山西临晋中学2020-2021学年高二月考数学(理)试卷含答案
2020-2021学年山西省晋城市某校高二(上)9月月考数学(理)试卷(有答案)
2020-2021学年山西省晋城市某校高二（上）9月月考数学（理）试卷一、选择题1. 设集合A ={x|1<x <2}, B ={x|x <a }，若A ∩B =A ，则a 的取值范围是( )A.{a|a ≤2}B.{a|a ≤1}C.{a|a ≥1}D.{a|a ≥2}2. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为( )A.2√3B.2√2C.4√3D.8√23. 平面α与平面β平行的条件可以是( )A.α内有无数条直线都与β平行B.直线a // α，a // β，且直线a 不在α内，也不在β内C.α内的任何直线都与β平行D.直线a 在α内，直线b 在β内，且a // β，b // α4. 已知△ABC 的三个内角之比为A:B:C =3:2:1，那么对应的三边之比a:b:c 等于（ ）A.3:2:1B.√3:2:1C.√3:√2:1D.2:√3:15. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制的数就是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数11…1⏟16位转换成十进制数就是( ) A.217−2B.216−1C.216−2D.215−16. 已知几何体三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为( )A.6πB.5πC.4πD.3π7. 连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(m, n)与向量(−1, 1)的夹角θ>90∘的概率是( )A.5 12B.712C.13D.128. 已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：①{c//α，c//β，⇒α//β；②{α//γ，β//γ，⇒α//β；③{c//α，a//c，⇒a//α；④{a//γ，α//γ，⇒a//α.其中正确的命题是( )A.①②③B.②④C.②D.③9. 已知函数f(x)=e x与函数g(x)的图像关于y=x对称，若|g(a)|=|g(b)|(a<b)，则a+4b的取值范围是( )A.[4,+∞)B.(4,+∞)C.[5,+∞)D.(5,+∞)10. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )A.2√17B.2√5C.3D.211. 如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点M，N分别在A1B1，D1C1上，且A1M=D1N=1，过点M，N的平面α与此四棱台的下底面会相交，则平面α与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为( )A.18√7B.30√2C.6√61D.36√312. 已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3，4，x，则x的取值范围是( )A.(√7,5)B.(√5,√7)C.(√5,3)D.(4,7)二、填空题有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是________（填写序号）.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.某种圆柱形饮料罐的容积为定值，当底面半径R 与它的高ℎ的比值为________时，可以使它的用料最省．函数f (x )={−3x, x <0，x 2−1, x ≥0.若方程f (x )+3√1−x 2+|f (x )−3√1−x 2|−2ax −6=0有三个根，且x 1<x 2<x 3，x 2是x 1和x 3的等差中项，则a =_______. 三、解答题已知等差数列 {a n } 的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为 T n ，若a 1=b 1=3， a 4=b 2，S 4−T 2=12．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n +b n }的前n 项和．已知向量a →=(sin θ,1)，b →=(1,cos θ)，其中θ∈(−π2,π2)，向量c →=(0,3)．(1)若(4a →−c →) // b →，求角θ的值；(2)求|a →+b →|的取值范围．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点.求证：(1)平面EFA 1//平面BCHG ；如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径.(1)计算球O的表面积和体积；(2)若C是截面小圆上一点，∠ABC=30∘，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角余弦值.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD= DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F．求证：(1)PA // 平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.已知函数f(x)=2x(x∈R).(1)解不等式f(x)−f(2x)>16−9×2x；(2)若函数F(x)=f(x)−f(2x)−m在[−1, 1]上存在零点，求实数m的取值范围；(3)若函数f(x)=g(x)+ℎ(x)，其中g(x)为奇函数，ℎ(x)为偶函数，若不等式2ag(x)+ℎ(2x)≥0对任意x∈[1, 2]恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年山西省晋城市某校高二（上）9月月考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：已知集合A={x|1<x<2}, B={x|x<a}，A∩B=A，则a≥2.故选D.2.【答案】B【考点】斜二测画法画直观图平面图形的直观图【解析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，然后直接利用平行四边形的面积公式求面积．【解答】解：由题意正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以对角线长度为√2，则对应原图形平行四边形的高为2√2，所以原图形的面积为1×2√2=2√2．故选B.3.【答案】C【考点】平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定【解析】在A、B、D中，α与β相交或平行；在C中，由面面平行的判定定理得α // β．【解答】解：在A中，α内有无穷多条直线都与β平行，α与β有可能相交，故A错误；在B中，直线a // α，a // β，且直线a不在α内，也不在β内，则α与β相交或平行，故B在D中，直线a在α内，直线b在β内，且a // β，b // α，则α与β相交或平行，故D错误．故选C.4.【答案】D【考点】正弦定理【解析】由A+B+C=π，可得C=π6，从而得到三内角的值．再由正弦定理可得三边之比a:b:c=sin A:sin B:sin C，运算求得结果．【解答】解：∵已知△ABC的三个内角之比为A:B:C=3:2:1，∴有B=2C，A=3C，再由A+B+C=π，可得C=π6，故三内角分别为A=π2，B=π3，C=π6，再由正弦定理可得三边之比得，a:b:c=sin A:sin B:sin C=1:√32:12=2:√3:1.故选D.5.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案．【解答】解：由题意可知(1111111111111111)2=215+214+...+22+2+1=1−216 1−2=216−1.故选B.6.【答案】B【考点】由三视图求表面积（组合型）【解析】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径解：几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为12×3×2π+2π×12=5π.故选B．7.【答案】A【考点】等可能事件的概率数量积表示两个向量的夹角【解析】掷两次骰子分别得到的点数m，n，组成的向量(m, n)个数为36个，与向量(−1, 1)的夹角θ>90∘的这个事件包含的基本事件数须将其满足的条件进行转化，再进行研究【解答】解：后连掷两次骰子分别得到点数m，n，所组成的向量(m, n)的个数共有36种，由于向量(m, n)与向量(−1, 1)的夹角θ>90∘，∴(m, n)⋅(−1, 1)<0，即m>n，满足题意的情况如下：当m=2时，n=1；当m=3时，n=1，2；当m=4时，n=1，2，3；当m=5时，n=1，2，3，4；当m=6时，n=1，2，3，4，5；共有15种，故所求事件的概率是1536=512.故选A.8.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】根据题中条件判断①中α，β的位置关系，可判断①的正误；利用面面平行的性质可判断②的正误；根据题中条件判断③中a与α的位置关系，可判断③的正误；根据题中条件判断④中a与α的位置关系，可判断④的正误．综合可得出结论．【解答】解：对于命题①，c//α，c//β，则α与β平行或相交，命题①错误；对于命题②，α//γ，β//γ，，由面面平行的性质知α//β，命题②正确；对于命题③，c//α，a//c，则a//α或a⊂α，命题③错误；对于命题④，a//γ，α//γ，则a//α或a⊂α，命题④错误．故选C．9.对勾函数求最值对数函数的图象与性质反函数【解析】依题意可求得ab=1(0<a<1<b)，利用对勾函数的单调性质即可求得答案．【解答】解：∵函数f(x)=e x与函数g(x)的图像关于y=x对称，∴函数f(x)=e x与函数g(x)互为反函数，∴g(x)=lnx，由|g(a)|=|g(b)|(a<b)可得−ln a=ln b，∴ln a+ln b=0，∴ab=1(0<a<1<b)，∴b=1(0<a<1<b)，a∴a+4b=a+4(0<a<1).a(0<a<1)，设ℎ(a)=a+4a利用对勾函数的单调性可知ℎ(a)在(0,1)上单调递减，∴ℎ(a)=a+4>ℎ(1)=1+4=5，a即a+4b>5.故选D.10.【答案】B【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题【解析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长为16，高为2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：√22+42=2√5．故选B．11.直线与平面平行的性质截面及其作法【解析】首先找到截面，再探讨最大位置取最大面积，即可得到结果.【解答】解：如图：由已知，易得MN//B1C1，且MN=B1C1，又因为B1C1//BC，所以MN//BC，又平面α∩平面ABCD=EF，由线面平行的性质可知，MN//EF，所以EF//BC，且易得EF=BC，由正四棱台性质可知，B1C1≠BC，即EF≠MN，所以截面图形为梯形，且上下底边长恒定，所以面积要最大，即高要最大，此时根据正四棱台的性质可知，当EF与BC重合时，高最大，最大的高ℎ=√52+52=5√2，×(4+8)×5√2=30√2.所以截面面积的最大值为12故选B.12.【答案】A【考点】非欧拉多面形面数、棱数、顶点数的关系【解析】作出图形，设AB=3AC=4，四面体A′−ABC可以由△ABC和在同一平面的△A′BC 沿着BC为轴旋转构成，利用数形结合能求出的取值范围．【解答】解：如图所示，第一排三个图讨论最短；第二排三个图讨论最长，第一排，三个图讨论最短：当∠ABC<90∘向90∘趋近时，BC逐渐减少，AA′<BC，可以构成x=AA′=BC的四面体；当∠ABC≥90∘时构成的四面体AA′>BC，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长大于√42−32=√7.第二排，三个图讨论最长：当∠BAC<90∘向90∘趋近时，BC逐渐增大，AA′>BC，可以构成x=AA′=BC的四面体；当∠ABC≥90∘时构成的四面体AA′<BC，不满足题意；所以满足题意的四面体第三对棱长小于√42+32=5，综上，x∈(√7,5).故选A.二、填空题【答案】①②③【考点】平行公理平面的基本性质及推论【解析】根据点、线、面公理逐个判断即可.【解答】解：公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理1；公理2：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理2；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理4：平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理4，命题④为等角定理．故答案为：①②③．【答案】1:47【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由题不妨设长方体的长宽高分别为a，b，c，则可找到三棱锥的三条互相垂直的棱的长度，利用椎体与柱体体积公式计算即可求解．【解答】解：作一个长方体ABCD−A1B1C1D1，分别取棱A1D1，DD1，C1D1的中点为M，N，P，不妨设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，则MD 1=12a ，D 1N =12c ，D 1P =12b ， ∴ V N−MD 1P =13×12×MD 1×D 1P ×D 1N =148abc ，又长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为abc ，∴ 剩下的几何体体积为abc −148abc =4748abc ，∴ 该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为1:47．故答案为：1:47．【答案】12【考点】基本不等式在最值问题中的应用旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】由题意求出饮料罐的表面积，求出体积，推出表面积与圆柱底面半径的关系式，通过不等式求出面积的最小值．【解答】解：如图，饮料罐的表面积S =2πRℎ+2πR 2．由V =πR 2ℎ，得ℎ=V πR 2， 则S =2πR ⋅V πR 2+2πR 2=2V R +2πR 2，(R >0) 所以S =V R +V R +2πR 2≥3√VR ⋅V R ⋅2πR 23=3√2πV 23， 当且仅当V R =2πR 2，即R =√V2π3时，S 取得最小值． 把R =√V 2π3代入ℎ=V πR 2，得ℎ=2√V2π3，即ℎ=2R ．故答案为：12.【答案】√7−2【考点】由函数零点求参数取值范围问题分段函数的应用函数的零点与方程根的关系函数的求值【解析】令ℎ(x )=f (x )+3√1−x 2+|f (x )−3√1−x 2| g (x )=2ax +6，分类讨论后得到分段函数ℎ(x)={−6x ，−1≤x ≤−√22，6√1−x 2，−√22<x ≤1.利用ℎ(x )g (x )的图象有3个不同的交点且交点的横坐标成等差数列可求a 的值.【解答】解：令ℎ(x )=f (x )+3√1−x 2+|f (x )−3√1−x 2|， g (x )=2ax +6，则方程f (x )+3√1−x 2+|f (x )−3√1−x 2|−2ax −6=0有三个根即为ℎ(x ),g (x )图象的3个不同交点的横坐标．又 ℎ(x )={2f (x )，f (x )≥3√1−x 2，6√1−x 2， f (x )<3√1−x 2.令f (x )≥3√1−x 2，则 {−3x ≥3√1−x 2，−1≤x <0， 或 {0≤x ≤1，x 2−1≥3√1−x 2.解得−1≤x ≤−√22或x =1，令f (x )<3√1−x 2，则 {−3x <3√1−x 2，−1≤x <0， 或 {0≤x ≤1，x 2−1<3√1−x 2，解得−√22<x <0或0≤x <1 ，即−√22<x <1.ℎ(x)={−6x ，−1≤x ≤−√22，6√1−x 2，−√22<x <1，0，x =1. 而当x =1时，6√1−x 2=0，所以ℎ(x)={−6x ，−1≤x ≤−√22，6√1−x 2，−√22<x ≤1.其图象如图所示：因为ℎ(x )，g (x )图象有3个不同交点，故两个函数图象的位置关系仅如图所示：其中x1为函数y=−6x，−1<x<√22的图象与y=2ax+6的图象的交点的横坐标且a>0，x2，x3为y=6√1−x2，−√22<x<0的图象与y=2ax+6的图象的交点的横坐标，令6√1−x2=2ax+6，两边平方后得到(a2+9)x2+6ax=0，解得x2=−6aa2+9，x3=0.令−6x=2ax+6，故x1=−66+2a =−33+a，因为x2是x1和x3的等差中项，故−6aa2+9×2=−33+a，解得a=√7−2或a=−√7−2(舍)．