浙江省宁波市某师大附中招生数学真卷【精校】.pdf
浙江省宁波市某师大附中招生数学真卷_201808131257211
))(时间:分钟总分:分)一、填空题。
(第小题每空分,其余每空分,共分)(∶===(=()()在○里填上“ ”“ ” 或“=”。
(≠ )一辆小汽车的牌照是○□△(一个四位数),已知○+○=□,○+□+□+=,△+△=○,那么它的牌照号码是()。
在比例尺为∶的地图上量得温州至杭州的距离是厘米,两地实际相距()千米,如果一辆汽车以每小时千米的速度于上午时分从温州开出,那么将在下午()时()分到达杭州。
央视二套“购物街”栏目有一个价格游戏,一个口袋里装颗白球,颗彩色球,任意摸一颗,摸到白球算“爆”。
那第一次摸“爆”的可能性是()。
一个圆柱和圆锥的底面半径和高分别相等,已知圆柱的体积比圆锥的体积多,圆柱的体积是(),圆锥的体积是()。
对于非零自然数和,规定符号的含义是=(是一个确定的整数)。
如果=,那么是()。
观察右边的扇形统计图,并填空。
()如果用这个圆代表总体,那么扇形()表示总体的。
()如果用整个圆代表公顷的稻田,那扇形大约代表()公顷。
()如果用整个圆代表某校全体学生的人数,已知扇形比扇形多,且多人,全校有()人。
王宏买了年期的国家建设债券元,如果年利率为,到期时他可获本金和利息共()元。
一种练习本,提价后,又降价,现价与原价的比是()。
一个比例的两个内项都是,其中一个外项是,另外一个外项是()。
梯形上底与下底的比是∶,阴影三角形的面积为平方厘米,空白三角形的面积是()平方厘米。
二、判断题。
(分)一个自然数,不是奇数就是偶数。
()一根绳子长米,也可以写成米。
()圆有无数条对称轴。
()一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等,体积也相等,则圆锥的高是圆柱的高的3倍。
()甲数的与乙数的相等,则甲数一定比乙数大。
()三、选择题。
(分)一个零件的实际长度是毫米,但在图上量得长是厘米,这幅图的比例尺是()。
∶∶∶1 ∶下列分数中能化成有限小数的是()。
某人从甲地到乙地需要小时,他走了小时,还有米没有走,他已经走了多少米?正确的算式是()。
某师大附中分班试卷数学试题
某师大附中分班试卷数学试题说明:本试题满分100分,考试时间90分钟。
一、填空题(每小题3分,共30分)1.在比例式中,两个外项互为倒数,其中一个内项是2.5,另一个内项是( )。
2.已知某地一天中的最高温度为10℃,最低温度为-5℃,则这天的温差(最高温度减最低温度)为( )℃。
3.一个三位小数用四舍五入法取近似值是8.30,这个数原来最大是( ),最小是( )。
4.六(1)班第一小组中女生和男生人数比是1:3,这次期中考试的平均成绩是82分,其中男生的平均成绩是80分,那么女生的平均成绩是( )分。
5.如果从第一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a 克,再称得剩余电线的质量为b 克,那么原来这卷电线的总长度是( )米。
6.口袋中有红球若干,放入10个黄球,充分搅匀后,摸到黄球的概率为131,则口袋中有红球约( )个。
7.下面各题中的两种相关的量:①定期一年的利息和本金;②一段路,每天修的米数和所用的天数;③圆的面积和半径;④8小时做零件的个数和做一个零件用的时间。
成正比例关系的是( )。
(填序号)8.把数字1,2,3,6,7分别写在五张卡片上,从中任取两张卡片拼成两位数。
卡片“6”也可以当9用,在这些两位数中质数的个数是( )个。
9.有3个吉利数888,518,666,用它们分别除以同一个自然数,所得的余数依次为a ,7+a ,10+a ,则这个自然数是( )。
10.如下图,有一只狗被拴在一建筑物的墙角处,这个建筑物是边长都等于6米的等边三角形,绳长是8米。
求绳被狗拉紧时,狗运动后所围成的总面积为( )。
(结果保留π)二、计算题(每小题5分,共30分)1.)2.035311(8.445+÷÷⨯2.27198)27185(+⨯+3.若983.0]3)21(75.052[12=÷⨯⊕++⨯+,则“⊕”代表的数字是多少? 4.)9921()9921()521()521()321()321(-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-⨯+ 5.[A]表示自然数A 的因数的个数。
2024-2025学年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷和答案
2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题:本题共10小题,每小题3分,共30分。
