最短编辑距离算法(Minimum Edit Distance)
信息检索中的文本相似度计算方法总结
信息检索中的文本相似度计算方法总结随着互联网的发展和信息爆炸的时代，我们面临着大量的文本数据。
如何高效地从这些海量文本数据中找到我们需要的信息，成为了信息检索领域的重要问题。
而文本相似度计算作为信息检索的核心算法之一，更是备受关注。
本文将对常用的文本相似度计算方法进行总结和介绍。
1.余弦相似度（Cosine Similarity）余弦相似度是最常用的文本相似度计算方法之一。
其原理是通过计算两个文本向量的夹角余弦值来度量它们的相似程度。
向量的每个分量表示一个单词在文本中的出现频率。
余弦相似度的取值范围在0到1之间，值越接近1表示两个文本越相似。
2.编辑距离（Edit Distance）编辑距离常用于度量两个文本之间的差异程度。
其计算方法是通过计算将一个文本转换成另一个文本需要的最少编辑操作次数，如插入、删除、替换字符等。
编辑距离越小，表示两个文本越相似。
3.汉明距离（Hamming Distance）汉明距离是用于计算两个等长字符串之间的差异度量。
它计算的是两个字符串对应位置上不相同的字符个数。
汉明距离适用于只需要判断两个字符串是否相等，而不需要得出具体差异的场景。
4.块距离（Block Distance）块距离是一种按照块为单位进行文本相似度计算的方法。
将文本分成多个块，然后计算这些块之间的相似度，并取最大相似度作为最终结果。
块距离能够捕捉到文本的局部结构特征，适用于一些具有明显结构的文本。
5.词袋模型（Bag-of-Words Model）词袋模型是一种常用的文本表示方法，用于将文本转换成向量形式。
该方法忽略了单词的位置和语法结构，仅仅关注单词在文本中的频率。
通过计算词袋模型之间的相似度，可以度量文本之间的相似程度。
6.词向量模型（Word Embedding Model）词向量模型是近年来兴起的一种文本表示方法。
它将单词映射到一个低维度的向量空间，使得具有相似语义的单词在向量空间中距离较近。
自然语言处理计算单词之间的最小编辑距离
自然语言处理计算单词之间的最小编辑距离自然语言处理（Natural Language Processing, NLP）是人工智能领域的重要分支，其目标是实现让计算机能够理解、分析、处理和生成人类语言的能力。
在 NLP 领域中，计算单词之间的最小编辑距离是一个重要且常见的问题，它对于语音识别、拼写检查、信息检索等任务都具有重要意义。
在本文中，我们将深入探讨自然语言处理中计算单词之间的最小编辑距离的概念、算法和应用。
1. 概念解析自然语言处理中的计算单词之间的最小编辑距离，指的是通过最少的操作，将一个单词转换成另一个单词所需要的步骤数。
这些操作包括插入一个字符、删除一个字符、替换一个字符。
最小编辑距离可以帮助我们衡量两个单词之间的相似度，从而在拼写检查、字符串匹配等任务中发挥关键作用。
2. 算法探究我们常用的计算两个单词之间最小编辑距离的算法包括动态规划算法和基于近似字符串匹配的算法。
动态规划算法通过构建一个二维的矩阵来记录两个单词之间的编辑距离，然后通过填表求解的方式得到最小编辑距离。
而基于近似字符串匹配的算法则通过启发式方法逐步逼近最小编辑距离，例如Levenshtein 距离、Damerau-Levenshtein距离等。
3. 应用实践计算单词之间的最小编辑距离在 NLP 领域有着广泛的应用，例如在拼写纠错中，我们可以通过计算输入单词与词典中的单词之间的最小编辑距禿来进行拼写建议；在信息检索中，我们可以通过计算查询词与文档中的单词之间的最小编辑距禿来进行相似度匹配。
最小编辑距离还可以应用于语音识别、自动翻译等多个领域。
4. 个人观点作为自然语言处理领域中的重要问题，计算单词之间的最小编辑距离在实际应用中具有重要的意义。
通过深入研究和应用最小编辑距禿算法，我们可以更好地处理和理解自然语言的复杂性，为人工智能技术的发展提供更加灵活和智能的语言处理能力。
总结回顾通过本文的探讨，我们对自然语言处理中计算单词之间的最小编辑距禿有了全面的了解。
2.4最小编辑距离
2.4.1最小编辑距离我们如何找到最小的编辑距离？我们可以把它看作是一个搜索任务，在这个任务中，我们在寻找最短路径——从一个字符串到另一个字符串的编辑序列。
图2.13 将查找编辑距离视为搜索问题所有可能编辑的空间是巨大的，所以我们不能简单地搜索。
然而，许多不同的编辑路径最终会以相同的状态（字符串）结束，所以我们不必重写所有这些路径，我们只需要记住到达每一状态的最短路径就可以。
我们可以通过使用动态规划来做到这一点。
BELLMAN（1957）首先提出动态规划这类算法，它使用表驱动将问题分解为子问题的方法来解决。
动态规划师自然语言处理中最常用的一类算法，例如Viterbi和正向算法（CHAP - 9）和CKY算法进行解析（第12章）。
从直观上看，动态规划问题是通过将复杂问题分解为子问题，再将子问题的解合并起来的方法来解决的。
图2.14中呈现的是字符串intention到execution 最小编辑距离的最短路径。
假定一个字符串（比如exention）是最优路径中的一个节点。
显然，在动态规划中，如果这个exention是最优路径中的一个节点，那么从源字符串（intention）到该中间节点（exention）的最优路径一定是整体最优路径（从intention到execution）的一部分。
为什么？如果从intention到exention存在一个更短的路径，那么我们可以使用这个更短的路径替代原最优路径产生一个更短的全局路径，显然这是矛盾的，因为不可能存在比最优路径更短的路径。
最小编辑距离算法首先做一些定义，假定源字符串X的长度为n，目标字符串的长度为m，X[1…i]表示字符串X前i个字符，Y[1…j]表示字符串Y的前j个字符。
定义两个字符串X [1..i] 和Y [1.. j] 之间的最短编辑距离为D(i, j) 。
D(n, m) 为字符串X和Y之间的最短编辑距离。
接下来，我们使用动态规划，通过自底向上和子问题的解来计算D(n, m)。
自然语言处理计算单词之间的最小编辑距离
自然语言处理计算单词之间的最小编辑距离自然语言处理（Natural Language Processing, NLP）是人工智能领域的重要分支之一，它致力于让计算机能够理解、解析和处理人类语言。
在NLP领域中，计算单词之间的最小编辑距离是一个重要且常见的问题。
最小编辑距离（Minimum Edit Distance, MED）是指两个字符串之间，通过插入、删除、替换等基本操作，转换一个字符串成为另一个字符串所需要的最少操作次数。
在NLP中，计算单词之间的最小编辑距离可以帮助我们理解词语之间的相似性、语义关联以及语言演化的规律。
在计算单词之间的最小编辑距离时，我们需要考虑单词的相似性。
在很多实际场景中，我们经常会遇到输入错误的单词或者需要进行单词纠正的情况。
