算法设计动态规划(编辑距离)
一种路径相似度比较方法
一种路径相似度比较方法
一种常见的路径相似度比较方法是使用编辑距离（Edit Distance）算法。
该算法通过计算将一个路径转换为另一个路径所需的最少编辑操作数来衡量它们的相似度。
编辑操作包括插入、删除和替换三种基本操作。
通过对两个路径同时进行动态规划，可以得到它们之间的编辑距离。
编辑距离越小，表示路径之间的相似度越高。
具体步骤如下：
1. 定义两个路径P1和P2，分别表示为P1 = [p1, p2, ..., pn]和P2 = [q1, q2, ..., qm]。
2. 创建一个(m+1)×(n+1)的二维矩阵D，矩阵中的每个元素D[i][j]表示将P1的前i个元素转换为P2的前j个元素所需的最小编辑操作数。
3. 初始化第一行和第一列，使得D[i][0] = i和D[0][j] = j。
4. 逐步计算矩阵的其他元素。
对于D[i][j]，根据P1的第i个元素和P2的第j 个元素是否相等，选择插入、删除或替换操作，并取三种操作方式中的最小值更新元素的值，即D[i][j] = min(D[i-1][j]+1, D[i][j-1]+1, D[i-1][j-1] + replacement)。
5. 最终编辑距离即为D[m][n]。
编辑距离可以用于比较文本、DNA序列等情景中的相似性度量。
该方法仅考虑路径的结构，不考虑路径上的节点值，因此适用于不包含节点值的路径的相似度
比较。
如果需要考虑节点值的相似度比较，可以在编辑距离算法的基础上增加节点值的比较操作。
leetcode常见dp题状态转移方程
Leetcode常见DP题状态转移方程一、概述动态规划（Dynamic Programming, DP）是算法设计中的一种常用方法，它通常用于优化递归算法，解决重叠子问题。
Leetcode上有许多经典动态规划问题，而理解状态转移方程是解决这些问题的关键。
本文旨在总结Leetcode常见DP题的状态转移方程，帮助读者更好地理解和掌握动态规划算法的应用。
二、背包问题1. 0-1背包问题问题描述：给定一组物品，每种物品都有重量和价值，要求在限定的总重量下，如何使得所装载的物品总价值最高。
状态转移方程：```dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]), 1 <= i <= n, 1 <= j <= C```其中，dp[i][j]表示前i个物品中最大重量不超过j时的最大价值，weight[i]表示第i个物品的重量，value[i]表示第i个物品的价值，C 表示背包的容量，n为物品的个数。
2. 完全背包问题问题描述：给定一组物品，每种物品都有重量和价值，每种物品不限数量，要求在限定的总重量下，如何使得所装载的物品总价值最高。
状态转移方程：```dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]), 1 <= i <= n, 1 <= j <= C```其中，dp[i][j]表示前i个物品中最大重量不超过j时的最大价值，weight[i]表示第i个物品的重量，value[i]表示第i个物品的价值，C 表示背包的容量，n为物品的个数。
3. 多重背包问题问题描述：给定一组物品，每种物品都有重量和价值，每种物品有限数量，要求在限定的总重量下，如何使得所装载的物品总价值最高。
状态转移方程：```dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-k*weight[i]] + k*value[i]), 1 <= i <= n, 1 <= j <= C, 0 <= k <= num[i]```其中，dp[i][j]表示前i个物品中最大重量不超过j时的最大价值，weight[i]表示第i个物品的重量，value[i]表示第i个物品的价值，num[i]表示第i个物品的数量，C表示背包的容量，n为物品的个数。
编辑距离算法
编辑距离算法
编辑距离算法（Edit Distance Algorithm）是一种计算字符串之间的相似度的算法，也称为Levenshtein距离，是一种编辑模型，用于计算两个字符串之间的编辑距离，其中编辑距离是指将一个字符串转换成另一个字符串所需要的最少编辑次数。
编辑距离算法是一种动态规划算法，该算法假定字符串只包含少量的操作，如添加、删除、替换，且操作消耗相同。
编辑距离算法的基本思想是将字符串分割成许多子串，计算每一对子串之间的最小编辑距离，最后得到两个字符串的最小编辑距离。
为了计算两个字符串的编辑距离，编辑距离算法通常使用动态规划来求解，动态规划的核心思想是将复杂的问题分解成若干个子问题，通过求解子问题来求解原问题。
当使用动态规划算法计算两个字符串的编辑距离时，首先要建立一个二维表，行表示字符串A，列表示字符串B。
然后在表格中每个单元格中存储字符串A和字符串B的子串之间的编辑距离，从表格的左上角开始，每次只需要计算表格中的相邻单元格之间的编辑距离即可，最后，当表格中的最后一个单元格被计算出来时，这个单元格中存储的就是字符串A和字符串B的最小编辑距离。
编辑距离算法由于其简洁、高效，广泛用于文本检索、语音识别、自然语言处理等领域，其中文本检索中，常常用它来计算搜索引擎
的相关度，自然语言处理中，则常用它来计算文本相似度，从而实现文本聚类和文本分类等功能。
此外，编辑距离算法在生物序列的比较中也有着广泛的应用。
编辑距离算法详解：LevenshteinDistance算法——动态规划问题
编辑距离算法详解：LevenshteinDistance算法——动态规划问题⽬录背景：我们在使⽤词典app时，有没有发现即使输错⼏个字母，app依然能给我们推荐出想要的单词，⾮常智能。
它是怎么找出我们想要的单词的呢？这⾥就需要BK树来解决这个问题了。
在使⽤BK树之前我们要先明⽩⼀个概念，叫编辑距离，也叫Levenshtein距离。
词典app是怎么判断哪些单词和我们输⼊的单词很相似的呢？我们需要知道两个单词有多像，换句话说就是两个单词相似度是多少。
1965年，俄国科学家Vladimir Levenshtein给字符串相似度做出了⼀个明确的定义叫做Levenshtein距离，我们通常叫它“编辑距离”。
字符串A到B的编辑距离是指，只⽤插⼊、删除和替换三种操作，最少需要多少步可以把A变成B。
例如，从aware到award需要⼀步（⼀次替换），从has到have则需要两步（替换s为v和再加上e）。