1.若,且,则______.2.______.3.已知正实数a,b,c满足,则的最小值为______.4.已知函数,当时,y有最大值5,则a的值为______.5.已知中,BC上的一点D,,,则的最大值为______.6.若点T为线段BC中点,,且,,,,则______.7.如图,在中,G,E分别在AB,AC上,连结BE交AF于O,若,,G,O,C共线,的面积为11,则的面积为______.8.已知整数x,y,z满足,则的最小值为______.9.已知x,y,z是大于1的正整数,且为整数,则______.10.已知EA、EC为圆O的两条切线,连结DE交圆于点B,若,,,则______.二、解答题:本题共2小题,共16分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
11.本小题8分已知,矩形OAPB的A,B顶点分别在x轴,y轴上,反比例函数与矩形的BP,AP分别交于D,C,的面积为判断并证明直线CD与AB的关系.求k的值.若E,F分别为直线AB和反比例函数上的动点,M为EF中点,求OM的最小值.12.本小题8分如图,在中,,D是垂心,O是外心,延长AD交BC于E,于求证:证明:B,O,D,C四点共圆.若,求答案和解析1.【答案】【解析】解:,,,,,是方程的两个根,,故答案为根据观察方程组的系数特点,可把方程组转化成的形式,其中x,是其两个不等的实数根,利用根与系数的关系,得到结果.本题考查了解方程组,一元二次方程根与系数关系的应用.关键是观察方程组的系数特点,得到x,是方程的两个根,得到结果.2.【答案】【解析】解:原式故答案为:将改写为,改写为,…,再利用裂项相消法即可解决问题.本题主要考查了数字变化的规律,能将改写为,改写为,…,及熟知裂项相消法是解题的关键.3.【答案】18【解析】解:构造图示的三个直角三角形,即,,,满足,,,,,,则由勾股定理可知,即同理可得,,所以可知当A,C,E,G四点共线时,最小,即为AG长,当当A,C,E,G四点共线时,在中故答案为本题利用几何法求解,通过构造图示的三个直角三角形,即,,,则由勾股定理可知,即同理可得,,所以可知当A,C,E,G四点共线时,最小,即为AG长,本题主要考查二次根式最值问题,用几何法构造直角三角形,结合最短路径问题是解决问题的关键.4.【答案】1或7【解析】解:由题意,的对称轴是直线,当时,又当时,,当时,,①当最大值为,或不合题意;②当最大值为,或,均不合题意;③当最大值为,不合题意或综上,或故答案为:1或依据题意,由的对称轴是直线,结合当时,,又当时,,当时,,进而分类讨论即可判断得解.本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质:绝对值、二次函数的最值,解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.5.【答案】【解析】解:如图,以CD为边作等边三角形CDO,连接AO,过点O作于E,,设,则,,,点A在以O为半径,OC为半径的圆上运动,当AB与圆O相切时,有最大值,此时:,是等边三角形,,,,,又,,,四边形AOEB是平行四边形,又,四边形AOEB是矩形,,故答案为:由题意可得点A在以O为半径,OC为半径的圆上运动,则当AB与圆O相切时,有最大值,由“HL”可证,可得,可证四边形AOEB是矩形,可得,即可求解.本题考查了四点共圆,圆的有关知识,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质等知识,确定点A的运动轨迹是解题的关键.6.【答案】3【解析】解:如图,过T作延长DT交AB于,,为线段BC中点,,在和中,,≌,,,面积,,,,,,,故答案为:先画出图形,过T作延长DT交AB于由,得,再证明≌,得,,由面积,得,,,,,,最后再计算即可.本题考查了平行线的性质,利用中线倍长是解题关键.7.【答案】30【解析】解:梅涅劳斯定理:如图,,证明:过A作交BC延长线于点M,则,,;塞瓦定理:如图,,证明:根据上述梅涅劳斯定理,可得出,在中,COG是梅涅线,①在中,BOE是梅涅线,②根据梅涅劳斯定理,在中,COG是梅涅线,,,,,,,,根据塞瓦定理可得,,,而,,故答案为:根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出和,从而得出,再利用即可得解.本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容,在初中竞赛、自招、强基等题目中,梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容.8.【答案】118【解析】解:,,,,,,即,故答案为:根据,得出,从而得出结论.本题考查了因式分解的应用,关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质.9.