实验二 多元线性回归模型的参数估计
实验二__多元线性回归模型和多重共线性
实验二 多元线性回归模型和多重共线性一、实验目的：掌握多元线性回归模型的估计方法、掌握多重共线性模型的识别和修正。
二、实验要求：应用教材第119页案例做多元线性回归模型，并识别和修正多重共线性。
三、实验原理：普通最小二乘法、简单相关系数检验法、综合判断法、逐步回归法。
四、预备知识：最小二乘法估计的原理、t 检验、F 检验、值。
2R 五、实验步骤1、设定并估计多元线性回归模型（2.1）t t t t t t t u X X X X X Y ++++++=66554433221ββββββ1.1建立工作文件并录入数据（参照实验一），得到图2.2.1图2.2.11.2对（2.1）采用OLS 估计参数方法一：在主界面命令框栏中输入 ls y c x2 x3 x4 x5 x6，然后回车，即可得到参数的估计结果，如图2.2.2所示。
方法二：按住ctrl 键，同时选中序列y 和x2 x3 x4 x5 x6，点右键，在所出现的右键菜单中，选择open\as Equation…后弹出一对话框，点击“确定”，即可得回归结果。
方法三：点击主界面菜单Quick\Estimate Equation ，弹出方法二中出现的对话框。
不过框中没有设定回归模型，可以自己输入y c x2 x3 x4 x5 x6，点确定即可得到回归结果。
（注意被解释变量y 一定要放在最前面，变量间留空格）。
图 2.2.2根据图2.2.2中的数据，得到模型（2.1）的估计结果为43525.173989664.0995406.0)752685.1()108296.3()465073.3()939591.3()031172.1)(208384.0()2830.321()177929.4()944215.0()380395.1()012692.0()690.1316(1077.56398624.12271773.3438193.5013088.03773.274ˆ2265432====--=-++++-=df F R R t X X X X X Y i 从上回归结果可以看出，拟合优度很高，整体效果的F 检验通过。
多元线性回归模型参数估计
多元线性回归模型参数估计Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1,X2,...,Xn是自变量，β0,β1,β2,...,βn 是待求的模型参数，ε是偏差项。
参数估计的目标是找到具有最小残差平方和（RSS）的模型参数。
残差是观测值与模型预测值之间的差异，残差平方和则是所有观测值的残差平方的和。
对于参数估计，常用的方法是最小二乘法。
最小二乘法的思想是最小化残差平方和以找到最佳的模型参数。
最小二乘法的步骤如下：1.假设自变量X和因变量Y之间存在线性关系。
2. 对每一个自变量Xj（j = 1, 2, ... , n），计算Xj的均值（记作xj_mean）和标准差（记作xj_std）。
3. 对每一个自变量Xj，将Xj进行标准化处理（Z-score标准化），即将Xj减去其均值后除以其标准差。
4. 根据标准化的自变量Xj，计算其相关系数（记作rj）与因变量Y 的相关系数（记作ry）。
相关系数表示两个变量之间的线性关系的强度和方向。
相关系数的取值范围为-1到1，接近-1表示负相关，接近1表示正相关，接近0表示无相关。
5. 对每个自变量Xj，计算其回归系数（记作bj）等于ry乘以xj_std除以rj。
6. 计算截距项（记作b0）等于Y的均值减去所有回归系数bj与自变量Xj的均值相乘的和。
7.得到完整的多元线性回归模型。
在进行参数估计时，需要注意以下几点：1.数据的准备：确保数据符合多元线性回归模型的假设，包括自变量与因变量的线性关系、多重共线性等。
2.异常值的处理：需要检测和处理可能存在的异常值，以避免对参数估计的干扰。
3.模型的评估：通过评估模型的适应度指标（如决定系数R^2、调整决定系数等）来判断模型的拟合优度，并对模型进行修正。
4.参数的解释：对于得到的参数估计结果，需要解释其含义和影响，以便进行预测和决策。
总之，多元线性回归模型的参数估计是通过最小二乘法等方法来找到最佳的模型参数，以拟合数据并进行预测。