Levenshtein给出了编辑距离的⼀般求法，就是⼤家都⾮常熟悉的经典动态规划问题。
这⾥给出Levenshtein距离的性质。
设d(x,y)表⽰字符串x到y的Levenshtein距离，那么显然：1. d(x,y) = 0 当且仅当 x=y （Levenshtein距离为0 <==> 字符串相等）2. d(x,y) = d(y,x) （从x变到y的最少步数就是从y变到x的最少步数）3. d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z) （从x变到z所需的步数不会超过x先变成y再变成z的步数）最后这⼀个性质叫做三⾓形不等式。
就好像⼀个三⾓形⼀样，两边之和必然⼤于第三边。
在⾃然语⾔处理中，这个概念⾮常重要，⽐如在词典app中：如果⽤户马虎输错了单词，则可以列出字典⾥与它的Levenshtein距离⼩于某个数n的单词，让⽤户选择正确的那⼀个。
n通常取到2或者3，或者更好地，取该单词长度的1/4等等。
编辑距离公式
编辑距离公式
编辑距离公式是一种用于比较两个字符串相似度的算法，也被称为Levenshtein距离。
其基本思想是通过计算将一个字符串转换成另一个字符串所需的最小操作次数来衡量两个字符串之间的相似程度。
这些操作可以包括插入、删除和替换字符。
具体来说，编辑距离公式的计算方法如下：
设字符串A和B的长度分别为m和n，定义矩阵D[m+1][n+1]，其中D[i][j]表示A[1...i]和B[1...j]之间的编辑距离。
初始化D[0][0]=0，D[i][0]=i，D[0][j]=j，即空串与任意一个字符串之间的编辑距离为其长度。
对于i=1...m和j=1...n，根据当前字符是否相等，分别执行下列操作：
如果A[i]=B[j]，则D[i][j]=D[i-1][j-1]，表示当前位置的字符已经匹配上了，编辑距离不需要变化。
否则，可执行三种操作中的一种：
1. 插入：D[i][j]=D[i][j-1]+1，表示将B[j]插入到A[i]后面。
2. 删除：D[i][j]=D[i-1][j]+1，表示将A[i]删除。
3. 替换：D[i][j]=D[i-1][j-1]+1，表示用B[j]替换A[i]。
最终，编辑距离即为D[m][n]。
编辑距离公式可用于拼写检查、语音识别、文本相似度计算等应用场景。
在实际应用中，为了提高效率，可以通过动态规划等算法对其进行优化。
算法设计方法十一种
算法设计方法十一种
算法设计是解决计算问题的基础和核心。
本文将介绍十一种算法设计方法。
1. 贪心算法：每一步选择当前状态下最优的决策。
2. 动态规划：利用历史信息，按顺序进行决策，将整个问题划分为相似子问题，对每个子问题作出决策，以获得全局最优解。
3. 分治算法：将问题划分为多个相互独立的子问题，分别求解这些子问题，然后组合它们的解来获得原问题的解。
4. 回溯算法：从开头开始，逐步查找更多解决方案，如果无法继续，则返回上一步重新选择一条路径。
5. 分支限界算法：利用树形结构来表示问题的解空间，每次扩展一个节点，直到找到最优解为止。
6. 线性规划：用数学模型来描述问题，通过线性方程和不等式来表示限制条件，利用单纯性法求出最优解。
7. 区间图算法：处理一些与线段重叠有关的问题，如求多个区间的交集或各自覆盖的长度。
8. 图论算法：处理网络结构的问题，如最短路径问题和最小生成树问题。
9. 数论算法：研究数学中的整数和它们的性质，如欧几里得算法求最大公约数和扩展欧几里得算法求最小公倍数。
10. 字符串算法：处理字符串匹配、编辑距离等问题。
11. 概率算法：运用概率统计知识来解决问题，如蒙特卡罗方法解决求π问题。
以上这些算法设计方法不仅在学术界产生了重要的研究意义，同时在实际应用中也有着广泛的应用。
算法设计の研究不仅仅是单个技术问题的研究，同时也是对计算领域的整体认识。
编辑距离算法（Levenshtein）
编辑距离算法（Levenshtein）编辑距离定义：编辑距离，⼜称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由⼀个转成另⼀个所需的最少编辑操作次数。
许可的编辑操作包括：将⼀个字符替换成另⼀个字符，插⼊⼀个字符，删除⼀个字符。
例如将eeba转变成abac：1. eba（删除第⼀个e）2. aba（将剩下的e替换成a）3. abac（在末尾插⼊c）所以eeba和abac的编辑距离就是3俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。
：算法就是简单的线性动态规划（最长上升⼦序列就属于线性动态规划）。
设我们要将s1变成s2定义状态矩阵edit[len1][len2]，len1和len2分别是要⽐较的字符串s1和字符串s2的长度+1（+1是考虑到动归中，⼀个串为空的情况）然后，定义edit[i][j]是s1中前i个字符组成的串，和s2中前j个字符组成的串的编辑距离具体思想是，对于每个i，j从0开始依次递增，对于每⼀次j++，由于前j-1个字符跟i的编辑距离已经求出，所以只⽤考虑新加进来的第j个字符即可插⼊操作：在s1的前i个字符后插⼊⼀个字符ch，使得ch等于新加⼊的s2[j]。
于是插⼊字符ch的编辑距离就是edit[i][j-1]+1删除操作：删除s1[i]，以期望s1[i-1]能与s2[j]匹配（如果s1[i-1]前边的⼏个字符能与s2[j]前边的⼏个字符有较好的匹配，那么这么做就能得到更好的结果）。
另外，对于s1[i-1]之前的字符跟s2[j]匹配的情况，edit[i-1][j]中已经考虑过。
于是删除字符ch的编辑距离就是edit[i-1][j]+1替换操作：期望s1[i]与s2[j]匹配，或者将s1[i]替换成s2[j]后匹配。
于是替换操作的编辑距离就是edit[i-1][j-1]+f(i,j)。
其中，当s1[i]==s2[j]时，f(i,j)为0；反之为1于是动态规划公式如下：if i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0if i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = jif i > 0 且j == 0，edit(i, j) = iif 0 < i ≤ 1 且 0 < j ≤ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }，当第⼀个字符串的第i个字符不等于第⼆个字符串的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。
