丢番图和不定方程
希腊数学家丢番图
希腊数学家丢番图
丢番图
丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著《算术》在代数符号、数论、代数⽅程解法等⽅⾯均有重要贡献，其不定⽅程理论对后世产⽣了巨⼤影响，以⾄后⼈把整系数不定⽅程称为“丢番图⽅程”．
关于丢番图的⽣平，我们仅能从其墓志铭中略知梗概，这篇墓志铭本⾝就是⼀个有趣的数学问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔（Metrodorus ）收⼊⼀部数学问题集中，得以流传⾄今：
这是⼀座⽯墓，
⾥⾯安葬着丢番图．
请你告诉我，
丢番图寿数⼏何？
他⼀⽣的六分之⼀是幸福的童年，
⼗⼆分之⼀是⽆忧⽆虑的少年．
再过去七分之⼀的年程，
他建⽴了幸福的家庭．
五年之后⼉⼦出⽣，
不料⼉⼦竟先其⽗四年⽽终，
只活到⽗亲⼀半的年龄．
晚年丧⼦⽼⼈真可怜，
悲痛之中渡过风烛残年．
请你告诉我，
丢番图寿数⼏何？
答案：
（1）84217112161145=??
----÷+）（（岁）（2）还可以这样想：丢番图的年龄是7和12的公倍数，即是84的倍数．按常规，丢番图不可能活到84×2或者更⼤的岁数，所以他的年龄就是84岁．。
人物简介 别具一格的墓志铭——丢番图
人物简介: 别具一格的墓志铭——丢番图丢番图(Diophantus，约公元3世纪)是古希腊最杰出的数学家之一，他在代数和数论方面作出过卓越的贡献。
对于丢番图的生平，人们了解的不多，只知道他大约是公元3世纪的人，曾经活跃于亚历山大里亚城。
他的一生，在他的别具一格的墓志铭上通过一道谜语式的妙趣横生的代数方程问题反映出来：“过路人，这儿埋着丢番图的骨灰，下面的数字可以告诉你，他活了多少岁。
他生命的1／6是幸福的童年；再活过生命的1／12，他长出了胡须；又过了生命的1／7，他才结婚；再过了5年他有了一个儿子；但爱子竟然早逝，只活了他寿命的一半；失去儿子后，老人在悲痛中又度过4年，终于结束了他尘世的生涯。
根据这段墓志铭，设丢番图的年龄为x，你可以列出方程算出丢番图的年龄：x 6＋x12＋x7＋5＋x2＋4＝x解方程得到：丢番图活了84岁，他是33岁结婚，38岁得子。
丢番图被誉为代数学的鼻祖，他一生中解过许多代数方程和不定方程，还写有多达12卷的《算术》一书。
这套书主要是代数和数论方面的内容，包括189个问题的叙述和解法，大多是一次、二次方程和很特殊的三次方程以及一些不定方程的解法。
丢番图建立了不定方程的理论，第一次系统地提出了代数符号，创立了运算符号。
《算术》中的一些问题构成了后来的数论问题。
有些问题的结论一直被后来的数学家们津津乐道。
著名的费尔马猜想问题，就是数学家费尔马在读了《算术》这本书的译本后，在书边写下的注释。
丢番图是一位才华横溢的数学家，他解方程的手法使人感到变幻无穷，神奇莫测。
他远远超过了同时代的许多数学家。
但由于当时希腊科学状况不景气，他的著作没有产生太大的影响。
直到《算术》一书流传到中东，16世纪、17世纪又流传到欧洲时，才真正产生了影响。
不定方程
数论的一个分支，它有悠久的历史与丰富的内容。
所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数等的方程或方程组，一般来说，其未知数的个数多于方程的个数。
古希腊数学家丢番图于 3世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程。
1969年，L.J.莫德尔的专著《丢番图方程》，较系统地总结了这方面的研究成果。
近十多年来，这个领域更有重要进展。
虽然如此，从整个地说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。
另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支仍然并将继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。
一次不定方程最简单的一次不定方程是二元一次不定方程(1)式中α1,α2，n是给定的整数，α1α2≠0。
在17世纪,已经知道方程(1)有整数解的充分必要条件是(α1,α2)能整除n，并当(1)有解时，可用辗转相除法来求(1)的一组解。
设(α1,α2)=1，则(1)的全部整数解可表为(2)式中x0,y0为(1)的一组解,t为任意整数。
称(2)为方程(1)的通解。
（1）式的复解对于不定方程：AX-BY=1.我们知道，只要（A,，B）=1，就必然有整数解。
猜想：当A<B时，有解X，Y。
当A>B时，X与Y互换位置。
即：AX-BY=1，A'Y-BX=1；A<B<A'。
是否也有X，Y的共同解。
例如：A<B时：B=17，A=7时，X=5，Y=2.。
即：7×5-17×2=1。
A>B时即A'>B：B=17，A=43时，X=5，Y=2。
即：43×2-17×5=1。