当a=√7−2时，x1=−31+√7=−√7−12∈(−1,−√22)，x2=−6(√7−2)(√7−2)2+9=−√7−14∈(−√22,0)，故a=√7−2符合题意．故答案为：√7−2.三、解答题【答案】解：(1)由a1=b1，a4=b2，则S4−T2=(a1+a2+a3+a4)−(b1+b2)=a2+a3=12，设等差数列{a n}的公差为d，则a2+a3=2a1+3d=6+3d=12，所以d=2，所以a n=3+2(n−1)=2n+1.设等比数列{b n}的公比为q，因为b2=a4=9，即b2=b1q=3q=9，所以q=3，所以b n=3n.(2)由(1)知a n+b n=(2n+1)+3n，所以{a n+b n}的前n项和为(a1+a2+⋯+a n)+(b1+b2+⋯+b n)=(3+5+⋯+2n+1)+(3+32+⋯+3n)=(3+2n+1)n2+3(1−3n)1−3=n(n+2)+3(3n−1)2．【考点】数列的求和等比数列的前n 项和等比数列的通项公式等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】(1)先由题中条件得到S 4−T 2=a 2+a 3=12，再设等差数列{a n }的公差为d ，结合题中数据求出公差，进而可得{a n }的通项公式；设等比数列{b n }的公比为q ，求出公比，即可得出{b n }通项公式．(2)先由(1)的结果，得到a n +b n =(2n +1)+3n ，再由分组求和法，结合等差数列与等比数列前n 项和公式，即可得出结果．【解答】解：(1)由a 1=b 1，a 4=b 2，则S 4−T 2=(a 1+a 2+a 3+a 4)−(b 1+b 2)=a 2+a 3=12，设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2+a 3=2a 1+3d =6+3d =12，所以d =2，所以a n =3+2(n −1)=2n +1.设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2=a 4=9，即b 2=b 1q =3q =9，所以q =3，所以b n =3n .(2)由(1)知a n +b n =(2n +1)+3n ，所以{a n +b n }的前n 项和为(a 1+a 2+⋯+a n )+(b 1+b 2+⋯+b n )=(3+5+⋯+2n +1)+(3+32+⋯+3n )=(3+2n +1)n 2+3(1−3n )1−3=n(n +2)+3(3n −1)2．【答案】解：(1)∵ 4a →−c →=4(sin θ, 1)−(0, 3)=(4sin θ, 1)，(4a →−c →) // b →，∴ 4sin θcos θ−1=0，sin 2θ=12． ∵ −π2<θ<π2，∴ −π<2θ<π．∴ 2θ=π6或5π6，即θ=π12或5π12．(2)∵ a →+b →=(sin θ+1, cos θ+1)，∴ |a →+b →|=√(sin θ+1)2+(cos θ+1)2=√3+2(sin θ+cos θ)=√3+2√2sin (θ+π4)，∵ −π2<θ<π2， ∴ −π4<θ+π4<3π4， ∴ −√22<sin (θ+π4)≤1，∴ 1<3+2√2sin (θ+π4)≤3+2√2，∴ 1<√3+2√2sin (θ+π4)≤√2+1，即|a →+b →|∈(1,√2+1]．【考点】两角和与差的正弦公式平面向量的坐标运算平行向量的性质向量的模正弦函数的定义域和值域【解析】（1）利用向量的线性运算和正弦函数的单调性即可求出；（2）根据向量的模的计算公式及三角函数的运算和正弦函数的单调性即可求出．【解答】解：(1)∵ 4a →−c →=4(sin θ, 1)−(0, 3)=(4sin θ, 1)，(4a →−c →) // b →，∴ 4sin θcos θ−1=0，sin 2θ=12．∵ −π2<θ<π2，∴ −π<2θ<π．∴ 2θ=π6或5π6， 即θ=π12或5π12． (2)∵ a →+b →=(sin θ+1, cos θ+1)，∴ |a →+b →|=√(sin θ+1)2+(cos θ+1)2=√3+2(sin θ+cos θ)=√3+2√2sin (θ+π4)，∵ −π2<θ<π2，∴ −π4<θ+π4<3π4， ∴ −√22<sin (θ+π4)≤1，∴ 1<3+2√2sin (θ+π4)≤3+2√2，∴ 1<√3+2√2sin (θ+π4)≤√2+1，即|a →+b →|∈(1,√2+1]．【答案】证明：(1)∵ E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴ EF//BC ，∵ EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，∴ EF//平面BCHG ．∵ A 1G 与EB 平行且相等，∴ 四边形A 1EBG 是平行四边形，∴ A 1E//GB ，∵ A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，∴ A 1E//平面BCHG ．∵ A 1E ∩EF =E ，∴ 平面EFA 1//平面BCHG ．(2)∵ GH//BC ，GH <BC ，∴ BG 与CH 必相交，设交点为P ，∵ P ∈BG ，BG ⊂平面BAA 1B 1，∴ P ∈平面BAA 1B 1，同理P ∈平面CAA 1C 1，又∵ 平面BAA 1B 1∩平面CAA 1C 1=AA 1，∴ P ∈直线AA 1，∴ BG ，CH ，AA 1三线共点．【考点】三点共线平面与平面平行的判定平面的基本性质及推论【解析】无无【解答】证明：(1)∵ E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴ EF//BC ，∵ EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，∴ EF//平面BCHG ．∵ A 1G 与EB 平行且相等，∴ 四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A1E//GB，∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E//平面BCHG．∵A1E∩EF=E，∴平面EFA1//平面BCHG．(2)∵GH//BC，GH<BC，∴BG与CH必相交，设交点为P，∵ P∈BG，BG⊂平面BAA1B1，∴ P∈平面BAA1B1，同理P∈平面CAA1C1，又∵ 平面BAA1B1∩平面CAA1C1=AA1，∴P∈直线AA1，∴BG，CH，AA1三线共点．【答案】解：(1)连接OA，由题意得，截面小圆半径为4，在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，由勾股定理知，AO=5，∴球O的表面积为：4π⋅52=100π.球O的体积为：43π⋅53=500π3.(2)由MN // OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角）．在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30∘，则AC=4，连接OC，在△OAC中，OA=OC=5，由余弦定理知：cos∠OAC=AC2+OA2−OC22OA⋅AC =42+52−522×4×5=25，∴异面直线AC与MN所成的角余弦值为25．【考点】截面及其作法余弦定理异面直线及其所成的角球的表面积和体积（1）求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为3cm，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．（2）由MN // OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角），连接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．【解答】解：(1)连接OA，由题意得，截面小圆半径为4，在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，由勾股定理知，AO=5，∴球O的表面积为：4π⋅52=100π.球O的体积为：43π⋅53=500π3.(2)由MN // OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角）．在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30∘，则AC=4，连接OC，在△OAC中，OA=OC=5，由余弦定理知：cos∠OAC=AC2+OA2−OC22OA⋅AC =42+52−522×4×5=25，∴异面直线AC与MN所成的角余弦值为25．【答案】证明：(1)连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵ 底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵ 点E是PC的中点，∵ OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，∴ PA//平面EDB ．(2)∵ PD =DC ，点E 是PC 的中点，∴ DE ⊥PC .∵ 底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴ PD ⊥BC ， CD ⊥BC ，且 PD ∩DC =D ，∴ BC ⊥平面PDC ，∴ DE ⊥BC ，又PC ∩BC =C ，∴ DE ⊥平面PBC ，∴ DE ⊥PB ，∵ EF ⊥PB ，EF ∩DE =E ，∴ PB ⊥平面EFD ．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ．（1）通过PA →与平面BDE 的法向量的数量积为0即得结论；（2）通过PB →⋅DE →=PB →⋅DF →=0，即得结论；【解答】证明：(1) 连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，∵ 底面ABCD 是正方形，∴ O 是AC 中点，∵ 点E 是PC 的中点，∴ OE//PA .∵ OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，∴ PA//平面EDB ．(2)∵ PD =DC ，点E 是PC 的中点，∴ DE ⊥PC .∵ 底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴ PD ⊥BC ， CD ⊥BC ，且 PD ∩DC =D ，∴ BC ⊥平面PDC ，∴ DE ⊥BC ，又PC ∩BC =C ，∴ DE ⊥平面PBC ，∴ DE ⊥PB ，∵ EF ⊥PB ，EF ∩DE =E ，∴ PB ⊥平面EFD ．【答案】解：(1)设t =2x ，∴ t −t 2>16−9t ，即t 2−10t +16<0，∴ 2<t <8，即2<2x <8，∴ 1<x <3，∴ 不等式的解集为(1, 3)．(2)设t =2x ，∵ x ∈[−1, 1]，∴ t ∈[12,2].设G(t)=t −t 2=−(t −12)2+14，当t =12时，G(x)max =14,当t =2时，G(x)min =−2，∴ G(x)的值域为[−2,14]．函数有零点等价于G(t)=t −t 2与y =m 有交点，∴ m 的取值范围为[−2,14]． (3)由题意得{f(x)=g(x)+ℎ(x)=2x ，f(−x)=g(−x)+ℎ(−x)=2−x ， 因为g(x)为奇函数，ℎ(x)为偶函数， 解得{g(x)=2x −2−x 2，ℎ(x)=2x +2−x 2，2ag(x)+ℎ(2x)≥0，即(2x −2−x )a +22x +2−2x 2≥0，对任意x ∈[1, 2]恒成立，当x ∈[1, 2]时，令t =2x −2−x ，t ∈[32,154]，则a ≥−12(t +2t )，又t +2t 在t ∈[32,154]上单调递增，当t =32时，−12(t +2t )有最大值−1712，所以a ≥−1712.【考点】函数恒成立问题函数与方程的综合运用函数的零点函数奇偶性的性质【解析】（1）设t ＝2x ，利用f(x)>16−9×2x ，转化不等式为二次不等式，求解即可．（2）设t ＝2x ，求出t ∈[12,2]，利用二次函数的性质求解最值．然后求解m 的取值范围为[−2,14]． （3）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合基本不等式求解函数的最值，推出结果．【解答】解：(1)设t =2x ，由f(x)>16−9×2x 得t −t 2>16−9t ，即t 2−10t +16<0，∴ 2<t <8，即2<2x <8，∴ 1<x <3，∴ 不等式的解集为(1, 3)．(2)设t =2x ，∵ x ∈[−1, 1]，∴ t ∈[12,2].设G(t)=t −t 2=−(t −12)2+14，当t =12时，G(x)max =14, 当t =2时，G(x)min =−2，∴ G(x)的值域为[−2,14]．函数有零点等价于G(t)=t −t 2与y =m 有交点，∴ m 的取值范围为[−2,14]． (3)由题意得{f(x)=g(x)+ℎ(x)=2x ，f(−x)=g(−x)+ℎ(−x)=2−x ，因为g(x)为奇函数，ℎ(x)为偶函数， 解得{g(x)=2x −2−x 2，ℎ(x)=2x +2−x 2，2ag(x)+ℎ(2x)≥0，即(2x −2−x )a +22x +2−2x 2≥0，对任意x ∈[1, 2]恒成立，当x ∈[1, 2]时，令t =2x −2−x ，t ∈[32,154]，则a≥−12(t+2t)，又t+2t 在t∈[32,154]上单调递增，当t=32时，−12(t+2t)有最大值−1712，所以a≥−1712.。
山西高二高中数学月考试卷带答案解析
山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若函数f(x)=2x2+1，图象上点P(1,3)及邻近点Q(1+Δx,3+Δy)，则=（）A．4B．4Δx C．4+2Δx D．2Δx2.一个物体的运动方程为,其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒3.曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为( )A．B．C．和D．和4.若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（）A．90°B．0°C．锐角D．钝角5.若,则等于( )A．B．C．D．6.若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )A．B．C．D．7.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x <0时，f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（）A．(－3，0)∪(3，+∞)B．(－3，0)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，+∞)D． (－∞，－3)∪(0，3)8.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）9.已知自由下落物体的速度为V=gt，则物体从t=0到t所走过的路程为（）A．B．C．D．10.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．C．D．11.已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为,则的值为（）A．B．C．D．12.设函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2＋1在区间（0，4）上是减函数，则的取值范围是 ( ) A．B．C．D．二、填空题1.函数的单调递增区间是__________________________2.设，若，则3.由曲线与，，所围成的平面图形的面积为4.右图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①是函数的极值点；②不是函数的极值点；③在处切线的斜率小于零；④在区间上单调递增；则正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）三、解答题1.(本小题满分l0分)计算下列定积分（1）（2）2.(本小题满分l2分)求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程.3.（本小题满分12分）设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当a=1时，求在上的最值.4.（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（1）求a的值（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.5.（本小题满分12分）设，．（1）令，求在内的极值；（2）求证：当时，恒有．6.（本小题满分12分）设函数（1）求f(x)的单调区间；（2）当恒成立，求实数λ的取值范围.山西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.若函数f(x)=2x2+1，图象上点P(1,3)及邻近点Q(1+Δx,3+Δy)，则=（）A．4B．4Δx C．4+2Δx D．2Δx【答案】C【解析】.2.一个物体的运动方程为,其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒【答案】C【解析】略3.曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为( )A．B．C．和D．和【答案】D【解析】略4.若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（）A．90°B．0°C．锐角D．钝角【答案】C【解析】,函数f(x)的图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为锐角。