多元线性回归模型参数估计
多元线性回归模型参数估计多元线性回归是一种用于建立自变量与因变量之间关系的统计模型。
它可以被视为一种预测模型，通过对多个自变量进行线性加权组合，来预测因变量的值。
多元线性回归模型的参数估计是指利用已知的数据，通过最小化误差的平方和来估计回归模型中未知参数的过程。
本文将介绍多元线性回归模型参数估计的基本原理和方法。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xp是自变量，β0、β1、β2、..、βp是回归系数，ε是残差项。
参数估计的目标是找到使得误差的平方和最小的回归系数。
最常用的方法是最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。
最小二乘法通过最小化残差的平方和来确定回归系数的值。
残差是观测值与回归模型预测值之间的差异。
为了进行最小二乘法参数估计，需要计算回归模型的预测值。
预测值可以表示为：Y^=β0+β1X1+β2X2+...+βpXp其中，Y^是因变量的预测值。
参数估计的目标可以表示为：argmin(∑(Y - Y^)²)通过对目标函数进行求导，可以得到参数的估计值：β=(X^TX)^-1X^TY其中，X是自变量的矩阵，Y是因变量的向量，^T表示矩阵的转置，^-1表示矩阵的逆。
然而，在实际应用中，数据往往存在噪声和异常值，这可能导致参数估计的不准确性。
为了解决这个问题，可以采用正则化方法，如岭回归（Ridge Regression）和LASSO回归（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator Regression）。
这些方法通过在目标函数中引入正则化项，可以降低估计结果对噪声和异常值的敏感性。
岭回归通过在目标函数中引入L2范数，可以限制回归系数的幅度。
LASSO回归通过引入L1范数，可以使得一些回归系数等于零，从而实现变量选择。
这些正则化方法可以平衡模型的拟合能力与泛化能力，提高参数估计的准确性。
多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性
多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y表示因变量（被预测或解释的变量），X1,X2,...,Xn表示自变量（用于预测或解释因变量的变量），β0,β1,β2,...,βn表示模型的参数，ε表示误差项。
参数估计就是指通过样本数据来估计模型中的参数。
在多元线性回归中，常用的参数估计方法是最小二乘法。
最小二乘法的目标是最小化实际观测值与回归方程所预测值之间的残差平方和。
为了评估多元线性回归模型的显著性，可以进行假设检验。
最常用的假设检验是利用F检验来检验整个回归模型的显著性。
F检验的原假设是回归模型中所有自变量的系数都等于零，即H0:β1=β2=...=βn=0，备择假设是至少存在一个自变量的系数不等于零，即H1:β1≠β2≠...≠βn≠0。
F统计量的计算公式为：F=(SSR/k)/(SSE/(n-k-1))其中，SSR表示回归平方和，即实际观测值与回归方程所预测值之间的残差平方和，k表示自变量的个数，SSE表示误差平方和，即实际观测值与回归方程所预测值之间的残差平方和，n表示样本容量。
根据F统计量的分布特性，可以计算得出拒绝原假设的临界值，若计算出来的F统计量大于临界值，则可以拒绝原假设，认为回归模型是显著的，即至少存在一个自变量对因变量有显著影响。
除了整体的回归模型显著性检验，我们还可以进行各个自变量的显著性检验。
每一个自变量的显著性检验都是基于t检验。
t检验的原假设是自变量的系数等于零，即H0:βi=0，备择假设是自变量的系数不等于零，即H1:βi≠0。
t统计量的计算公式为：t = (βi - bi) / (SE(βi))其中，βi表示模型中第i个自变量的系数估计值，bi表示模型中第i个自变量的理论值（一般为零），SE(βi)表示第i个自变量的系数的标准误。
根据t统计量的分布特性，可以计算得出对应自由度和置信水平的临界值，若计算出来的t统计量的绝对值大于临界值，则可以拒绝原假设，认为该自变量是显著的，即对因变量有显著影响。