字符串相似度算法（编辑距离）
字符串相似度算法（编辑距离）1.概念 编辑距离，指的是两个字符串之间，由⼀个转换成另⼀个所需的最少编辑操作次数。
许可的编辑操作包括：(1)将⼀个字符替换成另⼀个字符，(2)插⼊⼀个字符，(3)删除⼀个字符。
相似度，等于“编辑距离+1”的倒数。
2.分析 设有字符串a[0...n]，b[0...m]。
(1)当a[i]=b[j]时，说明这时候不需要编辑操作。
编辑距离保持，即f(i,j)=f(i-1,j-1) (2)当a[i]!=b[j]时，可以有三种编辑操作。
其中删除和插⼊操作，只对⼀个下标i或者j产⽣影响。
如在下图中，当前匹配到(t1,t2)处，如果采⽤删除'g'，只改变t1的下标。
其中替换操作，会对2个下标都产⽣影响。
如在下图中，当前匹配到(t1,t2)处，如果将'g'替换成'm'，则下次就需要执⾏(t1+1,t2+1)处。
所以可以推导出下⾯就是递推公式。
3.⽤递归求解代码#include<stdio.h>#include<string.h>char *a="abcgh";char *b="aecdgh";int min(int t1,int t2,int t3) ///求三个数的最⼩值{int min;min=t1<t2?t1:t2;min=min<t3?min:t3;return min;}int calculate(int i,int enda,int j,int endb){int t1,t2,t3;if(i>enda) ///i指⽰超过a[]的范围时{if(j>endb)return 0;elsereturn endb-j+1;}if(j>endb) ///j指⽰超过b[]的范围时{if(i>enda)return 0;elsereturn enda-i+1;}if(*(a+i) == *(b+j)) ///如果两个相等，则直接求下⼀个位置return calculate(i+1,enda,j+1,endb);else{t1=calculate(i+1,enda,j,endb); ///删除a[i]或在b中插⼊a[i]t2=calculate(i,enda,j+1,endb); ///删除b[j]或在a中插⼊b[j]t3=calculate(i+1,enda,j+1,endb); ///替换return 1+min(t1,t2,t3);}}int main(){int dis=calculate(0,strlen(a)-1,0,strlen(b)-1);printf("dis=%d",dis);return 1;}4.⽤动态规划求解代码#include<stdio.h>#include<string.h>#define MAX 1000int dp[MAX][MAX]; ///dp[i][j]表⽰当前a[0..i-1]与b[0..j-1]的编辑距离char *a="agbgd";char *b="ggd";int min(int t1,int t2,int t3) ///求三个数的最⼩值{int min;min=t1<t2?t1:t2;min=min<t3?min:t3;return min;}int main(){int i,j;int lena=strlen(a),lenb=strlen(b);memset(dp,0,sizeof(dp));for(i=0;i<=lena;i++) ///a作为⾏，当b为空串时dp[0][i]=i;for(i=0;i<=lenb;i++) ///b作为列，当a为空串时dp[i][0]=i;for(i=1;i<=lena;i++){for(j=1;j<=lenb;j++){if(*(a+i)==*(b+j)) ///相等时dp[i][j]=dp[i-1][j-1];elsedp[i][j]=1+min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]); ///不相等时，取三种可能操作的最⼩数值+1 }}printf("编辑距离为：dis=%d\n",dp[lena][lenb]);return ;}。
编辑距离算法的优化与实现
编辑距离算法的优化与实现一、动态规划优化使用两个数组可以将空间复杂度从O(n^2)降低到O(n)。
优化后，动态规划的实现如下：```def levenshtein_distance(s, t):m = len(s)n = len(t)if m == 0:return nif n == 0:return mprevious_row = [0] * (n + 1)current_row = [0] * (n + 1)for i in range(n + 1):previous_row[i] = ifor i in range(m):current_row[0] = i + 1for j in range(n):if s[i] == t[j]:substitution_cost = 0else:substitution_cost = 1current_row[j + 1] = min(current_row[j] + 1,previous_row[j + 1] + 1,previous_row[j] + substitution_cost)previous_row, current_row = current_row, previous_rowreturn current_row[n]```二、使用滚动数组除了使用两个一维数组来代替二维矩阵外，还可以使用滚动数组来保存子问题的最优解。
滚动数组是指每次只保存当前行和前一行的最优解，而不是保存整个矩阵。
这样可以进一步降低空间复杂度和提高计算速度。
