2018年陕西省数学竞赛试题及解答

f ( xn 1 ) f ( xn ) ，则正整数 n 的最大值是
解析： n 6 . 函数 f ( x) x
.
1 1 1 1 1 在区间 [ , 4] 上的最大值为 f ( ) f (4) 15 ,最小值为 x 4 4 4
f (1) 3 ,要使正整数 n 最大，需 f ( xn ) 最大,且 f ( xi ) （ i 1, 2,3, , n 1 ）尽可能
2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
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2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
第一试
一、选择题（每小题 6 分，共 8 小题，共 48 分）
(2m 3) n 1.已知集合 M x x sin , m Z ， N x x cos , n Z ，则 6 3
界 f ( p)
得最小值为 11 时， p 2 . 8.在边长为 8 的正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点， N 是 AD 边上的一点，且
DN 3 NA ，若对于常数 m .在正方形 ABCD 的边上恰有 6 个不同的点 P ，使 y C D PM PN m ，则实数 m 的取值范围
B. 2
C. 3
D. 2018
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
解析：A.
an 1 n 1 an ， an 1 an n 1 .由 a1 1 , a2 a1 2 , a3 a1 3 ， , an an 1 n ,
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A.
3
B. 2
C. 2 3
D. 4
解析：A. 法一： log 4 ( x 2 y ) log 4 ( x 2 y ) 1 ,得 ( x 2 y )( x 2 y ) 4 ,且 x 2 y 0 ,
x 2 y 0 .即

D
A.
1 2
B.
2 3
C. 1
D.
3 2
解析：D. 因为 0 x
(32 22 )[(

2
，所以， sin x 0 ， cos x 0 ， tan x 0 .由柯西不等式得
sin 2 x 2 cos 2 x 2 sin 4 x cos 4 x 1 ) ( ) ] (sin 2 x cos 2 x) 2 1 ，即 ,又 3 2 9 4 13
x2 y 2 1 ，令 x 2sec , 4
2 sin 2 sin y tan , (0, ) ,则 x y x y 2sec tan ,t 2 cos cos 2 sin sin 2 t 表示点动点 M (cos ,sin ) （ (0, ) ）与定点 N (0, 2) cos cos 0 2
sin 4 x cos 4 x 1 sin 2 x cos 2 x 3 ， tan x . ，取等号的条件知： 9 4 13 9 4 2
6.设 x, y R ，且 log 4 ( x 2 y ) log 4 ( x 2 y ) 1 ，则 x y 的最小值为
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的连线的斜率的相反数，当且仅当
1 时， x y 取得最小值为 3 . 3 p （ p, q N ）化为小数是 0.18 ,则当 q 最小时， p q

6
, t 取得最小值为 3 ，即 x
4 , 3
y
7.若既约分数 A. 9 解析：D.
B. 7
C. 5
D. 2
由题意可得 0.18
y x b x2 2 y 1 相切. x 2 ,消去 y 得关于 x 的方程： 2 4 y 1 4
3 x 2 8bx (4b 2 4) 0 , 0 , b 3 .
y
y x b
M
o x
法二：也可用参数方程求解.只考虑第一象限部分. 由
的小，只要
f ( xm ) f ( xn ) 1 1 3 即可， 15 6 6 3 ,此时， n 6 . 2 4 4
12.设 n 是正整数，当 n 100 时， n 2 3n 1 的小数部分的前两位数是 解析： 49 . 取 n 101 , 1012 3 101 1 10505 , 10505 102.493902 ， 取 n 102 , 1022 3 102 1 10711 , 10711 103.493961 .
A
2 角形， AD 2 ,球的半径 R ，设球心为 O ，则 2
O B C
AD 平面 BOC , S BOC
1 1 2 1 , VABCD 2 . 3 4 12 4
sin 4 x cos 4 x 1 5.若 0 x ，且 ，则 tan x 的值是 9 4 13 2
n x
0

1 1 2
2 1 2
3
1
4 1 2
5 1 2
1
1 1 2
2 1 2
3
1
4 1 2
5 1 2
所以 M N . 2.已知 a log8 5 , b log 4 3 , c A. a b c 解析：C.
1 2 1 1 3 1 a log8 5 log 2 5 log 2 5 log 2 25 , b log 4 3 log 2 3 log 2 3 log 2 27 , 3 6 6 2 6 6 2 2 4 1 c log 2 2 log 2 2 log 2 16 .因为 27 25 16 , log 2 27 log 2 25 log 2 16 , 3 3 6 6 2 ,则 a, b, c 的大小关系是 3
A. (8,8) C. (1,8) 解析：C.
B. (1, 24) D. (0,8)
N