多元线性回归模型的参数估计
在最小二乘法基础上，对不同的观测值赋予不同的权重，以调整其 对回归参数估计的影响。
广义最小二乘法（GLS）
考虑自变量之间的相关性，通过转换自变量和因变量来消除自变量 之间的多重共线性影响。
03
参数估计的方法
普通最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化误差 平方和来估计参数。在多元线性回归模型中，普通最小二 乘法通过求解线性方程组来得到参数的估计值。
模型选择
选择多元线性回归模型作 为预测模型，以商品价格 和用户评价作为自变量， 销量作为因变量。
参数估计
使用最小二乘法进行参数 估计，通过最小化误差平 方和来求解回归系数。
模型检验
对模型进行假设检验，确 保满足线性回归的前提假 设。
结果解释与模型评估
结果解释
根据回归系数的大小和符号，解释各自变量对因变量 的影响程度和方向。
05
参数估计的实例分析
数据来源与预处理
数据来源
数据来源于某大型电商平台的销售数据，包括商 品价格、销量、用户评价等。
数据清洗
对原始数据进行清洗，去除异常值、缺失值和重 复值，确保数据质量。
数据转换
对连续变量进行离散化处理，对分类变量进行独 热编码，以便进行回归分析。
模型建立与参数估计
01
02
03
THANKS
感谢观看
04
参数估计的步骤
确定模型形式
确定自变量和因变
量
首先需要确定回归模型中的自变 量和因变量，通常因变量是研究 的响应变量，自变量是对响应变 量有影响的预测变量。
确定模型的形式
根据自变量和因变量的关系，选 择合适的回归模型形式，如线性 回归、多项式回归等。
多元线性回归模型的参数估计
1 X 1n X 2n X kn
X X X X
X X X X
1i 2 2i
2i
X X X
ki
1i
X ki
X
2i
X ki
1i X ki 2 i X ki 2 X ki
模型结构参数的估计
ˆ X X X Y
四、参数模型估计实例
模型分布参数的估计
ee ˆ 多元 : n k 1
2
ˆ 一元 :
2
e
2 i
n2
n 11
e
2 i
三、样本容量问题
样本是一个重要的实际问题。模型依赖于实
际样本。获取样本需要成本，企图通过样本 容量的确定减轻收集数据的困难。
1、最小样本容量
2、满足基本要求的样本容量
二、模型参数的OLS估计
在多元线性回归模型中，要估计的乃是一个
平面或超平面——拟合平面（通常仍称它为 拟合直线）。 最优估计——实际点到拟合平面的纵向距离 最小。 即拟合值尽可能逼近真实值，使残差的平方 和最小。
2 ˆ min e min (Yi Yi ) 2 i
利用解析式估计模型参数
ˆ ˆ ˆ Y n X X 0 1i 1 ki k i 2 ˆ ˆ ˆ X 1i X X X X 1iYi 0 1i 1 1i ki k 2 ˆ ˆ ˆ X X X X ki k X kiYi ki 0 1i ki 1 ˆ n X 1i X ki Yi 0 2 ˆ X 1i X1i X1i X ki 1 X 1iYi 2 X X Y ˆ X1i X ki X ki k ki i ki ˆ X Y X X
§3.2-多元线性回归模型的参数估计
共计
2420
21450 21285
15510
例3.2.1：家庭收入-消费支出 ，
1 ( X ' X) X 1 1 X2 1 X1 1 1 X 2 n X Xn i 1 X n
X X
如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ˆ Y i 0 1 1i 2 2i ki Ki
i=1,2…n
根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解
Q0 ˆ 0 Q0 ˆ 1 ˆ Q0 2 Q0 ˆ k
( XX) 1 X( Xβ μ ) β ( XX) 1 Xμ
和
) 2I E (μμ
五、样本容量问题 ⒈ 最小样本容量
所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理 和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管 其质量如何，所要求的样本容量的下限。 样本最小容量必须不少于模型中解释变量 的数目（包括常数项）,即 n k+1 因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1