优化后的算法如下：```def levenshtein_distance(s, t):m = len(s)n = len(t)if m == 0:return nif n == 0:return mprevious_row = [0] * (n + 1)current_row = [0] * (n + 1)for i in range(n + 1):previous_row[i] = ifor i in range(m):current_row[0] = i + 1for j in range(n):if s[i] == t[j]:substitution_cost = 0else:substitution_cost = 1current_row[j + 1] = min(current_row[j] + 1, previous_row[j + 1] + 1,previous_row[j] + substitution_cost) previous_row = current_rowcurrent_row = [0] * (n + 1)return previous_row[n]```三、实现语言优化```def levenshtein_distance(s, t):m, n = len(s), len(t)if m == 0:return nif n == 0:return mprevious_row = list(range(n + 1))for i in range(1, m + 1):current_row = [i] + [0] * nfor j in range(1, n + 1):substitution_cost = 0 if s[i - 1] == t[j - 1] else 1current_row[j] = min(current_row[j - 1] + 1, previous_row[j] + 1, previous_row[j - 1] + substitution_cost)previous_row = current_rowreturn previous_row[n]```四、提前终止。
轨迹相似度算法 编辑距离 python
轨迹相似度算法编辑距离python全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：轨迹相似度算法是一种用于比较两个轨迹之间相似程度的技术。
在移动轨迹数据越来越广泛应用的今天，轨迹相似度算法也变得越来越重要。
编辑距离是一种常用的文本相似度算法，可以应用在轨迹相似度算法中。
本文将介绍编辑距离算法，并用Python实现编辑距离算法来计算轨迹相似度。
编辑距离是一种用于度量两个字符串之间相似程度的算法，其基本思想是通过一系列的操作（删除、插入、替换）将一个字符串转换成另一个字符串，编辑距离就是所需的最小操作数。
编辑距离可以应用在文本相似度计算、拼写纠正等领域。
在轨迹相似度算法中，可以将轨迹数据看作是一系列的位置坐标点，编辑距离算法可以被用来计算不同轨迹之间的相似程度。
通过计算不同轨迹之间的编辑距离，可以得出它们之间的相似度，进而可以用来进行轨迹聚类、轨迹分类等操作。
接下来，我们将用Python来实现编辑距离算法，计算两个轨迹之间的相似度。
我们定义一个函数来计算两个字符串的编辑距离：```pythondef edit_distance(s1, s2):m, n = len(s1), len(s2)dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]for i in range(1, m+1):for j in range(1, n+1):if s1[i-1] == s2[j-1]:cost = 0else:cost = 1dp[i][j] = min(dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+cost)return dp[m][n]```以上代码实现了编辑距离算法，接下来我们将其应用在轨迹相似度计算中。
假设有两个轨迹A和B，每个轨迹包含一系列的位置坐标点，我们可以将每个轨迹表示成一个字符串，然后计算它们之间的编辑距离。
trajectory_str_A = ''.join([str(coord) for coord in trajectory_A])trajectory_str_B = ''.join([str(coord) for coord in trajectory_B])print('轨迹相似度为：', similarity)```通过以上代码，我们可以计算出轨迹A和轨迹B之间的相似度，从而评估它们之间的关系。
编辑距离算法
编辑距离算法2018-04-12 21:20:30编辑距离是针对⼆个字符串（例如英⽂字）的差异程度的量化量测，量测⽅式是看⾄少需要多少次的处理才能将⼀个字符串变成另⼀个字符串。
编辑距离可以⽤在⾃然语⾔处理中，例如拼写检查可以根据⼀个拼错的字和其他正确的字的编辑距离，判断哪⼀个（或哪⼏个）是⽐较可能的字。
DNA也可以视为⽤A、C、G和T组成的字符串，因此编辑距离也⽤在⽣物信息学中，判断⼆个DNA的类似程度。
Unix 下的 diff 及 patch 即是利⽤编辑距离来进⾏⽂本编辑对⽐的例⼦。
常⽤的编辑距离算法有：Levenshtein距离，在莱⽂斯坦距离中，可以删除、加⼊、取代字符串中的任何⼀个字元，也是较常⽤的编辑距离定义，常常提到编辑距离时，指的就是莱⽂斯坦距离。
LCS（最长公共⼦序列）距离，只允许删除、加⼊字元。
⼀、最长公共⼦序列 LCS最长公共⼦序列问题是很经典的动态规划问题，问题描述如下：LCS是Longest Common Subsequence的缩写，即最长公共⼦序列。
⼀个序列，如果是两个或多个已知序列的⼦序列，且是所有⼦序列中最长的，则为最长公共⼦序列。
⼦序列：⼀个序列A ＝ a1,a2,……an,中任意删除若⼲项，剩余的序列叫做A的⼀个⼦序列。
也可以认为是从序列A按原顺序保留任意若⼲项得到的序列。
例如：对序列 1,3,5,4,2,6,8,7来说，序列3,4,8,7 是它的⼀个⼦序列。
对于⼀个长度为n的序列，它⼀共有2^n 个⼦序列，有(2^n –1)个⾮空⼦序列。
请注意：⼦序列不是⼦集，它和原始序列的元素顺序是相关的。
时间复杂度：对于⼀般性的LCS问题（即任意数量的序列）是属于NP-hard。
但当序列的数量确定时，问题可以使⽤动态规划（Dynamic Programming）在多项式时间内解决。
