选修1-1：生活中的优化问题举例(新人教A版)(ks5u高考资源网)
高中数学 3.4生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修1-1
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基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
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【数学】《生活中的优化问题举例》(新课标人教A版选修1-1)
精品课件
例如:
某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造 成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获 利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ ２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
精品课件
如何解决优化问题?
精品课件
❖ 汽油的使用效率G=汽油的消耗量w/汽车行使 路程s,
即:ห้องสมุดไป่ตู้=w/s
❖ 求G的最小值问题.
精品课件
问题2:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?
精品课件
例2 磁盘的最大存储量问题:
精品课件
问题3:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响 吗?
❖ 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗?
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
精品课件
问题4:无盖方盒的最大容积问题
一边长为a的正方形铁片,铁片的四 角截去四个边长都是x的小正方形,然后 做成一个无盖方盒,x 多大时,方盒的容积 V最大?
精品课件
❖P114 4、7。
作业:
精品课件
3.4 生活中的优化问题举例
精品课件
问题1:汽油的使用效率何时最高?
我们知道,汽油的消耗量w(单位:L)与汽车的 速度v(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的 消耗量w是汽车的速度v的函数.根据生活经 验,思考下列两个问题: (1)是不是汽车的速度越快,汽油的消耗量越大? (2) “汽油的使用效率最高”的含义是什么?
人教A版选修1-1课件：第3章生活中的优化问题举例
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
双
知
学习目标：1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简 基
合 单的实际生活中的优化问题．(重、难点)
作 探 究 • 攻 重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
[自 主 预 习·探 新 知]
自
当
主
堂
预
达
习
标
达 标
•
•
探
现有下列四种说法：
固
新
双
知
①前四年该产品产量增长速度越来越快；
基
合
②前四年该产品产量增长速度越来越慢；
作
探 究
③第四年后该产品停止生产；
•
攻
④第四年后该产品年产量保持不变．
重
图3-4-1
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
• 探
其中说法正确的有( )
• 固
新
双
知
A．①④
B．②④
主
堂
预 x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.
达
习
标
• 探
【导学号：97792167】
• 固
新 知
[解] 设矩形边长AD
双 基
＝2x(0<x<2)，
合
作
则|AB|＝y＝4－x2，
探
究 •
则矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0<x<2)，
高中数学新人教A版选修1-1生活中的优化问题举例
5.某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = __________ 吨.解析：设该公司一年内总共购买 n 次货物，则n = 400•••总运费与总存储费之和 f(x) = 4n + 4x = 1_600 + 4x ,令f ' (x)= 4 —1 600= 0,解得x x x=20, x =— 20(舍去),x = 20是函数f(x)的最小值点，故当 x = 20时，f(x)最小. 答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)•当帐篷的顶点 O 到底面中心 O i 的距离为 __________ m 时，帐篷的体积最大.解析：设OO i 为x m ,底面正六边形的面积为 S m 2,帐篷的体积为 V m 3.则由题设可得正六棱锥底面边长为心2- (x - 1 丫 =p 8+ 2x -x 2 (m)，于是底面正六边形的面积为 S = 6 X 于(冷8+ 2x — x 2)2= ^2^(8 + 2x — x 2).帐篷的体积为1 3 323 3 2V = 3><宁(8 + 2x — x )(x — 1) + 歹(8 + 2x — x ) =说8 + 2x — x 2)[ x— 1 + 3]=说16 + 12x — x 3),V '="2?(12 — 3x 2).令V ' = 0，解得x = 2或x = — 2(不合题意，舍去).当 1 v x v 2 时，V ' > 0;当 2v x v 4 时，V ' v 0. 所以当x = 2时，V 最大. 答案：2会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 正比•已知商品单价降低 2元时，一星期多卖出 24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；⑵如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：(1)若商品降彳氐x 元，则一个星期多卖出的商品为kx 2件.7.