i=1,2…n
其矩阵形式为
ˆ e y xβ
其中 ：
y1 y2 y y n
x11 x x 12 x 1n x 21 x 22 x2n x k1 xk 2 x kn
2、无偏性
ˆ ) E (( X X ) 1 X Y ) E (β E (( X X ) 1 X ( Xβ μ )) β ( X X ) 1 E ( X μ ) β
这里利用了假设: E(X’)=0
3、有效性（最小方差性）
实验二 多元线性回归模型的参数估计
实验二多元线性回归模型的变量选择与参数估计一、实验目的：1.熟悉多元线性回归模型中的解释变量的引入2.掌握对计算结果的统计分析与经济分析二、实验内容：X--每人实际可支配收入，美元2X--子鸡每磅实际零售价格，美分3X--猪肉每磅实际零售价格，美分4X--牛肉每磅实际零售价格，美分5X--子鸡替代品每磅综合实际价格，美分。
6X是猪肉和牛肉每磅6实际零售价格的加权平均，其全书是在猪肉和牛肉的总消费量中两者各占的相对消费量。
现考虑如下需求函数：12233ln ln ln t t t t Y X X u ααα=+++ （1）1223344ln ln ln ln t t t t t Y X X X u γγγγ=++++ （2）1223345ln ln ln ln t t t t t Y X X X u λλλλ=++++ （3）122334455ln ln ln ln ln t t t t t t Y X X X X u θθθθθ=+++++ （4）1223346ln ln ln ln t t t t t Y X X X u ββββ=++++ （5） 由微观经济学知，一种商品的需求通常依赖于消费者的实际收入、该商品的实际价以及互补或替代商品的实际价格。
根据以上的思路，回答下列问题：（1） 从所列举的需求函数中你会选择哪一个？为什么？（2） 怎样解释这些模型中的23ln ln X X 和的系数？（3） 模型（2）与模型（4）有什么不同？如果采用模型（4）会有什么问题？ （4） 假定模型（5）是正确的需求函数，估计此模型的参数，算出2R 及修正的2R 并对结果进行经济解释。
三、实验要求：根据以上问题写出实验报告。
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验
多元线性回归模型的公式和参数估计方法以及如何进行统计推断和假设检验多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，它在研究多个自变量与一个因变量之间的关系时具有重要的应用价值。
本文将介绍多元线性回归模型的公式和参数估计方法，并讨论如何进行统计推断和假设检验。
一、多元线性回归模型的公式多元线性回归模型的一般形式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y表示因变量，X1至Xk表示自变量，β0至βk表示模型的参数，ε表示误差项。
在多元线性回归模型中，我们希望通过样本数据对模型的参数进行估计，从而得到一个拟合度较好的回归方程。
常用的参数估计方法有最小二乘法。
二、参数估计方法：最小二乘法最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来估计模型的参数。
参数估计的公式如下：β = (X^T*X)^(-1)*X^T*Y其中，β表示参数矩阵，X表示自变量的矩阵，Y表示因变量的矩阵。
三、统计推断和假设检验在进行多元线性回归分析时，我们经常需要对模型进行统计推断和假设检验，以验证模型的有效性和可靠性。
统计推断是通过对模型参数的估计，来对总体参数进行推断。
常用的统计推断方法包括置信区间和假设检验。
1. 置信区间：置信区间可以用来估计总体参数的范围，它是一个包含总体参数真值的区间。
2. 假设检验：假设检验用于检验总体参数的假设是否成立。
常见的假设检验方法有t检验和F检验。
在多元线性回归模型中，通常我们希望检验各个自变量对因变量的影响是否显著，以及模型整体的拟合程度是否良好。
