3.2.1 几类不同增长的函数模型----数学建模(一)(组内公开课)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得 回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增 长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其 “增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案 三比其他两个方案增长得快得多.这种增长速度 是方案一、方案二所无法企及的.
从每天所得回报看， 在第1～3天，方案一最多， 在第4天， 方案一和方案二一样多，方案三最少， 在第5～8天，方案二最多， 第9天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得
多；到第30天，所得回报已超过2亿元.
下面再看累计的回报数：
天 回报/元 数
12 3
方案
45
67
8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
方案二可以用函数 y 10x(x N ) 进行描述；
方案三可以用函数 y 0.4 2x1(x N ) 进行描述.
3.三个函数模型的增减性如何？
根据函数 性质判断
4.要对三种方案作出选择，就要对它们的增长 情况进行分析，如何分析？
三种方案所得回报的增长情况如表和图：
x/天
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 30
解:借助计算器或计算机作出函数 y 5, y 0.25x
y log7 x+1,y=1.002x 的图象.
y
8 y＝0.25x
例2：某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定 一个激励销售人员的奖励方案： 在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖 金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增 加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的 25%， 现有三个奖励模型： y＝0.25x， y＝log7x＋1， y＝1.002x， 其中哪个模型能符合公司的要求？
数学建模（一）
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
兔子每年 能生产4到 6次，一窝 6-10只
1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国 弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了.兔子 是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌， 数量不断翻番.
1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加 到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地 都遭到了极大损失.绝望之中，人们从巴西引入了多 发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子.整个20世纪中 期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过. 这种现象能否用我们所学的数学知识来解释呢？ 请进入本节的学习！
3
4
5
6
y
0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A.y＝log2x C．y＝12(x2－1)
B．y＝2x D．y＝2.61cos x
【解析】对于 A，函数 y＝log2x，是对数函数，增长 速度缓慢，且在 x＝2 时 y＝1，x＝4 时 y＝2，基本 符合要求； 对于 B，函数 y＝2x 是指数函数，增长速 度很快，且在 x＝2 时 y＝4，x＝4 时 y＝16，代入值 偏差较大，不符合要求；对于 C，函数 y＝12(x2－1) 是二次函数，且当 x＝2 时 y＝1.5，x＝4 时 y＝7.5， 代入值偏差较大，不符合要求；对于 D，函数 y＝ 2.61cosx 是周期函数，且在[2,3]内是减函数，x＝3 时 y＜0，x＝4 时 y＜0，不符合要求．故选 A.
1.掌握常见增函数的定义、图象、性质并体会其 增长快慢.(重点） 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长 等不同增长的函数模型的意义. 3.学会分析具体的实际问题,能够建立数学模型解 决实际问题. (难点） 4.了解数学在实际问题中的应用价值.
例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供 你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前
一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回
报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
思路分析：
1.依据什么标准来选取投资方案？日回报效益， 还是累计回报效益？
来自百度文库
2.如何建立日回报效益与天数的函数模型？ 注意x与
设第x天所得回报是y元，则
y的意义
方案一可以用函数 y 40(x N ) 进行描述；
方案 一
y/元
增加量 /元
40
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
…
…
40
0
方案 二
y/元
增加量 /元
10
20
10
30
10
40
10
50
10
60
10
70
10
80
10
90
10
100
10
…
…
300
10
方案 三
y/元
增加量/元
0.4
0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4
204.8
… 214 748 364.8
0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2
102.4
… 107 374 182.4
y 120 100
80
y＝10x
60
y＝40
40
20
y＝0.4×2x－1
函数图象是 分析问题的 好帮手
O 2 4 6 8 10 12
x
读图和用图
由表和图可知， 方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但二者增长 情况很不相同.
结论：投资1～6天,应选择方案一;投资7天，应选择 方案一或方案二；投资8 ～ 10天，应选择方案二； 投资11天(含11天)以上，应选择方案三.
【变式练习】
在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一
组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似
地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( A)
x
2
【解题关键】
两个要求
某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行 奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利 润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以 人员销售利润一般不会超过公司总的利润.
于是，只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否 符合公司要求即可.