如果我们能够计算出不同单词之间的最小编辑距离，就可以帮助我们自动纠正输错的单词，提高自然语言处理系统的健壮性和准确性。
计算单词之间的最小编辑距离也可以用于文本相似度计算、拼写检查、语音识别等领域。
在NLP中计算单词之间的最小编辑距离通常采用动态规划算法来实现。
动态规划算法可以高效地求解两个字符串之间的最小编辑距离，其时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别为两个字符串的长度。
通过动态规划算法，我们可以找到在最少编辑次数下，将一个单词转换成另一个单词的最优操作序列。
这种方法不仅在理论上具有较高的效率，而且在实际应用中也得到了广泛的应用。
除了动态规划算法，我们还可以借助其他方法来计算单词之间的最小编辑距离。
我们可以使用Levenshtein距离、Damerau-Levenshtein 距离、Jaccard距离等不同的度量方式来衡量单词之间的相似度。
这些方法在不同的场景下有着各自的优势和适用性，可以帮助我们更加全面地理解单词之间的相似性和关联性。
计算单词之间的最小编辑距禿关于自然语言处理而言具有重要的意义。
通过计算最小编辑距离，我们能够更好地理解单词之间的语义关联、从文本中提取信息、纠正拼写错误等。
如何有效的进行公司名称匹配
如何有效的进行公司名称匹配1. 背景及主要问题项目需要把两个独立的系统通过公司名称的匹配来实现数据打通，其中一个系统的公司数有40万+，另一个系统中需要匹配的公司数3600+，如果直接通过SQL LIKE形式的方式来关联两个系统，发现只有1100多家公司名称可以匹配，如果剩余2500家左右的公司需要纯人工方式手动匹配，不仅工作量大而且效率低。
通过分析bad case发现公司名称难匹配的主要问题有以下两点：1.1 公司简称形式多样公司简称往往是人们根据习惯约定而成的，没有标准的形式。
比如【深圳市腾讯计算机系统有限公司】的简称是【腾讯】，这种用公司全称的某一部分作为简称很容易通过字符串包含的方式来匹配。
但是很多公司的简称是其它形式，比如【中国银行股份有限公司】的简称是【中行】，【中国石油化工有限公司】的简称是【中石化】，这种取公司全称中不同部分拼接而来的简称很难直接通过字符串模糊匹配取得较好的效果。
另外有些公司的简称可能存在多种，比如【中国东方航空有限公司】有人简称【东航】，也有人简称【东方航空】。
总之，各式各样的简称形式导致字符串匹配时很难正确识别。
传统的解决办法通常是维护一个公司全称和简称的 Mapping 关系作为常识库，但如果仅仅依靠常识库来解决，由于公司数量众多而且随时间而变化，维护和更新常识库就会成为一个很大的问题。
1.2 简称字数少时错误率高比如【深圳市阅文教育咨询有限公司】的简称是【阅文】，但是当拿【阅文】去系统做LIKE形式的匹配时会发现总共有35家带有【阅文】子串的公司全称，部分如下：北京大阅文化传播有限公司成都悦阅文化传播有限公司杭州怡阅文化传媒有限公司北京鼎阅文学信息技术有限公司深圳华阅文化传媒有限公司上海亲阅文化科技发展有限公司这些匹配的公司全称往往所包含的匹配子串在语义上是割裂的，但是直接的包含匹配无法进行语义上的分割，导致匹配的错误率随着简称字数的减少而升高。
2. 方案设计基于以上问题，在处理公司名称匹配时将工作主要分为了两大部分：数据清洗和模糊匹配。
最短编辑距离算法(Minimum Edit Distance)
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=3 j=2 d[3,2] = min
d[2,2]+insert(t[3])=3 d[2,1]+substitute(s[2],t[3])=1 d[3,1]+delete(s[2])=3
=1
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
1 2 1 t 2 2 o 3 p 4
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=3 j=1 d[3,1] = min
i
t o p (3. 插入p，1分，累计3分） t 编辑操作③ s ot stot sto stop 编辑操作④ (1. 插入t，1分，累计1分) (2. 删除t，1分，累计2分) (3. 插入p，1分，累计3分)
s o sto stop
t (1. 插入t，1分，累计1分) (3. 删除t，1分，累计3分)
d[1,2]+insert(t[2]) = 2 d[1,1]+substitute(s[2],t[2]) =2 d[2,1]+delete(s[2]) = 2
=2
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
= 0 if target[i] = source[j] otherwise
两个字符串编辑距离的算法实现实验心得
两个字符串编辑距离的算法实现实验心得1. 引言编辑距离是计算两个字符串之间相似度的一种常用算法。
它可以衡量两个字符串之间的相似程度或者进行拼写纠错等应用。
本文将分享我在实验中实现两个字符串编辑距离算法的心得体会。
2. 什么是编辑距离编辑距离（Edit Distance），又称Levenshtein距离，是指计算两个字符串之间的变换次数，即将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小操作次数。
这些操作包括插入、删除和替换字符。
3. 实验条件和方法为了实现两个字符串的编辑距离算法，我使用了动态规划的思想。
具体实验条件和方法如下：条件：- 使用Python编程语言- 实验平台为Windows 10操作系统- 使用PyCharm作为开发环境方法：1) 定义状态和边界条件：在动态规划中，我们需要定义状态和边界条件。
对于字符串编辑距离算法，我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示将字符串A的前i 个字符转换为字符串B的前j个字符所需的最小操作数。
其中，dp[i][0]表示删除A中的i个字符，dp[0][j]表示插入B中的j个字符。
2) 状态转移方程：根据编辑距离的定义，我们可以得到以下状态转移方程：dp[i][j] = min(dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1, dp[i-1][j-1] +(A[i]!=B[j]))其中，dp[i-1][j] + 1表示删除A中的第i个字符，dp[i][j-1] + 1表示在A的末尾插入B的第j个字符，dp[i-1][j-1] + (A[i]!=B[j])表示替换A的第i个字符为B的第j个字符。
3) 实现代码：我使用Python编程语言实现了以上的状态转移方程。