public int LCS(String s1, String s2) {if (s1.length() == 0 || s2.length() == 0) return 0;int len1 = s1.length();int len2 = s2.length();int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];for (int i = 0; i <= len2; i++) dp[0][i] = 0;for (int i = 0; i <= len1; i++) dp[i][0] = 0;for (int i = 1; i <= len1; i++) {for (int j = 1; j <= len2; j++) {int same = s1.charAt(i - 1) == s2.charAt(j - 1) ? 1 : 0;dp[i][j] = Math.max(Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1] + same);}}return dp[len1][len2];}⼆、莱⽂斯坦距离 LevenshteinDistcance莱⽂斯坦距离，⼜称Levenshtein距离，是编辑距离的⼀种。
最小编辑距离算法EditDistance（经典DP）
最⼩编辑距离算法EditDistance（经典DP）编辑距离（Edit Distance），⼜称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由⼀个转成另⼀个所需的最少编辑操作次数。
许可的编辑操作包括将⼀个字符替换成另⼀个字符，插⼊⼀个字符，删除⼀个字符。
⼀般来说，编辑距离越⼩，两个串的相似度越⼤。
最⼩编辑距离模板：1. int dp[1005][1005]; /*dp[i][j]表⽰表⽰A串从第0个字符开始到第i个字符和B串从第0个2. 字符开始到第j个字符，这两个字串的编辑距离。
字符串的下标从1开始。
*/3. char a[1005],b[1005]; //a,b字符串从下标1开始4.5. int EditDis()6. {7. int len1 = strlen(a+1);8. int len2 = strlen(b+1);9. //初始化10. for(int i=1;i<=len1;i++)11. for(int j=1;j<=len2;j++)12. dp[i][j] = INF;13. for(int i=1;i<=len1;i++)14. dp[i][0] = i;15. for(int j=1;j<=len2;j++)16. dp[0][j] = j;17. for(int i=1;i<=len1;i++)18. {19. for(int j=1;j<=len2;j++)20. {21. int flag;22. if(a[i]==b[j])23. flag=0;24. else25. flag=1;26. dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,min(dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+flag));27. //dp[i-1][j]+1表⽰删掉字符串a最后⼀个字符a[i]28. //dp[i][j-1]+1表⽰给字符串添加b最后⼀个字符29. //dp[i-1][j-1]+flag表⽰改变,相同则不需操作次数,不同则需要,⽤flag记录30. }31. }32. return dp[len1][len2];33. }概念字符串的编辑距离，⼜称为Levenshtein距离，由俄罗斯的数学家Vladimir Levenshtein在1965年提出。
编辑距离算法
编辑距离算法
编辑距离（Edit Distance）是指两个字符串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。
许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符，插入一个字符，删除一个字符。
例如，将kitten转换成sitting，可以先将kitten中的k替换为s，然后在后面插入一个字符i，所以这两个字符串的编辑距离为2.
编辑距离算法通常使用动态规划的方法来求解，它会把原问题分解成多个子问题，然后逐步求解，最终得出最优解。
具体步骤如下：
1）确定矩阵大小：把字符串作为行和列，建立一个二维矩阵，矩阵大小为（n+1）*（m+1），n和m分别为字符串的长度；
2）填充矩阵：把第一行和第一列的元素，从0开始递增到n和m；
3）计算距离：从第二行第二列开始遍历矩阵，确定当前位置的值，根据如下公式：
当字符串1第i个字符与字符串2中第j个字符相等时，d[i][j] = d[i-1][j-1] 不相等时，d[i][j] = min(d[i-1][j], d[i][j-1], d[i-1][j-1]) + 1
4）返回结果：最后返回矩阵右下角的值即为最终结果。
LevenshteinDistance算法（编辑距离算法）
LevenshteinDistance算法（编辑距离算法）编辑距离编辑距离（Edit Distance），⼜称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由⼀个转成另⼀个所需的最少编辑操作次数。
许可的编辑操作包括将⼀个字符替换成另⼀个字符，插⼊⼀个字符，删除⼀个字符。
⼀般来说，编辑距离越⼩，两个串的相似度越⼤。
例如将kitten⼀字转成sitting：sitten （k→s）sittin （e→i）sitting （→g）俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。
应⽤最⼩编辑距离通常作为⼀种相似度计算函数被⽤于多种实际应⽤中，详细如下：（特别的，对于中⽂⾃然语⾔处理，⼀般以词为基本处理单元）DNA分析：基因学的⼀个主要主题就是⽐较 DNA 序列并尝试找出两个序列的公共部分。
如果两个 DNA 序列有类似的公共⼦序列，那么这些两个序列很可能是同源的。
在⽐对两个序列时，不仅要考虑完全匹配的字符，还要考虑⼀个序列中的空格或间隙（或者，相反地，要考虑另⼀个序列中的插⼊部分）和不匹配，这两个⽅⾯都可能意味着突变（mutation）。
在序列⽐对中，需要找到最优的⽐对（最优⽐对⼤致是指要将匹配的数量最⼤化，将空格和不匹配的数量最⼩化）。
如果要更正式些，可以确定⼀个分数，为匹配的字符添加分数、为空格和不匹配的字符减去分数。
全局序列⽐对尝试找到两个完整的序列 S1和 S2之间的最佳⽐对。