对于各个自变量的影响，我们可以通过假设检验来判断相应参数的显著性。
通常使用的是t检验，检验自变量对应参数是否显著不等于零。
对于整体模型的拟合程度，可以使用F检验来判断模型的显著性。
F检验可以判断模型中的自变量是否存在显著的线性组合对因变量的影响。
在进行假设检验时，我们需要设定显著性水平，通常是α=0.05。
多元线性回归模型的参数估计
（2.3.7）
由于 XX 满秩，故有
( X X ) 1 X Y
（2.3.8）
• 估计过程的矩阵表示：
对于模型(2.3.3)式有：
Y X
被解释变量的观测值与估计值之差的平方和为：
n
n
Q ei2 ( yi yi ) 2
i 1
i 1
e e (Y X ) (Y X )
yyii
x1i x2i
(0 (0
1 x1i 1 x1i
2 x2i k xki 2 x2i k xki
i ) x1i i ) x2i
yi xki (0 1x1i 2 x2i k xki i ) xki
(2.3.6)
解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得 到 (k+1)个待估参数的估计值 j , j 0,1,2,, k 。
（2.3.6）的矩阵形式如下：
n
X1i
X ki
X1i
X
2 1i
X ki X 1i
X X1i
矩阵符号
3、 E( X T N ) 0 ，即
i E(i )
E
X 1i i
X
1i E(i
)
0
X Ki i X Ki E(i )
标量符号 4、（为了假设检验），随机扰动项服从正态分布
0
ˆ
(YY
2Y'
Xˆ
ˆ XXˆ )
二元线性回归模型和参数估计
ˆ0 Y ˆ1X1 ˆ2 X 2
ˆ1
(
y
i
x
1i
)(
x2
2i
)
(
y
i
x
2i
)(
x
1i
x
2i
)
(
x2
1i
)(
x2
2i
)
(
x
1i
x
2i
)2
ˆ2
(
yi x2i )( x12i ) ( yi x1i )( x1i x2i ) ( x12i )( x22i ) ( x1i x2i )2
其中， xi Xi X， yi Yi Y ， X
设根据给定一组样本数据（ Yi，X1i，X2i），i=1，2，…， n ， 采用一般最小二乘法估计得到旳样本回归模型为
Yi ˆ0 ˆ1X1i ˆ2X2i ei ，则参数估计量 ˆ 0 、 ˆ1 、ˆ 2 应
该使 残差平方和
n
ei2
n (Yi
Yˆi )2
n (Yi
ˆ0 ˆ1X1i
ˆ2i X 2i )2
i1 i1
i 1
到达最小。
根据极值存在旳必要条件，应该有
ei2
ˆ0
2 (Yi
ˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i ) 0
ei2
ˆ1
2 (Yi
ˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i )X1i
0
ei2
ˆ2
2 (Yi
ˆ0
ˆ1X1i
ˆ2 X 2i )X 2i
0
用
ˆ
j
表示
Beta
系数，则
ˆ
j
ˆ j
S Xj SY
多元线性回归模型的参数估计
多元线性回归模型的参数估计参数估计的方法有多种，其中比较常用的是最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是通过最小化残差平方和来确定最优参数。
残差是实际观测值与模型预测值之间的差异。
通过最小化残差平方和，可以找到最佳的参数估计值，使得模型尽可能地接近真实观测值。
Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βp*Xp+ε其中Y是因变量，X1到Xp是自变量，β0到βp是参数，ε是误差项。
参数估计的过程分为两个步骤：估计回归系数和估计误差项。
估计回归系数的方法有多种。
最常用的是普通最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。
OLS的目标是最小化残差平方和。
通过计算导数，将残差平方和对参数进行求导并令导数等于0，可以得到参数的最优估计值。
这个过程可以使用矩阵计算来实现，可以得到参数的闭式解。