某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量将x(单位：元，0W x < 21)的平方成由已知条件，得k 22= 24,解得k= 6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)= (30 —x-9)(432 + 6x2)=-6x3+ 126x2—432x + 9 072, x€ [0,21].2(2)由(1)得,f (x) = - 18x + 252x- 432.令f' (x)= 0，得x= 2 或x = 12.当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如表所示:因为f(0) = 9 072 , f(12) = 11 664, f(21) = 0,所以定价为30 - 12= 18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.8.两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和•记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在A~B的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1) 将y表示成x的函数f(x)；(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断A B上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.解：⑴根据题意/ ACB= 90 ° , |AC|= x km , |BC|= 400- x2 km，且建在C处的垃4 k圾处理厂对城A的影响度为P,对城B的影响度为,x 400 —x4 k因此，总影响度y= (0v x v 20).x 400- x ' '又垃圾处理厂建在A~B的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，故有■ 102+ 102 2十400 - . 102+ 102 2-0.065，4 9解得 k = 9,故 y = f(x)=子+ 400_X 2(0 v x v 20). 818x(2)f (x) =— -3+2~2x400— x18x 4— 8X 400 — x 2 2 =32~2x 400 — x2 2 X 2+ 800 10X 2— 1 600 -- I Q 二 0 0 *x (400— x j *令 f ' (x)= 0，解得 x = 4 10或 x =— 4 10(舍去). 所以当x € (0,4. 10)时，f ' (x)v 0, y 为减函数； 当 x € (4 10, 20)时，f ' (x) >0, y 为增函数.故在x - 4 10处，函数f(x)取得极小值，也是最小值.即垃圾场离城 A 的距离为4.10 m 时，对城A 和城B 的总影响最小.阶段质蚤检测(三)导教及其应用(时间：120分钟 满分：150分)、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 )1.若 f(x)= sin a — cosx ，则 f ' (x)等于(C . cos a+ sin x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin a 是一个常数. 2.曲线y = f(x)= x 3— 3x 2 + 1在点(2, — 3)处的切线方程为()A . y =— 3x + 3 C . y =— 3D . x = 2解析：选C 因为y' = f ' (x) = 3x 2— 6x ，则曲线y = x 3— 3x 2 + 1在点(2,— 3)处的切线 的斜率k = f ' (2) = 3X 22 — 6X 2= 0，所以切线方程为 y =— 3.A . sin xB . cosx2sin a+ cosxB . y =— 3x + 1X 2, X 3且 a v X 1<X 2< X 3V b ,贝y f(x)在(a , x“,(X 2,X 3)上递增，在(X 1, X 2) , (X 3, b)上递减，因此，X 1 , X 3是极大值点，只有 X 2是极小值点.3.函数f(x)的定义域为开区间 数f(x)在开区间(a , b)内有极小值点(a , b),导函数f ' (x)在(a , b)内的图象如图所示，则函解析：选A 设极值点依次为X 1,(C . 3个6.函数f(x) = x 3 + ax 2 + 3x - 9,已知f(x)在x =- 3处取得极值，则 a =()A . 2B . 3C . 4D . 5解析：选 D f ' (x)= 3x 2 + 2ax + 3, v f ' (— 3) = 0.2•- 3x (— 3) + 2a x (— 3)+ 3= 0, • a = 5.7•已知物体的运动方程是S(t) = t 2+ $t 的单位：s, S 的单位：m)，则物体在时刻t = 2时的速度v 与加速度a 分别为( )解析：选 A S' (t)= 2t — 11 15• v = S z (2) = 2x 2— 4= — (m/s).令 g(t) = S' (t)= 2t —孑，.・.g ' (t) = 2+ 2t — 3, , 92…a = g (2) = 4 (m/s ).4.函数 A. f(x) = x — In x 的单调递减区间是( 0,舟C. D.「亚2 “1 2x — 1解析：选 A •/ f ' (x) = 2x —1=空 ，当x x0v减区间为0,三2 .35.