离散傅里叶变换DFT的性质
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将一个离散信号（或称时域信号）转换为频域表示的数学工具。
在现代信号处理和通信领域中，DFT被广泛应用于信号分析、滤波、频谱估计等领域。
DFT的概念源于傅里叶分析，它是将一个连续时间函数表示为一组基函数乘以一系列复数系数的线性组合。
而离散傅里叶变换则是将这一思想应用于离散信号，将离散时间序列转换为离散频率表示。
通过使用离散傅里叶变换，我们可以将一个时域上的离散信号转换为频域上的频谱表示，从而可以更加直观地观察信号的频率成分和能量分布。
离散傅里叶变换的时移性质是指当输入信号在时域上发生时移时，其在频域上的表示也随之发生相应的时移。
这一性质使得我们可以通过时移操作对信号进行处理和分析。
具体来说，如果我们对一个信号进行时移操作，即将信号中的每个样本向前或向后平移若干个位置，那么该信号在频域上的表示也会相应地发生同样的平移。
在本文中，我们将着重讨论离散傅里叶变换时移的原理和性质。
我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和原理，包括如何进行DFT变换、如何计算DFT系数以及DFT的逆变换等。
然后，我们将详细解释离散傅里叶变换的时移性质，包括时域上的时移操作如何在频域上体现以及时域和频域之间的变换关系等。
通过对离散傅里叶变换时移性质的研究，我们可以更好地理解信号在时域和频域之间的关系，以及对信号进行时移操作的影响。
同时，我们还将探讨离散傅里叶变换时移的应用，包括在信号处理、通信系统和图像处理等领域中的具体应用案例。
通过这些应用案例，我们将展示离散傅里叶变换时移的重要性以及它在实际问题中的实用价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，首先概述了离散傅里叶变换时移的主题，介绍了离散傅里叶变换的基本概念和原理。
接着，详细说明了本文的结构，即按照离散傅里叶变换时移的相关性质展开论述。
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
dft与离散傅里叶变换
dft与离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶变换引言：数字信号处理中，频域分析是一项重要的技术。
DFT（离散傅里叶变换）和离散傅里叶变换（DFT）是两种常用的频域分析方法。
本文将介绍DFT和离散傅里叶变换的基本原理、应用领域以及它们之间的区别。
一、DFT的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它的基本原理是将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。
DFT 可以将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号的频谱特征。
DFT的计算公式是通过对信号的采样点进行离散计算得到的。
它将信号分解为一系列复数，表示不同频率的正弦和余弦波的振幅和相位信息。
通常情况下，DFT的输入信号是离散时间的有限长度序列，输出信号也是离散时间的有限长度序列。
二、DFT的应用领域DFT在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 音频信号处理：DFT可以用于音频信号的频谱分析，帮助我们了解音频信号的频率组成以及频谱特征。
它在音频编码、音频效果处理等方面有着重要作用。
2. 图像处理：DFT可以用于图像的频域分析，帮助我们了解图像的频率特征，如边缘、纹理等。
它在图像压缩、图像增强等方面有着广泛的应用。
3. 通信系统：DFT可以用于通信信号的频谱分析，帮助我们了解信号在频域上的特征，如信号的带宽、频率偏移等。
它在调制解调、信道估计等方面有着重要作用。
三、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶变换（FT）的区别离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换（FT）在离散时间上的应用。
它们之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 定义域：傅里叶变换是定义在连续时间上的，而离散傅里叶变换是定义在离散时间上的。
2. 输入信号类型：傅里叶变换可以处理连续时间的信号，而离散傅里叶变换可以处理离散时间的信号。
3. 计算方法：傅里叶变换通过积分计算得到频域信号，而离散傅里叶变换通过对输入信号的采样点进行离散计算得到频域信号。
4. 结果表示：傅里叶变换的结果是连续的频域信号，而离散傅里叶变换的结果是离散的频域信号。
离散傅里叶变换(DFT)
课程名称：数字信号处理 （Digital Signal Processing）课程性质: 专业基础课 授课专业: 计算机科学与技术、自动化第3章 离散傅里叶变换（DFT）电子与信息工程学院 金海红数字信号处理引 言DFT: Discrete Fourier Transform 离散傅里叶变换是有限长序列的离散频域表示，不 仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用 计算机处理。