以下⾯两个 DNA 序列为例：S1= GCCCTAGCGS2= GCGCAATG如果为每个匹配字符⼀分，⼀个空格扣两分，⼀个不匹配字符扣⼀分，那么下⾯的⽐对就是全局最优⽐对：S1'= GCCCTAGCGS2'= GCGC-AATG连字符（-）代表空格。
在 S2'中有五个匹配字符，⼀个空格（或者反过来说，在 S1'中有⼀个插⼊项），有三个不匹配字符。
这样得到的分数是 (5 * 1) + (1 * -2) + (3 * -1) = 0，这是能够实现的最佳结果。
编辑距离算法的原理及应用
编辑距离算法，也被称为Levenshtein距离算法，是一种用于衡量两个字符串之间相似度的方法。
它通过计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数来衡量它们的相似程度。
这些操作包括插入、删除和替换字符。
编辑距离算法的原理可以通过动态规划来实现。
我们可以建立一个二维的矩阵来表示两个字符串的编辑距离。
矩阵的行表示一个字符串的每个字符，列表示另一个字符串的每个字符。
矩阵中的每个元素记录了从一个字符串的某个字符到另一个字符串的某个字符所需的最少操作次数。
下面我们以字符串”march”和”cart”为例来演示编辑距离算法的计算过程：| | c | a | r | t || 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |m | 1 | | | | |a | 2 | | | | |r | 3 | | | | |c | 4 | | | | |h | 5 | | | | |我们可以将第一行和第一列的初始值设为从空字符串转换到对应字符串所需的操作次数：| | c | a | r | t || 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |m | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |a | 2 | | | | |r | 3 | | | | |c | 4 | | | | |h | 5 | | | | |我们可以根据以下递推公式计算矩阵中其他位置的值：if s1[i] == s2[j]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1]else:dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1其中，dp[i][j]表示矩阵中第i行第j列位置的值，s1和s2分别表示两个字符串。
按照上述公式计算，我们可以得到完整的编辑距离矩阵：| | c | a | r | t || 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |m | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |a | 2 | 2 | 1 | 2 | 3 |r | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 |c | 4 | 3 | 3 | 2 | 3 |h | 5 | 4 | 4 | 3 | 3 |我们可以通过读取矩阵的右下角元素，即dp[m][n]，来得到两个字符串的编辑距离。
文本相似度计算的几种方法对比
文本相似度计算的几种方法对比在信息时代，海量的文本数据不断涌现，如何高效地处理和分析这些文本数据成为了一项重要的任务。
文本相似度计算作为文本处理的基础技术之一，被广泛应用于自然语言处理、信息检索、推荐系统等领域。
本文将对几种常见的文本相似度计算方法进行对比，包括余弦相似度、编辑距离、词向量模型等。
一、余弦相似度余弦相似度是一种常用的文本相似度计算方法，它基于向量空间模型，通过计算两个文本向量的夹角来衡量它们之间的相似程度。
具体而言，余弦相似度计算公式如下：cosine_sim = dot(A, B) / (norm(A) * norm(B))其中，dot(A, B)表示向量A和向量B的点积，norm(A)表示向量A的范数。
余弦相似度的取值范围在[-1, 1]之间，值越接近1表示两个文本越相似，值越接近-1表示两个文本越不相似。
二、编辑距离编辑距离是一种基于字符串编辑操作的文本相似度计算方法，它衡量两个字符串之间的差异程度。
编辑距离越小，表示两个字符串越相似。
常见的编辑操作包括插入、删除和替换字符。
编辑距离的计算可以通过动态规划算法来实现，时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别为两个字符串的长度。
三、词向量模型词向量模型是一种基于词语语义信息的文本相似度计算方法，它将每个词语映射到一个高维向量空间中，使得具有相似语义的词语在向量空间中距离较近。
常见的词向量模型包括Word2Vec和GloVe等。
通过计算两个文本中词语向量的相似度，可以得到文本的相似度。
词向量模型的计算过程可以分为两个步骤：首先，利用大规模语料库训练得到词向量模型；然后，通过计算两个文本中词语向量的平均值或加权平均值来得到文本向量，进而计算文本相似度。
词向量模型在处理语义相似度任务上表现出色，但对于一些特定领域的文本，效果可能不如其他方法。
四、方法对比余弦相似度、编辑距离和词向量模型都是常见的文本相似度计算方法，它们各自具有不同的特点和适用范围。
12个动态规划算法举例
动态规划是一种用于解决最优化问题的算法。
它通常用于找到最小或最大值。
这里列举了12 个常见的动态规划算法，并给出了每个算法的举例：
1 最长公共子序列（LCS）算法：用于比较两个序列，找出它们之
间的最长公共子序列。
2 最小编辑距离算法：用于比较两个字符串，找出将一个字符串变
为另一个字符串所需的最少编辑操作次数。
3 背包问题算法：用于在限制给定的总体积的情况下选择最优的物
品组合。
4 最短路径算法：用于求解有向图或路径的最短路径。
5 最小生成树算法：用于求解图的最小生成树。
6 线性规划算法：用于求解线性规划问题。
7 矩阵链乘法算法：用于计算矩阵链乘法的最优计算次序。
8 单源最短路径算法：用于求解有向图的单源最短路径问题。
9 拓扑排序算法：用于对有向无环图（DAG）进行拓扑排序。
10图形相似性算法：用两个图形进行对齐，并通过比较它们之间的差异来评估它们的相似程度。
