公开课《24.1.2垂径定理》课件
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垂径定理优秀课件
C
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)垂直于弦 (1)过圆心 (4)平分弦所对的一条弧 (3)平分弦 (5)平分弦所对的另一条弧
O
A C O B D E D B
不是直径
CD是直径 CD AB AE BE ( AB不是直径)
OE AC OD AB AB AC
B
3．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行弦 AB=４０ cm ，CD=４８cm， 求弦AB与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
A
C
20 E
25 25 24
F
15 . O 7
B D
A
C
E
F . O
B
D
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
⌒ ⌒ AD=BD.
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧.
适用垂径定理的几个基本图形：
C
A E
O A D E B
B
A
O E D B
O
A
O
E B
D
CD过圆心
CD⊥AB于E
AE=BE AC=BC AD=BD
§24.1.2 垂直于弦的直径
C O A D E B
A
O E B
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的 弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离） 为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
24.垂径定理的应用PPT课件(人教版)
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 由题设得
AB 7.2,CD
AB 的中点,CD就是拱高.
2.4, HN 1 MN 1.5.
AD
1
AB
1 7.2
2 3.6,
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且
①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
O
A
B
P
2、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，
AE=1厘米，EB=5厘米，∠BED=30°，
求CD的长。
D
No 在Rt△OEF中，OE=3-1=2，
∠BED=30°则OF=1
B
Image 又在Rt△DOF中
F OE
A C
DF= OD2 OF2 32 12 2 2
∴CD=2DF= 4 2
2、通过作出弦心距后，可构造直角三角形，然 后用直角三角形的边角关系或勾股定理来求解.
B
AD AB 37.4 18.7,
2
2
R
R-7.2
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
O
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 18.72 (R 7.2)2.
垂径定理专题教育课件
A D B 正确赵弦州旳桥长AB旳）主为37桥3.47拱C,DC.就4是D米是圆，拱7弧.高2拱,形.A高，D在（它图弧12中旳A旳,跨B中度点1（8.到7弧,弦所
旳距离）O为D7.2O米C， C你D能求r 出7.赵2 州桥主桥拱旳半
径在吗R？tOAD中,由勾股定理,得OA2 AD2 OD2,
即r2 18.72 (r 7.2)2, 解得r 27.9(m)
A
D
B
r2=４2+32
得r = 5
答： ⊙O 旳半径OA为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为相互垂直且 相等旳两条弦, OD⊥AB于D, OE⊥AC于E. 求证: 四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA EAD ODA 90
∴四边形ADOE为矩形
§24.1.2 垂直于弦旳直径
C
O
A
E
B
D
A
O
E
B
赵州桥旳主桥拱是圆弧形，它旳跨度（弧所正确 弦旳长）为37.4米，拱高（弧旳中点到弦旳距离） 为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱旳半径吗？
• 圆是轴对称图形吗？ 假如是,它旳对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形.
圆旳对称轴是任意一条
经过圆心旳直线, 它有
求圆中有关线段旳长解度：时作,O常E借⊥助AB垂于径E定点理，转连化接OA.
为直角三角形,从而利用∵ 勾OE股定A理B 来处理问题.
A
E
B
变 为18.在cm⊙,OA则中E圆,直心12径OA为到B A1B120旳c距8m,离弦4
AB旳长
3cm
O
.变2.在⊙在OR中t △,直A径OE为中 10 cm,圆心O到
旳距离）O为D7.2O米C， C你D能求r 出7.赵2 州桥主桥拱旳半
径在吗R？tOAD中,由勾股定理,得OA2 AD2 OD2,
即r2 18.72 (r 7.2)2, 解得r 27.9(m)
A
D
B
r2=４2+32
得r = 5
答： ⊙O 旳半径OA为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为相互垂直且 相等旳两条弦, OD⊥AB于D, OE⊥AC于E. 求证: 四边形ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA EAD ODA 90
∴四边形ADOE为矩形
§24.1.2 垂直于弦旳直径
C
O
A
E
B
D
A
O
E
B
赵州桥旳主桥拱是圆弧形，它旳跨度（弧所正确 弦旳长）为37.4米，拱高（弧旳中点到弦旳距离） 为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱旳半径吗？
• 圆是轴对称图形吗？ 假如是,它旳对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形.