但是，直至上个世纪六十年代，由于 数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的 计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应 用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现 出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于 各种数字信号处理系统中。
2数字信号处理引 言Fourier Fourier变换的几种可能形式 变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换3数字信号处理1、连续时间、连续频率—傅里叶变换定义X ( jΩ) = ∫ x(t )e − jΩt dt−∞ ∞ ∞1 x(t ) = 2π∫−∞X ( jΩ)e jΩt d Ω结论： z 时域连续函数造成频域是非周期的谱 z 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数4数字信号处理2、连续时间、离散频率—傅里叶级数 义定1 T0 / 2 − jk Ω0t X ( jk Ω0 ) = ∫ x(t )e dt − T / 2 T0 0 x(t ) =k =−∞∑∞X ( jk Ω0 )e jk Ω0t结论： z 时域连续函数造成频域是非周期的谱 z 频域的离散对应时域是周期函数。
5数字信号处理3、离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换定义X (e jω ) = 1 x ( n) = 2πn =−∞∑π−∞x(n)e − jωn X (e jω )e jωn dω∫π结论： z 时域的离散化造成频域的周期延拓 z 时域的非周期对应于频域的连续6数字信号处理4、离散时间、离散频率—离散傅里叶变换定义N −1 −j2π nk N 2π nk NX ( k ) = ∑ x ( n)e 1 x(n) = Nn =0 N −1 k =0∑ X ( k )ej结论： 一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离 散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的7数字信号处理四种傅里叶变换形式的归纳频率函数非周期和连续 非周期和离散(Ω0=2π/T0) 周期(Ωs=2π/T)和连续 周期(Ωs=2π/T)和 离散(Ω0=2π/T0)8时间函数连续和非周期 连续和周期(T0) 离散(T)和非周期 离散(T)和周期(T0)数字信号处理Contents1. 2. 3. 4.离散傅里叶变换（DFT）的定义 离散傅里叶变换（DFT）的基本性质 频率域采样 DFT的应用举例9数字信号处理3.1离散傅里叶变换的定义1. 1.余数运算表达式 余数运算表达式预备知识如果n = n1 + mN ，0 ≤ n1 ≤ N − 1 ，m为整数；则( (n ) )N= ( n1 ) ，此运算符表示 n 被 N 除，商为 m，余数为 n1 。
离散傅里叶变换系数
离散傅里叶变换系数离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是傅里叶变换在离散域上的一种形式。
它广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
离散傅里叶变换系数是对原始信号在频域上的表示，常用于分析信号的频谱特性、提取信号中的特征等。
离散傅里叶变换系数的计算可以通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法来高效地实现。
下面将介绍离散傅里叶变换系数的相关参考内容。
1. 基本定义：离散傅里叶变换系数可以用复数表示。
设原始信号为长度为N 的离散序列x(n)，其离散傅里叶变换系数为X(k)，则离散傅里叶变换的定义为：X(k) = ∑ [x(n) * e^(-j2πnk/N)]， n=0,1,2,...,N-1, k=0,1,2,...,N-1。
2. 离散傅里叶变换系数的物理意义：离散傅里叶变换系数表示了原始信号在不同频率分量上的能量分布。
离散傅里叶变换系数的模表示信号在该频率上的幅度，相位表示信号在该频率上的相位差。
3. FFT算法：离散傅里叶变换系数的计算可以通过FFT算法来高效地实现。
FFT算法将离散傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
FFT算法的基本思想是将信号分解成序列长度为2的幂次的子序列，然后利用蝶形结构的计算流程递归计算离散傅里叶变换。
4. 离散傅里叶变换系数的性质：离散傅里叶变换系数具有多种性质，包括线性性质、频率平移性质、频率抽样性质、能量守恒性质等。
这些性质可以用于信号处理的分析和计算。
5. 应用领域：离散傅里叶变换系数广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
在信号处理中，可以通过计算离散傅里叶变换系数来分析信号的频谱特性，如频率成分、频率间隔等。
在图像处理中，可以通过计算图像的二维离散傅里叶变换系数来进行图像压缩、图像滤波等操作。
在通信中，离散傅里叶变换系数可以用于信号的调制、解调、信道估计等。
2.3有限长序列的离散傅里叶变换DFT
频率成正比的线性相移 W
− N
kn
=
e
j
2π N
k
m
，而对频谱的幅度没
有影响。
-26-
证明：
N −1
令 m + n =n，' 则= 有 ∑ x((n + m))N WNkn n=0
由于上式中求和项x((n′))NWNkn′以N为周 期， 所以对其在任一周期上的求和结果相