目前没有发现反例。
例如：1，B=5，A=3，A'=11，X=2，Y=1.即3×2-5×1=1；11×1-5×2=1。
丢番图逼近
1丢番图逼近数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。
这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。
数的有理逼近问题，可表为求某种不等式的整数解问题。
由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程，因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。
1842年，P.G.L.狄利克雷首先证明了实数有理逼近的一个结果:如果α是任意实数,Q是大于1的实数,那么存在整数对p、q，满足两个不等式:1≤q≤Q和｜αq-p｜≤Q-1。
由此可得，如果α是任意无理数,那么存在无穷多对互素的整数对p、q，满足不等式｜α-p/q｜<q-2。
当α是有理数时，上式不成立。
1891年，A.胡尔维茨将上式改进为并指出,对于某些无理数,常数是最佳值，不可再减小。
但是对于很多无理数，常数不是最佳值，还可再减小。
1926年，A.Я.辛钦证明了：在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α，不等式｜α-p/q｜<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数是发散的还是收敛的而定，这里ψ(q)(q>0)是正的非增函数。
此即所谓丢番图逼近测度定理。
例如，对几乎所有的实数α和任意的δ>0,不等式｜α-p/q｜<q只有有穷多对整数解，而不等式｜α-p/q｜<q-2(ln q)-1有无穷多对整数解。
丢番图逼近与连分数有密切联系。
一个数的连分数展开，往往就是具体构造有理逼近解的过程。
例如，对于任意无理数α，有无穷多个渐近分数p n/q n,满足不等式1844年，J.刘维尔开创了实代数数的有理逼近的研究，他证明了：如果α是次数为d的实代数数，那么存在一个常数C（α）>0，对于每个不等于α的有理数p/q，有｜α-p/q｜>C(α)/q d。
亦即如果μ>d，那么不等式｜α-p/q｜<q-μ只有有穷多个解p/q。
根据这一结果，刘维尔构造出了历史上的第一个超越数。
以后一些数学家不断改进指数μ的值，直到得出μ与d无关的结果。
毕业论文之线性丢番图方程
线性丢番图方程赵冲1. 线性丢番图方程的问题背景不定方程的整数解问题是数论的一个重要课题，在现实生活中,该问题有很强的实用意义.一个简单的例子是求用给定面值的邮票凑成所需邮资的全部解法。
一个较为复杂的例子是为判定某未知蛋白质分子组成,需将其分子量表为n 种氨基酸的已知分子量1a ，，n a 的线性组合，显然i a 及其待求组合系数都是非负整数,而且只给出一种或几种可能的分解是不够的,必须提供全部可能的分解,以供生物学家们选择。
Def1 ()11221,,,1s s s a x a x a x n a a +++==（1）称为2s ≥元一次线性丢番图方程。
求一个仅与()1,,i a i s =有关的整数()1,,s g a a ，在()()11,,,,1s s n G a a g a a ≥=+时，方程（1）有非负整数解()1,,i x i s =，而在()1,,s n g a a =时，方程（1）无非负整数解。
Def2 ()1,,s g a a 称为整系数线性型的最大不可表数，()1,,s G a a 称为Frobenius 数。
求()1,,s G a a 的问题就是历史上著名的Frobenius 问题。
当2n =时，该问题已彻底解决。
在有解的情况下，本文将详细讨论二元一次和三元一次线性丢番图方程的Frobenius 问题。
2. 2s ≥元一次线性丢番图方程1122n n a x a x a x n +++=何时非负整数解()1,,i x i s =定理2.1 设1a ，，s a 是不全为零的正整数，对任意的整数n ，都存在1x ，，s x 使得方程1122s s a x a x a x n +++=成立当且仅当()1,,|s a a n 。
特殊的，方程（1）对每个n 有解当且仅当()1,,1s a a =【1】。
证明 设()1,,s d a a =因为()|1,,i d a i s =，如果方程（1）有整数解()1,,i x i s =，那么|d n则存在某个整数q 使得n dq = 由()1,,s d a a =得存在整数1y ，，s y ，使得1122s s a y a y a y d +++=（2） 再令()1,,i i x y q i s ==则方程（2）可化为1122s s a y q a y q a y q dq +++=（3）即1122s s a x a x a x n +++=特殊的，当()1,,1s a a =时，方程（1）对任意整数n 都有解。