山西省2020-2021学年高二年级3月月考理科数学试卷
高二年级月考（三）理科数学试题一、选择题1．若()22cossin 22x x f x =-，则()f x '=（ ） A ．sin x -B ．sin xC ．cos x -D ．cos x 2．曲线2x y x =+在点()1,1--处的切线方程为（ ） A ．21y x =+B ．21y x =-C ．23y x =-D ．22y x =+ 3．定积分()102x x x e d +⎰的值为（ ） A ．2e +B ．1e +C ．eD ．1e - 4．函数313y x x =+-有（ ）A ．极小值2-，极大值2B ．极小值，极大值3C ．极小值1-，极大值1D ．极小值1-，极大值35．已知A 、B 两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.A 车、B 车的速度曲线分别为A v 与B v （如图所示），那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（ ）A ．在1t 时刻，A 车在B 车前面B ．1t 时刻后，A 车在B 车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，B 车在A 车前面 6．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．(]1,1- B ．(]0,1C ．[)1,+∞D ．()0,+∞ 7．已知函数()3f x x ax =-+在区间[]1,1-上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．(),3-∞C ．[)3,+∞D ．(],3-∞ 8．函数22x y x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A ．103 B ．4 C ．163 D ．610．曲线ln 2y x =上的点到直线y x =距离的最小值为（ ）A ．1ln 22-B C ．1ln2-D ．ln 2 11．若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A ．4,11a b =-=B ．3,3a b ==-C ．4,11a b =-=或3,3a b ==-D ．以上都不正确 12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x '-<恒成立，则不等式()20x f x >的解集是（ ）A ．()()2,02,-+∞ B ．()()2,00,2- C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()(),20,2-∞-二、填空题13．若函数()21x a f x x +=+在1x =处取极值，则a =______. 14．函数()ln f x x x =的最小值为______.15．10x d =⎰______. 16．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为______.三、解答题17．已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （Ⅰ）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围. 18．（Ⅰ）已知函数()ln f x x ax =-在区间[)1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围.（Ⅱ）已知函数()()211ln 2g x x ax a x =-+-，()1a >，讨论函数()g x 的单调性. 19．设函数()32962f x x x x a =-+-. （Ⅰ）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；（Ⅱ）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围.20．设函数()()21x f x x e ax =--. （Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.。
山西高二高中数学月考试卷带答案解析
山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题处可导，且，则1.设在x＝xA．1B．0C．3D．2.设P为曲线C：y=+2+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是[,），则点P横坐标的取值范围为A．[-1,-]B．[-,-1）C．[0,1）D．[,1]3.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．4.若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形，则椭圆的离心率为A．B．C．D．5.函数=1++cos在(0,2p)上是A．增函数B．减函数C．在(0,p)上增，在(p,2p)上减D．在(0,p)上减，在(p,2p)上增6.函数=的导函数是A．y′=3B．y′=2C．y′=3+D．y′=3+7.函数=3-4，[0,1]的最大值是A．1B．C．0D．-18.如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin（0≤≤π）与轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是A．B．C．D．9.已知，猜想的表达式为A．；B．；C．；D．.10.给出以下命题：⑴若，则f(x)>0；⑵；⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为A．1B．2C．3D．0二、填空题1.一物体沿直线以速度（的单位为:秒,的单位为:米/秒）作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是2.若抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，则焦点到准线的距离是．3.有极大值和极小值，则的取值范围是__________．4.给出下列四个命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则；②在中，“”是“”的充要条件；③若函数的图象在点处的切线方程是，则④已知函数的导数处取到极大值，则的取值范围是（－1，0）其中所有正确命题的序号是。
山西高二高中数学月考试卷带答案解析
山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在中, , 则等于（）A．B．C．或D．或2.在等差数列中，若是方程的两根，那么的值为（）A．-12B．-6C．12D．63.若则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）PRINT ，A．B．C．D．5.已知等比数列的前n项和为，且，则（）A．54B．48C．32D．166.过点且垂直于直线的直线方程为（）A．B．C．D．7.已知：，<0，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．8.数列的通项公式是，若前n项和为则n等于（）A．12B．11C．10D．99.若，则的取值范围是（）A．B．C．D．10.两个集合A与B之差记作“” 定义为=，若集合，N=，则等于（）A．B．C．D．二、填空题1.生产电脑产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为,出现丙级品的概率为,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 .2.已知向量，若与垂直，则 .3.已知数列满足，则数列= .4.如果对任意实数总成立，则的取值范围是 .5.已知实数满足，则的最小值是 .6.已知，则的值等于 .7.临汾市新建滨河公园，为测量河对岸的塔高,可以选与塔底在同一水平面内的两个点与．如图所示，测得并在点测得塔顶的仰角为，则塔高米。
8.定义在R上的奇函数为减函数，若，给出下列不等式：①；②；③；④．其中正确的是（把你认为正确的不等式的序号全写上）三、解答题1.（本小题满分8分）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.2.本小题满分8分）已知锐角△ABC的三内角所对的边分别为，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足关系2sin(A+B)－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积.3.（本小题满分10分）设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，，成等比数列,求公差的值和数列的通项公式.4.（本小题满分10分）临汾市染料厂生产化工原料，当年产量在150吨到250吨时，年生产总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系可近似表示为（1）为使每吨平均成本最低，年产量指标应定在多少吨？（注：平均成本）（2）若出厂价为每吨16万元，为获得最大的利润，年产量指标应定在多少吨， 并求出最大利润. 5.(本小题满分10分)已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，=2，且2，a n ，S n 成等差数列。
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山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线交直线于，若在以线段为直径的圆上，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2.执行如图的程序框图，若输入的值为3，则输出的值为（）A．10B．15C．18D．213.已知曲线在点处切线的倾斜角为，则等于（）A．2B．-2C．3D．-14.已知等差数列的前项和为，，且，则公差等于（）A．1B．C．2D．35.从高一某班学号为1-50的50名学生中随机选取5名同学参加数列测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．2，11，23，34，45B．4，13，22，31，40C．3，13，25，37，47D．5，16，27，38，496.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7.函数的图象如图1所示，则函数的图象大致是（）A．B．C．D．8.将函数的图象向左平移单位后得到函数的图象，则函数在上的图象与直线的交点的横坐标之和为（）A．B．C．D．9.若集合，集合，则等于（）A．B．C．D．10.若复数满足：（为虚数单位），则等于（）A．B．C．5D．二、填空题1.已知非零向量满足，，则与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．2.设，若，则_________.3.已知的终边过点，且，则__________．4.若在区间上任取一个数，则函数（）在定义域上是单调函数的概率为__________．5.观察下面表：13，57，9，11，1315，17，19，21，23，25，27，29…………设999是该表第行的第个数，则__________．三、解答题1.已知圆的圆心在直线，且圆与轴切于点.（1）直线，且与圆相切，求直线的方程；（2）若过点的直线被圆所截的弦长为，求直线的斜率.2.禽流感是家禽养殖业的最大威胁，为检验某种药物预防禽流感的效果，取80只家禽进行对比试验，得到如下丢失数据的列联表：（表中表示丢失的数据）工作人员曾记得（1）求出列联表中数据的值；（2）能否在犯错概率不超过0.005的前提下认为药物有效？下面的临界值表供参考：（参考公式：，其中）3.如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，平面，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）已知是的中点，求证：平面4.已知过抛物线（）的焦点且斜率为的直线与抛物线在第一象限的交点为，且.（1）求抛物线的方程；（2）过且斜率不为0直线交抛物线于两点，抛物线的准线与轴交于点，求证：直线与关于轴对称.5.已知函数，，，其中是自然常数，.（1）当时，求的极值，并证明恒成立；（2）是否存在实数，使的最小值为3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.山西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知椭圆的左右焦点分别为，过点且斜率为的直线交直线于，若在以线段为直径的圆上，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设过点且斜率为的直线的方程为，与联立，可得交点，∵在以线段为直径的圆上，∴，即，∴，∴。
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山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则=（）A．4B．4Δx C．4+2Δx D．2Δx2.如果说某物体作直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（）A．B．C．D．3.函数y=x2co sx的导数为（）A．y′=2x co sx－x2s i nx B．y′=2x co sx+x2s i nxC．y′=x2co sx－2xs i nx D．y′=x co sx－x2s i nx4.P为曲线上的点，且曲线C在点P处切线倾倾角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（）A．B．[-1，0]C．[0，1]D．5.函数，的最大值是（）A．1B．C．0D．-16.数在区间内是减函数，则应满足（）A．且B．且C．且D．且7.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（）A． 0.28J B． 0.12J C． 0.26J D． 0.18J8.若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．9..对于R上可导的函数，若满足，则必有（）A．B．C．D．10.与坐标轴围成的面积是（）A．4B．C．3D．211.若在上是减函数，则b的取值范围是（）A．B．C．D．12.已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题1.曲线y=2x3－3x2共有个极值.2.已知为一次函数，且，则="__________________" .3.函数的单调递增区间是_______________________.4.已知函数处取得极值，并且它的图象与直线在点（1，0）处相切，则函数的表达式为 .三、解答题1.（12分）已知函数.求函数在上的最大值和最小值.2.（12分）设函数f(x)= x3－3ax+b (a≠0).（Ⅰ）若曲线y= f(x)在点（2，f(x)）处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点.3.（12分）求下列函数的定积分．（1）；（2）．4.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）5.（12分）设，．（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当时，恒有．6.（14分）已知函数,函数⑴当时,求函数的表达式;⑵若,函数在上的最小值是2 ,求的值;⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.山西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则=（）A．4B．4Δx C．