圆旳对称轴是任意一条
经过圆心旳直线, 它有
求圆中有关线段旳长解度：时作,O常E借⊥助AB垂于径E定点理，转连化接OA.
为直角三角形,从而利用∵ 勾OE股定A理B 来处理问题.
A
E
B
变 为18.在cm⊙,OA则中E圆,直心12径OA为到B A1B120旳c距8m,离弦4
AB旳长
3cm
O
.变2.在⊙在OR中t △,直A径OE为中 10 cm,圆心O到
人教版数学九年级上册：24.1.2《垂直于弦的直径》 PPT课件(共21页)1
求证：AC＝BD。
O.
E 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， A C
DB
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的 线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.
3、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解： OE AB
A
AE 1 AB 1 8 4cm
2
2
在Rt △ AOE 中，由勾股
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
在来！你行吗？
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
10cm,OE=6cm,则A1B6= cm。
解：连接OA，∵ OE⊥AB
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（不是直径）
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论
知二推三
随堂练习
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对
的两弧．
（）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
2
2
B
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13 ∴
答：直径CDC的D长=为2O2A6=. 3*在13来=2！你还能行吗？
二、填空：
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。
O AE B
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
九年级上数学《24.1.2 垂直于弦的直径》课件
M
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
C A O 证明：作直径MN垂直于弦AB D ∵ AB∥CD B ∴ 直径MN也垂直于弦CD ⌒ ⌒ ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ CM＝DM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴AM－CM ＝BM－DM ⌒ ⌒ 即 AC＝BD
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况： O A C D A O C D B B
E
O
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 结论
垂径定理的推论1
① 直径过圆心 ③ 平分弦 C ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
E
O B
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
B
在 a ， d ， r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 ．
B
⌒ 点O就是AB的圆心．
O
你 能 破 镜 重
m
n
A
C
圆
吗？
B O
作法： 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆． 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三角形
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
《24.1.2垂直于弦的直径》PPT课件(县级优课)
九年级 上册
24.1.2 垂直于弦的直径
（第1课时）
一、学习目标
• 理解圆的轴对称性； • 掌握垂径定理，能用垂径定理进行有关的
计算和证明。 • 培养自己的语言表达能力。
二、阅读课本P81--82的中间部分,并完 成学案的问题探究1、2
沿着圆的任意一条直径对折，你发现了什么？
由此你能得到什么结论？
. 在圆中解决有关弦的问题时，经常是连结半径, 过圆心作弦的垂线段(即弦心距) 等辅助线，为应用垂 径定理创造条件.
半弦பைடு நூலகம்
A
半径
E
B
.O
弦心距
弦心距2+半弦2=半径2
必做题：
• 1、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为
____4____.
• 2、已知⊙O•中， 弦AB•的长是8cm， 圆心O•到AB•的距
O
平分弦，并且平分弦所对的 两条弧 .
A
EB
D
问题：此定理的条件和结论分别是什么？
垂径定理相当于说一条直线如果具备
(1)过圆心(直径);(2)垂直于弦;
则它有以下性质
(1)平分弦;(2)平分弦所对的劣弧;
你是如
(3)平分弦所对的优弧.
何理解
C 几何叙述∵ CD是直径,
A
B
CD⊥AB,
垂径定 理的？
E
.O3
B
方法总结：
在⊙ O中,若⊙ O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中, 任意知道两个量，可根据 勾股定理求出第三个量.
E
O
A
D
B
C
• 1、下列命题中正确的个数是（ D ） • ① 直径是圆中最长的弦； ② 垂直于弦的直径平
24.1.2 垂直于弦的直径
（第1课时）
一、学习目标
• 理解圆的轴对称性； • 掌握垂径定理，能用垂径定理进行有关的
计算和证明。 • 培养自己的语言表达能力。
二、阅读课本P81--82的中间部分,并完 成学案的问题探究1、2
沿着圆的任意一条直径对折，你发现了什么？
由此你能得到什么结论？
. 在圆中解决有关弦的问题时，经常是连结半径, 过圆心作弦的垂线段(即弦心距) 等辅助线，为应用垂 径定理创造条件.