具体的代码实现如下：```pythondef edit_distance(A, B):m, n = len(A), len(B)dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]for i in range(m+1):dp[i][0] = ifor j in range(n+1):dp[0][j] = jfor i in range(1, m+1):for j in range(1, n+1):dp[i][j] = min(dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1, dp[i-1][j-1] + (A[i-1] != B[j-1]))return dp[m][n]```4) 实验结果和心得体会实验中，我准备了不同的字符串对进行测试，并使用上述代码计算它们之间的编辑距离。
编辑距离及编辑距离算法
编辑距离及编辑距离算法编辑距离概念描述：编辑距离，⼜称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由⼀个转成另⼀个所需的最少编辑操作次数。
许可的编辑操作包括将⼀个字符替换成另⼀个字符，插⼊⼀个字符，删除⼀个字符。
例如将kitten⼀字转成sitting：1. sitten （k→s）2. sittin （e→i）3. sitting （→g）俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。
问题：找出字符串的编辑距离，即把⼀个字符串s1最少经过多少步操作变成编程字符串s2，操作有三种，添加⼀个字符，删除⼀个字符，修改⼀个字符解析：⾸先定义这样⼀个函数——edit(i, j)，它表⽰第⼀个字符串的长度为i的⼦串到第⼆个字符串的长度为j的⼦串的编辑距离。
显然可以有如下动态规划公式：if i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0if i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = jif i > 0 且j == 0，edit(i, j) = iif i ≥ 1 且 j ≥ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }，当第⼀个字符串的第i个字符不等于第⼆个字符串的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。
0f a i l i n gsailn0f a i l i n g001234567s1a2i3l4n5计算edit(1, 1)，edit(0, 1) + 1 == 2，edit(1, 0) + 1 == 2，edit(0, 0) + f(1, 1) == 0 + 1 == 1，min(edit(0, 1)，edit(1, 0)，edit(0, 0) + f(1, 1))==1，因此edit(1, 1) == 1。
最小编辑距离（MinimumEditDistance）
最⼩编辑距离（MinimumEditDistance）最⼩编辑距离1）定义编辑距离（Minimum Edit Distance，MED），⼜称Levenshtein距离，是指两个字符串之间，由⼀个转成另⼀个所需要的最少编辑操作次数。
允许的编辑操作包括：将⼀个字符替换成另⼀个字符（substitution，s），插⼊⼀个字符（insert，i）或者删除⼀个字符（delete，d），如下图所⽰：在⼤学算法设计相关课程上，想必⼤家都已经学习过使⽤动态规划算法解最⼩编辑距离，形式化定义如下：最终求得D(n,m)即为字符串X[0...n]与Y[0...m]之间的最⼩编辑距离。
2）应⽤最⼩编辑距离通常作为⼀种相似度计算函数被⽤于多种实际应⽤中，详细如下：（特别的，对于中⽂⾃然语⾔处理，⼀般以词为基本处理单元）拼写纠错（Spell Correction）：⼜拼写检查（Spell Checker），将每个词与词典中的词条⽐较，英⽂单词往往需要做词⼲提取等规范化处理，如果⼀个词在词典中不存在，就被认为是⼀个错误，然后试图提⽰N个最可能要输⼊的词——拼写建议。
常⽤的提⽰单词的算法就是列出词典中与原词具有最⼩编辑距离的词条。
这⾥肯定有⼈有疑问：对每个不在词典中的词（假如长度为len）都与词典中的词条计算最⼩编辑距离，时间复杂度是不是太⾼了？的确，所以⼀般需要加⼀些剪枝策略，如：1. 因为⼀般拼写检查应⽤只需要给出Top-N的纠正建议即可（N⼀般取10），那么我们可以从词典中按照长度依次为len、len-1、len+1、len-2、len-3、...的词条⽐较；2. 限定拼写建议词条与当前词条的最⼩编辑距离不能⼤于某个阈值；3. 如果最⼩编辑距离为1的候选词条超过N后，终⽌处理；4. 缓存常见的拼写错误和建议，提⾼性能。
DNA分析：基因学的⼀个主要主题就是⽐较 DNA 序列并尝试找出两个序列的公共部分。
如果两个 DNA 序列有类似的公共⼦序列，那么这些两个序列很可能是同源的。
最小匹配距离评价指标-概述说明以及解释
最小匹配距离评价指标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述是文章的开头部分，主要介绍本文的主题和内容。
在本篇文章中，我们将探讨最小匹配距离评价指标。
最小匹配距离是一种用于衡量两个字符串相似度的指标，它能够有效地评估两个字符串的差异程度。
在本文中，我们将首先介绍最小匹配距离的定义和原理，解释其背后的数学基础和计算方法。
然后，我们将探讨最小匹配距离的应用领域，包括自然语言处理、信息检索和数据挖掘等领域。
通过具体的案例和应用实例，我们将展示最小匹配距离在各个领域中的实际应用和效果。
最后，我们将对最小匹配距离评价指标的优势和局限性进行总结和讨论。
我们将分析最小匹配距离评价指标在不同场景下的适用性和限制，并提出未来研究的方向和可能的改进方法。
通过深入研究最小匹配距离评价指标，我们可以更好地理解和应用该指标，提高对字符串相似度的评价能力，并为相关领域的研究和应用提供参考和借鉴。
本文的结构如下所示，将逐步展开对最小匹配距离评价指标的探讨和分析。
本文主要介绍了最小匹配距离评价指标，文章结构如下：1. 引言1.1 概述在信息检索、自然语言处理等领域，文本相似度度量一直是一个重要的研究问题。
最小匹配距离作为一种常用的文本相似度度量方法，在实际应用中有着广泛的应用和研究价值。
1.2 文章结构本文将首先介绍最小匹配距离的定义和原理，包括最小编辑距离和最小汉明距离等相关概念和算法。
接着，文章将详细探讨最小匹配距离的应用领域，包括文本相似度计算、机器翻译、语音识别等方面。
最后，我们将分析最小匹配距离评价指标的优势和局限性，并提出对未来研究的展望。