4+2Δx D．2Δx【答案】C【解析】略2.如果说某物体作直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略3.函数y=x2co sx的导数为（）A．y′=2x co sx－x2s i nx B．y′=2x co sx+x2s i nxC．y′=x2co sx－2xs i nx D．y′=x co sx－x2s i nx【答案】A【解析】略4.P为曲线上的点，且曲线C在点P处切线倾倾角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（）A．B．[-1，0]C．[0，1]D．【答案】A【解析】略5.函数，的最大值是（）A．1B．C．0D．-1【答案】A【解析】略6.数在区间内是减函数，则应满足（）A．且B．且C．且D．且【答案】B【解析】略7.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（）A． 0.28J B． 0.12J C． 0.26J D． 0.18J【答案】D【解析】略8.若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略9..对于R上可导的函数，若满足，则必有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略10.与坐标轴围成的面积是（）A．4B．C．3D．2【答案】C【解析】略11.若在上是减函数，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略12.已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略二、填空题1.曲线y=2x3－3x2共有个极值.【答案】两.【解析】,有两个极值2.已知为一次函数，且，则="__________________" .【答案】2【解析】略3.函数的单调递增区间是_______________________.【答案】【解析】略4.已知函数处取得极值，并且它的图象与直线在点（1，0）处相切，则函数的表达式为 .【答案】【解析】略三、解答题1.（12分）已知函数.求函数在上的最大值和最小值.【答案】【解析】略2.（12分）设函数f(x)= x3－3ax+b (a≠0).（Ⅰ）若曲线y= f(x)在点（2，f(x)）处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点.【答案】【解析】略3.（12分）求下列函数的定积分．（1）；（2）．【答案】【解析】略4.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）【答案】本试题是考察运用导数的思想来解决实际中的最值问题的运用。
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山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合， ( ) A．B．C．D．2.函数的定义域为（）A．B．C．D．3.已知实数列成等比数列，则（）A．B．C．D．4.已知平面向量，，且，则（）A．B．C．D．5.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．6.要得到的图象只需将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7.下列四个函数中，在上是增函数的是（）A．B．C．D．8.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（）A．14、12B．13、12C．14、13D．12、149.已知中,,,则角等于( )A．B．C．D．10.在边长为1的正方形内随机取一点，则点到点的距离小于1的概率为( )A．B．C．D．11.有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．12.不等式组表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．无穷大二、填空题1.用分层抽样的方法从某学校的高中学生中抽取一个容量为的样本,其中高一年级抽人, 高三年级抽人.已知该校高二年级共有人,则该校高中学生总人数为_____ ___人.2.当且时，函数的图像必不经过第象限。
3.设函数的零点为，，且，，则实数的取值范围是。
4.如图4，函数，，若输入的值为，则输出的的值为 .三、解答题1.已知等差数列,(1)求的通项公式；(2)令,求数列的前项和；2.设函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)当时,求函数的最大值及取得最大值时的的值；3.如图5，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点是的中点．（1）求证：//平面；（2）若四面体的体积为，求的长．4.若，求函数的最大值和最小值；5.直线与圆交于、两点，记△的面积为（其中为坐标原点）．（1）当，时，求的最大值；（2）当，时，求实数的值；山西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设集合， ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为，，选B2.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为的定义域即为，选B3.已知实数列成等比数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为实数列成等比数列，ab=2,故选C4.已知平面向量，，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为平面向量，，且，则3x-3=0,x=1,选C5.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为的斜率为，因此倾斜角为钝角，且为，选D6.要得到的图象只需将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】C【解析】解：因为要得到的图象只需将的图象向左平移个单位，选C7.下列四个函数中，在上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为个函数中，在上是增函数是，选项A中递减，错误，选项B中，先减后曾，错误。
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山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数是（），是虚数单位，则的值是（）A．-7B．-6C．7D．62.如右图，阴影部分的面积是（）A．B．C．D．3.如果为偶函数，且导数存在，则的值为（）A．0B．1C．2D．4.已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则取值范围( )A．B．C．D．5.设、、是互不相等的正数，现给出下列不等式⑴；⑵；⑶；⑷，则其中正确个数是（）A．0B．1C．2D．36.函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，成立，若，，则大小关系（）A．B．C．D．7.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289B．1225C．1024D．13788.如图是导函数的图象，则下列命题错误的是（）A．导函数在处有极小值B．导函数在处有极大值C．函数在处有极小值D．函数在处有极小值9.已知函数（）满足，且的导函数<，则<的解集为（）A．B．C．D．10.当时，不等式恒成立，则实数取值范围是（）A．[2,+∞）B．（1,2]C．（1,2）D．（0,1）11.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．264种B．288种C．240种D．168种12.设函数在区间（）的导函数，在区间（）的导函数，若在区间（）上恒成立，则称函数在区间（）为凸函数，已知若当实数满足时，函数在上为凸函数，则最大值（）A．1B．2C．3D．4二、填空题1.n个连续自然数按规律排成下表：0 3→ 4 7→ 811…↓↑↓↑↓↑1 →2 5 → 6 9 → 10根据规律，从2 009到2 011的箭头方向依次为________．①↓→②→↑③↑→④→↓2.定积分3.已知函数在时有极值0，则= ，4.对任意都能被14整除，则最小的自然数a＝三、解答题1.已知为复数，为纯虚数，，且，求．2.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？（1）甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在一起；（4）男女相间；（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．3.已知:，(1)求证:； (2)求的最小值.4.某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成．每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一中型号的零件．设加工A 型零件的工人人数为x名（x∈N*）（1）设完成A 型零件加工所需时间为小时，写出的解析式；（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值？5.在数列中，，且.(Ⅰ) 求，猜想的表达式，并加以证明；(Ⅱ)设，求证：对任意的自然数都有.6.已知函数，在时取得极值．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若时,恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若，是否存在实数b，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由．山西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数的共轭复数是（），是虚数单位，则的值是（）A．-7B．-6C．7D．6【答案】C【解析】共轭复数【考点】复数运算点评：复数运算中，复数的共轭复数是2.如右图，阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】二次函数与x轴交点坐标为，设x轴上方的面积为，x轴下方的面积为，【考点】定积分求曲边型面积点评：当阴影部分在x轴上方时，面积等于定积分值，当阴影部分在x轴下方时，面积等于定积分的相反数，因此将阴影部分分成x轴上方和下方两部分分别求解3.如果为偶函数，且导数存在，则的值为（）A．0B．1C．2D．【答案】A【解析】为偶函数，所以图像关于y轴对称，当时，当时得【考点】函数性质及导数的几何意义点评：本题由函数是偶函数得到其图像关于y轴对称，在结合导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率可知等于处的切线斜率为04.已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则取值范围( )A．B．C．D．【答案】D【解析】函数定义域R，即切线斜率【考点】函数导数及导数的几何意义，倾斜角与斜率的关系点评：导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，直线的斜率与倾斜角的关系，可由斜率范围求出倾斜角范围5.设、、是互不相等的正数，现给出下列不等式⑴；⑵；⑶；⑷，则其中正确个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】由可知⑴正确；所以⑵正确⑶不正确，反例，⑷整理为显然成立，所以原式成立⑷正确【考点】不等式性质点评：常用的不等式关系有：，及分式化简用到的分母有理化分子有理化6.函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，成立，若，，则大小关系（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数是定义在实数集R上的奇函数，整理为即是减函数【考点】函数奇偶性单调性点评：求解本题的入手点在于通过利用导数确定函数的单调性，进而通过单调性由自变量的大小得到函数值的大小7.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
2020-2021学年山西晋中高二上数学月考试卷
2020-2021学年山西晋中高二上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合M ={x|x 2>4}，N ={x|x 2−x −12≤0}，则M ∩N =( ) A.{x|−3≤x ≤4} B.{x|−3≤x <−2或2<x ≤4} C.{x|2<x ≤4} D.{x|−4≤x <−2或2<x ≤3}2. 一个几何体有15条棱，则该几何体可能是( ) A.六棱柱 B.七棱锥 C.五棱锥 D.五棱台3. 倾斜角为135∘的直线l 经过(1,a )和(2a,−2)两点，则a =( ) A.0 B.1 C.2 D.34. 在四面体ABCD 中，E 是棱BC 的中点，且AE →=xAD →+yDB →+zDC →，则（ ） A.x +y +z =1 B.xyz =12C.x =y +zD.x 2=y 2+z 25. 若函数f (x )=sin (ωx −5π6)(ω>0)的最小正周期为3π2，则f (x )图象的对称轴方程为( ) A.x =π3+43kπ(k ∈Z )B.x =π3+34kπ(k ∈Z )C.x =π+34kπ(k ∈Z ) D.x =π+43kπ(k ∈Z )6. 圆C 1:x 2+y 2=9与圆C 2:(x −1)2+(y +2)2=36的位置关系是( ) A.相交 B.相离 C.内切 D.内含7. 在空间直角坐标系O −xyz 中，给出以下结论： ①点A (−2,1,3)关于z 轴的对称点的坐标是(2,−1,3)；②点B (4,−2,5)关于yOz 平面对称的点的坐标是(4,2,−5)； ③若AB →=(0,−1,√2)，CD →=(1,√3,0)，则⟨AB →,CD →⟩=2π3．其中所有正确结论的序号是( ) A.①②B.①③C.②③D.①②③8. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知 a sin A =b sin B −2sin C ，A =π3，则b −c =( )A.−2B.2C.−1D.19. 已知a ，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题为假命题的是( ) A.若a ⊥α，a ⊥β，则α//βB.若α⊥β，a ⊥α，a//b ，b ⊄β，则b//βC.若a//b ，b ⊥α，则a ⊥αD.若a//α，b ⊂α，则a//b10. 已知函数f (x )=x 2−2x ，若a =log 827，b =log 511，c =−log 0.258，则( ) A.f (b )<f (c )<f (a ) B.f (b )<f (a )<f (c ) C.f (c )<f (a )<f (b ) D.f (c )<f (b )<f (a )11. 已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球的表面积为32π，则该几何体的高ℎ为( )A.3B.2√3C.4D.612. 已知P 是圆C ：x 2+y 2−2x +4y −1=0外一点，过P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →⋅PB →的最小值为( ) A.12√2−18 B.6√3−18 C.12√2−16 D.6√3−16二、填空题两平行直线kx +8y +2=0与6x −8y +1=0之间的距离为________.设向量a →，b →满足|a →|=3，|b →|=1，且13<cos ⟨a →,b →⟩<12，则|2a →−b →|的取值范围是________.若x ，y 满足约束条件{2x −y −4≤0,y −x +1≤0,y ≥0,则z =2y −3x 的最大值为________.在三棱锥P −ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，PA =AC =2，AB =3. 当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为________. 三、解答题如今，中国的“双十一”已经变成了全民狂欢的“电商购物日”．某电商统计了近8年“双十一”期间该电商的宣传费用x （单位：万元）和利润y （单位：十万元）的数据，得到下列表格：(1)由表中数据，求y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂(b ̂，a ̂精确到0.01）；(2)用(1)中的回归方程预测当宣传费为14万元时的利润． 