估计误差项的方法也有多种。
最常用的是最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）。
在多元线性回归模型中，误差项假设为正态分布。
MLE通过最大化似然函数来确定误差项的参数。
似然函数给出了参数取值下观测样本出现的概率。
除了OLS和MLE，还有其他一些参数估计方法，如岭回归（Ridge Regression）、套索回归（Lasso Regression）等。
这些方法可以在普通最小二乘法的基础上进行改进，通过添加约束条件或正则化项来提高模型的性能和稳定性。
在进行参数估计之前，还需要检验模型的假设是否成立，如线性关系、误差项的独立性、误差项的正态性等。
如果模型的假设不成立，可能会导致参数估计的偏离。
总之，多元线性回归模型的参数估计是通过最小化残差平方和或最大化似然函数来确定最优的参数估计值。
这些方法可以提高模型的性能和稳定性，但也需要检验模型的假设是否成立。
参数估计的过程需要进行数学推导和计算，通常可以使用现有的统计软件包来实现。
【2019年整理】多元线性回归模型的参数估计
❖ 最优估计——实际点到拟合平面的纵向距离 最小。
❖ 即拟合值尽可能逼近真实值，使残差的平方 和最小。
min ei2 min (Yi Yˆi )2
利用解析式估计模型参数
n
n
Q ei2 (Yi Yˆi )2
Y Y Y X ˆ ˆX Y ˆX X ˆ
Y X ˆ ˆX Y
Y Y 2ˆX Y ˆX X ˆ
Q
ˆ
0
X Y X X ˆ 0
ˆ ( X X )1 X Y
模型分布参数的估计
多元 : ˆ 2 ee
n k 1
一元 : ˆ 2
ei2
ei2
n 2 n 11
三、样本容量问题
ˆk
X kiYi
n
X1i
X ki
X1i
X
2 1i
X1i X ki
X ki X1i
X
ki
ˆ0 ˆ1
Yi X1iYi
X
2 ki
ˆk
X kiYi
X X ˆ X Y
1 X11 X 21
X
1
X12
X 22
1 X1n X 2n
Xk1
X
k
2
X kn
1 1
X11
X X ˆ X Y
ˆ ( X X )1 X Y
利用矩阵表达式估计模型参数
Y X Yˆ X ˆ
e Y Yˆ
n
n
Q ei2 (Yi Yˆi )2
i 1
i 1
ee (Y Yˆ)(Y Yˆ) (Y X ˆ )(Y X ˆ )
3.2 多元线性回归模型的参数估计
上式中，矩阵PP´的主对角线上所有元素非负，所以
有：Var bi Var(ˆi ),i 0,1 , k
以上证明过程中得到了参数估计量的方差，即：
X X Var ˆi 2
'
1
2Ci1,i1(i 0,1 , k)
i1,i1
若用ˆ 2代替上式中的 2，则可得：
通常称为回归标准差或残差标准差。
其证明过程如下：
e Y Yˆ Y X ˆ Y X (X ' X )1 X 'Y X U X ( X ' X )1 X ' ( X U )
U X ( X ' X )1 X 'U In X ( X ' X )1 X ' U MU
其中：M In X (X 'X )1 X ' ,显然M是n n对称 幂等矩阵，即M M ', M M 2 e'e (MU )' MU U 'M 'MU U 'MU
L122
，S(ˆ2 )
ˆ
L11 L11L22 L122
i1, j1
以下证明最小方差性： 设b是β的又一线性无偏估计量，不失一般性，令
b (A P)Y
其中P为一个非随机的（k 1) n阶常数矩阵。
则：
b ( A P)(X U )
AX PX (A P)U
PX (A P)U
∴ E(b) PX 根据b的无偏性知：PX 0 ∴ b ( A P)U
2、无偏性 无偏性是指估计量的数学期望等于参数真实值。
证明 βˆ = (XX)-1 XY = (XX)-1 X(Xβ U) = β (XX)-1 XU
对上式两端取数学期望得
多元线性回归模型的参数估计与显著性检验
多元线性回归模型的参数估计与显著性检验多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