2. 正文2.1 最小匹配距离的定义和原理在这一部分，我们将介绍最小匹配距离的基本概念和算法。
首先，我们将介绍最小编辑距离，它是一种常用的最小匹配距离度量方法，用于比较两个字符串之间的差异程度。
接着，我们将介绍最小汉明距离，它是考虑字符替换、插入和删除操作的最小匹配距离算法。
最后，我们还将介绍其他一些最小匹配距离的变种算法，如最小子序列距离、最小树编辑距离等，并比较它们的应用场景和优缺点。
动态规划字符串最小编辑距离
动态规划字符串最⼩编辑距离Given two words word1 and word2, find the minimum number of steps required to convert word1 to word2. (each operation is counted as 1 step.)You have the following 3 operations permitted on a word:a) Insert a characterb) Delete a characterc) Replace a character本题使⽤递归算法，设D(i,j)为字符串m的前i个字符组成的字符串和n的前j个字符组成的字符串之间的最⼩编辑距离，然后逐渐递归得到D(m,n)的值，也即是word1和word2之间的距离。
Initialization: D(i,0)=i; D(0,j)=j;Recurrence Relation: For each i=1...M For each j=1...N D(i-1,j)+1 //删除操作 D(i,j)=min D(i,j-1)+1 //增加操作 D(i-1,j-1)+X //替换操作，替换的代价是X，X可以⾃⼰设置 Termination: D(M,N)就是我们要求的距离代码如下：class Solution {public int minDistance(String word1, String word2) {int[][] strLen = new int[word1.length()+1][word2.length()+1];for (int i=0;i<=word1.length();i++) strLen[i][0] = i;for (int j=0;j<=word2.length();j++) strLen[0][j] = j;for (int i=1;i<=word1.length();i++){for(int j=1;j<=word2.length();j++){if(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)) strLen[i][j] = strLen[i-1][j-1];else{strLen[i][j]=Math.min(strLen[i-1][j],strLen[i][j-1]);strLen[i][j]=Math.min(strLen[i][j],strLen[i-1][j-1])+1;}}}return strLen[word1.length()][word2.length()];}}。
最小编辑距离算法EditDistance（经典DP）
最⼩编辑距离算法EditDistance（经典DP）编辑距离（Edit Distance），⼜称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由⼀个转成另⼀个所需的最少编辑操作次数。
许可的编辑操作包括将⼀个字符替换成另⼀个字符，插⼊⼀个字符，删除⼀个字符。
⼀般来说，编辑距离越⼩，两个串的相似度越⼤。
最⼩编辑距离模板：1. int dp[1005][1005]; /*dp[i][j]表⽰表⽰A串从第0个字符开始到第i个字符和B串从第0个2. 字符开始到第j个字符，这两个字串的编辑距离。
字符串的下标从1开始。
*/3. char a[1005],b[1005]; //a,b字符串从下标1开始4.5. int EditDis()6. {7. int len1 = strlen(a+1);8. int len2 = strlen(b+1);9. //初始化10. for(int i=1;i<=len1;i++)11. for(int j=1;j<=len2;j++)12. dp[i][j] = INF;13. for(int i=1;i<=len1;i++)14. dp[i][0] = i;15. for(int j=1;j<=len2;j++)16. dp[0][j] = j;17. for(int i=1;i<=len1;i++)18. {19. for(int j=1;j<=len2;j++)20. {21. int flag;22. if(a[i]==b[j])23. flag=0;24. else25. flag=1;26. dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,min(dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+flag));27. //dp[i-1][j]+1表⽰删掉字符串a最后⼀个字符a[i]28. //dp[i][j-1]+1表⽰给字符串添加b最后⼀个字符29. //dp[i-1][j-1]+flag表⽰改变,相同则不需操作次数,不同则需要,⽤flag记录30. }31. }32. return dp[len1][len2];33. }概念字符串的编辑距离，⼜称为Levenshtein距离，由俄罗斯的数学家Vladimir Levenshtein在1965年提出。
最小编辑距离及其C++实现
一、问题介绍：本题提出了一些关于将字符串x[1..m]转换成y[1..n]的操作。
这些操作有复制、替代、删除、插入、互换和终止。
这些操作所需的开销是不同的，但每个操作的开销都可以看是一个我们已经的常量，我们假设复制和替代这类操作的开销要比插入和删除这类操作的开销少。
我们用x[1..m]来保存原字符串，数组下标用i表示，初始化为1；用y[1..n]来保存转换后的字符串，数组下标用j来表示，初始化为1；数组z用来存放中间结果，下标用j来表示，初始化为0。
题目有两个待解决的问题：第一，给定两个序列x[1..m]和y[1..n]以及变换操作开销的集合。
从x到y的编辑距离指的就是将x转换成y时的最小开销的操作序列。
用动态规划的算法找出从x到y的编辑距离并输出最优操作序列。
分析算法的时空复杂度。
第二，解释如何从给定的编辑操作集选择一个子集，从而把寻找总分最高的对齐结果的问题，转化为求序列编辑距离的问题的一个特例。
二、算法分析：问题a解答：此题跟最长公共子序列的问题十分类似。
因此，我仿照最长公共子序列问题的方法来求解这个问题。