半弦பைடு நூலகம்
A
半径
E
B
.O
弦心距
弦心距2+半弦2=半径2
必做题：
• 1、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为
____4____.
• 2、已知⊙O•中， 弦AB•的长是8cm， 圆心O•到AB•的距
O
平分弦，并且平分弦所对的 两条弧 .
A
EB
D
问题：此定理的条件和结论分别是什么？
垂径定理相当于说一条直线如果具备
(1)过圆心(直径);(2)垂直于弦;
则它有以下性质
(1)平分弦;(2)平分弦所对的劣弧;
你是如
(3)平分弦所对的优弧.
何理解
C 几何叙述∵ CD是直径,
A
B
CD⊥AB,
垂径定 理的？
E
.O3
B
方法总结：
在⊙ O中,若⊙ O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中, 任意知道两个量，可根据 勾股定理求出第三个量.
E
O
A
D
B
C
• 1、下列命题中正确的个数是（ D ） • ① 直径是圆中最长的弦； ② 垂直于弦的直径平
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理
A C DB O
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
2024版《垂径定理》优秀ppt课件
《垂径定理》优秀ppt课件目录•垂径定理基本概念与性质•垂径定理证明方法•垂径定理在几何问题中应用•垂径定理在代数问题中应用•垂径定理拓展与延伸•总结回顾与课堂互动环节垂径定理基本概念与性质垂径定义及性质垂径定义从圆上一点向直径作垂线，垂足将直径分成的两条线段相等，且垂线段等于半径与直径之差的平方根。
垂径性质垂径所在的直线是圆的切线，且垂径平分过切点的半径。
垂线与直径关系垂线与直径垂直垂线垂直于直径，且垂足在直径上。
垂线与直径平分垂线平分直径，即垂足将直径分为两段相等的线段。
03垂径长度与直径关系垂径长度等于直径的一半减去半径，即垂径长度与直径成线性关系。
01垂径长度公式垂径长度= 半径-直径/2。
02垂径长度与半径关系垂径长度等于半径与直径之差的平方根，即垂径长度与半径成比例关系。
垂径长度计算垂径定理证明方法通过圆的性质，如弦的中垂线过圆心等，结合已知条件进行推导。
利用圆的性质利用相似三角形利用勾股定理构造与垂径相关的相似三角形，通过相似比和已知条件进行证明。
在直角三角形中，利用勾股定理和已知条件进行推导和证明。
030201建立坐标系以圆心为原点建立平面直角坐标系，将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$。
垂径表示设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。
求解交点联立垂径方程和圆的方程，求解交点坐标，进而证明垂径定理。
1 2 3设圆心为$O$，垂径的一个端点为$A$，另一个端点为$B$，则向量$vec{OA}$和$vec{OB}$可分别表示为垂径的两个向量。
向量表示利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件进行推导和证明。
向量运算通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为$(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
垂径定理的向量形式垂径定理在几何问题中应用求解三角形问题利用垂径定理求解直角三角形01通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和角度。
(公开课)24.1.2 垂直于弦的直径 课件(19张PPT) 教案 说课稿 教学反思(1)
船能过拱桥吗?
2,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7 . 2 , CD 2 . 4 , HN MN 1 . 5 . 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 R 2 . 4 . OD OC DC
2 2 2 OA AD OD , 2 2 2 即 R 3 . 6 ( R 2 . 4 ) .
O D F
③平分弦. B ④平分弦所对的优弧.
⑤平分弦所对的劣弧
⑤平分弦所对的劣弧
探究：我们将条件和结论混合在一起，任选两个作为 条件，剩下的三个作为结论，有几种选法？结论是否 成立？ E 如果一条直线 ①经过圆心. ③平分弦. 那么这条直线一定 A ②垂直于弦. ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧
通过刚才的画法可以得到： 如果一条直线满足： ①经过圆心. ②垂直于弦. 那么这条直线一定 A ③平分弦. ④平分弦所对的优弧. ⑤平分弦所对的劣弧.