附：回归直线y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为b̂=∑x i n i=1y i −nx ¯y¯∑x i 2n i=1−nx¯2，a ̂=y ¯−b ̂x ¯.参考数据：∑x i 8i=1y i =241，∑x i 28i=1=356.如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2．(1)在棱BC 上求作一点D ，使得A 1C//平面AB 1D ；(2)在(1)的条件下，求点A 1到平面AB 1D 的距离．已知{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，a 1=b 1=1，a 2=−4，a 3=b 6. (1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)若数列{a kb n b n+1}的前21项和S 21为正整数，求k 的最小值，并求此时S 21的值．已知A (1,0)，B (4,6)，C (6,2)．(1)求△ABC 中AB 边上的高线所在直线的方程；(2)求△ABC 内切圆的圆心的坐标．已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2,−2)，且圆心C 在直线l ：x −y +1=0上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线m ：y =x +n 被圆C 截得的弦与圆心构成△CDE ，若△CDE 的面积有最大值，求直线m 的方程；若△CDE 的面积没有最大值，请说明理由．如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，且AB:BC:CD =3:2:2，∠ABC =60∘，点E 是线段AB 上靠近点A 的一个三等分点，以DE 为折痕将△ADE 折起，使点A 到达点A 1的位置，且A 1C =BC =2.(1)证明：平面A 1DE ⊥平面BCD ；(2)求平面A 1BE 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值．参考答案与试题解析2020-2021学年山西晋中高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】B【考点】交集及其运算一元二次不等式的解法【解析】【解答】解：∵M={x|x<−2或x>2}，N={x|−3≤x≤4}，∴M∩N={x|−3≤x<−2或2<x≤4}.故选B．2.【答案】D【考点】棱柱的结构特征棱锥的结构特征【解析】【解答】解：六棱柱有18条棱，七棱锥有14条棱，五棱锥有10条棱，五棱台有15条棱．故选D．3.【答案】D【考点】直线的倾斜角【解析】【解答】解：根据k=tan135∘=−2−a2a−1=−1，解得a=3.故选D.4.【答案】C 【考点】向量的几何表示【解析】无【解答】解：因为AE→=AD→+DE→=AD→+12(DB→+DC→)，所以x=1，y=z=12，则x=y+z．故选C．5.【答案】C【考点】正弦函数的对称性三角函数的周期性及其求法【解析】【解答】解：因为T=2πω=3π2，所以ω=43，令43x−5π6=π2+kπ(k∈Z)，得x=π+34kπ(k∈Z)．故选C．6.【答案】D【考点】圆的一般方程两点间的距离公式圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】解：由题知圆心C1(0,0)，r1=3，圆心C2(1,−2)，r2=6. 故|C1C2|=√(1−0)2+(−2−0)2=√5.因为r2−r1=3，所以|C1C2|<r2−r1，所以圆C1和圆C2的位置关系是内含．故选D．7.【答案】 B【考点】空间中的点的坐标 命题的真假判断与应用 空间向量的数量积运算 【解析】【解答】解：点A (−2,1,3)关于z 轴的对称点的坐标为(2,−1,3)，故①正确； 点B (4,−2,5)关于yOz 平面对称的点的坐标是(−4,−2,5)，故②错误； 若AB →=(0,−1,√2)，CD →=(1,√3,0)， 则cos ⟨AB →,CD →⟩=√32√3=−12，则⟨AB →,CD →⟩=2π3，故③正确．故选B . 8. 【答案】 B 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】【解答】解：由已知及正弦定理可得： a 2=b 2−2c ， 由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bc cos π3=b 2−2c ， 整理得b −c =2． 故选B ． 9.【答案】 D【考点】空间中平面与平面之间的位置关系 命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：对于A 选项，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以A 选项正确； 对于B 选项，因为α⊥β，a ⊥α，a//b ，所以b ⊥α，所以b ⊂β或b//β， 又因为b ⊄β，所以b//β，所以B 选项正确；对于C 选项，由于a//b ，b ⊥α，所以a ⊥α，所以C 选项正确； 对于D 选项，a ，b 可能异面，所以D 选项错误． 故选D ． 10.【答案】 A【考点】对数值大小的比较 函数单调性的性质【解析】本题考查二次函数与基本初等函数的单调性的应用，考查化归与转化的数学思想及逻辑推理的核心素养． 【解答】解：因为a =log 827=log 23=log 49>log 48=32， 1=log 55<b =log 511<log 5√125=32， c =−log 0.258=log 48=32，所以b <c <a ．因为f (x )=x 2−2x 在[1,+∞)上单调递增， 所以f (b )<f (c )<f (a )． 故选A ． 11.【答案】 C【考点】球的表面积和体积 由三视图求外接球问题 【解析】 【解答】解：由三视图可知，该几何体是直三棱柱，且底面是顶角为120∘，底边长为2√3的等腰三角形， 所以该三角形外接圆的直径2r =2√3sin 120∘=4，所以该几何体外接球的半径R =√r 2+(ℎ2)2=√4+14ℎ2.因为该几何体外接球的表面积S =4πR 2=(16+ℎ2)π=32π， 解得ℎ=4．故选C ． 12.【答案】 A【考点】直线与圆的位置关系 平面向量数量积基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 【解答】解：圆C 的标准方程为(x −1)2+(y +2)2=6，则圆C 的半径为√6． 设|PC|=d ，则|PA|=|PB|=√d 2−6. 因为sin ∠APC =√6d， 所以cos ∠APB =1−2(√6d )2=1−12d 2，所以PA →⋅PB →=(d 2−6)(1−12d 2)=d 2+72d 2−18 ≥2√72−18=12√2−18， 当且仅当d 2=72d 2，即d 2=6√2>6时，等号成立，故PA →⋅PB →的最小值为12√2−18． 故选A ． 二、填空题 【答案】310【考点】两条平行直线间的距离直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】【解答】解：因为直线kx +8y +2=0与6x −8y +1=0平行， 所以k =−6.将−6x +8y +2=0化为6x −8y −2=0， 所以两条平行线之间的距离为√82+62=310． 故答案为：310． 【答案】 (√31,√33)【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角 向量的模 【解析】 无【解答】解：|2a →−b →|2=(2a →−b →)2=4a →2−4a →⋅b →+b →2 =37−12cos ⟨a →,b →⟩. 又13<cos ⟨a →,b →⟩<12，所以4<12cos ⟨a →,b →⟩<6， 所以|2a →−b →|∈(√31,√33)．故答案为：(√31,√33). 【答案】 −3【考点】求线性目标函数的最值 【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想． 【解答】解：作出可行域，如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z =2y −3x ，即y =32x +z2经过点A (1,0)时，z 取得最大值，故z max =2×0−3×1=−3． 故答案为：−3. 【答案】 3√1111【考点】用空间向量求直线与平面的夹角【解析】无【解答】解：易证AB⊥平面PAC，则BD与平面PAC所成角为∠ADB，tan∠ADB=ABAD =3AD，当AD取得最小值时，∠ADB取得最大值．在等腰Rt△PAC中，当D为PC的中点时，AD取得最小值．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0，2)，D(0,1,1)，则AD→=(0,1,1)，PC→=(0,2,−2)，BC→=(−3,2,0)．设平面PBC的法向量为n→=(x,y,z)，则n→⋅PC→=n→⋅BC→=0，即{2y−2z=0,−3x+2y=0,令y=3，得n→=(2,3,3)．因为cos⟨n→,AD→⟩=√22×√2=3√1111，所以AD与平面PBC所成角的正弦值为3√1111．故答案为：3√1111.三、解答题【答案】解：(1)x¯=6，y¯=4，b̂=∑x i8i=1y i−8xy¯∑x i28i=1−8x¯2=241−8×6×4356−8×62=4968≈0.72，因为â=y¯−b̂x¯=4−4968×6≈−0.32，所以y关于x的线性回归方程为ŷ=0.72x−0.32．(2)当x=14时，ŷ=0.72×14−0.32=9.76，故可预测当宣传费为14万元时的利润为97.6万元．【考点】求解线性回归方程【解析】【解答】解：(1)x¯=6，y¯=4，b̂=∑x i8i=1y i−8xy¯∑x i28i=1−8x¯2=241−8×6×4356−8×62=4968≈0.72，因为â=y¯−b̂x¯=4−4968×6≈−0.32，所以y关于x的线性回归方程为ŷ=0.72x−0.32．(2)当x=14时，ŷ=0.72×14−0.32=9.76，故可预测当宣传费为14万元时的利润为97.6万元．【答案】解：(1)当点D是BC的中点时，A1C//平面AB1D. 证明如下：连接A1B交AB1于点O，连接OD.因为在正三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形A1B1BA是矩形，所以O是A1B的中点.因为D是BC的中点，所以OD是△A1BC的中位线，所以OD//A1C．又因为A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，所以A1C//平面AB1D．(2)因为A1C//平面AB1D，所以点A1到平面AB1D的距离即点C到平面AB1D的距离．因为AB=AA1=2，所以AB1=√22+22=2√2，B1D=√22+12=√5，AD=√22−12=√3．因为B1D2+AD2=AB12，所以B1D⊥AD，所以S△AB1D=12×√3×√5=√152，S△ACD=12×1×√3=√32．设点C到平面AB1D的距离为ℎ，由V C−AB1D=V B1−ACD，得13S△AB1D⋅ℎ=13S△ACD⋅BB1，即13×√152×ℎ=13×√32×2，解得ℎ=2√55，故点A1到平面AB1D的距离为2√55．【考点】直线与平面平行的判定点、线、面间的距离计算柱体、锥体、台体的体积计算【解析】暂无暂无【解答】解：(1)当点D是BC的中点时，A1C//平面AB1D. 证明如下：连接A1B交AB1于点O，连接OD.因为在正三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形A1B1BA是矩形，所以O是A1B的中点.因为D是BC的中点，所以OD是△A1BC的中位线，所以OD//A1C．又因为A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，所以A1C//平面AB1D．(2)因为A1C//平面AB1D，所以点A1到平面AB1D的距离即点C到平面AB1D的距离．因为AB=AA1=2，所以AB1=√22+22=2√2，B1D=√22+12=√5，AD=√22−12=√3．因为B1D2+AD2=AB12，所以B1D⊥AD，所以S△AB1D =12×√3×√5=√152，S△ACD=12×1×√3=√32．设点C到平面AB1D的距离为ℎ，由V C−AB1D =V B1−ACD，得13S△AB1D⋅ℎ=13S△ACD⋅BB1，即13×√152×ℎ=13×√32×2，解得ℎ=2√55，故点A1到平面AB1D的距离为2√55．【答案】解：(1)因为a1=1，a2=−4，所以{a n}的公比q=−4，则{a n}的通项公式为a n=(−4)n−1．又因为b1=1，b6=a3=16，所以{b n}的公差d=16−16−1=3，则{b n}的通项公式为b n=1+3(n−1)=3n−2．(2)因为a kb n b n+1=a k(3n−2)(3n+1)=a k3(13n−2−13n+1)，所以S21=a k3(1−14+14−17+⋯+161−164)=a k3(1−164)=2164a k．因为a k=(−4)k−1，所以当k=5，7，9，⋯时，S21为正整数，从而k的最小值为5，此时S21=2164×44=84．【考点】等差数列的通项公式等比数列的通项公式数列的求和【解析】暂无暂无【解答】解：(1)因为a1=1，a2=−4，所以{a n}的公比q=−4，则{a n}的通项公式为a n=(−4)n−1．又因为b1=1，b6=a3=16，所以{b n}的公差d=16−16−1=3，则{b n}的通项公式为b n=1+3(n−1)=3n−2．(2)因为a kb n b n+1=a k(3n−2)(3n+1)=a k3(13n−2−13n+1)，所以S21=a k3(1−14+14−17+⋯+161−164)=a k3(1−164)=2164a k．因为a k=(−4)k−1，所以当k=5，7，9，⋯时，S21为正整数，从而k的最小值为5，此时S21=2164×44=84．【答案】解：(1)∵ k AB=6−04−1=2，∴ AB边上的高线所在直线的斜率为−12，故AB边上的高线所在直线的方程为y−2=−12(x−6)，即x+2y−10=0．(2)∵ k BC=6−24−6=−2=−k AB，∴ 直线AB与BC关于直线x=4对称，故△ABC内切圆的圆心在直线x=4上．设△ABC内切圆的圆心为M(4,m).∵ 直线AB的方程为y=2(x−1)，∴ M到直线AB的距离d1=√5．∵ 直线AC的方程为y=26−1(x−1)，即2x−5y−2=0，∴ M到直线AC的距离d2=√29．依题意可得M在△ABC的内部，则2<m<6.由d1=d2，即√5=√29，解得m=√5+√29)√29+5√5=√145−14，故△ABC内切圆的圆心的坐标为(4,√145−14)．【考点】斜率的计算公式直线的点斜式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系直线的一般式方程点到直线的距离公式【解析】暂无暂无【解答】解：(1)∵ k AB=6−04−1=2，∴ AB边上的高线所在直线的斜率为−12，故AB边上的高线所在直线的方程为y−2=−12(x−6)，即x+2y−10=0．(2)∵ k BC=6−24−6=−2=−k AB，∴ 直线AB与BC关于直线x=4对称，故△ABC内切圆的圆心在直线x=4上．设△ABC内切圆的圆心为M(4,m).∵ 直线AB的方程为y=2(x−1)，∴ M到直线AB的距离d1=5．∵ 直线AC的方程为y=26−1(x−1)，即2x−5y−2=0，∴ M到直线AC的距离d2=√29．依题意可得M在△ABC的内部，则2<m<6.由d1=d2，即√5=√29，解得m=√5+√29)29+55=√145−14，故△ABC内切圆的圆心的坐标为(4,√145−14)．【答案】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．因为点A(1,1)和B(2,−2)在圆上，圆心C在直线l：x−y+1=0上，所以{1+1+D+E+F=0,4+4+2D−2E+F=0,−D2−(−E2)+1=0,解得D=6，E=4，F=−12，所以圆C的方程为x2+y2+6x+4y−12=0，即(x+3)2+(y+2)2=25．(2)设圆心C到直线m的距离为ℎ(ℎ>0)，H为DE的中点，连接CH．在△CDE中，因为|DE|=2√|CE|2−|CH|2=2√25−ℎ2，所以△CDE的面积S△CDE=12|DE|⋅|CH|=ℎ√25−ℎ2，所以S△CDE=√ℎ2(25−ℎ2)≤ℎ2+25−ℎ22=252，当且仅当ℎ2=25−ℎ2，即ℎ=5√22时等号成立．此时ℎ=√1+1=5√22，即|n−1|=5，解得n=−4或n=6，故存在n=−4或n=6，使得△CDE的面积最大，且最大值为252，此时直线m的方程为y=x−4或y=x+6．【考点】圆的标准方程圆的一般方程直线和圆的方程的应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．因为点A(1,1)和B(2,−2)在圆上，圆心C在直线l：x−y+1=0上，所以{1+1+D+E+F=0,4+4+2D−2E+F=0,−D2−(−E2)+1=0,解得D=6，E=4，F=−12，所以圆C的方程为x2+y2+6x+4y−12=0，即(x+3)2+(y+2)2=25．