华师版九年级数学广角 数学素材 丢番图方程一瞥
[科目]数学[关键词]丢番图/方程/算术[标题]丢番图方程一瞥[内容]丢番图方程一瞥丢番图是古希腊亚历山大里亚时期的数学家，对他的生平人们知之甚少。
传说公元4世纪的一部诗集中有一首短诗，以谜语体裁叙述了他的经历；又传说在一本问题集里有一道解方程问题，反映了他的生平；还传说在他的墓志铭中讲述了他的一生。
所有这些传说，无非是如下一段文字： 此人一生中，幼年占61，青少年占121，又过71岁月结婚，婚后5年喜得子，但先父4年而卒，寿为其父之半。
这段文字可以列成方程x 61+x 121+x 71=5+x 21+4=x,解之得x=84。
丢番图活了84岁。
丢番图对数学有两大贡献，其一是采用缩写方式简化数学表达，人称缩写代数，推进了数学符号的采用；其一是求解不定方程，人称丢番图方程，开辟了数论研究的一个重要领域，这个领域后来被称为丢番图分析。
丢番图曾写过三部书，其中13卷本的《算术》最为出色，后失传。
大约在1463年雷琼蒙塔努力发现了这部书的6卷，1560年，帕茨发现了这部书原稿抄本，1621年出版了《算术》的拉丁文、希腊文版本。
《算术》中大部分问题是求解不定方程的，其解法非常巧妙，很少给出一般法则，即使性质相近的题，其解法也会大不相同。
著名数学家汉克尔说：“研究丢番图100道题后，去解第101道，仍然感到困难重重。
”请看3道例题：例1“对于给定的两个数分别加上某个数，使它们成为两个平方数。
”丢番图的解法用现代记号可表示如下（后同）：设方程组a +x =y 2b +x =z 2取a =2,b =3；构成差（3+x ）-（2+x ）=1；找两个数，令其乘积等于这个差，取4和41，； 设2+x =22414⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-或3+x =22414⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+; 由此解得x =6497，为所求。
例2“已给定一个数为两个平方数之和，把它分成另外两个平方数之和。
” 设方程x 2+y 2=z 12+z 2 2例3“求四个数，使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数，所得的仍是一个平方数。
趣味数学之丢番图和谜语方程
趣味数学之丢番图和谜语方程
趣味数学之丢番图和谜语方程
丢番图（约246—330）是古希腊最杰出的数学家之一，他被人们誉为“代数学的鼻祖”。
他写了不少数学著作，其中《算术》一书是关于代数的一部最早的论著。
它独树一帜，完全避开了几何的形式。
在这本书中，我们第一次看到了代数符号的有系统的使用；看到了各种不定方程的巧妙解法。
在数学史上，这部书的重要性可以和欧几里得的《几何原本》相媲美。
可是，这位被誉为代数学鼻祖的.丢番图，他的生平事迹几乎一点也没有留下来，人们只是偶然地在他的墓志铭上知道了他的一些情况。
有趣的是，他一生的大概情况却是用一道谜语式的代数方程写出来的：“过路人！这儿埋着丢番图的骨灰。
下面的数目可以告诉您他活了多少岁。
他生命的六分之一是幸福的童年。
再活十二分之一，颊上长出了细细的胡须。
又过了生命的七分之一他才结婚。
再过了五年他感到很幸福，得了一个儿子。
可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。
儿子死后，老人在悲痛中活了四年，结束了尘世的生涯。
请问您，丢番图活了多少岁，多少岁结的婚，多少岁生孩子？”
同学们，你能解答这个问题吗？解答后，请到第2页看看你做对了吗？
根据这段墓志铭可以列出方程：
解此方程，得出x=84。
即丢番图活了84岁，并且可以算出他33岁才结婚，38岁才得子。
不定方程
不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)。
定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
若有解，可先求一个特解，从而写出通解。
当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
丢番图和不定方程——兼谈中国人在这方面的工作丢番图的工作埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。
在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。
亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。
他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。
英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。
”编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。
在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。
这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。
在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。
这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。
他是第一个引进符号入希腊数学的人。
如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。
”第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。
”第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。
”写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有：a2＋b2＝c2a＋ b＋ c＝N3这里就要考虑到三次方程了。
这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程。
以后人们为了纪念丢番图把这类方程叫丢番图方程（Diophantine Equations）。
这里举几个例子，像《算术》第二卷第8题：“将一个已知的平方数分为两个平方数。
”例如将16分成两个平方数，设一个平方数是x2，另外一个是16-x2。
由于要求是平方数：16-x2＝y2因此，我们一个方程有两个未知数x，y。
第四卷第3题：“求两个平方，使其和是一个立方数。
”写成代数式子是求：x2＋y2=z3的解。
丢番图不限定解是整数的问题，而后来的人研究丢番图方程多局限为整数解，这是和他不同的地方。
一次不定方程我们现在先考虑最简单的只有两个未知数的一个一次不定方程。
这类方程一般是形如 ax ＋by=c， a、 b、 c都是整数。
一般人认为这是印度数学家婆罗笈多（Brohmagupta）所给出的解决，他的方法事实上是用欧几里得的辗转相除法，我们举几个例子来说明。
例1 求1027x＋712y＝1的整数解。
我们这里a=1027， b＝712， c=11＝1×13-3×4=-3×69+16×13＝16×82-19×69=-19×315＋73×82＝73×712-165×315=-165×1027+238×712于是x0=－165，y0=238是方程的一个特殊解。
例 2 求 33x＋17y=13的整数解。
先求 33x＋17y=1的整数解所以 1=17×1-16×1＝33×1-16×2故 13=33×13-16×（2×13）即x0=13，y0=26是 33x＋17y=13的特殊解。
我们有下面的定理：[定理] 丢番图方程 ax＋by=c有解，当且仅当 a、 b的最大公约数d=（a，b）能整除c。
而它的一般解是：x=x0+Bty=y0-At这里（x0，y0）是方程的一个特殊解，A，B由a=Ad，b=Bd给出，t是任意的整数。
因此方程 33x＋17y=13的一般解是：x=13+17ty＝26-33t《九章算术》的“五家共井”问题在中国的一部最早的数学专门著述《九章算术》里有一个问题是不定方程组的问题。
在这书的第八章《方程》的第13题是这样：“今有五家共井，甲2绠（绠是汲水桶上的绳索）不足如乙1绠，乙3绠不足如丙1绠，丙4绠不足如甲1绠，丁5绠不足如戊一绠，戊6绠不足如甲1绠。
如各得所不足1绠，皆逮（达到的意思）。
问井深绠长各几何？”这书在汉朝写成，文字是古汉语对我们来说是不太容易看得懂。
现在翻译成白话：“有五个家庭共同用一口井，他们用甲、乙、丙、丁、戊五根长短不一样的绳子汲水，甲绳两根连接起来还不够井深，短缺数刚好是乙绳的长。
乙绳3根连接还不够井深，短缺数刚好是丙绳的长，丙绳4根连接还不够井深，短缺数刚好是丁绳的长，丁绳5根连接不够井深，短缺数是戊绳的长，戊绳6根连接不够井深，短缺是甲绳的长。
问井深、绳长各多少？”我们假定甲、乙、丙、丁、戊绳分别为x，y，z，s，t以及井深为u。
于是根据题意，我们得到下面的方程组：2x＋y＝u——（1）3y＋z = u——（2）4z＋s＝ u——（ 3）5s＋t＝u——（4）6t＋x＝u——（5）这里是有6个未知数5个方程式，因此是不定方程组。
我们试试解这方程组：2×（5）-（1）得： 12t- y = u——（6）3×（6）＋（2）得：36t＋z＝ 4u——（7）4×（7）-（3）得：144t-s=15u——（8）5×（8）＋（4）得：721t=76u《张丘建算经》的“百钱买百鸡”问题在距今1500多年前的南北朝时期（公元500年左右），有一位叫张丘建的数学家编辑了一本算术书叫《张丘建算经》，在下卷第38题有一个不定方程组问题。