M x B
A
建立如图所示的直角坐标系, A(0, 0) , M 是 BC 的中点, M (8, 4) ,又 N 是 AD 边上
的一点，且 DN 3 NA ， N (0, 2) ,设 P ( x, y ) ，则 PM (8 x, 4 y ) ,
PN ( x, 2 y ) ， PM PN x 2 8 x y 2 6 y 8 ( x 4) 2 ( y 3) 2 17 m , ( x 4) 2 ( y 3) 2
17 m ,所以，点 P 的轨迹是以 (4,3) 为圆心， 17 m 为半径的圆.因此，当圆
与正方形恰有 6 个不同的点， 4 17 m 5 ,解得 1 m 8 . 二、填空题：（每题 8 分，共 4 小题，共 32 分） 9.设 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 A C 列，则 cos B 3 解析： . 4 .

2
， a, b, c 构成等差数
o
sin C , A C

, B ( A C)



B
F B
x
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过点 F 的直线与抛物线交于 A, B 两点，且 AB 3 p .设点 A, B 在 l 上的射影为 A, B ，今向四边形 AABB 内任投一点 M ，则 点 M 落在 FAB 内的概率 1 解析： . 3 .
x2 y 2 1 ，且 x 2 y 0 , x 2 y 0 ，双曲线的右支.根据双曲线 4
的对称性及 x y ，不妨令 y 0 ，且 x y b ,则 y x b ,要使 x y 取的最小 值，只需直线 y x b 在 y 轴上的截距最大，当且仅当直线 y x b 与双曲线
.
第二试
一、 （本小题满分 20 分） 已知函数 f ( x) 2 cos x(cos x 3 sin x) 1 , x R . （Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调递增区间； （Ⅱ）设点 P 1 ( x1 , y1 ) ， P 2 ( x2 , y2 ) ， , P n ( xn , yn ) 都在函数 y f ( x ) 的图像上，且 满足 x1
采用累加法得， an
1 2 1 1 n(n 1) ， 2( ) .于是， an n(n 1) n n 1 2
Tn
1 1 1 1 1 2 , 1 T2018 2 , 2(1 ) , T2018 2(1 ) 2 a1 a2 an n 1 2019 2019
p 18 p 19 100 100 ,取倒数， 0.19 ,即 pq p , q 的下 q 100 q 100 19 18
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100 100 100 p 单调递增，当 p 1 时， 5.26 , 5.56 ，不存在满足条件 19 19 18 100 100 2 10.52 , 2 11.11 ， q 11 满足条件.因此， q 取 的 q ；当 p 2 时， 19 18
B. b c a
C. b a c
D. c b a
所以， b a c . 3.已知数列 an 满足 a1 1 , an 1 n 1 an , n N ，若 [ x] 表示不超过 x 的最大 整数,则 [ A. 1
1 1 1 ] a1 a2 a2018
[T2018 ] 1 .
4.已知四面体 ABCD 内接于球，且 AD 是球直径，若 ABC 和 BCD 都是边长为
1 的等边三角形，则四面体 ABCD 的体积为
A.
2 6
B.
2 12
C.
3 6
D.
3 12
解析：B.
AD 是球直径， ABD

2
, ACD

2
, ABC 和 BCD 都是边长为 1 的等边三
因为 a, b, c 构成等差数列，所以 2b a c ,根据正弦定理可得， 2sin B sin A
2C , 2sin( 2C ) sin( C ) sin C , 2 2 2 2 1 2 cos 2C cos C sin C , 2(cos 2 C sin 2 C ) cos C sin C , cos C sin C ,平方得 2 3 3 y sin 2C ,所以， cos B cos( 2C ) sin 2C . 4 2 4 A A 10.如图，已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点为 F ,准线为 l ，
1 1 1 根据抛物线的定义, S梯形AABB ( AA BB ) AB AB AB AB 3 p , 2 2 2 1 AB p S ABF 1 1 2 S ABF A B p ,所求概率为： . 1 2 S梯形AABB AB 3 p 3 2 1 1 11.已知函数 f ( x) x 1 ，若存在 x1 , x2 , , xn [ , 4] ，使得 f ( x1 ) f ( x2 ) x 4
M , N 的关系是
A. M N 解析：B. 对于集合 M ， x sin 表如下：
m x
0
B. M N
C. M N
D. M N
(2m 3) sin( m ) cos( m) , m Z ,周期为 6 ,列 6 3 2 3
1
对于集合 N , x cos( n) , n Z ,周期为 6 ,列表如下 3