e j )e jnd
2 2
X (e j )
x[n]e jn
n
1、周期性
假定有 x(n) DFT X (k), 则有
N
x(n N) x(n)
对所有的 n
X (k N ) X (k) 对所有的 k
有没有对此产生疑 惑呢？
通过上一节对离散时间信号的频域采样与重建可知， DFT对应的时域和频域都是离散的，且只在有限区域上 有定义，时域为0,1…N-1，频域为0-2π。
的采样，且以N为周期重复出现。
2、线性
如果有
x1
(n)
DFT N
X1(k
)和x2
(n)
DFT N
X
2
(k
)
则对任意常数 a1 和 a2, 有
a1x1
(n)
a2
x2
(n)
DFT N
a1
X1
(k
)
a2
X
2
(k
)
3、对称性
x(n) xR (n) jxI (n) X (k ) X R (k ) jX I (k )
讨论DFT的性质有何意义呢？
1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT 的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在 联系。
2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取， 降低计算的复杂性。例如后面重点学习的FFT算法 就利用了DFT的周期性和对称性。
离散时间傅里叶变换对（DTFT）：
x[n] 1
1 N
N 1
[ X R (k) cos
k 0
2 kn
N
X l (k) sin
2 kn]
N
(2)实偶序列
x(n) x(N n) 0 n N 1 X I (k) 0
X (k) N 1 x(n) cos 2 kn
n0
N
0 k N 1
X I
(k)
0
x(n)
1 N
N 1 k 0
X
(k) cos
n
N
1 就是x(n)的圆周移位
通常，序列的圆周移位可表示成序号对N求余，可写成
x '(n)=x(n k,对N求余) x((n k))N
当k 2和N 4 x(n) x((n 2))4 x(0) x((2))4 x(2) x(1) x((1))4 x(3) x(2) x((0))4 x(0) x(3) x((1))4 x(1)
离散傅里叶变换DFT的性质
上节回顾
DTFT 连续 L≤N 周期化
采样
DFT : IDFT:
N 1
X (k) x(n)WNkn
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
n0
WN e j2 / N
k 0, 1,L , N 1
n 0, 1,L , N 1 x(n) DFT X (k)
N
1 我们为什么要讨论DFT的性质 2 回顾离散时间傅里叶变换DTFT的性质 3 DFT的隐含周期性、线性、对称性 4 圆周对称性、DFT乘法和圆周卷积 5 其他特性
对于 x[n] ，可理解为是 xp[n] 的主值序列，一旦对n 的取值域不加限制时，x[n]以N为周期。
由前可知，X (k)是对X (e j )的采样，X (e j )是以2为周期的 周期函数,即X (k)是X (e j )的主值区[0，2 ]上N点等间隔采样。显 然，当k超出DFT变换区间时，必然得到[0,2 ]以外区间上X (e j )