同。 将上式的求和区间改在主值区则得
n=−∞
∫ x(n) = 1 π X (e jω )e jωndω
2π −π
序列的傅里叶变换 X (e j是ω )数字频率 的ω连续周期函数，正变换需要执行从 到− 的∞
求和∞，反变换需要计算连续函数的积分，在实际中很难使用数字计算机来实现。
计算任何一个频谱值需要所有的信号数据，无法做到对信号的实时处理。必须要把 计算范围从无限宽收缩到一个有限区间，连续函数改为离散数据。
则
X (k)=DFT[x(n)]
DFT[x* (n=)] X *(N − k), 0 ≤ k ≤ N − 1
且
X (N )=X (0)
-32-
证明1：
又由 X (k) 的隐含周期性有 X (N )=X (0)
-33-
证明2：
N −1
∑ 证：DFT[x*(n)] = x*(n)WNnk
n=0
∑ =
N −1 n=0
x(n)WN−nk
*
∑ =
N −1 n=0
x(n)WN( N −k )n
*
= X*(N − k)
用同样的方法可以证明
DFT[x* (N − n)] = X *(k )
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅⾥叶变换（DFT） 对于第⼀幅图来说，它侧重展⽰傅⾥叶变换的本质之⼀：叠加性，每个圆代表⼀个谐波分量。
第⼆幅图直观的表⽰了⼀个周期信号在时域与频域的分解。
周期信号的三⾓函数表⽰ 周期信号是每隔⼀定时间间隔，按相同规律⽆始⽆终重复变化的信号。
任何周期函数在满⾜狄利克雷条件下（连续或只有有限个间断点，且都是第⼀类间断点；只有有限个极值点），都可以展开成⼀组正交函数的⽆穷级数之和。
使⽤三⾓函数集的周期函数展开就是傅⾥叶级数。
对于周期为T 的信号f(t)，可以⽤三⾓函数集的线性组合来表⽰，即f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty }(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n \omega t) 式中\omega=\frac{2\pi}{T}是周期信号的⾓频率，也成基波频率，n\omega称为n次谐波频率；a_0为信号的直流分量，a_n和b_n分别是余弦分量和正弦分量幅度。
根据级数理论，傅⾥叶系数a_0、a_n、b_n的计算公式为：\left\{\begin{matrix}a_0=\frac{1}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt \\ a_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{n\omegat}dt,n=1,2,3,... \\ b_n=\frac{2}{T}\int _{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin{n\omega t}dt,n=1,2,3,... \end{matrix}\right. 若将式⼦中同频率的正弦项和余弦项合并，得到另⼀种形式的周期信号的傅⾥叶级数，即f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega t+\varphi_n) 其中，A_0为信号的直流分量；A_1\cos(\omega t+\varphi_1)为信号的基频分量，简称基波；A_n\cos(n\omega t+\varphi_n)为信号的n次谐波，n ⽐较⼤的谐波，称为⾼次谐波。
离散傅里叶变换DFT的性质
讨论DFT的性质有何意义呢？
1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT 的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在 联系。
2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取， 降低计算的复杂性。例如后面重点学习的FFT算法 就利用了DFT的周期性和对称性。
仔细看书中的性质列表，与DTFT性质表进行对比
N1
[XR(k)cos
k0
2kn
N
Xl
(k)sin
2kn]
N
(2)实偶序列
x(n)x(Nn) 0nN1XI(k)0
N1
2kn
X(k) x(n)cos
n0
N
0kN1
XI(k)0x(n)N 1N k01X(k)cos2Nkn
0nN1
DFT: XR(k)Nn01xR(n)cos2NknxI(n)sin2Nkn XI (k)Nn01xR(n)sin2NknxI(n)cos2Nkn
x'(n)=x(nk,对N求余) x((nk))N
当 k 2和 N 4 x (n ) x ((n 2 )) 4 x (0 ) x (( 2 )) 4 x (2 ) x (1 ) x (( 1 )) 4 x (3 ) x (2 ) x ((0 )) 4 x (0 ) x (3 ) x ((1 )) 4 x (1 )
加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
1 7、序列的圆周时域移位
j
x[n] X (e )e d 这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取，降低计算的复杂性。
jn
3 DFT的隐含周期性、线性、对称性
2
2 加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。
DSP-离散傅里叶变换(DFT)
