丢番图和不定方程

丢番图和不定方程

——兼谈中国人在这方面的工作

丢番图的工作

埃及尼罗河的出海口有一个大港叫亚历山大城，它是以希腊大帝亚历山大的名字命名。在两千年前这里曾是地中海文化的一个中心。

亚历山大大帝在公元前330年建立这城市，在公元前323年他去世之后，托勒米（Ptalamy）成为埃及的统治者。他选择这里为他的帝国的国都，并且模仿雅典的吕克昂学院在这里建立了一个博物院（Museum），世界各国的学者被邀请到这里来研究教导。

英国科学史家法灵顿（B．Farrington 1891—1974）在他的书《希腊人的科书》这么描写：“在埃及首都形成这个科学和艺术新中人的心里，存在一种美国式的豪华。”

编写著名的《几何原本》的欧几里得（Euclid）是博物院的第一个希腊数学教授。

在公元250年前后有一位希腊数学家丢番图（Dioplantos公元214－218年）住在亚历山大城里，他作为一个数学教员编写了一部叫《算术》（Arithmetica）的教科书。

这书总共有13卷，可惜在10世纪时只剩下6卷，其余7卷遗失了。在15世纪这书的希腊文手抄本在意大利的威尼斯发现于是广被人注意，以后又有法国数学家巴歇的希腊—拉丁文对照本，以后还有英、德、俄等国的译本，这是一本如《几何原本》般在数学上影响很大的书。

这本书基本上是代数书，有人称他为“代数学之父”，他书中采用符号，研究了一次、二次、三次方程。他是第一个引进符号入希腊数学的人。

如第一卷第27题：“两数之和是20，乘积是96，求这两数。”

第一卷第28题：“两数之和是20，平方和是208，求这两数。”

第六卷第27题：“求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一个立方数。”

写成现代的式子，令a，b，c是直角三角形的三边，则有：

a2＋b2＝c2

a＋ b＋ c＝N3

这里就要考虑到三次方程了。

这书除了第一卷外，其余的问题几乎都是考虑未知数比方程数还多的问题，我们把这种问题叫不定方程。以后人们为了纪念丢番图把这类方程叫丢番图方程（Diophantine Equations）。

这里举几个例子，像《算术》第二卷第8题：“将一个已知的平方数分为两个平方数。”

例如将16分成两个平方数，设一个平方数是x2，另外一个是16-x2。由于要求是平方数：

16-x2＝y2

因此，我们一个方程有两个未知数x，y。第四卷第3题：“求两个平方，使其和是一个立方数。”写成代数式子是求：

x2＋y2=z3的解。

丢番图不限定解是整数的问题，而后来的人研究丢番图方程多局限为整数解，这是和他不同的地方。

一次不定方程

我们现在先考虑最简单的只有两个未知数的一个一次不定方程。这类方程一般是形如 ax ＋by=c， a、 b、 c都是整数。一般人认为这是印度数学家婆罗笈多（Brohmagupta）所给出的解决，他的方法事实上是用欧几里得的辗转相除法，我们举几个例子来说明。

例1 求1027x＋712y＝1的整数解。

我们这里a=1027， b＝712， c=1

1＝1×13-3×4

=-3×69+16×13

＝16×82-19×69

=-19×315＋73×82

＝73×712-165×315

=-165×1027+238×712

于是x0=－165，y0=238是方程的一个特殊解。

例 2 求 33x＋17y=13的整数解。

先求 33x＋17y=1的整数解

所以 1=17×1-16×1

＝33×1-16×2

故 13=33×13-16×（2×13）

即x0=13，y0=26是 33x＋17y=13的特殊解。

我们有下面的定理：

[定理] 丢番图方程 ax＋by=c有解，当且仅当 a、 b的最大公约数d=（a，b）能整除c。而它的一般解是：

x=x0+Bt

y=y0-At

这里（x0，y0）是方程的一个特殊解，A，B由a=Ad，b=Bd给出，t是任意的整数。

因此方程 33x＋17y=13的一般解是：

x=13+17t

y＝26-33t

《九章算术》的“五家共井”问题

在中国的一部最早的数学专门著述《九章算术》里有一个问题是不定方程组的问题。

在这书的第八章《方程》的第13题是这样：“今有五家共井，甲2绠（绠是汲水桶上的绳索）不足如乙1绠，乙3绠不足如丙1绠，丙4绠不足如甲1绠，丁5绠不足如戊一绠，戊6绠不足如甲1绠。如各得所不足1绠，皆逮（达到的意思）。问井深绠长各几何？”

这书在汉朝写成，文字是古汉语对我们来说是不太容易看得懂。现在翻译成白话：“有五个家庭共同用一口井，他们用甲、乙、丙、丁、戊五根长短不一样的绳子汲水，甲绳两根连接起来还不够井深，短缺数刚好是乙绳的长。乙绳3根连接还不够井深，短缺数刚好是丙

绳的长，丙绳4根连接还不够井深，短缺数刚好是丁绳的长，丁绳5根连接不够井深，短缺数是戊绳的长，戊绳6根连接不够井深，短缺是甲绳的长。问井深、绳长各多少？”

我们假定甲、乙、丙、丁、戊绳分别为x，y，z，s，t以及井深为u。于是根据题意，我们得到下面的方程组：

2x＋y＝u——（1）

3y＋z = u——（2）

4z＋s＝ u——（ 3）

5s＋t＝u——（4）

6t＋x＝u——（5）

这里是有6个未知数5个方程式，因此是不定方程组。

我们试试解这方程组：

2×（5）-（1）得： 12t- y = u——（6）

3×（6）＋（2）得：36t＋z＝ 4u——（7）

4×（7）-（3）得：144t-s=15u——（8）

5×（8）＋（4）得：721t=76u

《张丘建算经》的“百钱买百鸡”问题

在距今1500多年前的南北朝时期（公元500年左右），有一位叫张丘建的数学家编辑了一本算术书叫《张丘建算经》，在下卷第38题有一个不定方程组问题。原文如下：