11 11 区间动态规划算法：用于解决区间动态规划问题，例如
最小编辑代价问题。
12 分数背包问题算法：用于在限制给定的总价值的情况下选择
最优的物品组合。
13这些算法的具体细节及实现方式可以通过搜索或者学习相
关的资料来了解。
计算曲线相似度的算法
计算曲线相似度的算法
计算曲线相似度的算法有很多种，以下列举几种常见的算法：
1. 均方差算法（Mean Square Error, MSE）：该算法计算两条
曲线的均方差，即将两条曲线的每个对应点之间的差值平方，然后求平均值。
MSE越小表示两条曲线越相似。
2. 皮尔逊相关系数算法（Pearson Correlation Coefficient）：该
算法计算两条曲线之间的线性相关程度。
具体计算方法是先对两条曲线去均值，然后计算归一化的协方差，最后除以两条曲线标准差的乘积。
取值范围在-1到1之间，越接近1表示相关性越高，越接近-1表示负相关，越接近0表示无相关性。
3. 动态时间规整算法（Dynamic Time Warping, DTW）：该算
法用于比较两条曲线在时间序列上的相似度，可以解决时间轴对齐和长度不一致的问题。
具体计算方法是对两条曲线进行动态规划，找到一条最短路径，使得两条曲线之间的距离最小。
DTW能够处理非线性变形和时间漂移的情况。
4. 编辑距离算法（Edit Distance）：该算法用于比较两条序列（包括曲线）的相似度，可以解决序列长度不一致的问题。
具体计算方法是通过一系列的编辑操作（插入、删除、替换字符）将一个序列转换为另一个序列，计算编辑操作的数量作为相似度。
根据具体的应用场景和需求，可以选择适合的算法进行曲线相似度的计算。
自然语言处理计算单词之间的最小编辑距离
自然语言处理计算单词之间的最小编辑距离自然语言处理（Natural Language Processing, NLP）是人工智能领域的重要分支，其目标是实现让计算机能够理解、分析、处理和生成人类语言的能力。
在 NLP 领域中，计算单词之间的最小编辑距离是一个重要且常见的问题，它对于语音识别、拼写检查、信息检索等任务都具有重要意义。
在本文中，我们将深入探讨自然语言处理中计算单词之间的最小编辑距离的概念、算法和应用。
1. 概念解析自然语言处理中的计算单词之间的最小编辑距离，指的是通过最少的操作，将一个单词转换成另一个单词所需要的步骤数。
这些操作包括插入一个字符、删除一个字符、替换一个字符。
最小编辑距离可以帮助我们衡量两个单词之间的相似度，从而在拼写检查、字符串匹配等任务中发挥关键作用。
2. 算法探究我们常用的计算两个单词之间最小编辑距离的算法包括动态规划算法和基于近似字符串匹配的算法。
动态规划算法通过构建一个二维的矩阵来记录两个单词之间的编辑距离，然后通过填表求解的方式得到最小编辑距离。
而基于近似字符串匹配的算法则通过启发式方法逐步逼近最小编辑距离，例如Levenshtein 距离、Damerau-Levenshtein距离等。
3. 应用实践计算单词之间的最小编辑距离在 NLP 领域有着广泛的应用，例如在拼写纠错中，我们可以通过计算输入单词与词典中的单词之间的最小编辑距禿来进行拼写建议；在信息检索中，我们可以通过计算查询词与文档中的单词之间的最小编辑距禿来进行相似度匹配。
最小编辑距离还可以应用于语音识别、自动翻译等多个领域。
4. 个人观点作为自然语言处理领域中的重要问题，计算单词之间的最小编辑距离在实际应用中具有重要的意义。
通过深入研究和应用最小编辑距禿算法，我们可以更好地处理和理解自然语言的复杂性，为人工智能技术的发展提供更加灵活和智能的语言处理能力。
总结回顾通过本文的探讨，我们对自然语言处理中计算单词之间的最小编辑距禿有了全面的了解。
最小编辑距离算法及其变型
最⼩编辑距离算法及其变型引⼊编辑距离（Edit Distance），⼜称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由⼀个转成另⼀个所需的编辑操作次数。
最⼩编辑距离，是指所需最⼩的编辑操作次数。
编辑操作包含：插⼊、删除和替换三种操作。
插⼊：在某个位置插⼊⼀个字符删除：删除某个位置的字符替换：把某个位置的字符换成另⼀个字符经典做法：动态规划这种类型的题⽬与LCS的做法有异曲同⼯之妙。
设dp[i][j]表⽰第⼀个字符串str1前i位与第⼆个字符串str2前j位进⾏匹配所需的最⼩编辑距离。
考虑i、j处的状态转移，假设第⼀个字符串为⽬标串，有以下三种情况：1. 由i−1、j转移⽽来，即是执⾏插⼊操作，在str2的第j位加⼊str1[i]字符。
2. 由i、j−1转移⽽来，即是执⾏删除操作，删除str2[j]。
3. 由i−1、j−1转移⽽来，若两者不同，则执⾏替换操作，否则不做处理。
故转移⽅程为dp[i][j]=min(dp[i−1][j]+1,min(dp[i][j−1]+1,dp[i−1][j−1]+flag))(flag=0/1)时间复杂度：O(NM)。
空间复杂度：O(NM)。
可以采⽤类似LCS的优化⽅法优化时空。
变式1：只有插⼊与删除操作在这种情况下的答案ans满⾜：ans=len n+len m−2∗lcs(str1,str2)形象理解就是在去除掉两者的LCS之后将str2清空，然后执⾏插⼊操作。
变式2：同样只有插⼊与删除操作，但存在最⼩编辑次数限制当最⼩编辑次数超过K时，输出−1；否则输出最⼩编辑次数。
数据范围：len n，len m<=501000，K<=100如果采⽤常规算法，时空都会超限。
容易观测到K的值很⼩，主观感受K应是本题的关键，猜测时间复杂度应为O(len∗K)。
观测原本的状态转移的限制：需要进⾏两重循环，计算每⼀个i与j对应的状态。
关键在于：离i的距离⼤于K的j对应的状态是⽆⽤的，因为⽆论如何都⾄少需要匹配str1的前i位，如果从这些j进⾏转移，修改次数就会⼤于K 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《算法设计与分析》课程报告
课题名称：动态规划——编辑距离问题
课题负责人名（学号）：
同组成员名单（角色）：无
指导教师：左劼
评阅成绩：
评阅意见：
提交报告时间：2010 年 6月23日
动态规划——编辑距离问题
计算机科学与技术专业
学生指导老师左劼
[ 摘要 ]动态规划的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解成
若干份的子问题，先分别解决好子问题，然后从子问题中得到最终解。