由于：
N1
N 1 W k0
k(mn) N
{1 0
mnM N,MM为整数
mnM N,M
所以， 在变换区间上满足下式：
IDFT[X(k)]=x(n),
0≤n≤N-1
离散傅里叶逆变换是唯一的。
3.1 离散傅里叶变换的定义
[例]
解:
序(1)列设x变(n换)=区R4间(nN) ，=8求，x(则n)：的X (8k点) 和n1760 点x(DnF)WT 8。kn
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
N1
X(z)ZT[x(n)] x(n)zn
n0
N1
X(k)DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
比较上面二式可得关系式
0kN-1
X(k) XXX(((kkkX )))(XXX(z(z(z)z)))zzezej2jN 2Njk2ke ,k,j,2N k00,0kkkNN--N 11-10((33k ..1(1.3.33. )1).3)N ze N
离散傅里叶变换(DFT)
本章主要内容
▪ 离散傅里叶变换的定义 ▪ 离散傅里叶变换的基本性质 ▪ 频率域采样 ▪ 离散傅里叶变换的应用举例
离散傅里叶变换(DFT)
DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采
样(时域和频域都是离散化的有限点长的序列)。
DFT变换的意义：
▪ 开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进 行处理，增加了数字信号处理的灵活性。 ▪ DFT具有多种快速算法(FFT)，实现了信号的实时处理和设备 的简化。
3 N 0
j 2 kn
e8
XX(k(k)
77
)
n n0 0
实验4DFT变换的性质及应用
课程编号实验项目序号本科学生实验卡和实验报告信息科学与工程学院通信工程专业2013级1301班课程名称：数字信号处理实验项目：DFT变换的性质及应用2015～～2016学年第二学期学号：201308030104_ 姓名：___王少丹_____ 专业年级班级：____通信1301______ _____四合院____ 实验室组别________ 实验日期__2016 年_ 5 月__22 日由于栅栏效应，有可能漏掉(挡住)大的频谱分量。
为了把原来被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，可以采用在原序列尾部补零的方法，改变序列长度N(即改变DFT变换区间长度)，从而增加频域采样点数和采样点位置，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来。
实验MATLAB环境实验内容和原理Dft1.m：function[am,pha]=dft1(x)N=length(x);w=exp(-j*2*pi/N);for k=1:Nsum=0;for n=1:Nsum=sum+x(n)*w^(k-1)*(n-1);endam(k)=abs(sum);pha(k)=angle(sum);enddft2.m：function [am,pha]=dft2(x)N=length(x);n=[0:N-1];k=[0:N-1];w=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;wnk=w.^(nk);Xk=x*wnk;am=abs(Xk);pha=angle(Xk)dft3.m:function [amfft,phafft]=dft3(x)N=length(x);Xk=fft(x);amfft=abs(Xk);phafft=angle(Xk);实验结果：用三种不同的DFT 程序计算x(n ) (0.9)^n (n = 0,1,2,…,7)的傅立叶变换X(k)，并比较三种T1<t2<t3任务2、给定x(n) = nR16 (n) ，h(n) = R8 (n) 利用DFT 实现两序列的线性卷积运算，并研究DFT 的点数与混叠的关系，并用stem(n,y)画出相应的图形代码：dft4.m:%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ÈÎÎñ2%%%%%%%%%%%%%%%%%N1+N2-1=23<32N=32;x=[0:15];xx=[x,zeros(1,16)];h=[ones(1,8),zeros(1,24)];Xk=fft(xx,N);Hk=fft(h,N);Yk=Xk.*Hk;y=ifft(Yk,N);n=0:N-1;stem(n,y);hold on%N=N1=16N1=16;x1=[0:15];h1=[ones(1,8),zeros(1,8)];Xk1=fft(x1,N1);Hk1=fft(h1,N1);Yk1=Xk1.*Hk1;y1=ifft(Yk1,N1);n1=0:N-1;stem(n1,y1,'.','m');任务3、讨论序列补零及增加数据长度对信号频谱的影响(1)求出序列x(n)=cos(0.48 n)+cos(0.52 n)基于有限个样点n=10 的频谱；(2)求n=100 时,取x(n)的前10 个,后90 个设为零，得到x(n)的频谱;(3)增加x(n)有效的样点数，取100 个样点得到x(n)的频谱实验代码：任务一：n=[0:7];x=(0.9).^n;figure(1)[am,pha]=dft1(x);如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
DFT(离散傅里叶变换).
