山西临晋中学2020-2021学年高二月考数学(理)试卷含答案
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3
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)
13．已知 P 为△ABC 所在平面外一点，且 PA，PB，PC 两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确命题的个数是________．
∴1 3
·S△ACD·PA＝13·S△PCD·d，
∴1×1×2×2 3×2＝1×2 7d，
32
3
∴d＝2 21， 7
∴点 A 到平面 PCD 的距离为2 21. 7
22.(1)证明 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE.
-7-
在△PAC 中，∵O，E 分别是 AC，PC 的中点，
∴OE 是△PAC 的中位线，
21.(本小题 12 分)如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝2， ∠ABC＝90°，AB＝ 3，BC＝1，AD＝2 3，∠ACD＝60°，E 为 CD 的中点．
(1)求证：BC∥平面 PAE； (2)求点 A 到平面 PCD 的距离．
22.(本小题 12 分)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明：PA∥平面 DBE； (2)证明：PB⊥平面 EFD； (3)求二面角 C－PB－D 的大小.
C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交
D．一条直线与两个平行平面所成的角相等
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣
内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋
内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的
6 A.
2
5 B．
2
6 C.
3
5 D．
3
（8 题图） （10 题图）
12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为 4
16 的等边三角形，三棱锥 PABC 的体积为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
3
16π A.
3
40π B.
3
64π C.
3
80π D.
18.（1)如图,连接 EF,CD1,BA1.
-5-
因为 E,F 分别是 AB,AA1 的中点,所以 EF∥BA1. 又 BA1∥CD1, 所以 EF∥CD1. 所以 E,C,D1,F 四点共面. (2)因为 EF∥CD1,EF<CD1,所以 CE 与 D1F 必相交,设交点为 P. 由 P∈CE,CE⊂平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. 同理,得 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA,所以 P∈直线 DA. 所以 CE,D1F,DA 三线共点.
10．如图，在四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AC 与 BD 的中点，若 CD＝2AB＝4，
EF⊥BA，则 EF 与 CD 所成的角为( )
A．90°
B．45°
C．60°
D．30°
11．已知直二面角αlβ，A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂
足．若 AB＝2，AC＝BD＝1，则 D 到平面 ABC 的距离等于( )
（17 题图）
18.(本小题 12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AA1 的中点. 求证:(1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE, D1F, DA 三线共点.
19.(本小题 12 分)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，AA1＝A1C ＝AC＝AB＝BC＝2，且点 O 为 AC 中点．
14．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC,动点 P
-2-
（14 题图）
∈l,当点 P 逐渐远离点 A 时,∠PCB 的大小会
.(填“变大”“变小”或“不变”)
15．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过 P 点的两条直线 AC，BD 分别交α于点 A，
又 DE⊂平面 PDC，∴BC⊥DE， ∵BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面 PBC， ∴DE⊥平面 PBC，又 PB⊂平面 PBC， ∴DE⊥PB， 又 EF⊥PB 且 DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面 DEF， ∴PB⊥平面 EFD. (3)解 由(2)知 PB⊥DF， ∴∠EFD 是二面角 C－PB－D 的平面角.
1 ③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是 ；
6 π ④正方体与以 A 为球心，1 为半径的球的公共部分的体积是 .其中正确命题的序号为 6
（16 题图）
___．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题 10 分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1 中，AC＝9，BC＝12， AB＝15，AA1＝12，点 D 是 AB 的中点． (1)求证：AC⊥B1C； (2)求证：AC1∥平面 CDB1.
B，交β于点 C，D，且 PA＝6，AC＝9，AB＝8，则 CD 的长为________．
16. 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，给出下列四个命题： ①对角线 AC1 被平面 A1BD 和平面 B1CD1 三等分； ②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为 1∶2∶3；
“堑堵”的侧面积为( )
A．2
B．4＋2 2
C．4＋4 2 D．6＋4 2
（7 题图）
9.点 P 在正方体侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且保持 AP⊥BD1，则点 P 的轨迹为( )
A．线段 B1C
B. BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段
C．线段 BC1
D．BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段
弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”
已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛
的米约有( )
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
（4 题图）
5.设 a，b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的
∴OE∥PA， 又∵PA⊄平面 DBE，OE⊂平面 DBE， ∴PA∥平面 DBE.
(2)证明 ∵PD⊥平面 ABCD， 又 DC⊂平面 ABCD，
∴PD⊥DC.
又 PD＝DC，∴△PDC 是等腰直角三角形，而 E 是斜边 PC 的中点， ∴DE⊥PC.同理可证 PD⊥BC.
∵底面 ABCD 是正方形， ∴DC⊥BC，又 PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面 PDC， ∴BC⊥平面 PDC.
平面；②存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面；③经过直线 a 有且只有一个平面垂直
于直线 b；④经过直线 a 有且只有一个平面平行于直线 b，其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF∥AB，
（6 题图）
19.(1)证明：因为 AA1＝A1C，且 O 为 AC 的中点， 所以 A1O⊥AC，[ 又平面 AA1C1C⊥平面 ABC，平面 AA1C1C∩平面 ABC＝AC， 且 A1O⊂平面 AA1C1C，所以 A1O⊥平面 ABC. (2)解：因为 A1C1∥AC，A1C1⊄ 平面 ABC，AC⊂平面 ABC， 所以 A1C1∥平面 ABC，即 C1 到平面 ABC 的距离等于 A1 到平面 ABC 的距离． 由(1)知 A1O⊥平面 ABC 且 A1O＝ AA21－AO2＝ 3， 所以 VC1ABC＝VA1ABC＝13S△ABC·A1O＝13×12×2× 3× 3＝1.
2 ∵∠ACD＝60°，
∴△ACE 为等边三角形，
∴∠CAE＝60°＝∠BCA， ∴BC∥AE，
又 AE⊂平面 PAE，BC⊄平面 PAE， ∴BC∥平面 PAE. (2)设点 A 到平面 PCD 的距离为 d，根据题意可得，
PC＝2 2，PD ＝CD＝4 ，∴S△PCD＝2 7，
∵VP－ACD＝VA－PCD，
设正方形 ABCD 的边长为 a，则 PD＝DC＝a，BD＝ 2a，
PB＝ PD2＋BD2＝ 3a，PC＝ PD2＋DC2＝ 2a，
DE＝1PC＝ 2a，
2
2
在 Rt△PDB 中，DF＝PD·BD＝a· 2a＝ 6a，
Fra Baidu bibliotekPB
3a 3
21.解析：(1)证明：∵AB＝ 3，BC＝1，∠ABC＝90°， ∴AC＝2，∠BCA＝60°.
在△ACD 中，∵AD＝2 3，AC＝2，∠ACD＝60°， ∴AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD， ∴CD＝4，∴AC2＋AD2＝CD2，
∴△ACD 是直角三角形， 又 E 为 CD 中点， ∴AE＝1CD＝CE，
∵AD∥D1B1，且 AD＝D1B1， ∴四边形 ADB1D1 为平行四边形，∴AD1∥DB1， 又∵AD1⊄平面 CDB1，DB1⊂平面 CDB1， ∴AD1∥平面 CDB1. ∵CC1∥DD1，且 CC1＝DD1， ∴四边形 CC1D1D 为平行四边形，∴C1D1∥CD， 又∵CD⊂平面 CDB1，C1D1⊄平面 CDB1， ∴C1D1∥平面 CDB1， ∵AD1∩C1D1＝D1，AD1，C1D1⊂平面 AC1D1， ∴平面 AC1D1∥平面 CDB1， 又 AC1⊂平面 AC1D1，∴AC1∥平面 CDB1.
（1 题图）
2.如图所示的正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观
图，则原图形的周长是( )
A．6 cm
B．8 cm
C．(2＋3 2) cm
D．(2＋2 3) cm
3．下列命题中，错误的是( ) A．平行于同一平面的两个平面平行
（2 题图）
B．平行于同一直线的两个平面平行
(1)证明：A1O⊥平面 ABC； (2)求三棱锥 C1ABC 的体积．
（18 题图） （19 题图）
-3-
（20 题图）
20．(本小题 12 分)如图，已知四棱锥 P－ABCD，底面四边形 ABCD 为菱形，AB＝2，BD＝2 3，M，N 分别是线段 PA，PC 的中点．
(1)求证：MN∥平面 ABCD； (2)求异面直线 MN 与 BC 所成角的大小．
-1-
3 EF＝ ，且 EF 与面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为( )
2
9
A.
B．5
2
C．6
15 D.
2
7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为( ) 1
A. 2
B．1 C．2 D．4
8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已
知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该
20.(1)证明 连接 AC 交 BD 于点 O，
∵M，N 分别是线段 PA，PC 的中点， ∴MN∥AC，
-6-
∵MN⊄平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， ∴MN∥平面 ABCD. (2)解 由(1)知，∠ACB 就是异面直线 MN 与 BC 所成的角或其补角． ∵四边形 ABCD 为菱形，AB＝2，BD＝2 3， ∴在 Rt△BOC 中，BC＝2，BO＝ 3，∴∠OCB＝60°， ∴异面直线 MN 与 BC 所成的角为 60°.
数学试题（理）
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧 视图与俯视图分别为( )
A．②①①
B．②①②
C．②④①
D．③①①
（21 题图）
(22 题图）
-4-
答案
ABBBC DCCAD CD 13．3 14.不变 15．20 或 4
16. ①②④
17.证明 (1)∵三棱柱 ABC－A1B1C1 为直三棱柱，
∴CC1⊥平面 ABC，
又 AC⊂平面 ABC，∴CC1⊥AC.
又∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC . ∵CC1，BC⊂平面 BB1C1C，CC1∩BC＝C， ∴AC⊥平面 BB1C1C， 又 B1C⊂平面 BB1C1C，∴AC⊥B1C. (2)取 A1B1 的中点 D1，连接 C1D1，D1D 和 AD1，
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)
13．已知 P 为△ABC 所在平面外一点，且 PA，PB，PC 两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确命题的个数是________．
∴1 3
·S△ACD·PA＝13·S△PCD·d，
∴1×1×2×2 3×2＝1×2 7d，
32
3
∴d＝2 21， 7
∴点 A 到平面 PCD 的距离为2 21. 7
22.(1)证明 连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE.
-7-
在△PAC 中，∵O，E 分别是 AC，PC 的中点，
∴OE 是△PAC 的中位线，
21.(本小题 12 分)如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝2， ∠ABC＝90°，AB＝ 3，BC＝1，AD＝2 3，∠ACD＝60°，E 为 CD 的中点．
(1)求证：BC∥平面 PAE； (2)求点 A 到平面 PCD 的距离．
22.(本小题 12 分)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明：PA∥平面 DBE； (2)证明：PB⊥平面 EFD； (3)求二面角 C－PB－D 的大小.
C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交
D．一条直线与两个平行平面所成的角相等
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣
内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋
内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的
6 A.
2
5 B．
2
6 C.
3
5 D．
3
（8 题图） （10 题图）
12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为 4
16 的等边三角形，三棱锥 PABC 的体积为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
3
16π A.
3
40π B.
3
64π C.
3
80π D.
18.（1)如图,连接 EF,CD1,BA1.
-5-
因为 E,F 分别是 AB,AA1 的中点,所以 EF∥BA1. 又 BA1∥CD1, 所以 EF∥CD1. 所以 E,C,D1,F 四点共面. (2)因为 EF∥CD1,EF<CD1,所以 CE 与 D1F 必相交,设交点为 P. 由 P∈CE,CE⊂平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. 同理,得 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA,所以 P∈直线 DA. 所以 CE,D1F,DA 三线共点.
10．如图，在四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AC 与 BD 的中点，若 CD＝2AB＝4，
EF⊥BA，则 EF 与 CD 所成的角为( )
A．90°
B．45°
C．60°
D．30°
11．已知直二面角αlβ，A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂
足．若 AB＝2，AC＝BD＝1，则 D 到平面 ABC 的距离等于( )
（17 题图）
18.(本小题 12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AA1 的中点. 求证:(1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE, D1F, DA 三线共点.
19.(本小题 12 分)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，AA1＝A1C ＝AC＝AB＝BC＝2，且点 O 为 AC 中点．
14．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,直线 l 过点 A 且垂直于平面 ABC,动点 P
-2-
（14 题图）
∈l,当点 P 逐渐远离点 A 时,∠PCB 的大小会
.(填“变大”“变小”或“不变”)
15．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过 P 点的两条直线 AC，BD 分别交α于点 A，
又 DE⊂平面 PDC，∴BC⊥DE， ∵BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面 PBC， ∴DE⊥平面 PBC，又 PB⊂平面 PBC， ∴DE⊥PB， 又 EF⊥PB 且 DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面 DEF， ∴PB⊥平面 EFD. (3)解 由(2)知 PB⊥DF， ∴∠EFD 是二面角 C－PB－D 的平面角.
1 ③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是 ；
6 π ④正方体与以 A 为球心，1 为半径的球的公共部分的体积是 .其中正确命题的序号为 6
（16 题图）
___．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题 10 分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1 中，AC＝9，BC＝12， AB＝15，AA1＝12，点 D 是 AB 的中点． (1)求证：AC⊥B1C； (2)求证：AC1∥平面 CDB1.
B，交β于点 C，D，且 PA＝6，AC＝9，AB＝8，则 CD 的长为________．
16. 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，给出下列四个命题： ①对角线 AC1 被平面 A1BD 和平面 B1CD1 三等分； ②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为 1∶2∶3；
“堑堵”的侧面积为( )
A．2
B．4＋2 2
C．4＋4 2 D．6＋4 2
（7 题图）
9.点 P 在正方体侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且保持 AP⊥BD1，则点 P 的轨迹为( )
A．线段 B1C
B. BB1 的中点与 CC1 的中点连成的线段
C．线段 BC1
D．BC 的中点与 B1C1 的中点连成的线段
弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”
已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛
的米约有( )
A．14 斛
B．22 斛
C．36 斛
D．66 斛
（4 题图）
5.设 a，b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的
∴OE∥PA， 又∵PA⊄平面 DBE，OE⊂平面 DBE， ∴PA∥平面 DBE.
(2)证明 ∵PD⊥平面 ABCD， 又 DC⊂平面 ABCD，
∴PD⊥DC.
又 PD＝DC，∴△PDC 是等腰直角三角形，而 E 是斜边 PC 的中点， ∴DE⊥PC.同理可证 PD⊥BC.
∵底面 ABCD 是正方形， ∴DC⊥BC，又 PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面 PDC， ∴BC⊥平面 PDC.
平面；②存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面；③经过直线 a 有且只有一个平面垂直
于直线 b；④经过直线 a 有且只有一个平面平行于直线 b，其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF∥AB，
（6 题图）
19.(1)证明：因为 AA1＝A1C，且 O 为 AC 的中点， 所以 A1O⊥AC，[ 又平面 AA1C1C⊥平面 ABC，平面 AA1C1C∩平面 ABC＝AC， 且 A1O⊂平面 AA1C1C，所以 A1O⊥平面 ABC. (2)解：因为 A1C1∥AC，A1C1⊄ 平面 ABC，AC⊂平面 ABC， 所以 A1C1∥平面 ABC，即 C1 到平面 ABC 的距离等于 A1 到平面 ABC 的距离． 由(1)知 A1O⊥平面 ABC 且 A1O＝ AA21－AO2＝ 3， 所以 VC1ABC＝VA1ABC＝13S△ABC·A1O＝13×12×2× 3× 3＝1.