首先，定义了两个序列Xi=x[1,2,...,m]和Yj=y[1,2,…,n]，题目所求的就是将序列xi 变为yj的编辑操作序列的最小开销。
刻画最优解的结构：对于序列Xi(0≤i≤m)和序列Yj(0≤j≤n)来说，定义c[i,j]为Xi转换成Yj的操作序列的最小开销。
假定我们已经知道了最后一次执行的操作，此时分情况讨论问题的最优解结构。
1. 最后一次操作为copy。
此时，根据题目的定义可知x[i]=y[j]，我们待解决的问题就转化成了求将Xi-1转换为Yj-1的最小开销。
将Xi-1转换为Yj-1的最优解一定包含在Xi转换为Yj的最优解内。
用反证法证明：若存在从Xi-1到yj-1转换的更小的开销，那么用这个更小的开销来代替Xi-1转换为yj-1的最优解，这样就会得到一个更小的从Xi转换为Yj的开销，与已知的Xi转换为Yj的最优解矛盾，所以假设不成立。
动态规划——C编辑最短距离
动态规划——C编辑最短距离C - 编辑距离时间限制: 1000⼥⼠内存限制: 65536KB 64位输⼊输出格式: %I64d & %I64u提交描述Let x and y be two strings over some finite alphabet A. We would like to transform x into y allowing only operations given below: Deletion: a letter in x is missing in y at a corresponding position.Insertion: a letter in y is missing in x at a corresponding position.Change: letters at corresponding positions are distinctCertainly, we would like to minimize the number of all possible operations.IllustrationA G T A A G T * A G G C| | | | | | |A G T * C * T G A C G CDeletion: * in the bottom lineInsertion: * in the top lineChange: when the letters at the top and bottom are distinctThis tells us that to transform x = AGTCTGACGC into y = AGTAAGTAGGC we would be required to perform 5 operations (2 changes, 2 deletions and 1 insertion). If we want to minimize the number operations, we should do it likeA G T A A G T A G G C| | | | | | |A G T C T G * A C G Cand 4 moves would be required (3 changes and 1 deletion).In this problem we would always consider strings x and y to be fixed, such that the number of letters in x is m and the number of letters in y is n where n ≥ m.Assign 1 as the cost of an operation performed. Otherwise, assign 0 if there is no operation performed.Write a program that would minimize the number of possible operations to transform any string x into a string y.InputThe input consists of the strings x and y prefixed by their respective lengths, which are within 1000.OutputAn integer representing the minimum number of possible operations to transform any string x into a string y.Sample Input10 AGTCTGACGC11 AGTAAGTAGGCSample Output4题⽬⼤意：给出两个字符串X,Y，求出从X——>Y的最⼩操作次数，只可以删除，添加，修改⼀个字符。
编辑距离算法的原理及应用
编辑距离算法，也被称为Levenshtein距离算法，是一种用于衡量两个字符串之间相似度的方法。
它通过计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数来衡量它们的相似程度。
这些操作包括插入、删除和替换字符。
编辑距离算法的原理可以通过动态规划来实现。
我们可以建立一个二维的矩阵来表示两个字符串的编辑距离。
矩阵的行表示一个字符串的每个字符，列表示另一个字符串的每个字符。
矩阵中的每个元素记录了从一个字符串的某个字符到另一个字符串的某个字符所需的最少操作次数。
下面我们以字符串”march”和”cart”为例来演示编辑距离算法的计算过程：| | c | a | r | t || 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |m | 1 | | | | |a | 2 | | | | |r | 3 | | | | |c | 4 | | | | |h | 5 | | | | |我们可以将第一行和第一列的初始值设为从空字符串转换到对应字符串所需的操作次数：| | c | a | r | t || 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |m | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |a | 2 | | | | |r | 3 | | | | |c | 4 | | | | |h | 5 | | | | |我们可以根据以下递推公式计算矩阵中其他位置的值：if s1[i] == s2[j]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1]else:dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1其中，dp[i][j]表示矩阵中第i行第j列位置的值，s1和s2分别表示两个字符串。
