丢番图方程整数解方法

求不定方程整数解的常用方法

不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括：

(1)分离整数法

此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.

例1 求不定方程02

5=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 2

31232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以2

3+x 也是整数. 由此

x+2=1，-1，3，-3，即

x=-1，-3，1，-5，

相应的.0,2,0,4=y

所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).

(2)辗转相除法

此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：

第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;

第三步，用辗转相除法解不定方程.

例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.

解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.

用辗转相除法求特解:

18433,413337,33237107+⨯=+⨯=+⨯=

从最后一个式子向上逆推得到

19107)26(37=⨯+-⨯

所以

25)259(107)2526(37=⨯⨯+⨯-⨯

则特解为

⎩⎨⎧=⨯=-=⨯-=225

259650252600y x

通解为

Z t t t y t t x ∈⎩

⎨⎧++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650 或改写为

.,3731078Z t t

y t x ∈⎩⎨⎧+=--=

(3)不等式估值法

先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.

例3 求方程1111=++z

y x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为

z y x ≥≥

所以

z

y x 111≤≤ 所以 z z z z y x z 1111111++≤++〈 即 z

z 311≤〈 所以

31≤〈z

所以.32==z z 或

当2=z 时有 2

111=+y x

所以

y

y y x y 11111+≤+〈 所以

y y 2211≤〈 所以42≤〈y

所以;46,43或相应地或===x y y

当3=z 时有

3211=+y x 所以

y y y x y 11111+≤+〈 所以 y y 2321≤〈 所以.3;3,3==≤x y y 相应地

所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x

(4)逐渐减小系数法

此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.

例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.

解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.

有10737〈，用y 来表示x ，得 37

412313710725y y y x +-+-=-=

则令 12374,37

412=-∈=+-m y Z m y 即

由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=

令.4,4

t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t t

y t x ∈⎩⎨⎧=+--=,3731078

注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.

②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.

⎩

⎨⎧⎩⎨⎧∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或

(5)分离常数项的方法

对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.

例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.

解 原方程等价于

0)28(5)1(331405314353=-+-⇔+=+⇔=+y x y x y x

因为

()15,3=

所以

⎩⎨⎧∈=-=-Z t t

y t x ,32851

所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩

⎨⎧+=-=

(6)奇偶性分析法

从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.

例6 求方程32822=+y x 的正整数解.