E
符号语言：
O D F
∵EF经过圆心 EF⊥AB B ∴ AD=BD,
AE =BE, AF =BF.
⌒ ⌒
⌒
⌒
探究：我们将条件和结论混合在一起，任选两个作为 条件，剩下的三个作为结论，有几种选法？结论是否 成立？ E 如果一条直线 ①经过圆心. ②垂直于弦. 那么这条直线一定 A ③平分弦. ④平分弦所对的优弧. ①经过圆心. ②垂直于弦.
九年级上数学《24.1.2垂径定理1》课件
5
A
O
4
3
C
P
B
如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、 下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上（不 包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样 的变化？试说明理由？
C
A
E
O
B
D P
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 2 cm. 2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为14cm或2cm .
3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径 为 5cm .
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm . 5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
垂径定理的应用
小
结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问 题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦
（4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
24.1.2+垂径定理+课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
关于弦的问题，常常需要过圆 心作弦的垂线段，这是一条非 常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦构 成直角三角形，便将问题转化 为直角三角形的问题。
说出你这节课的收获，让大家与你一 起分享！！！
现在你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗?
37.4m
7.2m
C
A
D
B
O
解：如图，用AB表示主桥拱，设
的直线
O AE
D
既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴．
叠
合 ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时，
法 CD两侧的两个半圆重合，
B
A点和B点重合，
A⌒E和B⌒E重合，A⌒C、A⌒D分别和BC、
BD重合．∴ A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C，
AE＝BE
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
CD过圆心 CD⊥AB于E
M AEB
O·
N
变式3：如图，在⊙O中， 圆心O到AB的 距离为3cm，EM=2cm，求弦AB的长，
M AEB
O·
N
C
d=r-h 或d=r+h r2=（ 1 a）2+d
2
O
A
B
D
归纳：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a，
弓形高h中，任意知道两个量， 可根据垂径定理求出另两个量：
·O
AE
B
D
你是如何发现这些结论的？ 谁能用语言描述他的发现？
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C
·O
AE
B
D
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
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平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧。 （2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如 果不能，请举出反例。
C A O · B D
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：OE AB 1 1 AE AB 8 4 2 2
证明：连接OA，OB，则OA=OB ∵ AE=BE ∴ CD⊥AB
O · E D B
⌒ ⌒ ∴ AD=BD,
⌒ ⌒ AC =BC
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
O
A
E
F
B
P
练习
已知⊙O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米， 求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距 离。
E
O
O B A
D
A
E
D
B
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 5 Cm 那么⊙O的半径为
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最 短的弦等于 2 5cm .
2.过⊙O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？
B
O E C A P D
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 , 即R 2 3.62 ( R 2.4) 2 .
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B M A
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
N,且OM=2,0N=3,则AB= 6 AC= 4 ,OA= 13 ,
O N
C
• 归纳： • 已知：直径，弦长，弦心距， 拱高四者知其二，即可根据勾股定 理求出另外的两个量。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
A B A
D
O B
D
C
C
O
A E B
在Rt △ AOE 中
2 2 2
O
·
AO OE AE = 3 +4 =5cm
2
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
① ③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
试一试
1.判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧. (
√ √
)(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧.
A O M
2、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且 OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长度为整数的共有（ ） A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 C
A
5 3 OO 4 P P D
B
3、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P 是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 4 。
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O， ⌒ 如图，用 ＡＢ
B A
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ ＡＢ 的中点，CD 就是拱高． 在图中 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 2 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
试一试
已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC， 圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘 米，求AB长。
C
弧：ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
，ＡＤ＝ＢＤ
A
⌒
⌒
·
O
E
B D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧. 符号语言
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AE=BE,
B
图形语言
C O
●
A E└
D
⌒ ⌒ AC =BC,
⌒ AD=BD. ⌒
C
（1）如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径， AB为弦，且AE=BE. A ⌒⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB，且AD=BD, AC =BC
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 A 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
C D R O
B
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8 求这两条平行弦间的距离.
船能过拱桥吗?
OEA 90
EAD 90
ODA 90
1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·
O D B
A
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ②
② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE