03 第三章 单自由度系统的强迫振动

B
B0
无阻尼时，振幅B
趋于无穷大。
系统共振：激振
力频率与系统的固有
频率相等。
在 n 时：
m
2B
m
2 n
B
kB
P0 cB B P0 /(c)
系统阻尼 c 的大小对
稳态响应的幅值 B 有着
极为第重三要章的影单响自。由度系统的强迫振动
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3、频率比 1
系统阻尼 c 的大小对稳态响应的幅值 B 有着极为重
B0
B
P0
k2
P0
m 2
系统的振幅B主要取 决于系统的惯性 。
称为惯性控制区。
B
1
B0 (1 2 )2 (2)2
1 和 1时，阻 尼
对稳态响应幅值的影响很小
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放大因子：
3、频率比 1
B
1
B0 (1 2 )2 (2)2
n
n
B 1
B0
B
B0
P0 k
B
1
B0 (1 2 )2 (2)2
稳态响应的振幅B 近 似 等 于 激 振 力 幅 P0 作用下的静位移B0 。
系统的振幅主要 由弹簧控制；
称为弹性控制区。
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放大因子：
2、频率比 1
n B 0
B0
频率比 阻尼比
(1 2 )2 (2)2
静位移 B0 B0 P0 k
强迫振动稳态响应的幅值 B 与激振力幅值 P0 成正比。
无量纲形式
B
1
B0 (1 2 )2 (2)2
振幅放大因子 动力放大系数
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放大因子：
1、频率比 1
sin t
简谐激振力作用下振动方程的标准形式
x(t) x1(t) x2 (t)
通解 特解
通解： x1(t) e nt c1 cosd t c2 sin d t
x1(t) e nt Asin(d t )
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x(t) x1(t) x2 (t)
自由振动、伴随振动称为瞬态振动，也称为系统的瞬态响应；
第三部分是与简谐激励频率相同、与激励同时存在的简 谐振动，称为稳态振动，也称为系统的稳态响应。
瞬态响应很快衰减为零，只在振动的开始阶段出现， 该阶段称为过渡阶段。
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本章主要讨论：
系统对简谐激励所引起的系统响应以 及周期激励和任意激励的响应；
通解： x1(t) e nt A sin(d t )
瞬态振动
令特解为： x2 (t) B sin(t )
B为强迫振动振幅， 为相位差
稳态振动
令： 静位移
B0
P0 k
P0 m
B0
2 n
B
2
sin(
t
)
2
nB
cos(
t
)
2 n
B
sin(
t
)
B0
2 n
sin t
B0
2 n
s in( t
)
B0
2 n
要的影响。 B P0
c
当 1
0.05 10
0.1 5
0.2 2.5
1 附近的区域，被称为阻尼控制区。
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振动过程中的动态平衡关系
1、 1
x
P0 KB
t
cB m 2 B
KB
cB
2、 1
x
P0
m 2 B
3、 1
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tg
2 1 2
1、小阻尼 1
1 , 0 位移与激
振力在相位上接近同相；
1 , 180位移与
激振力在相位上接近反相；
2、 0
1 , 0
1 , 180
sin
t
B0
2 n
cos
s in( t
Байду номын сангаас
)
B0
2 n
s in
cos ( t
)
[
B(
2 n
2)
B0
2 n
cos ]sin(t
)
[2
nB
B0
2 n
sin
]
cos(
t
)
0
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[
B(
2 n
2)
B0
2 n
cos
] s in( t
)
[2
nB
B0
2 n
s in
]
cos(
t
)
0
B(
2 n
2)
B0
2 n
cos
0
2 nB
B0
2 n
s in
0
解出： B
2 n
B0
(
2 n
2)2
(2n )2
,
tg
2 n
2 n
2
令： 频率比
n B
B0
(1 2 )2 (2)2
tg
2 1 2
简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：
x2 (t)
B0 sin(t ) (1 2 )2 (2)2
第三章 单自由度系统的强迫振动
振动理论与测试技术
88学时
讲课教师 殷祥超 中国矿业大学理学院
力学与工程科学系 二00九年八月
第三章 单自由度系统的强迫振动
实际系统存在阻尼，自由振动将很快衰减。
持续激励： 持续激振力； 位移激励； 速度激励；加速度激励；
简谐激励，非简谐的周期激励，任意激励。
强迫振动响应：由初始条件引起的自由振动、伴随振 动以及等幅的强迫振动三部分组成。
无阻尼系统： 0 0
3、强迫振动稳态响应振幅 B与相位差 只取决于系
统本身的特性（质量m、刚度k、阻尼c）和 激 振 力 的 频
率 、力幅 P0， 与振动的初始条件无关。
初始条件只能影响系统的瞬态振动解。
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影响稳态响应幅值B的因素：B
介绍强迫振动理论在工程实际问 题中的一些应用。
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§3.1 简谐激励引起的强迫振动
简谐激振力 P(t) P0 sin t
P0 激振力幅值 激振频率
mx cx kx P0 sin t
令：
2 n
k m
,
2n
c m
x
2n x
n2 x
P0 m
x
P0
KB
cB
m 2 B
0
弹性控制区
180
惯性控制区
第三章 单自由度系统的强迫振动
90
阻尼控制区
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放大因子：
4、最大值 max 0
m
n
1 2 2
max 2
1
12
B
1
B0 (1 2 )2 (2)2
如果： 1 2 2 0
0.707
振幅放大因子没有峰值。
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简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：
x2 (t)
B0 sin(t ) (1 2 )2 (2)2
强迫振动稳态响应的基本特点：
1、系统在简谐激励的作用下，其强迫振动稳态响应 是简谐振动，振动的频率与激励频率相同。
2、强迫振动稳态响应的相位比激励的相位滞后 。