函数 f(x) = 3x — 4x (x € [0,1])的最大值是(1B. 1解析：选 A f ' (x)= 3— 12x 2,令 f ' (x)= 0, 1 1则 x = — 2(舍去)或 x = 2 f(0)= 0, f(1) = — 1,3一 2=1- 2••• f(x)在［0,1］上的最大值为1.A.15m/s , 9 m/s 24 4畤 m/s ，1 m/s2m/s , 15m/s 2D.4 m/s , 154 m/s 2,f ' (x) w 0，故f(x)的单调递x <解析：选D 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除 A 、B ;当0<x<x 1时，f ' (x)>0，函数f(x)递增.因此，当 x = 0时，f(x)取得极小值，故选 D.19.定义域为 R 的函数f(x)满足f(1) = 1,且f(x)的导函数f ' (x)^1，则满足2f(x)vx + 1 的x 的集合为()A . {x|— 1<x<1}B . {x|x<1} C. {x|x< — 1 或 x>1}D . {x|x>1}1解析：选 B 令 g(x) = 2f(x)— x — 1,v f ' (x)>-, ••• g ' (x) = 2f ' (x)— 1>0,••• g(x)为单调增函数， •/ f(1) = 1,「. g(1) = 2f(1) — 1 — 1 = 0，•当 x<1 时， g(x)<0 ,即卩 2f(x)vx + 1，故选 B.10.某产品的销售收入 y 1(万元)是产量x(千台)的函数：屮=17x 2，生产成本y«万元)是 产量x(千台)的函数：y 2= 2x 3 — x 2(x >0),为使利润最大，应生产( )A . 6千台B . 7千台C . 8千台D . 9千台解析：选A 设利润为y ,则 y = y 1 — y 2= 17x 2— (2x 3— x 2)= 18x 2— 2x 3, y ' = 36x — 6x 2,令 y ' = 0 得 x = 6 或 x = 0(舍), f(x)在(0,6)上是增函数，在(6,+^)上是减函数， x = 6时y 取得最大值.11.若函数f(x)= x 2+ ax + x 在 ||_3， +m 上是增函数，则实数 a 的取值范围是()_ 25]A . [ — 1,0]B 」 D . [9 ,+^ )8.已知函数f(x)的导函数f ' (x)= a(x — b)2+ c 的图象如图所示，则函数解析：选C1f ' (x)= 2x + a —0 在f(x)的图象可能是寺+ a上恒成立，••• f' (x) = 2x + a —寺在1, + 上递增,二 f ' 1 = 3 — 9+ a > 0, • a > 25.故选 C.12.定义在(0,+^ )上的可导函数f(x)满足f ' (x) x v f(x),且f(2) = 0,则上严>0的解 集为()1 3 213•若 f(x)= ^x 3- f (1)x 2+ x + 5,贝V f (1)=2(x)= x 2-2f ' (1)x + 1,令 x = 1,得 f ' (1) = 3.32答案：2A . (0,2)B . (0,2) U (2C . (2 ,+^ )D . ?解析：选A •/也'=Lx• fxv 0,-xx• 在(0 ,+^)上为减函数.又T f(2) = 0,二号=0.• 4> 0的解集为0v x v 2, 故选 A.,+m)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上 ) •-x =4 时，y max^j 4 1= 1 4= 4. 15.已知函数f(x)满足f(x) = f( — x),且当x € n % ■■ 2, 2 时，f (x)= x + sin x ,设 a = f(1), b = f(2), c = f(3)，贝U a , b, c 的大小关系是 解析：f(2) = f( — 2), f(3) = f( n- 3)，因为 f ' (x)= 1+ cosx 》0,故 f(x)在 一 — —上是 2, 2上是增函数，••• n >n- 2>1> n- 3>0 ,• f(— 2)>f(1)>f( — 3),即卩 cvavb. 答案：cvavb4x16 .若函数 f(x) = 2~~.在区间(m,2m + 1)上单调递增，则实数 m 的取值范围是x + 1解析：f ' 14.函数 y = x - x(x > 0)的最大值为解析：y - 1 = 1-，令 y ' = 0 得 x =；即函数f(x)的增区间为(一1,1). 又f(x)在(m,2m + 1)上单调递增,m > — 1,所以 m < 2m + 1,解得—1< m W 0.2m + 1 W 1. 答案：(一1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数y = f(x)在x = x o 处取得极大值或极小值，则称X 。
人教新课标A版高二数学《选修1-1》3.4 生活中的优化问题举例
优化问题的答案
用导数解决数学问题
数学建模 过程． 上述解决优化问题的过程是一个典型的_________
1.求函数最值的常用方法有哪些?
提示：可以利用函数的单调性；可以利用基本不等式；可以利 用导数.
2.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最
大，则高为_____________.
【解析】设圆锥的高为x cm，则底面半径为
3x 2 令V′(x)=60x =0， 2
解得x=0(舍去),x=40.
并求得V(40)=16 000.
由题意可知，当x接近于0或接近于60时，箱子容积很小，因此， 16 000是最大值. 答：当x=40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3. 方法二：设箱子高为x cm，则箱底长为(60-2x) cm，则得箱子 容积 V(x)=(60-2x)2x(0<x<30).(后面同方法一，略) 由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出
(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，
写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)=0； (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的数值的大小，最大 (小)者为最大(小)值； (4)写出答案.