思考：
1．确定x的取值范围，即函数的定义域． 2．通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？
从每天所得回报看， 在第1～3天，方案一最多， 在第4天， 方案一和方案二一样多，方案三最少， 在第5～8天，方案二最多， 第9天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得
多；到第30天，所得回报已超过2亿元.
下面再看累计的回报数：
天 回报/元 数
12 3
方案
45
67
8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
方案二可以用函数 y 10x(x N ) 进行描述；
方案三可以用函数 y 0.4 2x1(x N ) 进行描述.
3.三个函数模型的增减性如何？
根据函数 性质判断
4.要对三种方案作出选择，就要对它们的增长 情况进行分析，如何分析？
三种方案所得回报的增长情况如表和图：
x/天
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 30
解:借助计算器或计算机作出函数 y 5, y 0.25x
y log7 x+1,y=1.002x 的图象.
y
8 y＝0.25x
例2：某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定 一个激励销售人员的奖励方案： 在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖 金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增 加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的 25%， 现有三个奖励模型： y＝0.25x， y＝log7x＋1， y＝1.002x， 其中哪个模型能符合公司的要求？
数学建模（一）
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
兔子每年 能生产4到 6次，一窝 6-10只
1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国 弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了.兔子 是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌， 数量不断翻番.
1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加 到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地 都遭到了极大损失.绝望之中，人们从巴西引入了多 发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子.整个20世纪中 期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过. 这种现象能否用我们所学的数学知识来解释呢？ 请进入本节的学习！
3
4
5
6
y
0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
A.y＝log2x C．y＝12(x2－1)
B．y＝2x D．y＝2.61cos x
【解析】对于 A，函数 y＝log2x，是对数函数，增长 速度缓慢，且在 x＝2 时 y＝1，x＝4 时 y＝2，基本 符合要求； 对于 B，函数 y＝2x 是指数函数，增长速 度很快，且在 x＝2 时 y＝4，x＝4 时 y＝16，代入值 偏差较大，不符合要求；对于 C，函数 y＝12(x2－1) 是二次函数，且当 x＝2 时 y＝1.5，x＝4 时 y＝7.5， 代入值偏差较大，不符合要求；对于 D，函数 y＝ 2.61cosx 是周期函数，且在[2,3]内是减函数，x＝3 时 y＜0，x＝4 时 y＜0，不符合要求．故选 A.
1.掌握常见增函数的定义、图象、性质并体会其 增长快慢.(重点） 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长 等不同增长的函数模型的意义. 3.学会分析具体的实际问题,能够建立数学模型解 决实际问题. (难点） 4.了解数学在实际问题中的应用价值.
例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供 你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前
一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回
报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
思路分析：
1.依据什么标准来选取投资方案？日回报效益， 还是累计回报效益？
来自百度文库
2.如何建立日回报效益与天数的函数模型？ 注意x与
设第x天所得回报是y元，则
y的意义
方案一可以用函数 y 40(x N ) 进行描述；
方案 一
y/元
增加量 /元
40
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
40
0
…
…
40
0
方案 二
y/元
增加量 /元
10
20
10
30
10
40
10
50
10
60
10
70
10
80
10
90
10
100
10
…
…
300
10
方案 三
y/元
增加量/元
0.4
0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4
204.8
… 214 748 364.8
0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2
102.4
… 107 374 182.4
y 120 100
80
y＝10x
60
y＝40
40
20
y＝0.4×2x－1
函数图象是 分析问题的 好帮手
O 2 4 6 8 10 12
x
读图和用图
由表和图可知， 方案一的函数是常数函数， 方案二、方案三的函数都是增函数，但二者增长 情况很不相同.
结论：投资1～6天,应选择方案一;投资7天，应选择 方案一或方案二；投资8 ～ 10天，应选择方案二； 投资11天(含11天)以上，应选择方案三.
【变式练习】
在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一
组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似
地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( A)
x
2
【解题关键】
两个要求
某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行 奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利 润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以 人员销售利润一般不会超过公司总的利润.
于是，只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否 符合公司要求即可.
思考：
1．确定x的取值范围，即函数的定义域． 2．通过图象说明选用哪个函数模型？为什么？