【答案】12【解析】解:、y、z是大于1的正整数,是分数,为假分数,为整数,且分子分母能互相约分,,①当,时,分子中定有7,分母中有7才能进行约分,当时,,故符合题意,,②,时,分子中定有13,分母中有13才能进行约分,当时,不是整数,故不符合题意,③,时,分子中定有21,分母中有21才能进行约分,当时,不是整数,故不符合题意,…………其余情况依次讨论均不符合题意故答案为:根据x、y、z的条件和三个分数的乘积为整数,得出x、y、z的值,进而求和.本题考查了分式的混合运算,关键是根据已知条件分类讨论得到x、y、z的值.10.【答案】【解析】解:连接OA,OD,OC,作,设,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍,,,,是等边三角形,,,,CE是的切线,,,,,,,,,∽,,同理可证:∽,得出:,,,,,是直径,,,,,,,,,,,,连接OA,OD,OC,作,设,证是等边三角形,得出,证∽,∽,得出,得出CD是直径,再解直角三角形,求出m,即可.关键.11.【答案】解:如图1,,理由如下:由题意得,,,,,,,,,,∽,,;如图2,作于G,,,,,,舍去,;如图2,取点,,则直线与直线AB关于O对称,连接EO,并延长交于H,连接FH,则,是EF的中点,,当FH最小时,OM最小,作直线,交y轴与Q,且使QR与双曲线在第一象限的图象相切,切点为,作于R,作,则FH的最小值是的长,直线AB的解析式为:,设直线QR的解析式为:,由整理得,,,,舍去,,,,,,,,,【解析】可表示出,,从而得出,,进而表示出PD和PC,进而得出,进而证得∽,从而,从而得出;作于G,可推出,进一步得出结果;取点,,则直线与直线AB关于O对称,连接EO,并延长交于H,连接FH ,则,可得出当FH最小时,OM最小,作直线,交y轴与Q,且使QR与双曲线在第一象限的图象相切,切点为,作于R,作,则FH的最小值是的长,可设直线QR的解析式为:,由整理得,,从而得出求得m的值,进一步得出结果.组之间的关系,三角形中位线的性质,解直角三角形等知识,解决问题的关键是作辅助线,构造三角形的中位线.12.【答案】解:根据题意,以O为圆心,OB为半径作圆O,延长BO交圆于点F,延长BD交AC于点M,连接OC,CD,AF,FC,是直径,,,为垂心,,,,,,是平行四边形,,,,,,设半径为r,,,又,;为垂心,,,,,,,,,、C、D、O四点共圆;设,,,在直角中,,,,,,,在直角中,,即:,在直角中,,即:,,,在中,,即:,,或舍去,【解析】由垂心,得到垂直关系,结合圆周角度数为,得到圆心角的度数,得到AFCD是平行四边形,从而得到结果;先求出,再结合,,得到四点共圆;设,用x表示出的各边,利用勾股定理,得到一元二次方程,利用求根公式求方程的根,得到结果.本题考查了圆的综合应用,涉及到直角三角形勾股定理的应用,圆周角、圆心角、平行四边形的性质的应用,关键是四点共圆的判断,因为共底边的两个三角形的底角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆.。
师大附中初中部试卷数学
一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列数中,哪个是负数?A. -5B. 0C. 5D. -32. 一个数的绝对值是5,那么这个数可能是:A. 5B. -5C. 0D. ±53. 下列哪个是等差数列?A. 2, 4, 6, 8, 10B. 1, 3, 5, 7, 9C. 3, 6, 9, 12, 15D. 4, 8, 12, 16, 204. 下列哪个是等比数列?A. 2, 4, 8, 16, 32B. 1, 2, 4, 8, 16C. 3, 6, 12, 24, 48D. 5, 10, 20, 40, 805. 下列哪个方程的解是x=2?A. 2x + 3 = 7B. 3x - 2 = 7C. 4x + 1 = 9D. 5x - 3 = 76. 下列哪个图形的面积是16平方厘米?A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 梯形7. 一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米,它的体积是:A. 24立方厘米B. 24立方分米C. 24立方米D. 24平方厘米8. 下列哪个角度是直角?A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 下列哪个图形是平行四边形?A. 正方形B. 矩形C. 三角形D. 梯形10. 下列哪个比例是正确的?A. 2:3 = 4:6B. 3:4 = 6:8C. 4:5 = 8:10D. 5:6 = 10:12二、填空题(每题5分,共25分)11. 若a + b = 10,a - b = 2,则a = ______,b = ______。