但动态规
划中的子问题往往不是相互独立的，而是彼此之间有影响，因为有些子问题可能
要重复计算多次，所以利用动态规划使这些子问题只计算一次。
将字符串
A 变换为字符串所用的最少字符操作数称为字符串 A 到
B 的编辑距离。
关键词：动态规划矩阵字符串操作数编辑距离
一、问题描述
1、基本概念：设 A 和 B 是 2 个字符串。
要用最少的字符操作将字
符串 A 转换为字符串 B 。
字符串操作包括：
(1)删除一个字符；
(2)插入一个字符；
(3)将一个字符改为另一个字符。
将字符串 A 变换为字符串 B 所用的最少字符操作数称为字符串A
到 B 的编辑距离，记为d(A,B) 。
2、算法设计：设计一个有效算法，对于给定的任意两个字符串A
和 B ，计算其编辑距离d(A,B) 。
3、数据输入：输入数据由文件名为input.txt 的文本文件提供。
文
件的第 1 行为字符串 A ，第二行为字符串 B 。
4、结果输出：将编辑距离d(A,B) 输出到文件ouput.txt 的第一行。
输入文件示例输出文件示例
input.txt output.txt
fxpimu5
xwrs
二、分析
对于本问题，大体思路为：把求解编辑距离分为字符串A从0个字符逐渐增加到全部字符分别想要变为字符串 B 该如何变化以及变化的最短距离。
具体来说，首先选用数组a1 存储字符串A( 设长度为n)，a2 存储字符串 B( 设长度为m) ，d 矩阵来进行具体的运算；这里有两个特殊情况比较简单可以单独考虑，即A的长度为0而B不为 0还有 A 不为
0B 为 0，这两种情况最后的编辑距离分别为m 和 n；讨论一般情况，
d 矩阵为 d[n][m] ，假定我们从 d[0][0] 开始一直进行以下操作到了 d[i][j] 的
位置，其中删除操作肯定是 A 比 B 长，同理，插入字符操作一定是
A 比
B 短，更改字符操作说明一样长，我们所要做的是对d[i][j-1]
d[i-1][j] d[i-1][j-1] 所存数进行比较，其中最小的即为当前长度和样式
的字符串 A 变为 B 的编辑距离，依次这样计算到最后的d[n][m] 中所存的数即为最终的编辑距离。
三、证明
1、理论前提：动态规划的基本思想与分治法类似，也是将待求
解的问题分解成若干份的子问题，先分别解决好子问题，然后从子问
题中得到最终解。
但动态规划中的子问题往往不是相互独立的，而是
彼此之间有影响。
该算法的有效性依赖于两个重要的性质：最优子结
构性质和问题重叠性质。
最有子结构性：以自底向上的方法递归地从子问题的最优解逐步
构造出整个问题的最优解。
重叠子问题性：每次产生的子问题并不总是新问题，利用动态规
划对每一个子问题只解一次，并将其存入表格中，下次用到该子问题
的解时，只要查找表格即可。
2、本题：本题首先符合最优子结构性，即让字符串 A 从 1 开始递增到最终长度 n，也就是从只有一个字符开始计算，每增加一个字符
计算一次，符合自底向上的方法递归地解决子问题；其次符合重叠子
问题性，每增加一个字符计算的时候总要用到前一状态时的编辑距
离，并且本题我采用了矩阵来存储旧子问题的数据，都只计算了一次，所以也符合。
3、总结：综上两点，可知本题采用了动态规划的思想来解决，
并能得到正确的答案。
四、代码及解释（注释）
#include<iostream.h>
#include<fstream>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int MAX=1000;
int min(int a,int b)
{
if(a>=b)
return b;
else
return a;
}
int main()
{
int d[MAX][MAX];
int i,j;
char a1[MAX], a2[MAX];
FILE *fp;
fp=fopen("input.txt","r");
fscanf(fp,"%s",a1);
fscanf(fp,"%s",a2);
fclose(fp);
int n=strlen(a1)-1;// 字符串末尾多1
int m=strlen(a2)-1;
for(i=0;i<=n;i++)//从 i 变到 0 字符串， i 个需要 i 次 (添加 ) d[i][0]=i;
for(i=0;i<=m;i++)// 从 0 字符串变到j， j 个需要 j 次 ( 删除 ) d[0][i]=i;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
if(a1[i]!=a2[j])
d[i][j]=min(min(d[i][j-1],d[i-1][j]),d[i-1][j-1])+1;
// 加一个，减一个，变一个else
d[i][j]=d[i-1][j-1];
}
}
cout<<d[n][m];
fp=fopen("output.txt","w");
fprintf(fp,"%d",d[n][m]);
fclose(fp);
return 0;
}
/*
输入： fxpimu
xwrs
输出： 5
*/
五、复杂度分析
以下为核心代码部分：
for(i=0;i<=n;i++)// 从 i 变到 0 字符串， i 个需要 i 次 (添加 ) d[i][0]=i;
一重循环时间复杂度为T(n)
for(i=0;i<=m;i++)// 从 0 字符串变到j， j 个需要 j 次 ( 删除 ) d[0][i]=i;
一重循环时间复杂度为T(m)
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
if(a1[i]!=a2[j])
d[i][j]=min(min(d[i][j-1],d[i-1][j]),d[i-1][j-1])+1;
// 加一个，减一个，变一个
else
d[i][j]=d[i-1][j-1];
}
}
二重循环：时间复杂度为T(n*m)
总的时间复杂度为
O
T(n*m+n+m)= (n*m)O 2
最好时间复杂度为O；最坏时间复杂度为
) (n)(n
参考文献
[1]王晓东 . 计算机算法设计与分析（第 3 版） . 电子工业出版社 ,2009.12 （第
8 次印刷） P48， P53-54 ， P89
[2]科曼 (Cormen T.H.) 等著潘金贵等译. 算法导论 ( 第二版 ). 机械工业出版社，2008.6(第9次印刷)P202-207。