原文如下：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。
凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”如果用x，y，z代表鸡翁，鸡母，小鸡的个数，由题意可得：x＋y＋z=100——（2）3×（1）-（2）得 14x＋8y=200化简 7x＋4y=100先解 7x＋4y=11=4-1×3＝4-（7-4×1）＝4×2-7×1＝7×（-1）＋4×2所以 7x＋4y=100的特殊解是：x0＝-100y0＝200故 7x＋4y=100的一般解是：x=-100+4ty＝200-7t由于 0＜x， y，z＜100所以 0＜-100＋4t＜100——（3）0＜200-7t＜100——（4）因此t只能是26，27，28。
所以我们得三组答案：t 鸡翁鸡母小鸡[1] 26 4 18 78[2] 27 8 11 81[3] 28 12 4 84“百鸡问题”在张丘建的书提出之后，历代的中国数学家都有叙述。
北周甄鸾在《数术记遗》，南宋杨辉在《续古摘奇算法》（1275年）也研究“百鸡问题”，在该书里有一道这样的题目：“钱一百买温柑、绿结、扁桔共一百枚，只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文，问各买几何？”这里鸡变成了柑桔！而杨辉还提出将“百鸡问题”转变为“鸡兔同笼”问题。
在清朝研究“百鸡术”的人很多像骆腾凤、时曰醇、丁取思、黄宗宪都是。
我们会在下面的部分再介绍他们的工作。
在9世纪印度数学家摩诃吠罗（Mahavira）在他的著作中有不定方程问题，和“百鸡问题”完全相同的形式出现！日本人在18世纪数学受中国的影响很大，会田安明写的《诸约混一术》有：“百钱买百果，柿每十个值十钱，梨每十个值二十钱，粟每十个二钱，问三种果各几个？”你能不能找出11组答案？《孙子算经》的“物不知数”问题成书比《张丘建算经》还要早一些的《孙子算经》共有三卷。
在下卷有一些算术难题，像“鸡兔同笼”的问题。
可是最著名的是第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如我们设未知数为N，则依题意我们得下面的不定方程组：3x＋2＝ N5y＋3＝ N7z＋ 2＝ N古代称这问题为“鬼谷算”、“秦王暗点兵”、“韩信点兵”、“剪管术”、“神奇妙算”、“大衍求一术”等等。
明朝程大位著的《算法统宗》有一个歌诀讲这个问题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
”这是什么意思呢？它是把下面的方法用歌诀来帮助记忆：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来。
如果它大于105，则减105，还大再减，一直到不能减为止，这时所得的正数就是答数了。
因此以上的《孙子算经》的问题，写成式子是：2×70＋3×21＋2×15=233233-2×105＝ 233-210＝ 2323就是答案了。
宋代有一本笔记，记载另外一首解法的诗歌：“三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇；七度上元重相会，寒食清明便可知。
”这诗需要解释才能参透其中的奥秘，古时候称正月十五日为“上元”，所以“上元”暗指15。
古时称“冬至百六是清明”，寒食是清明前一日，所以“寒食清明”暗指105。
这间题和古代历法的推算有关，可惜这方法没有流传下来，一直到宋代数学家秦九韶写《数书九章》才有系统的叙述。
这个孙子问题在外国是称为“中国剩余定理”，我在《数学和数学家的故事》第一集有详细介绍这个问题及解法。
请参阅《举世闻名的中国剩余定理——兼谈南宋秦九韶及黄宗宪的工作》一文。
印度人在古代有类似的问题，例如在公元522年巴斯卡拉（Bhoskara）的书就有：“求一数除8剩5，除9剩4，除7剩1。
”“告诉我数学家，有一被2，3，4，5，6除都剩1，可是却能被7整除。
”中国一直到清朝由于研究数学古籍才发掘秦九韶的《大衍求一术》，在这方面工作的人有张敦仁，他在1831年写《求一算术》，骆腾凤在1815年的《艺术录》中讨论大衍求一术，1873年时曰谆的《求一术指》及黄宗宪1874年《求一术通解》。
我这里想提一点是，时曰谆像著名的欧拉一样，到了晚年两只眼睛都瞎了，他在儿子的协助之下，仍顽强地研究和写作，我会在今后的《数学和数学家的故事》中介绍他的一些工作。
勾股数在丢番图的《算术》第二卷第8题是：“将一个已知的平方数分为两个平方数。
”该问题是来源于几何的毕达哥拉斯定理，中国由于在《周髀算经》有周公问商高关于测天高的问题，基本上是勾股定理，有人建议称为商高定理。
满足不定方程x2＋y2＝z2，x＜y＜z的自然数（ x，y，z）称为勾股数。
《周髀算经》提出“折矩以为勾广三、股修四、径隅五”，因此早在公元前1世纪（即2000多年前），我们的祖宗已经知（3，4，5）是勾股数。