12. 若3x - 4 = 5,则x = ______。
13. 若x² - 4x + 4 = 0,则x = ______。
14. 若∠A + ∠B + ∠C = 180°,且∠A = 30°,∠B = 60°,则∠C = ______。
15. 一个圆的半径是r,它的面积是 ______。
浙师大附中直升班招生考试数学试题卷
2016年浙师大附中直升班招生考试数学试题卷一.选择题(30分)1. 在中,AC 平分∠DAB ,AB=3, 则的周长为( )A. 15B. 12C. 9D. 62. 将一个质地均匀的正方体骰子投掷一次,则向上一面的点数与数3相差2的概率是( )A. 31B. 61C. 21D. 51 3. 若点C 是线段AB 的黄金分割点,且AB=2,则线段AC 的长是( )A. 15-B. 3-5C. 215-D. 15-或53-4. 已知a=5+2, b=5-2, 则722++b a 的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 65. 不等式⎩⎨⎧<>+1||0)2(x x x 的解为( )A.-2<x<-1B. -1<x<0C. 0<x<1D. x>16. 若关于x 的方程c c x x 22+=+的两解分别为x 1=c, x 2=c2,则关于x 的方程1212-+=-+m m x x 的解为( ) A. m,m 2 B. m -1, 12-m C. m, 12-m D. m, 11-+m m 7. 如图,如果△ABC 是等腰Rt △,∠ACB=∠CDB=90°,AB=25,CD=3BD ,那么△ABD 的面积为( )A. 5B. 3C. 2D. 23 8. 关于x 的方程ax 2-(3a+1)x+2(a -1)=0有两个不相等的实数根x 1, x 2, 且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ,则a的值是( )A. 1B. -1C. 1或-1D. 29. 如图,把Rt △ABC 放在平面直角坐标系内,其中∠CAB=90°, BC=5,点A, B 的坐标分别为(1,0)(4,0),将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在直线y=2x -6上时,线段BC 扫过的( )A. 28B. 16C. 8D. 410. 如图,有9个格点,若每个格点小正方形的边长为1,则tan α + tan β的值是( ) A. 1225 B. 34 C. 1 D. 43二、填空题(本大题有8个小题,每小题4分,共32分)11. 函数1+=x y ,自变量x 的取值范围是___________12. 某公交车从起点站A 到终点站C, 如果A 站有(5a -4)乘客上车,途经B 站时有(7-2a) 名乘客下车,那么a 的值可能为________13. 如图,矩形ABCD 中,点E 在边AD 上,且EF ⊥EC, EF=EC, DE=2, 矩形的周长为16, 则AE 的长是___________14. 如果a, b 为常数,当k 取任何实数时,关于x 的函数y=(a + 2k)x + 3-bk 图象都经过点 (1, 0), 那么a+b 的值为___________15. 如图,直角梯形ABCD 中,AB//CD ,∠B=90°,AB=a, BC=b, CD=c ,以AD 为直径作⊙0, 如果⊙0与BC 没有交点,那么关于x 的方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)__________实数根.16. 把正偶数按从左到右,从上到下的原则排列成如图所示的三角形数表,第i 行有i 个数,设a i,j (i ,j 为正整数)表示这个三角形数表中从上往下数第i 行,从左往右数第j 个数,例如a 3,2表示第3行第2个数,即a 3,2=10. 若a i,j =2016, 则i+j=_________17. 在平面直角坐标系中,若直线y=-x+2a 与函数y=|3x -a|-1的图像只有一个交点,则a 的 值是________18. 在平面直角坐标系中,设点A (a, a ),点P 反比例函数xy 1=(x>0)的图象上的一动点, 若点P , A 之间的最短距离为22,则a 的值是_________三.解答题(58分)19. (本题满分10分)已知m,n 为实数,且m(m+n)=3n(m+n), 求222232nmn m n mn m -+++的值。
浙江省宁波市某师大附中招生数学真卷
))浙江省宁波市某师大附中招生数学真卷(时间:分钟总分:分)一、填空题。
(第小题每空分,其余每空分,共分)(∶===(=()()在○里填上“ ”“ ” 或“=”。