按照上述公式计算，我们可以得到完整的编辑距离矩阵：| | c | a | r | t || 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |m | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |a | 2 | 2 | 1 | 2 | 3 |r | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 |c | 4 | 3 | 3 | 2 | 3 |h | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 |我们可以通过读取矩阵的右下角元素，即dp[m][n]，来得到两个字符串的编辑距离。
编辑距离算法
//
// 打印矩阵
//
matrix_print(matrix, row, col);
//
// 矩阵最后的格子就是“编辑距离”
//
dis = matrix[(row*col - 1];
printf("distance = %d\n", dis);
//
// 小应用。使用“编辑距离” 来算2个串的相似度。
#include "stdio.h"
#include "malloc.h"
#include "string.h"
#define MAX(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
void matrix_print(char *matrix, int row, int col)
{
int i, j;
for(i=0; i<row; i++)
{
int *pCell;
pCell = GetCellPointer (pOrigin, col, row, nCols);
*pCell = x;
}
//*****************************
// Compute Levenshtein distance
//*****************************
{
int mi;
mi = a;
if (b < mi) {
mi = b;
}
if (c < mi) {
mi = c;
}
return mi;
}
//**************************************************
最小编辑距离算法及其变型
最⼩编辑距离算法及其变型引⼊编辑距离（Edit Distance），⼜称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由⼀个转成另⼀个所需的编辑操作次数。
最⼩编辑距离，是指所需最⼩的编辑操作次数。
编辑操作包含：插⼊、删除和替换三种操作。
插⼊：在某个位置插⼊⼀个字符删除：删除某个位置的字符替换：把某个位置的字符换成另⼀个字符经典做法：动态规划这种类型的题⽬与LCS的做法有异曲同⼯之妙。
设dp[i][j]表⽰第⼀个字符串str1前i位与第⼆个字符串str2前j位进⾏匹配所需的最⼩编辑距离。
考虑i、j处的状态转移，假设第⼀个字符串为⽬标串，有以下三种情况：1. 由i−1、j转移⽽来，即是执⾏插⼊操作，在str2的第j位加⼊str1[i]字符。
2. 由i、j−1转移⽽来，即是执⾏删除操作，删除str2[j]。
3. 由i−1、j−1转移⽽来，若两者不同，则执⾏替换操作，否则不做处理。
故转移⽅程为dp[i][j]=min(dp[i−1][j]+1,min(dp[i][j−1]+1,dp[i−1][j−1]+flag))(flag=0/1)时间复杂度：O(NM)。
空间复杂度：O(NM)。
可以采⽤类似LCS的优化⽅法优化时空。
变式1：只有插⼊与删除操作在这种情况下的答案ans满⾜：ans=len n+len m−2∗lcs(str1,str2)形象理解就是在去除掉两者的LCS之后将str2清空，然后执⾏插⼊操作。
变式2：同样只有插⼊与删除操作，但存在最⼩编辑次数限制当最⼩编辑次数超过K时，输出−1；否则输出最⼩编辑次数。
数据范围：len n，len m<=501000，K<=100如果采⽤常规算法，时空都会超限。
容易观测到K的值很⼩，主观感受K应是本题的关键，猜测时间复杂度应为O(len∗K)。
观测原本的状态转移的限制：需要进⾏两重循环，计算每⼀个i与j对应的状态。
关键在于：离i的距离⼤于K的j对应的状态是⽆⽤的，因为⽆论如何都⾄少需要匹配str1的前i位，如果从这些j进⾏转移，修改次数就会⼤于K 。
两个字符串的最小编辑距离
两个字符串的最小编辑距离最小编辑距离（Minimum Edit Distance）是一种度量两个字符串之间的相似度的方法。
它衡量的是将一个字符串转换成另一个字符串所需要的最小编辑操作次数，可以用于比较两个字符串的相似程度、衡量文本相似度、纠错等场景。
编辑操作包括三种：插入（Insertion）、删除（Deletion）和替换（Substitution）。
插入操作是将某个字符插入到原字符串中的某个位置，删除操作是将原字符串中的某个字符删除，替换操作是将原字符串中的某个字符替换为另一个字符。
每一次编辑操作的代价可以是不同的，不同的编辑操作代价和代价权重会影响最终的最小编辑距离。
最小编辑距离的计算可以使用动态规划的思想。
假设有两个字符串A和B，A的长度为m，B的长度为n。
可以定义一个二维数组dp[m+1][n+1]，其中dp[i][j]表示将A的前i个字符转换为B的前j 个字符的最小编辑距离。
接下来，来详细介绍最小编辑距离的计算步骤。
1.初始化dp数组：- dp[0][0] = 0，表示两个空字符串的距离为0。
- dp[i][0] = i，表示将A的前i个字符转换为空字符串的最小编辑距离为i，需要进行i次删除操作。
- dp[0][j] = j，表示将空字符串转换为B的前j个字符的最小编辑距离为j，需要进行j次插入操作。
2.从左向右、从上到下遍历dp数组，计算最小编辑距离：-如果A的第i个字符和B的第j个字符相等，则dp[i][j] =dp[i-1][j-1]，不需要进行任何编辑操作。
-如果A的第i个字符和B的第j个字符不相等，则有三种操作方式：-插入：dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1，将B的第j个字符插入到A 的第i个字符之后。
-删除：dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1，删除A的第i个字符。
-替换：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，将A的第i个字符替换为B的第j个字符。
72.编辑距离 leetcode的记忆化递归解法