X(k) = XR(k) + XI(k)
18
证明：
N 1
X * (k) x * (n)W nk
n0
N 1
[ x(n)W nk ]*
n0
N 1
[ x(n)W n( N k ) ]* n0
= X*(N k)
由线性性质
X(k) = XR(k) + XI(k) X*(k) = XR(k) XI(k) XR(k) = [ X(k) + X*(N k)]/2 XI(k) = [ X(k) X*(N k)]/2
W 6 X (2)
W
9
X
(3)
1 1 1 1 4 1
1 1 j 1 j 0 1 4 1 1 1 1 0 1
1 j 1
j
0
1
8
3.5.2 DFT与DTFT的关系
通常把信号的傅里叶变换称为信号的频谱，那么有 限长序列的离散傅里叶变换是否就是它的频谱呢？
有限长序列作为非周期序列，它的频谱即它的傅里 叶变换DTFT---- X(e j)，是一个连续的周期性的频谱； 而有限长序列的DFT---- X(k)却是离散的频谱，两者显然 不是等同的。但两者也不是截然无关的，相反，存在着 相当重要的联系，这就是有限长序列的离散傅里叶变换 X(k)正是此序列的傅里叶变换X(e j)的抽样值。
时移特性1圆周移位22我们看到当序列xn向右移m位时超出n1以外的m个样值又从左边依次填补了空位因此可以想象序列xn排成在一个n等分的圆周上n个样点首尾相接圆周移m个单位表示xn在圆周上旋转m位
3.5 DFT（离散傅里叶变换）
---------Discrete Fourier Transform 3.5.1 DFT定义式
五种傅里叶变换方法
五种傅里叶变换方法标题：探究五种傅里叶变换方法摘要：傅里叶变换在信号处理、图像处理和通信等领域中发挥着重要的作用。
本文将深入探讨五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CFT）、反射谱傅里叶变换（RFT）和多维傅里叶变换（MDFT）。
通过分析每种方法的原理、特点和应用领域，我们将能够更好地理解傅里叶变换的概念和实际应用。
第一节：离散傅里叶变换（DFT）1.1 原理和定义1.2 算法与实现1.3 应用场景和优缺点第二节：快速傅里叶变换（FFT）2.1 原理和特点2.2 快速傅里叶变换算法2.3 应用领域和性能分析第三节：连续傅里叶变换（CFT）3.1 连续傅里叶变换的数学定义3.2 傅里叶级数和傅里叶变换的关系3.3 应用场景和限制第四节：反射谱傅里叶变换（RFT）4.1 RFT的概念和目的4.2 数学定义和算法4.3 在信号处理中的应用案例第五节：多维傅里叶变换（MDFT）5.1 MDFT的概念和性质5.2 空间和频率域的转换5.3 在图像处理和通信中的应用总结和回顾性内容：本文深入探讨了五种傅里叶变换方法，从离散傅里叶变换（DFT）开始，通过介绍快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CFT）、反射谱傅里叶变换（RFT）和多维傅里叶变换（MDFT），我们在深度和广度上对傅里叶变换有了更全面、深入的理解。
每种方法都有自己的原理、特点和应用领域，我们可以根据具体需求选择适合的方法。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信和其他领域中起着关键作用，通过学习这些方法，我们可以更好地应用傅里叶变换来分析和处理实际问题。
个人观点和理解：傅里叶变换是一种重要的数学工具，能够将一个信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数。
离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换在数字信号处理中的离散形式，它通过将信号离散化来实现，适用于离散信号的频域分析。
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算DFT的算法，它通过利用对称性和重叠子问题来减少计算量，广泛应用于信号处理和频谱分析中。
离散傅里叶变换矩阵
离散傅里叶变换矩阵离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理中最为重要的一种信号分析方法，是一种线性变换，将时域离散信号转换到频域。
它不仅在数字信号处理中有广泛应用，而且在许多其他领域（例如图像处理、音视频处理、通信等）中也有着重要的应用。
DFT的计算通过矩阵乘法实现，即离散傅里叶变换矩阵。
下面就来介绍一下DFT的推导过程以及离散傅里叶变换矩阵的详细说明。
1. DFT的推导过程DFT是一种将时域信号转换到频域信号的变换方式。
设x(n)为长度为N的实序列，则x(n)的DFT（记为X(k)）可以表示为：$$X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \omega_N^{-kn}, k=0,1,\cdots,N-1$$其中，$\omega_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}$，它是长度为N的单位根。