(≠)一辆小汽车的牌照是○□△(一个四位数),已知○+○=□,○+□+□+=,△+△=○,那么它的牌照号码是()。
在比例尺为∶的地图上量得温州至杭州的距离是厘米,两地实际相距()千米,如果一辆汽车以每小时千米的速度于上午时分从温州开出,那么将在下午()时()分到达杭州。
央视二套“购物街”栏目有一个价格游戏,一个口袋里装颗白球,颗彩色球,任意摸一颗,摸到白球算“爆”。
那第一次摸“爆”的可能性是()。
一个圆柱和圆锥的底面半径和高分别相等,已知圆柱的体积比圆锥的体积多,圆柱的体积是(),圆锥的体积是()。
对于非零自然数和,规定符号的含义是=(是一个确定的整数)。
如果=,那么是()。
观察右边的扇形统计图,并填空。
()如果用这个圆代表总体,那么扇形()表示总体的。
()如果用整个圆代表公顷的稻田,那扇形大约代表()公顷。
()如果用整个圆代表某校全体学生的人数,已知扇形比扇形多,且多人,全校有()人。
王宏买了年期的国家建设债券元,如果年利率为,到期时他可获本金和利息共()元。
一种练习本,提价后,又降价,现价与原价的比是()。
一个比例的两个内项都是,其中一个外项是,另外一个外项是()。
梯形上底与下底的比是∶,阴影三角形的面积为平方厘米,空白三角形的面积是()平方厘米。
二、判断题。
(分)一个自然数,不是奇数就是偶数。
()一根绳子长米,也可以写成米。
()圆有无数条对称轴。
()一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等,体积也相等,则圆锥的高是圆柱的高的倍。
()甲数的与乙数的相等,则甲数一定比乙数大。
()三、选择题。
(分)一个零件的实际长度是毫米,但在图上量得长是厘米,这幅图的比例尺是()。
∶∶∶∶下列分数中能化成有限小数的是()。
某人从甲地到乙地需要小时,他走了小时,还有米没有走,他已经走了多少米?正确的算式是()。
最新浙师大附中直升班招生考试数学试题卷
2016年浙师大附中直升班招生考试数学试题卷一.选择题(30分)1. 在中,AC 平分∠DAB ,AB=3, 则的周长为( )A. 15B. 12C. 9D. 62. 将一个质地均匀的正方体骰子投掷一次,则向上一面的点数与数3相差2的概率是( )A. 31B. 61C. 21D. 51 3. 若点C 是线段AB 的黄金分割点,且AB=2,则线段AC 的长是( )A. 15-B. 3-5C. 215-D. 15-或53-4. 已知a=5+2, b=5-2, 则722++b a 的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 65. 不等式⎩⎨⎧<>+1||0)2(x x x 的解为( )A.-2<x<-1B. -1<x<0C. 0<x<1D. x>16. 若关于x 的方程c c x x 22+=+的两解分别为x 1=c, x 2=c2,则关于x 的方程1212-+=-+m m x x 的解为( ) A. m,m 2 B. m -1, 12-m C. m, 12-m D. m, 11-+m m 7. 如图,如果△ABC 是等腰Rt △,∠ACB=∠CDB=90°,AB=25,CD=3BD ,那么△ABD 的面积为( )A. 5B. 3C. 2D. 23 8. 关于x 的方程ax 2-(3a+1)x+2(a -1)=0有两个不相等的实数根x 1, x 2, 且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ,则a的值是( )A. 1B. -1C. 1或-1D. 29. 如图,把Rt △ABC 放在平面直角坐标系内,其中∠CAB=90°, BC=5,点A, B 的坐标分别为(1,0)(4,0),将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在直线y=2x -6上时,线段BC 扫过的( )A. 28B. 16C. 8D. 410. 如图,有9个格点,若每个格点小正方形的边长为1,则tan α + tan β的值是( ) A. 1225 B. 34 C. 1 D. 43二、填空题(本大题有8个小题,每小题4分,共32分)11. 函数1+=x y ,自变量x 的取值范围是___________12. 某公交车从起点站A 到终点站C, 如果A 站有(5a -4)乘客上车,途经B 站时有(7-2a) 名乘客下车,那么a 的值可能为________13. 如图,矩形ABCD 中,点E 在边AD 上,且EF ⊥EC, EF=EC, DE=2, 矩形的周长为16, 则AE 的长是___________14. 如果a, b 为常数,当k 取任何实数时,关于x 的函数y=(a + 2k)x + 3-bk 图象都经过点 (1, 0), 那么a+b 的值为___________15. 