2.解应用题的思路和方法 解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽 象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知
当
20 3 cm 【答案】 3
4.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位
的产品，成本增加100元，若总收入R与年产x的关系是R(x)=
x3 900
+400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是 ____________. 【解析】由题意可得总利润P(x)=
高中数学选修1-1精品课件：§3.4 生活中的优化问题举例
【训练2】 如图，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形的最大 面积.
解 设B(x，0)(0＜x＜2)，则A(x，4x－x2). 从而AB＝4x－x2，BC＝2(2－x). 故矩形ABCD的面积为S(x)＝AB·BC ＝2x3－12x2＋16x(0＜x＜2).
S′(x)＝6x2－24x＋16，
令 S′(x)＝0，得 x1＝2＋233，x2＝2－233.
∵x1∉(0，2)，∴x1 舍去.
∴当
x＝2－2 3 3时，Smax＝329
3 .
因此，当点
B
为2－2
3
3，0时，矩形的最大面积是329
3.
题型二 面积、容积的最值问题 【例2】 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相
等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积 之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的 中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单 位：cm)，能使矩形广告面积最小？
解 设广告的高和宽分别为 x cm，y cm， 则每栏的高和宽分别为 x－20，y－225，其中 x>20， y>25. 两栏面积之和为 2(x－20)·y－225＝18 000， 由此得 y＝1x8－02000＋25.
广告的面积 S＝xy＝x1x8－02000＋25＝1x8－00200x＋25x， ∴S′＝18 000（[（x－x－202）0）2 －x]＋25＝（－x3－60200）002＋25. 令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减， ∴S(x)的最小值为 S(140). 当 x＝140 时，y＝175，即当 x＝140，y＝175 时，S 取得最 小值 24 500，故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可 使广告的面积最小.
3.4《生活中的优化问题举例》课件(新课标人教A版选修1-1)
问题3:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的道理吗?
• 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
如何解决优化问题?
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
问题4:无盖方盒的最大容积问题
一边长为a的正方形铁片,铁片的四 角截去四个边长都是x的小正方形,然 后做成一个无盖方盒,x 多大时,方盒的 容积V最大?
作业:
• P114 4、7。
3.4 生活中的优化问题举例
• 汽油的使用效率G=汽油的消耗量w/汽车行 使路程s,
即:G=w/s
• 求G的最小值问题.
问题2:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?
例2 磁盘的最大存储量问题:
学校全体师生在此诚挚感谢一束光公益项目的爱心捐赠!作为学校领导，我代表学校表示一定会用好这双眼睛，帮助孩子们更好地了解世界!一束光公益项目在西昌市民胜乡中心小学据介绍，一束光公益 项目为JC集团发起，通过现代多媒体设备播放各类精选少儿电影、音乐、体育、纪录片等视频内容，为小学生在课余时间丰富其学习生活，6月3日，方正璞华软件（武汉）股份有限（以下简称：方正 璞华）与中国电信河南（以下简称：河南电信）签署&;精准教学&;应用合作协议，体检不合格者，不进入下一招考环节，5G无线上网 https://，最后送给大家一份礼物《你是我心中的 英雄》，这本绘本得到了104 个国家的家庭、育儿专家、教师和儿童的支持，生态文明教育签约仪式 光明记者 徐皓摄在本次论坛期间，北京教育科学研究院分别与北京市石景山区、房山区、通州区、 顺义区、延庆区、密云区教委举行了联合开展生态文明教育的签约仪式，90后创业者马佳佳在视频中这样表达1
高二数学人教A版选修1-1课件：3.4 生活中的优化问题举例
(1)求S以x为自变量的函数表达式,并写出其定义域; (2)求S的最大值.
案例探究
思悟升华
思路分析:
案例探究
思悟升华
解:(1) 依题意,以 AB 的中点 O 为原点,AB 为 x 轴,建立直角坐标 系 xOy,则点 C 的横坐标 x,纵坐标 y 满足方程������������22 + 4������������22=1(y≥0),
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思路分析:(1)把x=5,y=11代入关系式中即可求a;(2)计算出每件的利润,求出总利润函数关系式,运用导数求
最值.
解:(1)因为x=5时,y=11,所以 +10=11,a=2.
������ 2
于是,当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x f'(x)
(3,4) +
4
(4,6)
0
-
f(x)
单调递增↗
极大值 42 单调递减↘
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 所以当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思路分析:本题主要考查利用导数解决“费用最省”型的优化问题,正确建立目标函数,利用导数法求最值.