为了更好地理解上式，我们可以将其转化为矩阵形式（矩阵乘法）：$$\begin{bmatrix} X(0) \\ X(1) \\ \vdots \\ X(N-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \omega_N^{-1} & \cdots & \omega_N^{-(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega_N^{-(N-1)} & \cdots & \omega_N^{-(N-1)^2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x(0) \\ x(1) \\ \vdots \\ x(N-1) \end{bmatrix}$$上式中的矩阵称为离散傅里叶变换矩阵（Discrete Fourier Transform Matrix，DFT 矩阵），记为$\textbf{F}$，即：于是，DFT可以用矩阵乘法表示为：$$\textbf{X}=\textbf{F}\textbf{x}$$其中，$\textbf{x}=[x(0),x(1),\cdots,x(N-1)]^T$，$\textbf{X}=[X(0),X(1),\cdots,X(N-1)]^T$。
第3章 离散傅立叶变换 DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT
~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数正变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换
离散傅里叶变换（DFT）
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n)，长为N，
x(n)
图4.2.8 倒序规律
3.5.4 频域抽取法FFT(DIF―FFT)
在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用 的快速算法，简称DIF―FFT。
设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分
开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNk
T0
频谱特点： 离散非周期谱
2. 连续时间非周期信号
x(t) 1 X ( j) ej td
2
X ( j) x(t) e j tdt
频谱特点： 连续非周期谱
3. 离散非周期信号
x(n) FT-1[ X (ej )] 1 X (ej ) ejnd
2
X (ej ) FT[x(n)] x(n) e-jn n
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上：记 WN e j2 / N ，叫旋转因子．
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0
数字信号处理中的离散傅里叶变换
数字信号处理中的离散傅里叶变换数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是在数字计算机或数字信号处理器上对信号进行处理和分析的一种技术。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）作为DSP中的重要方法之一，在信号处理的各个领域都发挥着重要的作用。
一、离散傅里叶变换的定义和原理离散傅里叶变换是将离散的时间域信号转换为频域信号的一种方法，它可以将信号从时域转换到频域进行分析。
DFT的定义如下：$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$其中，$x[n]$为离散时间域信号，$X[k]$为离散频域信号，$N$为信号的长度，$k$为频域的索引。
离散傅里叶变换可以看作是对信号进行一系列的乘法和求和操作，它使用复指数函数作为基函数来表示信号。
通过将信号与不同频率的正弦波进行内积操作，可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息，从而实现频谱的分析。
二、离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质对于信号处理和频域分析非常有用。
以下是几个常见的性质：1. 线性性质：DFT是线性变换，即对两个信号的和进行DFT等于分别对这两个信号进行DFT后再求和。
2. 周期性：若信号的长度为$N$，则DFT系数$X[k]$具有周期性，周期为$N$。
3. 对称性：若信号的长度为$N$，则当$k$取$N-k$时，$X[k]$与$X[N-k]$相等。
4. 移位性质：对于一个时域序列$x[n]$，将其向右移动$m$个位置得到新的序列$x[n-m]$，则对应的DFT系数$X[k]$只需将原始的$X[k]$循环右移$m$个位置得到。
三、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用，以下列举几个典型的应用场景：1. 信号分析：通过DFT可以将信号从时域转换到频域，得到信号在不同频率上的能量分布情况。
离散傅里叶变换的特点
离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种数学变换技术，用于将时域离散信号转换为频域离散信号。
它是傅里叶变换在离散时间序列上的推广和离散信号处理中最重要的工具之一。
离散傅里叶变换具有以下几个特点：1. 离散性：离散傅里叶变换适用于离散时间序列的信号处理，它将连续时间信号转换为离散频率信号。
与连续傅里叶变换不同，离散傅里叶变换对信号进行采样和离散化处理，适用于数字信号处理领域。
2. 周期性：离散傅里叶变换是一种周期性变换，其输入信号在时域上必须是周期性的。
这是因为离散傅里叶变换假设信号是周期重复的，频域上的离散频率点也是周期性重复的。
