数学建模选拨 答辩.ppt

关键字
非线性规划 蒙特卡罗法 直接搜索法 实时管理
1 问题的重述
在约10,000米高空的某边长160公里的正方形 区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每 架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便 进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区 域边缘, 记录其数据后，要立即计算并判断是否会 与区域内的飞机发生 碰撞。如果会碰撞，则应计算 如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以 避免碰撞。
v 飞机的飞行速度大小，这里 v 800 km/h
f () 飞机的方向角调整幅度的平方和，单位： L
L 飞行管理区域的边长，单位：千米
4 模型的建立与求解
4.1 模型的建立 4.1.1模型一的建立（两机模型）
t时刻飞机的横纵坐标位置为：
xi xi0 vt cosi , yi yi0 vt sin i ,i 1,2,, m
当，t
yij Sij xijCij
V (Ci2j Si2j )
,
Dij 2
取得最小值：
min Di2j
xij Sij yijCij Ci2j Si2j
2
因飞机穿过该区域最多需时间 t
2L v
0.28时,则飞
机相撞的条件是在飞行区域内，两架飞机的最短距离不
超过8公里，即：min Dij 8 ，且 0 t 0.28
时刻两飞机距离为：
Dij (xi x j )2 ( yi y j )2
即有：Dij 2 (xi x j )2 ( yi y j )2
xij vtCij 2 yij vtSij 2
v2 (Cij Sij )2 t 2 2v(xijCij yij Sij )t (xij 2 yij 2 )
于飞机之间两两不相撞。该模型讨论区域中 利用模
型一相撞的判别条件，整个调整问题可以抽象为以
调整方向角幅度的平方和最小为目标，以调整方向 角 i (i 1,2,, m) 为决策变量，以飞机之间两两不 相撞等条件为约束的非线性规划模型。
m
min f2 ( ) i i0 2 i 1
s.t.ti
0或者t
说
解
明
五 、 模 型 的 检 验
六 、 模 型 的 评 价 与 推 广
本文讨论了在一定区域内进行飞行管理以避免飞 机相撞的问题，通过建立两架飞机的模型推广 到M架飞机的模型，以各飞机调整方向角度的平 方和作为目标函数，以任意两架飞机之间的最 小距离不超过8公里和各飞机调整方向角度不超 过30度作为约束条件，建立了一个非线性规划 模型，用逐步求精的直接搜索法和蒙特卡罗法 两种算法进行求解，并将两种方法有机结合， 运用MATLAB求出结果，实现实时管理。
因此以两架飞机的方向角调整幅度的平方和最优为调
整准则，导出只调整两架飞机时的模型：
min f1(i , j ) i i0 2 j j0 2
t
s.t.i0或者ti0 0时 30min
Dij
8(i
j)
j j0 30
4.1.2 模型二的建立（多机模型）
我们将两机模型运用于多机模型 m 6 因为它等价
3 模型的假设与符号说明
3.1 模型的假设：
在题目假设后增加如下假设：
1）飞机飞行方向角调整的幅度不超过10度；在今后绝大 多数的讨论和程序的编制中都将搜索区间定为【-10,10】 度。（从后面的模型一也可看出，即使两架飞机相向 飞行，各自所须的调整也不超过8度）；
2）不考虑飞机离开此区域后的状况；
惠州学院 数学建模竞赛
2011 A题 (飞行管理问题)
参赛队编号：46号
队员组成：
黄婉玲 09数学与应用数学（师范）
庄崇洪
09物理学（师范）
詹德勇
09物理学（师范）
飞行管理
模型构建——论文结构：
三
摘
一
要、 关 键
、 问 题 的
字
重
述
、
四
二 、 问 题 的 分 析
模 型 的 假 设 与 符 号
、 模 型 的 建 立 与 求
i0
0时 min Dij 30,i 1,2,,
8(i, m
j
1,2,, m,i
j)
其中
t
yij Sij xijCij
V (Ci2j Si2j )
4.2 模型的求解
4.2.1解法分析 对建立的多机模型，在实际求解时，我们把时间上限设为0.3小时，
M 区域内飞机及新进入飞机总数单位：架（本题M=6 ）
(xi0 , yi0 ) 第架飞机在调整之前的坐标，i 1,2,,m 坐标轴单位为：km
(xi , yi ) 调整后第架飞机在t时刻的坐标，i 1,2,,m坐标轴单位为：km
i0
t
i
第架飞机初始方位角，单位：度 第架飞机调整后的方位角，单位：度 时间参数，以调整之前为初始时刻，此时 t 0
Dij 调整后，第i, j 架飞机在 t 时刻的距离, 单位：千米
min Dij 两机预计最短距离，只考虑 t 0 的情形，单位：千米
Cij 定义为 Cij cosi cos j
S ij 定义为 Sij sin i sin j
xij
yij
定义为 xij xi0 x j0 定义为 yij yi0 y j0
……
2 问题的分析
2.1 该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题，要求飞行 方向角调整幅度的最优，约束条件为任意两架飞机在所给区 域内的飞行时间内距离在8公里以上。我们通过先建立两架 飞机的管理模型，再推广到建立多架飞机的管理模型。
2.2 关于模型的求解，由于题目要求的精度较高，我们考虑用 逐步的求精的直接搜索法。但直接搜索法耗时较长，无法满 足实时管理的意义，故我们考虑了蒙特卡罗模拟法，即在决 策变量的允许范围内，随机产生一定数量的决策变量的取值， 然后判断这些取法中符合不相撞且目标函数值最小的决策取 值作为近似最优解。采用蒙特卡罗模拟算法和直接搜索法相 结合，使我们能够在足够短的时间内找到问题的足够精确的 最优解。
3）计算机从记录新进入飞机数据到给各飞机发指令间隔 为t0 ，为满足管理的实时性，我们假设t0小于30秒；
4）飞机进入控制区后完全服从地面控制台的调度，飞机 未接到指令时保持飞行状态不变，即在时间内保持速 度匀速飞行；
5）将飞机视为质点，飞机接到指令后可立即转到所需角 度，即不考虑转弯半径的影响。
3.2 符号说明