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
解:如图,依题意,点 C 在直线 AD 上,设 C 点距 D 点 x km.
∵BD=40 km,AC=(50-x)km,
选修1-1：生活中的优化问题举例(新人教A版)(ks5u高考资源网)文库
0.8 (r3
3 r2 ),
0r6
3
令 f'(x)0.8(r22r)0
当 r2时 ,f'(r)0
当 r ( 0 ,2 ) 时 ,f'(x ) 0
当 r ( 2 ,6 ) 时 ,f'(x ) 0
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增，
即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，
Байду номын сангаас
回顾总结 利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计 数据，建立与其相应的数学模型，再通过研 究相应函数的性质，提出优化方案，使问题 得到解决．在这个过程中，导数往往是一个 有利的工具。
h
17
作业
课本P104
5，6
h
18
5
例2:某制造商制造并出售球形瓶装饮 料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知 每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且 瓶子的最大半径为6cm.
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？
２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润 最小？
h
6
解：由于瓶子的半径为Ｒ，所以每瓶饮料的利润是
yf(x)0.24r30.8r2
储量越大？ (2) r为多少时，磁盘具有最大存储量
（最外面的磁道不存储任何信息）？
h
11
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
f(r)Rr2r2r(Rr)
m n mn
(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数 的解析式可以判断，不是r越小，磁盘 的存储量越大。
高中数学人教A版选修1-1课件：3.4+生活中的优化问题举例
思维辨析
-10-
3.4 生活中的优化问题举例
探究一
探究二探究三首页X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
思维辨析
变式训练1 某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一
单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是
1
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X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
D当堂检测
ANGTANGJIANCE
2
做一做 已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:
1 3
y=x +81x-234, 则使该生产厂家获取最
万件)的函数关系式为
3
大年利润的年产量为(
)
A.13万件
B.11万件
C.9万件 D.7万件
思维辨析
解设直径为 d,高为 h,表面积为 S,
由
2
2 000
πh=500,得 h= 2 .
2
2
2
2 000
又 S=
所以
令
π+dπh=
2
2 000
S'=- 2
此时 h=
因为 d<2
+
,
+ .
2
2 000
S'=0,即- 2
3
4
+
=0,得
2
d=2
3
500
,
500
.
3
当 x∈(20,30)时,V'<0.
2020-2021学年人教A版数学选修1-1配套学案：3.4 生活中的优化问题举例 Word版含答案
3.4生活中的优化问题举例内 容 标 准学 科 素 养 1.了解导数在解决实际问题中的作用．2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.利用数据分析 提升数学建模 及逻辑推理授课提示：对应学生用书第71页[基础认识]知识点 生活中的优化问题预习教材P 101－103，思考并完成以下问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具．本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL 溶液的圆柱形易拉罐． (1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？ (2)如何制作使用材料才能最省？ 提示：(1)计算出圆柱的表面积即可．(2)要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x ，列出圆柱表面积S ＝2πx 2＋1 000x(x >0)，求S 最小时，圆柱的半径、高即可．知识梳理 (1)利用导数解决生活中优化问题的基本思路(2)解决优化问题的基本步骤①分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；②求导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；③比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值； ④依据实际问题的意义给出答案．[自我检测]1．已知某厂家生产某种产品的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋36x ＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．11万件B ．9万件C ．7万件D ．6万件 答案：D2．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A ．2 m 3B ．3 m 3C ．4 m 3D ．5 m 3答案：B授课提示：对应学生用书第72页探究一 几何中的最值问题[阅读教材P 101例1]学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm ，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？题型：几何中的最值问题． 方法步骤：①设出版心的高为x ， 得出版心的宽为128x .②建立目标函数S ＝f (x )． ③利用导数求出函数的最小值．[例1] 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x 应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V 最大，则x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解析] (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x )cm,0<x <30， 所以包装盒侧面积为 S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×⎝⎛⎭⎫x ＋30－x 22＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)， 所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20； 令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 2 cm ，高为10 2 cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.方法技巧 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪探究 1.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积． 解析：(1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)． 则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)． 令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：θ ⎝⎛⎭⎫0，π3 π3 ⎝⎛⎭⎫π3，π S ′ ＋0 － S极大值所以，当θ＝π3时，S 取得最大值S max ＝3 7503m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.探究二 实际生活中的最值问题[教材P 104习题3.4A 组6题]已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系为C ＝100＋4q ，单价p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q .求产量q 为何值时，利润L 最大？解析：利润L ＝pq －C ＝⎝⎛⎭⎫25－18q q －(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，∴L ′＝－14q ＋21.令L ′＝0，得q ＝84.当q ∈(0,84)时，L ′>0；当q ∈(84,200)时，L ′<0. ∴当产量q 为84时，利润L 最大． 产量为84时，利润L 最大．[例2] 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[解析] (1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2件． 由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6. 若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]． (2)对(1)中函数求导得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x 0 (0,2) 2 (2，12) 12 (12，21) 21 f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )9 072极小值极大值∵f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，∴定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大．方法技巧 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．跟踪探究 2.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)解析：(1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大.授课提示：对应学生用书第73页[课后小结]正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式； (2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．[素养培优]解决实际优化问题时忽略定义域甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为b (b >0)，固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域． (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？易错分析 解决实际应用问题时，要注意问题中某些关键量的实际限制条件或隐含条件．若忽视这些限制条件或隐含条件导致最值错误．考查数据分析及数学运算．自我纠正 (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv ，全程运输成本为 y ＝a ·s v ＋b v 2·s v＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋b v ， 故所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫av ＋b v ，v (0，c ]．(2)由题意知s ，a ，b ，v 均为正数． 由y ′＝s ⎝⎛⎭⎫b －av 2＝0，得v ＝ab，v ∈(0，c ]． ①若ab ≤c ，则v ＝ab是极值点， 即当v ＝ab时，全程运输成本y 最小． ②若ab>c 因为v ∈(0，c ]，此时y ′<0，则函数在(0，c ]上为减函数，所以当v ＝c 时，y 最小．综上所述，为使全程运输成本y 最小，当ab ≤c 时，行驶速度v ＝ab ；当ab>c 时，行驶速度v ＝c .。
人教A版选修1-1教案：生活中的优化问题举例(1)(含答案)
§1．4．1生活中的優化問題舉例(1)
【學情分析】：
導數在實際生活中的應用主要是解決有關函數最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：
1、與幾何有關的最值問題；
2、與物理學有關的最值問題；
3、與利潤及其成本有關的最值問題；
4、效率最值問題。
【教學目標】：
1.掌握利用導數求函數最值的基本方法。
2.提高將實際問題轉化為數學問題的能力.提高學生綜合、靈活運用導數的知識解決生活中問題的能力
3．體會導數在解決實際問題中的作用.
【教學重點】：
利用導數解決生活中的一些優化問題．
【教學難點】：
將生活中的問題轉化為用函數表示的數學問題，再用導數解決數學問題，從而得出問題的最優化選擇。
【教學突破點】：
利用導數解決優化問題的基本思路：
【教法、學法設計】：
482x
-
∴<<
x
024求导数得
()
V x。
3.生活中的优化问题举例-人教A版选修1-1教案
3.生活中的优化问题举例-人教A版选修1-1教案一、引入生活中随处可见的问题和矛盾，让我们不禁思考，如何通过优化措施，实现更加高效的生活方式。
在人教A版选修1-1教案中，生活中的优化问题被作为一个重要的教学内容，通过案例和实践，让学生感受到优化带来的便利和效率。
那么，本文以该教案中的优化问题为基础，尝试讲述与说明生活中的优化问题，并通过例子说明如何解决这些问题。
二、生活中的优化问题举例2.1 交通拥堵生活在大城市中的每一个人，在日常出行时都会遇到这样的问题：拥挤的交通、堵车的路况等等。
其实这种情况在很多时候源于道路设施的不足、车辆数量的过多等原因，解决这种问题的方法也有很多。
比如，实施交通限行、优化公共交通线路、建立智能交通管理系统等等。
2.2 商品价格的波动在消费领域，商品价格波动也让很多消费者感到困扰。
这种问题常见于大型电商平台、超市等场合。