2 ∵∠ACD＝60°，
∴△ACE 为等边三角形，
∴∠CAE＝60°＝∠BCA， ∴BC∥AE，
又 AE⊂平面 PAE，BC⊄平面 PAE， ∴BC∥平面 PAE. (2)设点 A 到平面 PCD 的距离为 d，根据题意可得，
PC＝2 2，PD ＝CD＝4 ，∴S△PCD＝2 7，
∵VP－ACD＝VA－PCD，
设正方形 ABCD 的边长为 a，则 PD＝DC＝a，BD＝ 2a，
PB＝ PD2＋BD2＝ 3a，PC＝ PD2＋DC2＝ 2a，
DE＝1PC＝ 2a，
2
2
在 Rt△PDB 中，DF＝PD·BD＝a· 2a＝ 6a，
Fra Baidu bibliotekPB
3a 3
21.解析：(1)证明：∵AB＝ 3，BC＝1，∠ABC＝90°， ∴AC＝2，∠BCA＝60°.
在△ACD 中，∵AD＝2 3，AC＝2，∠ACD＝60°， ∴AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD， ∴CD＝4，∴AC2＋AD2＝CD2，
∴△ACD 是直角三角形， 又 E 为 CD 中点， ∴AE＝1CD＝CE，
∵AD∥D1B1，且 AD＝D1B1， ∴四边形 ADB1D1 为平行四边形，∴AD1∥DB1， 又∵AD1⊄平面 CDB1，DB1⊂平面 CDB1， ∴AD1∥平面 CDB1. ∵CC1∥DD1，且 CC1＝DD1， ∴四边形 CC1D1D 为平行四边形，∴C1D1∥CD， 又∵CD⊂平面 CDB1，C1D1⊄平面 CDB1， ∴C1D1∥平面 CDB1， ∵AD1∩C1D1＝D1，AD1，C1D1⊂平面 AC1D1， ∴平面 AC1D1∥平面 CDB1， 又 AC1⊂平面 AC1D1，∴AC1∥平面 CDB1.
（1 题图）
2.如图所示的正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观
图，则原图形的周长是( )
A．6 cm
B．8 cm
C．(2＋3 2) cm
D．(2＋2 3) cm
3．下列命题中，错误的是( ) A．平行于同一平面的两个平面平行
（2 题图）
B．平行于同一直线的两个平面平行
(1)证明：A1O⊥平面 ABC； (2)求三棱锥 C1ABC 的体积．
（18 题图） （19 题图）
-3-
（20 题图）
20．(本小题 12 分)如图，已知四棱锥 P－ABCD，底面四边形 ABCD 为菱形，AB＝2，BD＝2 3，M，N 分别是线段 PA，PC 的中点．
(1)求证：MN∥平面 ABCD； (2)求异面直线 MN 与 BC 所成角的大小．
-1-
3 EF＝ ，且 EF 与面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为( )
2
9
A.
B．5
2
C．6
15 D.
2
7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为( ) 1
A. 2
B．1 C．2 D．4
8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已
知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该
20.(1)证明 连接 AC 交 BD 于点 O，
∵M，N 分别是线段 PA，PC 的中点， ∴MN∥AC，
-6-
∵MN⊄平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， ∴MN∥平面 ABCD. (2)解 由(1)知，∠ACB 就是异面直线 MN 与 BC 所成的角或其补角． ∵四边形 ABCD 为菱形，AB＝2，BD＝2 3， ∴在 Rt△BOC 中，BC＝2，BO＝ 3，∴∠OCB＝60°， ∴异面直线 MN 与 BC 所成的角为 60°.
数学试题（理）
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的正视图、侧 视图与俯视图分别为( )
A．②①①
B．②①②
C．②④①
D．③①①
（21 题图）
(22 题图）
-4-
答案
ABBBC DCCAD CD 13．3 14.不变 15．20 或 4
16. ①②④
17.证明 (1)∵三棱柱 ABC－A1B1C1 为直三棱柱，
∴CC1⊥平面 ABC，
又 AC⊂平面 ABC，∴CC1⊥AC.
又∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC . ∵CC1，BC⊂平面 BB1C1C，CC1∩BC＝C， ∴AC⊥平面 BB1C1C， 又 B1C⊂平面 BB1C1C，∴AC⊥B1C. (2)取 A1B1 的中点 D1，连接 C1D1，D1D 和 AD1，