编辑距离leetcode的记忆化递归解法基本思路是：定义递归函数```f(i, j)``` 为第一个字符串word1 中的前i 个字符到第二个字符串word2 中的前j 个字符的编辑距离。
将字符串word1 和word2 都拆分为两部分：子串i-1 和子串j-1 。
当i=0 时，word1 不存在子串，所以()需要添加j个字符，编辑距离为j ；当j=0 时，word2 不存在子串，所以()需要删除i个字符，编辑距离为i ；当i>0 并且j>0 时，如果当word1[i-1] == word2[j-1], 则f(i, j) = f(i-1，j-1);否则，f(i, j) 的三种可能为：f(i-1, j) + 1 、f(i, j-1) + 1 、f(i-1, j-1) + 1```pythondef minDistance(self, word1, word2):# 处理特殊情况if word1 == "" and word2 == "":return 0if word1 == "":return len(word2)if word2 == "":return len(word1)# 初始化一个n+1 * m+1 的列表。
# 其中n为word1的长度，m为word2的长度# 将list初始化为全0n = len(word1)m = len(word2)dp = []for i in range(n+1):dp.append([0]*(m+1))# 计算dp[n][m]for i in range(n+1):for j in range(m+1):# 如果word1或word2为空，则编辑距离为另一个单词的长度if i == 0 or j == 0:dp[i][j] = i + j# 如果最后一个字符相同，则编辑距离= 前两个单词的最短的编辑距离elif word1[i-1] == word2[j-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1]# 如果最后一个字符不同，则编辑距离= 前三个单词的编辑距离中的最小值+1else:dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1return dp[n][m]```。
编辑距离（MinimumEditDistance）
编辑距离（MinimumEditDistance）编辑距离（Minimum Edit Distance，MED），也叫 Levenshtein Distance。
他的含义是计算字符串a转换为字符串b的最少单字符编辑次数。
编辑操作有：插⼊、删除、替换(都是对a进⾏的变换)。
⽤lev(i, j) 表⽰ a的前i个单词和 b的前j个单词的最短编辑距离（即从后往前）。
可以分为以下⼏种情况：i == 0 或 j == 0lev(i,j)=max(i,j)i，j 不为0，且a[i]==a[j]lev(i,j)=lev(i−1,j−1)i，j 不为0，且a[i]!=a[j]插⼊：lev(i,j−1)删除：lev(i−1,j)替换：lev(i−1,j−1)+1三者取最⼩这⾥的插⼊是在 a[i] 后⽅插⼊，这样，b[j] 已经和 a[i] 后⽅的元素匹配，所以j前移;删除表⽰删除当前元素，a[i] 前⾯的元素顶上来，所以i前移，但是顶上来的元素不⼀定和j匹配，所以j不动。
C++ 实现解法就是动态规划：class Solution {public:vector<vector<int>> matrix;int editDistance(string str1, string str2) {int len1 = str1.size();int len2 = str2.size();matrix = vector<vector<int>>(len1 + 1, vector<int>(len2 + 1, 0));for (int i = 0; i <= len1; ++i)matrix[i][0] = i;for (int j = 1; j <= len2; ++j)matrix[0][j] = j;for (int i = 1; i <= len1; ++i) {for (int j = 1; j <= len2; ++j) {if (str1[i] == str2[j]) matrix[i][j] = matrix[i - 1][j - 1]; // 最后⼀个字母相同else {int insert = matrix[i][j - 1] + 1; // 插⼊int del = matrix[i - 1][j] + 1; // 删除int replace = matrix[i - 1][j - 1] + 1; // 替换matrix[i][j] = min(insert, min(del, replace));}}}return matrix[len1][len2];}};python-Levenshtein 库pip install python-Levenshteinimport Levenshteinprint(Levenshtein.distance("the","teh"))单词纠错前⼏天看到⼀个很有意思的代码，通过统计的⽅式，计算最后可能的单词。
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d[0,3]+insert(t[1]) = 4 d[0,2]+substitute(s[3],t[1]) =4 = 2 d[1,2]+delete(s[3]) = 2
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1 1 t 2 o 3 p 4
d[3,2]+insert(t[4])=2 d[3,1]+substitute(s[2],t[4])=4 d[4,1]+delete(s[2])=4
=2
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
1 2 1 t 2
s t o p t (2. 插入p，1分，累计2分)
最小编辑距离计算练习
• intention Æ execution
i n t e n t i o n e x e cu t i o n s s s s s 2 2 2 2 2 = 10 i n t e n * t i o n *e x e c u t i o n ds s 12 2 s i 2 1 =8
=1
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
1 2 1 t 2 2 o 3 p 4
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=3 j=1 d[3,1] = min