那么，如何解决这个问题呢？一种比较常见的方式是利用数据分析，通过逐步了解价格的波动趋势，掌握相关信息，找到最适合自己消费的最佳时机，从而降低生活成本。
2.3 垃圾分类莫非在生活中垃圾处理也是一项重要的优化问题？答案是肯定的。
随着社会的不断发展和城市化的不断加速，垃圾的处理问题越来越难以忽略，也越来越需要采取更加科学和有效的措施。
垃圾分类便是一个比较好的方向。
通过垃圾分类，可以有效减少垃圾的数量，实现资源的最大化利用。
2.4 电子产品的使用时间现代人总是离不开电子产品，如手机、电脑等等。
然而，这些电子产品在使用中消耗的电量也越来越大，为生活带来了不少麻烦。
在这方面，人们可以通过多项技术升级，增加电子产品的续航时间，或者制定更加科学的使用规则，最大限度地延长电池使用寿命。
三、生活中的优化问题解决方案3.1 交通拥堵解决方案针对城市交通拥堵的问题，可以通过实施交通限行、优化公共交通线路、建立智能交通管理系统等方式进行优化。
与此同时，可以考虑建立一套完善的交通规划体系，提高城市智能化水平，推广绿色低碳交通，进一步提高城市交通运输的效率。
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3
h R
V . 2
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
变式：当圆柱形金属饮料罐 的表面积为定值S时，它的 高与底面半径应怎样选取， 才能使所用材料最省？
当r (0,2)时, f ' ( x) 0 当r (2,6)时, f ' ( x) 0
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低．
1.半径为２cm 时，利润最小，这时 f (2) 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值 ２．半径为６cm时，利润最大
16( x 16 舍去）。
128 128 8 x 16 ' >0. S ' ( x) 当 x (0,16) 时，S ( x ) <0；当 x (16, )时，
因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为
16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
解法二：由解法(一)得
256 256 S ( x) 4 x 8 2 4x 8 x x
ห้องสมุดไป่ตู้ 2 32 8 72
256 当且仅当4 x ,即x 8( x 0)时S 取最小值 x
128 此时y= 16 8
答：应使用版心宽为8dm，长为 dm，四周空白面积最小 16
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为 。
512 求导数，得 x2 512 ' 令 S ( x) 2 2 0 解得 x S ' ( x) 2
x
于是宽为
128 512 S ( x) ( x 4)( 2) 128 2 x 8, x 0 x x
3.4 生活中的优化问题举例
新课引入:
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题. 1.几何方面的应用(面积和体积等的最值) 2.物理方面的应用. (功和功率等最值) 3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
例1．海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设 计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海 报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
未命名.gsp
y
从图中，你 还能看出什 么吗？
r 2 f (r ) 0.8 ( r ) 3
3
2
o
3
r
从图中可以看出: 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0, 2、当半径为6cm时，利润最大。
问题3、磁盘的最大存储量问题 (1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的 吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？ (3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？
例3：现有一张半径为R的磁盘， 它的存储区是半径介于r与R的 环行区域。 (1)是不是r越小，磁盘的存
R r
储量越大？ (2) r为多少时，磁盘具有最大存储量
（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
R r 2r 2 f (r ) r(R r) m n mn
问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗? • 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
例2:某制造商制造并出售球形瓶装饮
料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知 每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且 瓶子的最大半径为6cm.
课堂练习
1．用总长为14.8m的钢条制作一个 长方体容器的框架，如果所制作的 容器的底面的一边比另一边长0.5m, 那么高为多少时容器的容积最大？ 并求出它的最大容积． 2.课本P104
回顾总结 利用导数解决优化问题的基本思路：
优化问题 用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计 数据，建立与其相应的数学模型，再通过研 究相应函数的性质，提出优化方案，使问题 得到解决．在这个过程中，导数往往是一个 有利的工具。
(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数 的解析式可以判断，不是r越小，磁盘 的存储量越大。 (2) 为求f(r)的最大值，先计算 f (r ) 0
2 f (r ) ( R 2r ) mn
令
解得
f (r ) 0
R r 2
R R 当r 时, f (r ) 0 当r 时, f (r ) 0 ; 2 2
１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？
２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润 最小？
解：由于瓶子的半径为Ｒ，所以每瓶饮料的利润是
令
4 3 2 y f ( x) 0.2 r 0.8 r 3 3 r 0.8 ( r 2 ), 0 r 6 3 2
f '( x) 0.8(r 2r ) 0 当 r 2时, f '(r ) 0
作业
课本P104 5，6
R 因此, 当r 时, 磁盘具有最大存储量， 2 最大存储量为
R 2
2mn
例4:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的 高与底半径,使得所用材料最省? 解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2. 又V=πR2h(定值), 则h V 2 . R V S ( R) 2R 2 2R 2 2V 2R 2 . R R