(2)设圆心C到直线m的距离为ℎ(ℎ>0)，H为DE的中点，连接CH．在△CDE中，因为|DE|=2√|CE|2−|CH|2=2√25−ℎ2，所以△CDE的面积S△CDE=12|DE|⋅|CH|=ℎ√25−ℎ2，所以S△CDE=√ℎ2(25−ℎ2)≤ℎ2+25−ℎ22=252，当且仅当ℎ2=25−ℎ2，即ℎ=5√22时等号成立．此时ℎ=√1+1=5√22，即|n−1|=5，解得n=−4或n=6，故存在n=−4或n=6，使得△CDE的面积最大，且最大值为252，此时直线m的方程为y=x−4或y=x+6．【答案】(1)证明：由题意可得，四边形BCDE为菱形，连接CE，取DE的中点O，连接OA1，OC.在△ADE中，∠AED=∠ABC=60∘，且DE=2，AE=1，由余弦定理可得，AD=√3，则DE2=AE2+AD2，则∠EAD=90∘，即AD⊥AE，即A1D⊥A1E．∵O是DE的中点，∴OA1=12DE=1．∴∠CDE=∠ABC=60∘，∴△CDE为等边三角形，∴OC⊥DE，且OC=√3，∴A1C2=OA12+OC2，∴∠A1OC=90∘，即OA1⊥OC．又∵OC⊥DE，且OA1∩DE=O，∴OC⊥平面A1DE，∵OC⊂平面BCD，∴平面A1DE⊥平面BCD．(2)解：以OC→的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系O−xyz，则D(0,1,0)，E(0,−1,0)，C(√3,0,0)，B(√3,−2,0)，A1(0,−12,√32)．设平面A1BE的法向量为m→=(x,y,z)，则{m→⋅BE→=−√3x+y=0,m→⋅EA1→=12y+√32z=0,令z=1，得m→=(−1,−√3,1)．设平面A1CD的法向量为n→=(x′,y′,z′)，则{n→⋅CD→=−√3x′+y′=0,n→⋅DA1→=−32y′+√32z′=0,令x′=1，得n→=(1,√3,3)，∵cos⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=√5×√13=−√6565，∴平面A1BE与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为√6565．【考点】平面与平面垂直的判定用空间向量求平面间的夹角【解析】无【解答】(1)证明：由题意可得，四边形BCDE为菱形，连接CE，取DE的中点O，连接OA1，OC.在△ADE中，∠AED=∠ABC=60∘，且DE=2，AE=1，由余弦定理可得，AD=√3，则DE 2=AE 2+AD 2，则∠EAD =90∘， 即AD ⊥AE ，即A 1D ⊥A 1E ．∵ O 是DE 的中点，∴ OA 1=12DE =1．∴ ∠CDE =∠ABC =60∘，∴ △CDE 为等边三角形， ∴ OC ⊥DE ，且OC =√3，∴ A 1C 2=OA 12+OC 2，∴ ∠A 1OC =90∘，即OA 1⊥OC ． 又∵ OC ⊥DE ，且OA 1∩DE =O ，∴ OC ⊥平面A 1DE ， ∵ OC ⊂平面BCD ，∴ 平面A 1DE ⊥平面BCD ．(2)解：以OC →的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz ，则D (0,1,0)，E (0,−1,0)，C(√3,0,0)，B(√3,−2,0)，A 1(0,−12,√32)． 设平面A 1BE 的法向量为m →=(x,y,z )， 则{m →⋅BE →=−√3x +y =0,m →⋅EA 1→=12y +√32z =0, 令z =1，得m →=(−1,−√3,1)． 设平面A 1CD 的法向量为n →=(x ′,y ′,z ′)， 则{n →⋅CD →=−√3x ′+y ′=0,n →⋅DA 1→=−32y ′+√32z ′=0, 令x ′=1，得n →=(1,√3,3)， ∵ cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n→|m →||n →|=−1−3+3√5×√13=−√6565， ∴ 平面A 1BE 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值为√6565．。
山西临晋中学2020-2021学年高二数学(理)上学期12月考卷附答案解析
山西临晋中学2020-2021学年高二数学(理)上学期12月考卷考试范围：选修2-1；考试时间：120分钟；第I 卷（选择题）一、单选题（5×12=60分）1．已知平面内动点P 满足|PA|+|PB|=4,且|AB|=4,则P 点的轨迹是( ) A ．直线B ．线段C ．圆D ．椭圆2．已知命题p:∀x ≥9,log 3x ≥2,则下列关于命题p ⌝的说法中,正确的是( ) A ．p ⌝:∀x ≥9,log 3x ≤2为假命题 B ．p ⌝:∀x<9,log 3x<2为真命题 C ．p ⌝:∃x 0≥9,log 3x 0<2为真命题 D ．p ⌝:∃x 0≥9,log 3x 0<2为假命题3．“α是第一象限角”是“关于x ，y 的方程x 2sin α+y 2cos α=1所表示的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．经过点)的双曲线2222x y a b -=1,其一条渐近线方程为该双曲线的焦距为( )AB ．2C ．D ．45．与双曲线22132x y -=有共同的渐近线，且经过点(A 的双曲线的方程为（ ） A ．2211612y x -= B ．22214y x -=C ．2211827y x -=D ．22164x y -=6．如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA 1,则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为)A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A.52 B.102 C.152D. 5 8.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A.12139．已知椭圆E :x 24+y 22=1，直线l 交椭圆E 于A ,B 两点，若AB 的中点坐标为(12，−1)，则直线l 的方程为A ．2x +y =0B ．x -2y -52=0 C ．2x -y -2=0 D ．x −4y −92=010.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是 （ ）A.⎛ ⎝B.1⎛ ⎝C.()11-，D.1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 11.已知P 是椭圆x 24+y 23=1上的一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若ΔPF 1F 2的内切圆的半径为12，则tan ∠F 1PF 2=（ ）A ．34B ．43C ．4√77 D ．37√7 12.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝( )A ．4B ．8C ．12D ．16第II 卷（非选择题）二、填空题（5×4=20分）13．双曲线2222x y m 124-m-+=1的焦距是_____. 14．中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为y =，则此双曲线的离心率为 ．15．设经过点M(2,1)的等轴双曲线的左、右焦点分别为F 1,F 2,若此双曲线上的一点N 满足12NF NF ⊥，则△NF 1F 2的面积为_______.16．已知动点P （x ，y ）在椭圆C ：2212516x y +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足|MF|=1．且MP ⊥MF ，则线段|PM|的最小值为____．三、解答题17．（13分）设命题p ：方程22142x y a a +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：关于x 的方程220x ax ++=无实数根．若命题“p 且q ”是真命题，求a 的取值范围．18．（13分）在平面直角坐标系中,已知动点P(x,y),PM 垂直于y 轴,垂足为M,点N 与点P 关于x 轴对称,且4OP MN ⋅=(O 为坐标原点),求动点P 的轨迹方程.19．（14分）已知双曲线()222:10y C x b b-=>.（1）若双曲线C 的一条渐近线方程为2y x =，求双曲线C的标准方程；（2）设双曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线C 上，若12PF PF ⊥，且的面积为9，求b 的值.20．（15分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4，且点)23,1(在椭圆上． （1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点斜率为k 的直线l 交椭圆于B A ,两点，若0OA OB ⋅=，求直线l 的方程21．（15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左．右焦点分别为12,F F ,短轴两个端点为,A B ,且四边形12F AF B 的边长为2 的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若,C D ,分别是椭圆长轴的左,右端点,动点M 满足MD CD ⊥,连结CM ,交椭圆于点P ．证明:OM OP ⋅的定值；高二数学（理）12月考参考答案1—5 BDBDC 6—10 ABDDD 11—12 BB 13、8 14、2或332 15、3 16、17、解析：由方程22142x y a a +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，得23a <<. …………3分 由关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0无实数根，得Δ＝a 2－8<0，∴－22<a <2 2. …………6分 由命题“p 且q ”是真命题，得23a a <<⎧⎪⎨-<<⎪⎩…………10分 ∴2<a <2 2.∴a 的取值范围是(2,22)． …………12分 18、由已知得M(0,y),N(x,-y),则=(x,-2y),故·=(x,y)·(x,-2y)=x 2-2y 2,由题意知x 2-2y 2=4,因此动点P 的轨迹方程为x 2-2y 2=4,即-=1.19、（1）因为双曲线()222:10y C x b b-=>的渐近线为y bx ±=，而它的一条渐近线为2y x =, 所以2b =,所以双曲线的标准方程为2214y x -=,（2）因为12PF PF ⊥，所以121212PF F S PF PF ∆=⋅⋅, 因为12PF F ∆的面积为9，所以1218PF PF ⋅=, 又因为1222PF PF a -==， 所以22112224PF PF PF PF -⋅+=,所以221240PF PF +=,又因为222212124PF PF F F c +==,所以210c =，所以2110b +=，所以3b =.20：（1）由题意2=a ，设所求的椭圆方程为14222=+b y x ，又点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1在椭圆上， 143412=+∴b ，得12=b ，则所求的椭圆的方程1422=+y x(2)由（1）知42=a ，12=b ，所以3=c ，椭圆的右焦点为()0,3，则直线AB 的方程为()3-=x k y由()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044322y x x k y ，得()0412********=-+-+k x k x k 由于直线AB 过椭圆的右焦点，可知0>∆，设()11,y x A ，()22,y x B ，则22214138k k x x +=+，222141412k k x x +-=⋅， ()()3321221--=x x k y y ()[]3321212++-⋅=x x x x k 2241k k +-=，2121y y x x +=⋅∴222222414114141412k k k k k k +-=+-++-=由0=⋅，即04141122=+-k k ，得11112±=k ，所以直线l 的方程为()311112-±=x y 21、(1)由题意得, 22b c ==b c ==2a =所以所求的椭圆方程为22142x y +=(2)由(Ⅰ)知, ()20C -，,()20D ， 由题意可设():2CM y k x =+,()11,P x y ．因为MD CD ⊥所以()2,4M k由()221{422x y y k x +==+整理得:()2222128840k x k x k +++-= 因为21284212k x k --=+所以()1124212k y k x k =+=+，222244,1212k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22222412244=244121212k k k OM OP k k k k+-⋅⋅+⋅==+++。
山西省2020-2021学年高二第二学期5月月考数学(理)试卷
数 学 学 科 （理科）一、选择题（共10题，每题4分）1．设z ＝i(2＋i)，则z －＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD.－1－2i2．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a ∈R ，结论：a 2＞0，那么这个演绎推理出错在( )A ．大前提B ．小前提C ．推理形式D ．没有出错3. A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度大于或等于圆的半径的概率为( )A ．12B ．23C ．32D ．124.曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝05．曲线y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π2与坐标轴围成的面积是( )A ．4B ．2 C.52D.36．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(1,2)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2 B ．2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( )A ．27 B.127C ．－27D ．－1279．tan(－570°)＋sin240°＝( )A ．－536B ．36C ．332D ． 310．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(1，＋∞) D.(0，＋∞)二、填空题（共4题，每题4分）11. i 是虚数单位，则5－i1＋i 的值为________．12. 类比平面几何中的定理：△ABC 中，若DE 是△ABC 的中位线，则有S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4；若三棱锥A －BCD 有中截面EFG ∥平面BCD ，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为____________________________．13. 从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个，则所取球的最大号码不超过3的概率为________． 14.3tan15°＋13－tan15°的值是________．三、解答题（共4题）15．(10分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝(1－i)(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.16．(10分)某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65，90)内)分组如下：第一组[65，70)，第二组[70，75)，第三组[75，80)，第四组[80，85)，第五组[85，90)．得到频率分布直方图如图．(1)求测试成绩在[80，85)内的频率；(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率．17．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间．18．(12分)已知函数f(x)＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值．1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。
山西高二高中数学月考试卷带答案解析