d[2,1]+insert(t[3])=2 d[2,0]+substitute(s[1],t[3])=4 d[3,0]+delete(s[1])=4
=2
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
1 2 1 t 2 1 2 o 3 p 4
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1 t 2 o 3 p 4
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=1 j=3 d[1,3] = min
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0 s 1 t 2 o 3 p 4
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=0 j=0
d[0,0] = 0; d[0,1] = 1; … ; d[0,m] = m; d[1,0] = 1; … ; d[n,0] = n;
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1 2 1 t 2 o 3 p 4
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=2 j=2 d[2,2] = min
d[2,3]+insert(t[3])=2 d[2,2]+substitute(s[3],t[3])=4 d[3,2]+delete(s[3])=2
=2
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
1 2 1 t 2
1 2 1 t 2 o 3 p 4
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=2 j=3 d[2,3] = min
d[1,3]+insert(t[2])=3 d[1,2]+substitute(s[3],t[2])=1 d[2,2]+delete(s[3])=3
=3
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
1 2 1 t 2
2 1 2 o 3 2 3 p 4
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=4 j=2 d[4,2] = min
d[1,2]+insert(t[2]) = 2 d[1,1]+substitute(s[2],t[2]) =2 d[2,1]+delete(s[2]) = 2
=2
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
2 1 2 o 3 3 p 4
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=4 j=1 d[4,1] = min
d[3,1]+insert(t[4])=3 d[3,0]+substitute(s[1],t[4])=5 d[4,0]+delete(s[1])=5
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=2 j=1 d[2,1] = min
d[1,1]+insert(t[2]) = 1 d[1,0]+substitute(s[1],t[2]) =3 = 1 d[2,0]+delete(s[1]) = 3
i, 目标串字符位置 j, 原始串字符位置
D(i, j) = min
D(i-1, j) + insertCost( targeti ) D(i-1, j-1) + substituteCost( sourcej , targeti ) D(i, j-1) + deleteCost( sourcej )
=1
最小编辑距离计算示例
source : target : s o t s t o p
j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
1 2 1 t 2
2 1 2 o 3 p 4
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=3 j=3 d[3,3] = min
i
t o p (3. 插入p，1分，累计3分） t 编辑操作③ s ot stot sto stop 编辑操作④ (1. 插入t，1分，累计1分) (2. 删除t，1分，累计2分) (3. 插入p，1分，累计3分)
s o sto stop
t (1. 插入t，1分，累计1分) (3. 删除t，1分，累计3分)
=3
最小编辑距离计算示例
s ot stot 编辑操作① (1. 插入t，1分，累计1分) j
3 2 1 0 #
t o s # 0
2 1 0 s 1
1② 2 2 1 t 2 1 2 o 3
④ ①
3 2 3 p 4
③
s t o p (2. t替换p，2分，累计3分) sot s s s t to 编辑操作② (1. 删除o，1分，累计1分) (2. 插入o，1分，累计2分)
i
n = length (target) m = length (source) Create matrix d [n, m]; i=3 j=2 d[3,2] = min
d[2,2]+insert(t[3])=3 d[2,1]+substitute(s[2],t[3])=1 d[3,1]+delete(s[2])=3
计算机器译文 跟正确答案之 间的距离
与 公司 一 颗 剧院 Æ剧团 星Æ 明星
如何计算最小编辑距离
原始串 目标串 s o t s t o p s o t Æ stot Æ stop
插入操作的权值 （insertCost）：1 删除操作的权值 （deleteCost）：1 替换操作的权值 （substituteCost）：2
最小编辑距离计算练习
n o i t n e t n i # 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 # 8 7 6 5 4 3 4 3 2 1 e 9 8 7 6 5 4 5 4 3 2 x 10 9 8 7 6 5 6 5 4 3 e 11 10 9 8 7 6 7 6 5 4 c 12 11 10 9 8 7 8 7 6 5 u 11 10 9 8 9 8 7 8 7 6 t 10 9 8 9 10 9 8 7 6 7 i 9 8 9 10 11 10 9 8 7 8 o 8 9 10 1法
Minimum Edit Distance
詹卫东 北京大学中文系
编辑距离
编辑前字符串 s 编辑后字符串 t 编辑操作p：插入、删除、替换