如图,直角梯形ABCD 中,AB//CD ,∠B=90°,AB=a, BC=b, CD=c ,以AD 为直径作⊙0, 如果⊙0与BC 没有交点,那么关于x 的方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)__________实数根.16. 把正偶数按从左到右,从上到下的原则排列成如图所示的三角形数表,第i 行有i 个数,设a i,j (i ,j 为正整数)表示这个三角形数表中从上往下数第i 行,从左往右数第j 个数,例如a 3,2表示第3行第2个数,即a 3,2=10. 若a i,j =2016, 则i+j=_________17. 在平面直角坐标系中,若直线y=-x+2a 与函数y=|3x -a|-1的图像只有一个交点,则a 的 值是________18. 在平面直角坐标系中,设点A (a, a ),点P 反比例函数xy 1=(x>0)的图象上的一动点, 若点P , A 之间的最短距离为22,则a 的值是_________三.解答题(58分)19. (本题满分10分)已知m,n 为实数,且m(m+n)=3n(m+n), 求222232nmn m n mn m -+++的值。
浙江省宁波市杭州师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
浙江省宁波市杭州师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题一、单选题1.二次函数2(1)3y x =++图像的顶点坐标是( )A .(1,3)-B .(1,3)-C .(1,3)D .(1,3)-- 2.抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次,骰子的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.则朝上一面的数字为偶数的概率是( )A .16B .13C .12 D .563.已知实数a 、b 满足32a b =,则a b的值为( ) A .32 B .23 C .6 D .944.如图,O e 的半径为5,直角三角板30︒角的顶点A 落在O e 上,两边与O e 交于点,B C ,则弦BC 的长为( )A .3B .4C .5D .65.如图,下列条件中能判定DAC ABC V V ∽的是( )A .2AC BC CD =⋅B .2CD AD DB =⋅C .AC AB CD BC = D .CD BC DA AC= 6.如图,在⊙O 的内接四边形ABCD 中,AB 是直径,∠BCD=120°,∠APD=30°,则∠ADP 的度数为( )A .45°B .40°C .35°D .30°7.已知点()11,A y 、()2B y 、()32,C y -在函数()()210y a x m a =+->上,则1y 、2y 、3y 的大小关系是( ) A .132y y y >> B .123y y y >> C .312y y y >> D .213y y y >> 8.如图,AB 是O e 的直径,弦CD AB ⊥,垂足为点M .连接OC DB ,.如果60COB ∠=︒,图中阴影部分的面积是2π,那么图中阴影部分的弧长是( )A B C D .9.如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与轴交于点(3,0)-,其对称轴为直线12x =-,结合图象分析下列结论:0abc >①;30a c +>②;③当0x <时,y 随x 的增大而增大;④一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为13x =-, 22x =;⑤若m , n m n <()为方程(3)(2)30a x x +-+=的两个根,则3m <-且2n >,其中正确的结论有( )个.A .2B .3C .4D .510.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示.过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ,连结CG ,延长BE 交CG 于点H .若2AE BE =,则CG BH的值为( )A .32BC D二、填空题11.八年级的小亮和小明是好朋友,他们都报名参加学校的田径运动会,将被教练随机分进甲、乙、丙三个训练队,他俩被分进同一训练队的概率是.12.在平面直角坐标系中,将抛物线223y x =-+向左平移1个单位,再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为.13.一条弦恰好等于圆的半径,则这条弦所对的圆周角为 .14.