山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，则元素的个数为（）A．B．C．D．2.设向量，则实数的值为（）A．B．C．D．3.已知直线与直线平行，则直线在轴上的截距为（）A．B．C．D．4.样本容量为的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在内的频数为（）A．B．C．D．5.函数的定义域是（）A．B．C．D．6.如果实数满足约束条件则的最小值为（）A．B．C．D．7.如图是一个程序框图，则输出的的值是（）A．B．C．D．8.已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则9.函数的图象大致是（）10.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A．B．C．D．11.一条光线从点射入，与轴相交于点，经轴反射后过点，直线过点且分别与轴和轴的正半轴交于两点，为坐标原点，则当的面积最小时直线的方程为（）A．B．C．D．12.如图，在三棱柱中，底面，分别是被的中点，点在棱上，，则下列说法正确的是（）A．设平面与平面的交线为，则直线与相交B．在棱上存在点，使得三棱锥的体积为C．设点在上，当时，平面平面D．在棱上存在点，使得二、填空题1.函数，则______.2.已知直线的倾斜角为，则_____.3.在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则______.4.已知在四棱锥中，底面，底面是正方形，，在该四棱锥内部或表面任取一点，则三棱锥的体积不小于的概率为______.三、解答题1.已知直角的顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，顶点在轴上.（1）求边所在直线的方程；（2）求直角的斜边中线所在的直线的方程.2.为了参加市高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出人组成男子篮球队，代表该地区参赛，四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表：班级高三（7）班高三（17）班高二（31）班高二（32）班（1）现采取分层抽样的方法从这四个班中抽取运动员，求应分别从这四个班抽出的队员人数；（2）该中学篮球队奋力拼搏，获得冠军.若要从高三年级抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言，求选出的两名队员来自同一班的概率.3.如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，分别为线段的中点.（1）求证：平面；（2）四棱柱的外接球的表面积为，求证：平面.4.已知等差数列的前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的公差不为，数列满足，求数列的前项和.5.已知向量.（1）若，且，求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位得到的函数的图象.若函数在上有零点，求的取值范围.6.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，是的中点.（1）求证：平面；（2）已知点是的中点，点是上一点，且平面平面.若，求点到平面的距离.山西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.若集合，则元素的个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，由集合元素的互异性得,故选C．【考点】集合的性质.2.设向量，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以,故选A．【考点】向量的平行的性质.3.已知直线与直线平行，则直线在轴上的截距为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，得，则直线在轴上的截距为,故选B．【考点】直线与直线平行的判定.4.样本容量为的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在内的频数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得,在内的频数为,故选D．【考点】样本容量.5.函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得解得,故选D．【考点】1.对数的性质；2.根式的性质.6.如果实数满足约束条件则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:由题意可画出可行域如图所示，由图象可得，当过点时，取最小值.【考点】线性规划.7.如图是一个程序框图，则输出的的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，，结束，故最终，故选D．【考点】程序框图.8.已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】由题意得，A中与位置不确定，故A错误，B中与可能相交，故B错误,C中与的位置不确定，故C错误,因此D正确，故选D．【考点】1.线面平行判定及性质；2.线面垂直判定及性质；3.面面平行判定及性质；4.面面垂直判定及性质.9.函数的图象大致是（）【答案】C【解析】由题意得，易判断函数为偶函数，由，得.，且当时，；当时，，故选C.【考点】偶函数图象的性质.10.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，面积最小的面为面，其面积.故选D.【考点】由三视图求体积和面积.【方法点睛】本题主要考查的是空间几何体的三视图和结构特征，多面体的面积计算，是属于中档题，解决此类题目最主要方法就能根据三视图画出立体图形，再根据立体图形求几何体的表面积或者体积，此题目要求面积最小的面的面积，切不只看立体图形，而应该要求一下实际面积再比较大小，否则容易受立体几何体的直观图所蒙蔽导致出错，根据三视图正确画出立体图形的直观图是解决此类题目关键.11.一条光线从点射入，与轴相交于点，经轴反射后过点，直线过点且分别与轴和轴的正半轴交于两点，为坐标原点，则当的面积最小时直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，则反射光线所在的直线方程为，代入点得，即.设直线的方程为，则，且，即有，当且仅当，即等号成立，此时取最小值，直线的方程为,故选B.【考点】1.直线与直线的综合问题；2.基本不等式的应用.【方法点睛】本题主要考查的是直线与直线的综合问题,基本不等式的应用，属于中档题，通过已知条件画出草图，可发现直线的反射直线所在直线方程，从而可求出点的坐标，设截距式可得到的面积表达式，利用基本不等式可求出最值，进而求出直线的截距，可得出直线的方程，因此正确的求出的面积表达式，利用基本不等式可求出最值是解此类题目的关键.12.如图，在三棱柱中，底面，分别是被的中点，点在棱上，，则下列说法正确的是（）A．设平面与平面的交线为，则直线与相交B．在棱上存在点，使得三棱锥的体积为C．设点在上，当时，平面平面D．在棱上存在点，使得【答案】C【解析】连接交于，则为重心，连接，由已知得，则，故A错；若存在点在上，则，当与重合时，取最小值为，故B错；当时，可证得，则，即.又平面，，则平面，∴平面，故C正确；过作交于，若在上存在点，使得，则，又，∴平面，即有，矛盾，故D错,综合选C.【考点】1.线面平行；2.面面平行；3.线面垂直；4.线面垂直.【方法点睛】本题主要考查的是线面平行,面面平行,线面垂直,线面垂直的判定及性质，直线与平面所成角的定义及求法，考查了多面体体积的计算及学生的空间想象能力，综合性强，属于难题，正确的掌握线面平行,面面平行,线面垂直,线面垂直的判定及性质定理，直线与平面所成角的定义及求法等相关知识解决此类并非难事，说法类问题逐个分析，慢慢推导即可求解.二、填空题1.函数，则______.【答案】【解析】由题意有.【考点】分段函数.2.已知直线的倾斜角为，则_____.【答案】（或）【解析】由题意得，，则（或）.【考点】斜率的几何意义.3.在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则______.【答案】【解析】由得，由的面积为得，即.【考点】1.正弦定理的应用；2.余弦定理的应用；3.三角形面积公式的灵活运用.【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的灵活运用，属于中档题，解决此类问题的方法是利用正余弦定理对边角转换，是将边转化成角，还是将角转换成边，这需要一个分析过程，有时并不是一下子就能看出到底怎么化简，需要我们实验，化几步，看是否很繁琐，如果很繁琐的话就立马换成另一个方法即可,千万不可扔掉，要会回头.4.已知在四棱锥中，底面，底面是正方形，，在该四棱锥内部或表面任取一点，则三棱锥的体积不小于的概率为______.【答案】【解析】由题意得，如图，的中点分别为，当点在几何体内部或表面上时，.在几何体中，连接，则，又，则所求概率为.【考点】1.线面垂直的性质；2.锥体体积；3.几何概型.【方法点睛】本题主要考查的是线面垂直的性质,锥体体积,几何概型，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，对于本题而言，主要考查的是利用几何概型求概率，很显然是要求出的体积，然后求出三棱锥的体积不小于时，的面积，两个值相除，即可得到概率值，因此此类问题主要分析清楚问题要求的具体量是什么，多理解题意是解决此类问题的关键.三、解答题1.已知直角的顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，顶点在轴上.（1）求边所在直线的方程；（2）求直角的斜边中线所在的直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知，因为为直角三角形，故，即求出即可求出，从而可求出边所在直线的方程；（2）由直线所在直线的方程可求出点的坐标，故可求出斜边的中点坐标，从而可求出斜边中线所在的直线的方程.试题解析：（1）依题意，直角的直角顶点为，所以，故.又因为，所以，从而，所以边所在直线的方程为，即.（2）因为直线的方程为，点在轴上，由，得，即，所以斜边的中点为，故直角的斜边中线为（为坐标原点）.设直线，代入，得，所以直角的斜边中线所在的直线的方程.【考点】1.点斜式求直线方程；2.两点式求直线方程.2.为了参加市高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出人组成男子篮球队，代表该地区参赛，四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表：班级高三（7）班高三（17）班高二（31）班高二（32）班（1）现采取分层抽样的方法从这四个班中抽取运动员，求应分别从这四个班抽出的队员人数；（2）该中学篮球队奋力拼搏，获得冠军.若要从高三年级抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言，求选出的两名队员来自同一班的概率.【答案】（1），，，；（2）.【解析】（1）由题意可知，先求出每个个体被抽到的概率，再用各个班的篮球队员个数乘以此概率，即得分别从这四个班抽出的队员人数；（2）可用列举法将所有可能情况列举出来，再求所要求的概率..试题解析：（1）由题知，应从高三（）班中抽出人，应从高三（）班中抽出人，应从高二（）班中抽出人，应从高二（）班中抽出人.（2）记高三（）班抽出的人为，高三（）班抽出的两人为，则从这人中抽出人的基本事件有：共件，记“抽出的人来自同一班”为事件，则事件含：共件，故.【考点】1.分层抽样；2.列举法求基本事件数求概率.3.如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，分别为线段的中点.（1）求证：平面；（2）四棱柱的外接球的表面积为，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 .【解析】（1）由题意可知，要证明平面，则可证明；（2）通过外接球的表面积为可求出四棱柱的高，再利用勾股定理证明，从而结论得到证明.试题解析：（1）连接，在中，分别为线段的中点，∴为中位线，∴，而面，面，∴平面.（2）∵四棱柱的外接球的表面积为，∴四棱柱的外接球的半径，设，则，解得，∵，即，∵平面，∴，又，∴平面.【考点】1.直线与平面平行的判定；2.勾股定理；3.直线与平面垂直的判定.4.已知等差数列的前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的公差不为，数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知，利用，成等比数列，从而可求出数列的通项公式，数列的通项公式可通过联立方程组求解；（2）可利用错位相减法对前项和进行处理进而求解.试题解析：（1），即，化简得或.当时，，得或，∴，即；当时，由，得，即有.（2）由题意可知，∴①②，①-②得：，∴.【考点】1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.5.已知向量.（1）若，且，求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位得到的函数的图象.若函数在上有零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可知，利用诱导公式可求出，利用平面向量共线的坐标表示可求，利用同角三角函数基本关系式即可化简求值；（2）由平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求函数的解析式，利用函数的图象变换可求，根据的范围，可求的范围，令即可解得的取值范围.试题解析：（1）∵，，∴得，∴.（2）∵，∴，∵，则，令得，∴的取值范围是.【考点】1.平面向量数量积的运算；2.同角三角函数基本关系的运用；3.函数的零点问题.【方法点睛】本题主要考查了诱导公式，函数的图象变换，平面向量的应用，同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，函数的零点问题,考查了计算能力和转化思想，数形结合思想，属于中档题，对于此类问题最主要就是要熟练掌握三角函数恒等变换求出三角函数正弦公式，进而由正弦函数的单调性求出取值范围，进而求出参数的值.6.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，是的中点.（1）求证：平面；（2）已知点是的中点，点是上一点，且平面平面.若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由题意可知，因为，所以需要用到等腰三角形的三线合一的性质可得出需要取的中点，然后证明平面，从而得到证明；（2）利用等体积转换的方法即可求出点到平面的距离.试题解析：（1）证明：取的中点为，连接和，∵是的中点，∴，∴平面与平面为同一平面，∵底面，底面是矩形，∴，即平面，∴.∵，∴平面.（2）过作交于，连接，∵是的中点，∴，∵，平面平面，∴当是与的交点时，平面平面，在矩形中，求得，∵，∴，到平面的距离为，设点到平面的距离为，由得，解得.【考点】1.线面垂直的判定及性质；2.面面垂直的判定及性质；3.等体积法的运用.【方法点睛】本题主要考查的是线面垂直的判定及性质,面面垂直的判定及性质,等体积法的运用,属于中档题，对于空间立体几何中证明题，我们常见的思想就是倒推法，将结论当已知，反推看需要求证什么进而可找出中间衔接的结论，另一方面，对于空间几何中的等腰三角形，常见的做法就是利用三线合一的性质去求解，因此看到了等腰三角形我们往往需要添加中线，对于比较难以求解的点到平面的距离，往往需要利用等体积法转化掉，需要一定的分析能力，因此做此类题目要善于总结.。
山西省运城市临晋中学2021下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)
山西省运城市临晋中学2021学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）（本试卷满分150分，考试时间120分钟答案一律写在答卷页上）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）满足1＋i ＝2，则复数的虚部为B －1 D －i μ，σ2，若111,,,122334⨯⨯⨯1(1)n a n n =+()n N +∈r 2S r π=S π=222()()x a y b r -+-=2222()()()x a y b z c r -+-+-=6＝a 0＋a 1＋a 22＋…＋a 66，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为或3 B －3 或－311将7个人其中包括甲、乙、丙、丁4人排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有108种 008种 种 种 ＝ln2－1上的点到直线2－y ＋8＝0的最短距离是A ．2错误!B ．2C ．2错误! 二、填空题（本题共4小题，每题5分）13设函数()23xx axf x e +=()a R ∈．若()f x 在0x =处取得极值，则a =___________ 2y x＝1y x ＝－4x ＝ 15已知1＋3n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项是第________项。