在进行多元线性回归时，我们希望通过估计模型的参数来描述自变量与因变量之间的关系，并通过显著性检验来确定这种关系是否存在。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型可以用如下的数学表达式表示：Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βn*Xn + ε其中，Y表示因变量（被解释变量），X1、X2、...、Xn表示自变量（解释变量），β0、β1、β2、...、βn表示回归方程的参数，ε表示误差项。
二、参数估计在多元线性回归中，我们需要通过样本数据来估计回归方程的参数。
最常用的估计方法是最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS），它通过最小化观测值与回归方程预测值之间的残差平方和来确定参数的估计值。
具体而言，最小二乘法的目标是选择参数的估计值，使得残差平方和最小化。
为了得到参数的估计值，可以使用矩阵形式的正规方程来求解，即：β = (X'X)-1X'Y其中，β是参数的估计值，X是自变量矩阵，Y是因变量向量，X'表示X的转置，-1表示逆矩阵。
三、显著性检验在进行多元线性回归时，我们通常希望确定自变量与因变量之间的关系是否显著存在。
为了进行显著性检验，我们需要计算模型的显著性水平（p-value）。
常见的显著性检验方法包括F检验和t检验。
F检验用于判断整体回归模型的显著性，而t检验用于判断单个自变量对因变量的显著性影响。
F检验的假设为：H0：模型中所有自变量的系数均为零（即自变量对因变量没有显著影响）H1：模型中至少存在一个自变量的系数不为零在进行F检验时，我们计算模型的F统计量，然后与临界值进行比较。
若F统计量大于临界值，则拒绝原假设，认为回归模型显著。
而t检验的假设为：H0：自变量的系数为零（即自变量对因变量没有显著影响）H1：自变量的系数不为零在进行t检验时，我们计算各个自变量系数的t统计量，然后与临界值进行比较。
多元线性回归模型及其参数估计多元线性回归的显著性
[ˆ j
t 2
(n
k
1)
C jjˆ2
,
ˆ j
t 2
(n
k
1)
C jjˆ2 ]
统计软件自动给出各回归系数的上下限
七、例2.1
年份
消费
收入
人口
已知某地区的相关数据如右表所示， 1994
9
13.1
48.2
试求该回归方程。 解：使用Eviews实现回归，得到的方
1995 1996 1997
使 Q(ˆ0 , ˆ1,, ˆk ) min Q(0 , 1,, k )
分别求 Qe 关于 0 , 1,, k 的偏导数,并令其为零
Qe
Qe
0
0 BBˆ
k BBˆ
整理得正规方程组
n
n
n
nˆ0 ˆ1 xi1 ˆk xik yi
ˆ0
i 1
n
n
xi1 ˆ1 xi21 ˆk
非随机表达式
E(Y x1i , x2i , , xki ) 0 1x1i 2x2i k xki
可见，多元回归分析是以多个解释变量的固定值 为条件的回归分析，表示各解释变量X值固定时Y 的平均响应。
也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保
j
持不变的情况下，X j 每变化1个单位时，引起的
因变量的平均变动量。或者说
系显著。
t检验通不过的可能原因
（1）选择的自变量对因变量事实上并无显著影响； （2）选择的自变量具有多重共线性。
五、序列相关检验（DW检验）
1. 检验内容：检验随机误差项的无序列相关假设 是否成立。
2. 方法：与一元回归相同。
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实验二多元线性回归模型的变量选择与参数估计
一、实验目的：
1.熟悉多元线性回归模型中的解释变量的引入
2.掌握对计算结果的统计分析与经济分析
二、实验内容：
X--每人实际可支配收入，美元
2
X--子鸡每磅实际零售价格，美分
3
X--猪肉每磅实际零售价格，美分
4
X--牛肉每磅实际零售价格，美分
5
X--子鸡替代品每磅综合实际价格，美分。
6X是猪肉和牛肉每磅6
实际零售价格的加权平均，其权数是在猪肉和牛肉的总消费量中两
者各占的相对消费量。
假定模型为线性回归模型，估计此模型的参数。
对模型进行统计学检验，并对结果进行经济解释。
三、实验要求：
根据以上问题写出实验报告。