初中数学竞赛专项训练--找规律题

观察——归纳—猜想——找规律

给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题

的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是： （1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳； （2）猜想符合规律的一般性结论；

（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.

一、数字类

基本技巧

（一）标出序列号：

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。 我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n 项是2

n -1 （二）公因式法：

每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n 、3n 有关。

例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n 项为（ 2

)12(-n ），

1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以

此类推。

（三）增副

A ： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n 的3次幂，即：n 3

+1

B ：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：n

2

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……，

序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n 个数为12-n 。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在12

-n 的基础上加2，得到原数列第n 项12

+n

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）

同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n 项即n 2

，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n 的公式后再乘以4即，4 n 2

，则求出第一百个数为4*1002

=40000 (一)等差数列

例题：2，5，8，( )。

例题5： 12，15，18，( )，24，27。 A.20 B.21 C.22 D.23 (二)等比数列

例题1：2，1，1/2，( )。

A.0

B.1/4

C.1/8

D.-1

例题2：2，8，32，128，( )。

(三)平方数列

1、完全平方数列：

正序：1，4，9，16，25

逆序：100，81，64，49，36

2、一个数的平方是第二个数。

1)直接得出：2，4，16，( 256 )

解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。

2)一个数的平方加减一个数等于第二个数：

1，2，5，26，(677) 前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。

3、隐含完全平方数列：

1)通过加减一个常数归成完全平方数列：0，3，8，15，24，( 35 )

前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案35

2)相隔加减，得到一个平方数列：

例：65，35，17，( 3 )，1

A.15

B.13

C.9

D.3

解析：不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，再观察时发现：奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。

* (四)立方数列

立方数列与平方数列类似。

例题1：1，8，27，64，( 125 )

解析：数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。

例题2：0，7，26，63 ，( 124 )

解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。

(五)、加法数列

数列中前两个数的和等于后面第三个数：n1+n2=n3

例题1：1，1，2，3，5，( 8 )。

A8 B7 C9 D10

解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3 +5=8答案为A。

例题2：4，5，( 9 )，14，23，37

A 6

B 7

C 8

D 9

解析：与例一相同答案为D

例题3：22，35，56，90，( 145 ) 99年考题

A 162

B 156

C 148

D 145

解析：22 +35-1=56，35+ 56-1=90 ，56+ 90-1=145，答案为D

(六)、减法数列

前两个数的差等于后面第三个数：n1-n2=n3

例题1：6，3，3，( 0 )，3，-3

A 0

B 1

C 2

D 3

解析：6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3答案是A。(提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两边找规律”)

(七)、乘法数列

1、前两个数的乘积等于第三个数