′是奇函数f ∈R 的导函数，f －1＝0, 当＞0时，f ′－f ＜0， 则使得f ＞0成立的的取值范围是________ 三、解答题（本题共6小题，共70分） 17（本小题10分）在平面直角坐标系Oy 中,以原点O 为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1的极坐标方程为sin θ=ρcos 2θ,曲线C 2的参数方程为{x =-1-√22t ,y =2+√22tt 为参数,若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点1求曲线C 1、C 2的直角坐标方程; 2求点M-1,2到A 、B 两点的距离之积 18、（本小题12分）某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定；每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响． 1求该考生本次测验选择题得50分的概率；2求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望． 19、（本小题12分）某地区2013年至2019年农村居民家庭人均纯收入y 单位：千元的数据如下表：1求y 关于t 2利用1中的回归方程，分析2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆn nii ii i nni ii i t t y y t y n t ybt t tn t ====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑,ˆˆay b t =-⋅ 20（本小题12分）为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如下表：已知在全部的401请将2×2列联表补充完整；2已知大于40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这16名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； 3能否在犯错误的概率不超过的前提下认为患心肺疾病与年龄有关 下面的临界值表供参考：h1＝－2，a＝∴若a≥h在∈0，＋∞上恒成立，则a≥h ma＝－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞．……12分22、解：1依题意，得p1＝P40＜X＜80＝错误!＝，p2＝P80≤X≤120＝错误!＝，p3＝PX＞120＝错误!＝由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为P＝C错误!1－p34＋C错误!1－p33p3＝4＋4×3×＝ 7 ……4分2记水电站年总利润为Y单位：万元①安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，EY＝5 000×1＝5 000万元……5分②安装2台发电机的情形依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－800＝4 200，因此PY＝4 200＝P40＜X＜80＝p1＝；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2＝10 000，因此PY＝10 000＝PX≥80＝p2＋p3＝由此得Y 的分布列如下：所以EY＝4 200×＋10 000×＝8 840③安装3台发电机的情形依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此PY＝3 400＝P40＜X＜80＝p1＝；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，因此PY＝9 200＝P80≤X≤120＝p2＝；当X＞120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此PY＝15 000＝PX＞120＝p3＝，由此得Y 的分布列如下：所以EY＝3 400×＋9 200×＋15综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台…12分。
山西高二高中数学月考试卷带答案解析
山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.不等式的解集为（）A．B．C．D．2.若是任意的实数,且,则( )A．B．C．D．3.已知，且，则（）A．B．C．D．4.下列各式中，最小值等于的是（）A．B．C．D．5.设，，，则的大小顺序是（）A．B．C．D．6.函数的最小值为（）A．B．C．D．7.已知，且，则的值（）A．大于零B．小于零C．不大于零D．不小于零8.若，则的最小值是（）A．B．C．D．9.设，，，，则A、B的大小关系是（）A、 B、 C、 D、不能确定10.不等式的解集是（）A．B．C．D．11.设不等的两个正数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.不等式的解集为2.设，则函数的最大值是__________3.不等式恒成立，则的取值范围是4.与（）的大小关系为三、解答题1.解不等式2.已知且，求证：3.解关于的不等式：（）4.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？5.设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．山西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：，故选择A2.若是任意的实数,且,则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为a-b>0,可以特殊值排除法，得到选项D，当a=-2,b=-3,不符合A，也不符合B，C3.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为，不妨设a=2,b=-2,则排除A,C,D，选择B4.下列各式中，最小值等于的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：选项A，中当x,y同号时，满足题意，选项B，取不到等号，选项C，正切值符号不定，因此只能选择D，一正二定三相等。
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∴1 3
·S△ACD·PA＝13·S△PCD·d，
∴1×1×2×2 3×2＝1×2 7d，
32
3
∴d＝2 21， 7
∴点 A 到平面 PCD 的距离为2 21. 7
22.(1)证明 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE.
-7-
在△PAC 中，∵O，E 分别是 AC，PC 的中点，
∴OE 是△PAC 的中位线，
B，交β于点 C，D，且 PA＝6，AC＝9，AB＝8，则 CD 的长为________．
16. 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，给出下列四个命题： ①对角线 AC1 被平面 A1BD 和平面 B1CD1 三等分； ②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为 1∶2∶3；
3
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)
13．已知 P 为△ABC 所在平面外一点，且 PA，PB，PC 两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确命题的个数是________．
-1-
3 EF＝ ，且 EF 与面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为( )
2
9
A.
B．5
2
C．6
15 D.
2
7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为( ) 1
A. 2
B．1 C．2 D．4
8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已
知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该
“堑堵”的侧面积为( )
A．2
B．4＋2 2
C．4＋4 2 D．6＋4 2
（7 题图）
9.点 P 在正方体侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且保持 AP⊥BD1，则点 P 的轨迹为( )
A．线段 B1C
B. BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段
C．线段 BΒιβλιοθήκη 1D．BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段
6 A.
2
5 B．
2
6 C.
3
5 D．
3
（8 题图） （10 题图）
12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为 4
16 的等边三角形，三棱锥 PABC 的体积为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
3
16π A.
3
40π B.
3
64π C.
3
80π D.
21.(本小题 12 分)如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝2， ∠ABC＝90°，AB＝ 3，BC＝1，AD＝2 3，∠ACD＝60°，E 为 CD 的中点．
(1)求证：BC∥平面 PAE； (2)求点 A 到平面 PCD 的距离．
22.(本小题 12 分)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明：PA∥平面 DBE； (2)证明：PB⊥平面 EFD； (3)求二面角 C－PB－D 的大小.
10．如图，在四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AC 与 BD 的中点，若 CD＝2AB＝4，
EF⊥BA，则 EF 与 CD 所成的角为( )
A．90°
B．45°
C．60°
D．30°
11．已知直二面角αlβ，A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂
足．若 AB＝2，AC＝BD＝1，则 D 到平面 ABC 的距离等于( )
20.(1)证明 连接 AC 交 BD 于点 O，
∵M，N 分别是线段 PA，PC 的中点， ∴MN∥AC，
-6-
∵MN⊄平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， ∴MN∥平面 ABCD. (2)解 由(1)知，∠ACB 就是异面直线 MN 与 BC 所成的角或其补角． ∵四边形 ABCD 为菱形，AB＝2，BD＝2 3， ∴在 Rt△BOC 中，BC＝2，BO＝ 3，∴∠OCB＝60°， ∴异面直线 MN 与 BC 所成的角为 60°.
数学试题（理）
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧 视图与俯视图分别为( )
A．②①①
B．②①②
C．②④①
D．③①①
1 ③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是 ；
6 π ④正方体与以 A 为球心，1 为半径的球的公共部分的体积是 .其中正确命题的序号为 6
（16 题图）
___．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题 10 分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1 中，AC＝9，BC＝12， AB＝15，AA1＝12，点 D 是 AB 的中点． (1)求证：AC⊥B1C； (2)求证：AC1∥平面 CDB1.
（17 题图）
18.(本小题 12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AA1 的中点. 求证:(1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE, D1F, DA 三线共点.
19.(本小题 12 分)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，AA1＝A1C ＝AC＝AB＝BC＝2，且点 O 为 AC 中点．
21.解析：(1)证明：∵AB＝ 3，BC＝1，∠ABC＝90°， ∴AC＝2，∠BCA＝60°.
在△ACD 中，∵AD＝2 3，AC＝2，∠ACD＝60°， ∴AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD， ∴CD＝4，∴AC2＋AD2＝CD2，
∴△ACD 是直角三角形， 又 E 为 CD 中点， ∴AE＝1CD＝CE，
C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交
D．一条直线与两个平行平面所成的角相等
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣
内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋
内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的
19.(1)证明：因为 AA1＝A1C，且 O 为 AC 的中点， 所以 A1O⊥AC，[ 又平面 AA1C1C⊥平面 ABC，平面 AA1C1C∩平面 ABC＝AC， 且 A1O⊂平面 AA1C1C，所以 A1O⊥平面 ABC. (2)解：因为 A1C1∥AC，A1C1⊄ 平面 ABC，AC⊂平面 ABC， 所以 A1C1∥平面 ABC，即 C1 到平面 ABC 的距离等于 A1 到平面 ABC 的距离． 由(1)知 A1O⊥平面 ABC 且 A1O＝ AA21－AO2＝ 3， 所以 VC1ABC＝VA1ABC＝13S△ABC·A1O＝13×12×2× 3× 3＝1.
（1 题图）
2.如图所示的正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观
图，则原图形的周长是( )
A．6 cm
B．8 cm
C．(2＋3 2) cm
D．(2＋2 3) cm
3．下列命题中，错误的是( ) A．平行于同一平面的两个平面平行
（2 题图）
B．平行于同一直线的两个平面平行
平面；②存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面；③经过直线 a 有且只有一个平面垂直
于直线 b；④经过直线 a 有且只有一个平面平行于直线 b，其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF∥AB，
（6 题图）
（21 题图）
(22 题图）
-4-
答案
ABBBC DCCAD CD 13．3 14.不变 15．20 或 4
16. ①②④
17.证明 (1)∵三棱柱 ABC－A1B1C1 为直三棱柱，
∴CC1⊥平面 ABC，
又 AC⊂平面 ABC，∴CC1⊥AC.
又∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC . ∵CC1，BC⊂平面 BB1C1C，CC1∩BC＝C， ∴AC⊥平面 BB1C1C， 又 B1C⊂平面 BB1C1C，∴AC⊥B1C. (2)取 A1B1 的中点 D1，连接 C1D1，D1D 和 AD1，
14．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC,动点 P
-2-
（14 题图）
∈l,当点 P 逐渐远离点 A 时,∠PCB 的大小会
.(填“变大”“变小”或“不变”)
15．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过 P 点的两条直线 AC，BD 分别交α于点 A，
(1)证明：A1O⊥平面 ABC； (2)求三棱锥 C1ABC 的体积．
（18 题图） （19 题图）
-3-
（20 题图）
20．(本小题 12 分)如图，已知四棱锥 P－ABCD，底面四边形 ABCD 为菱形，AB＝2，BD＝2 3，M，N 分别是线段 PA，PC 的中点．
(1)求证：MN∥平面 ABCD； (2)求异面直线 MN 与 BC 所成角的大小．
设正方形 ABCD 的边长为 a，则 PD＝DC＝a，BD＝ 2a，
PB＝ PD2＋BD2＝ 3a，PC＝ PD2＋DC2＝ 2a，
DE＝1PC＝ 2a，