现代控制理论

1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式
几个典型环节的模拟结构图
（4）二阶环节:
u(s)
K
y(s)
s2 a1s a0
u
K a0
a0
若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状
态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t), …,xn(t). 若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称
这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下:
x1
x
x2 ...
[
x1
x2
... xn ]T
1.1 状态变量及状态空间表达式
1.1.1 状态及状态变量 定义：动态系统的状态,是指能够完全描述系统时间域动 态行为的一个最小变量组。
➢该变量组的每个变量称为状态变量。 ➢该最小变量组中状态变量的个数称为系统 的阶数。
“状态”定义的三要素 ➢ 完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值
1.1.7 状态空间表达式的系统框图
线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来, 以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。
➢在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有力的工 具。 ➢系统结构图主要有三种基本元件:
积分器，加法器，比例器
x(t) ∫ x(t)
x1
x1+x2
x k kx
x2 x2
(a) 积分器
(b) 加法器
(c) 比例器
1.1.7 状态空间表达式的系统框图 式（9）和（10）可以用框图表示系统信号传递的关系。
•
x Axbu y cx
•
x AxBu y CxDu
1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图
状态空间表达式的框图可按如下步骤绘制：积分器的数 目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，每个积分器 的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程 和输出方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这 些元件连接起来。
（8）
设单输入一单输出定常系统，其状态变量为 则状态方程的一般形式为：
输出方程式则有如下形式：
用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：
（9）
因而多输入一多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：
（10）
式中，x和A与单输入系统相同，分别为n维状态矢量和n×n 系统矩阵；
为r维输入(或控制)矢量；
为m维输出矢量；
xn
u1
y1
u2
系统内部状态
y2
…
x1,x2,…,xn
…
ur
ym
多输入多输出系统示意图
状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。 ➢ 它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量 或观测的量； ➢ 可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之 直接相对应的抽象的数学变量。
1.1.3 状态空间
态空间构成一条轨迹,它称为
状态轨迹。
➢ 状态轨迹如右图所示。
1.1.4 状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程。
用下图所示的R-L-C 网络，说明如何用状态变量描述这一
系统。
根据电学原理，容易写出两个
含有状态变量的一阶微分方程组：
图一
亦即
（1）
式(1)就是图一系统的状态方程，式中若将状态变量用 一般符号表示，即令x1=uC, x2=i ，并写成矢量矩阵形式， 则状态方程变为：
或 式中
(2)
1.1.5 输出方程 在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关 系式，称为系统的输出方程。如在图一系统中，指定uC作为输 出，输出一般用y表示，则有：
或
（3）
式（3）就是图一系统的输出方程，它的矩阵表示式为：
或 式中
（4）
1.1.6 状态空间表达式
状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动 态描述，称为系统的状态空间表达式。
例1：对于一阶标量微分方程：
例2：三阶微分方程： 将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成
它的模拟结构图如下：
例3：已知状态空间表达式，画出相应的模拟结构图。 它的模拟结构图如下：
例4：求下列二输出的二阶系统的模拟结构图。 它的模拟结构图如下：
1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一)
状态空间表达式的建立一般可以从三个途径求得： ➢由系统框图来建立，即根据系统各个环节的实际连接， 写出相应的状态空问表达式； ➢从系统的物理或化学的机理出发进行推导； ➢由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演 化而得。
和初始时刻后(tt0)的输入,则系统在任何瞬时(tt0)的行为, 即系统的状态,就可完全且唯一的确定。 ➢ 动态时域行为。 ➢ 最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立 减少变量,描述不全。 增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必要。
1.1 状态变量及状态空间表达式
1.1.2 状态矢量
在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来
描述系统的动态过程。如上图一所示的系统，在以uC作输出，
从式(1)消去中间变量i，得到二阶微分方程为：
其相应的传递函数为：
（5）
（6）
回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选 和 作为两个
状态变量，即令
则得一阶微分方程组为：
同一物理系统， 状态空间表达式 不唯一
若以n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为 x2 坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称
x(t0)
为n维状态空间,记为Rn.
x(t1) x(t2)
状态向量的端点在状态空间中的位置,代
x(t)
表系统在某一时刻的运动状态。 ➢ 随着时间的推移,状态不断地
x1
二维空间的状态轨迹
变化,tt0各瞬时的状态在状
几个典型环节的模拟结构图
（3）一阶微分惯性环节：
u(s) K(s d) y(s) sa
u1
u
K
d a
x y1
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y
a
g(s) y(s) k(s d ) k s d k(1 d a ) k[1 (d a) 1 ]
u(s) s a s a
sa
sa
1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一)
1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一)
1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式
几个典型环节的模拟结构图图
（1）积分环节：
u(s)
K
y(s)
s
u K
xy
（2）一阶惯性环节：
u(s)
K
y(s)
sa
u
K u1
x
y
a
1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一)
1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式