3. 线性性：离散傅里叶变换具有线性性质，即对于输入信号的线性组合，其离散傅里叶变换等于各个信号的离散傅里叶变换的线性组合。
这使得离散傅里叶变换在信号处理中具有广泛的应用。
4. 对称性：离散傅里叶变换具有对称性质，即输入信号的离散傅里叶变换结果的实部和虚部具有对称性。
这个性质在信号处理中常常用于简化计算和减少存储空间。
5. 傅里叶变换和逆变换：离散傅里叶变换和逆变换是互逆的，即对一个信号进行离散傅里叶变换后再进行逆变换，可以恢复原始信号。
这使得离散傅里叶变换在信号压缩、滤波和频谱分析等方面具有重要应用。
离散傅里叶变换的特点使其在数字信号处理、通信系统、图像处理、音频处理等领域得到广泛应用。
在数字信号处理中，离散傅里叶变换可以用于信号的频谱分析和滤波。
通过计算信号的离散傅里叶变换，可以将信号从时域转换为频域，得到信号的频谱信息。
频谱分析可以帮助我们了解信号的频率成分和能量分布，从而对信号进行特征提取、模式识别和信号分类等任务。
同时，通过对信号的频域信息进行滤波，可以实现信号的去噪、陷波和增强等处理。
在通信系统中，离散傅里叶变换可以用于信号的调制和解调。
调制是将基带信号转换为带通信号，而解调是将带通信号转换为基带信号。
离散傅里叶变换及其性质
kn
N 1
f
(k )W
kn (0
n
N
1)
2N-1 k
k 0
k 0
f (k) IDFT[ F(n)]
1
N 1
j2 kn
F(n) e N
1
N 1
F(n)W kn (0 k N 1)
N n0
N n0
若将f(k)，F(n)分别理解为fN(k)，FN(n)的主值序列，那 么，DFT变换对与DFS变换对的表达式完全相同。
|F(n) |2
k 0
N n0
表明，在一个频域带限之内，功率谱之和与信号的能 量成比例。
▲
■
第 10 页
证明 ▲
■
第5页
4. 频移特性（调制）
若 f(k)←→ F(n)
则
W–l kf (k) ←→ F((n –l))NGN(n)
▲
■
第6页
5. 时域循环卷积（圆卷积）定理
• 线卷积： 有限长序列f1(k)和f2(k)的长度分别为N和M，则两 序列的卷积和f(k)(称为线卷积)仍为有限长序列序 列，长度为N+M –1。
▲
■
第4页
3. 时移特性
•圆周位移（循环位移）： 将有限长序列f(k)周期拓展成周期序列fN(k)，
再右移m位，得到时移序列fN(k –m)，最后取其主 值而得到的序列称为f(k)的圆周位移序列，记为
f ((k –m))NGN(k)
•时移特性 若 f(k)←→ F(n) 则 f ((k –m))NGN(k) ←→ WmnF(n)
■
第1页
一．离散傅里叶变换(DFT)
借助周期序列DFS的概念导出有限长序列的DFT。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
M为整数 M为整数
x (n ) =
m = −∞
∑
∞
x ( n + mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x (n ) = x (n ) ⋅ RN (n )
~
~
x(n)=x((n))N，
% X (k ) =
m =− ∞
∑ X (k + mN )
∞
% X (k ) = X (k ) RN (k )
回到本节
N k=0
k =0 N
为DFT变换 长度N≥M， ， N 为DFT变换 长度N≥M， WN = e DFT 有限长 离散序列 有限长 离散序列
−j
2π N
第三章 离散傅里叶变换DFT
例1
解：
已知 x(n) = R4 (n)，分别求N = 8和N =16 时的X (k)。
N = 8时
N−1 n=0 nk N
第三章 离散傅里叶变换DFT
式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1， 0≤n1≤N-1， 则 ((n))N=n1 例如 N = 5, x N (n) = x((n))5 则有
~
M为整数，
x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)
∑e
n=0
k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
x(n)的16点DFT为
k 1 − W168 1 − e k X (k ) = W16 n = = k 2π −j k 1 − W16 n=0 1 − e 16 π 7π sin k −j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2,L ,15 π sin k 16
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2 kn
N
xI
(n)
cos
2 kn
N
x[n]为实奇函数，则X (k)为虚奇函数
（4）纯虚序列
x(n)
jxI
(n)
X X
R (k) I (k)
N 1
xI
n0 N 1
xI
n0
(n) sin (n) cos
2 kn
N
2 kn
N
如果xl (n)是奇数，那么Xl (k) 0，则X (k)为实奇函数；另一 方面，如果xl (n)是偶数，那么X R (k) 0，则X (k)为虚偶函数。
0 n N 1 0 k N 1
DFT :
X R (k)
N 1 n0
xR
(n)
cos
2 kn
N
xI
(n) sin
2 kn
N
X
I
(k)
N 1
n0
xR
(n) sin
2 kn
N
பைடு நூலகம்xI
(n)
cos
2 kn
N
IDFT :
xR (n)
1 N
N 1 n0
X
R
(k )
cos
2 kn
N
X
I
(k ) sin
N点序列的圆周移位等 价于它的周期延拓的 线性移位
• 序列关于零点对称，称为圆周偶序列:
x(N n) x(n) 1 n N 1
对应于周期序列 xp (n)为偶序列：xp (n) xp (n) xp (N n)
• 序列关于零点反对称，称为圆周奇序列：
x(N n) x(n) 1 n N 1
2 kn
N
xI (n)
1 N
N 1 n0
X
R
(
k
)
sin
2 kn
N
X I (k ) cos
2 kn
N
(1) 实序列
x(n)为实序列 X (N k)=X*(k) X (k)
X (N k) X (k) , X (N k) X (k)
Q xl (n) 0,
x(n)
xR (n)
离散傅里叶变换DFT的性质
上节回顾
DTFT 连续 L≤N 周期化
采样
DFT : IDFT:
N 1
X (k) x(n)WNkn
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn
n0
WN e j2 / N
k 0, 1,L , N 1
n 0, 1,L , N 1 x(n) DFT X (k)
N
1 我们为什么要讨论DFT的性质 2 回顾离散时间傅里叶变换DTFT的性质 3 DFT的隐含周期性、线性、对称性 4 圆周对称性、DFT乘法和圆周卷积 5 其他特性
X (e j )e jnd
2 2
X (e j )
x[n]e jn
n
1、周期性
假定有 x(n) DFT X (k), 则有
N
x(n N) x(n)
对所有的 n
X (k N ) X (k) 对所有的 k
有没有对此产生疑 惑呢？
通过上一节对离散时间信号的频域采样与重建可知， DFT对应的时域和频域都是离散的，且只在有限区域上 有定义，时域为0,1…N-1，频域为0-2π。
n
N
1 就是x(n)的圆周移位
通常，序列的圆周移位可表示成序号对N求余，可写成
x '(n)=x(n k,对N求余) x((n k))N
当k 2和N 4 x(n) x((n 2))4 x(0) x((2))4 x(2) x(1) x((1))4 x(3) x(2) x((0))4 x(0) x(3) x((1))4 x(1)
1 N
N 1
[ X R (k) cos
k 0
2 kn
N
X l (k) sin
2 kn]
N
(2)实偶序列
x(n) x(N n) 0 n N 1 X I (k) 0
X (k) N 1 x(n) cos 2 kn
n0
N
0 k N 1
X I
(k)
0
x(n)
1 N
N 1 k 0
X
(k) cos
X (k) j N1 x(n) sin 2 kn
n0
N
0 k N 1
X R (k)
0
x(n)
j
1 N
N 1
X (k)sin
k 0
2 kn
N
0 n N 1
DFT
:
X R (k)
N 1 n0
xR
(n)
cos
2 kn
N
xI
(n)
sin
2 kn
N
X
I
(k)
N 1
n0
xR
(n)
sin
讨论DFT的性质有何意义呢？
1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT 的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在 联系。
2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取， 降低计算的复杂性。例如后面重点学习的FFT算法 就利用了DFT的周期性和对称性。
离散时间傅里叶变换对（DTFT）：
x[n] 1
2 kn
N
0 n N 1
DFT
:
X R (k)
N 1 n0
xR
(n)
cos
2 kn
N
xI (n) sin
2 kn
N
X
I
(k
)
N 1 n0
xR
(n)
sin
2 kn
N
xI
(n)
cos
2 kn
N
x[n]为实偶函数，则X (k)也为实偶函数
（3）实奇序列
x(n) x(N n) 0 n N 1 X R (k) 0
自行查阅并掌握 表7.1(P348) 中列出的所有性质
4、序列的圆周对称性
xp (n)是x(n)的周期延拓，xp (n) x(n l n) l
现将x
p
(n)向右移位k个单位，x
' p
(n)
xp
(n
k
)
x(n l n k)
l
x
' p
(n)对应的有限长序列x
'(n)
x 'p (n),0 0, 其他
对于 x[n] ，可理解为是 xp[n] 的主值序列，一旦对n 的取值域不加限制时，x[n]以N为周期。
由前可知，X (k)是对X (e j )的采样，X (e j )是以2为周期的 周期函数,即X (k)是X (e j )的主值区[0，2 ]上N点等间隔采样。显 然，当k超出DFT变换区间时，必然得到[0,2 ]以外区间上X (e j )
的采样，且以N为周期重复出现。
2、线性
如果有
x1
(n)
DFT N
X1(k
)和x2
(n)
DFT N
X
2
(k
)
则对任意常数 a1 和 a2, 有
a1x1
(n)
a2
x2
(n)
DFT N
a1
X1
(k
)
a2
X
2
(k
)
3、对称性
x(n) xR (n) jxI (n) X (k ) X R (k ) jX I (k )
对应于周期序列 xp (n) 为奇序列：xp (n) xp (n) xp (N n)
• 共轭偶序列和共轭奇序列
5、两个DFT的乘法和圆周卷积
N 1
X1(k) x1(n)e j2nk /N n0
N 1
X 2 (k) x2 (n)e j2nk /N n0