如图,在钝角ABC V 中,6cm AB =,12cm AC =,点D 从A 点出发沿AB 以1cm /s 的速度向B 点移动,点E 从C 点出发沿CA 以2cm /s 的速度向A 点移动,如果两点同时移动,经过秒时,ADE V 与ABC V 相似.15.定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图,在正方形OABC 中,点()0,2A ,点()2,0C ,则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是.16.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.三、解答题17.为庆祝中国共产党建党100周年,某校组织七、八、九年级学生参加了“颂党恩,跟党走”作文大赛.该校对参赛作文分年级进行了统计,并绘制了图1和图2不完整的统计图,各年级参赛作文篇数统计图请根据图中信息回答下面的问题:(1)参赛作文的篇数共篇:(2)图中:m=,扇形统计图中九年级所对应的圆心角度数为︒;(3)把条形统计图补充完整:(4)经过评审,全校共有4篇作文获得特等奖,其中有一篇来自七年级,学校准备从特等奖作文中选取2篇刊登在学校校报上请用树状图或列表法求七年级特等奖作文被刊登在校报上的概率.18.如图,在66 的正方形方格中,每个小正方形的边长都是1,顶点都在网格线的交点处的三角形,ABC V 是一个格点三角形.(1)在图①中,ABC V 与DEF V 的相似比为______;(2)在图②,中,以O 为位似中心,再画一个格点三角形,使他与ABC V 的位似比为2:1;(3)在图③中,请画出所有满足条件的格点三角形,它与ABC V 相似,且有一条公共边和一个公共角.19.如图,⊙O 是△ABD 的外接圆,AB 为直径.点C 是弧AD 的中点,连接OC ,BC 分别交AD 于点E ,F .(1)求证:∠CAD =∠CBA ;(2)若AB =10,BC =8,求OE 的长.20.某商店销售一种商品,经市场调查发现:在实际销售中,售价x 为整数,且该商品的月销售量y (件)是售价x (元/件)的一次函数,其售价x (元/件)、月销售量y (件)、月销售利润w (元)的部分对应值如表:注:月销售利润=月销售量×(售价-进价)(1)求y 关于x 的函数表达式;(2)当该商品的售价是多少元时,月销售利润最大?并求出最大利润;(3)现公司决定每销售1件商品就捐赠m 元利润(6m ≤)给“精准扶贫”对象,要求:在售价不超过52元时,每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x 的增大而增大,求m 的取值范围.21.[概念引入]在一个圆中,圆心到该圆的任意一条弦的距离,叫做这条弦的弦心距.[概念理解](1)如图1,在O e 中,半径是5,弦8AB =,则这条弦的弦心距OC 长为 .(2)通过大量的做题探究;小明发现:在同一个圆中,如果两条弦相等,那么这两条弦的弦心距也相等.但是小明想证明时却遇到了麻烦.请结合图2帮助小明完成证明过程如图2,在O e 中,AB CD =,OM AB ⊥,ON CD ⊥,求证:OM ON =.[概念应用]如图3,在O e 中16AB CD ==,O e 的直径为20,且弦AB 垂直于弦CD 于E ,请应用上面得出的结论求OE 的长.22.【感知】(1)如图①,在四边形ABCD 中,∠C=∠D=90°,点E 在边CD 上,∠AEB=90°,求证:AE EB =DE CB. 【探究】(2)如图②,在四边形ABCD 中,∠C=∠ADC=90°,点E 在边CD 上,点F 在边AD 的延长线上,∠FEG=∠AEB=90°,且EF EG =AE EB,连接BG 交CD 于点H .求证:BH=GH . 【拓展】(3)如图③,点E 在四边形ABCD 内,∠AEB+∠DEC=180°,且AE EB =DE EC ,过E 作EF 交AD 于点F ,若∠EFA=∠AEB ,延长FE 交BC 于点G .求证:BG=CG .23.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-32且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;(2)点P为线段AB上的动点,求AP+2PC的最小值;(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.。
(50)2015年某师大附中入学数学真卷(二)
(50)2015年某师大附中入学数学真卷(二)没有答案(满分:120分时间:80分钟)一、填空题(每小题3分,共30分)1.将从1开始的自然数分组如下:()1,()2,3,4,()5,6,7,8,9,()10,11,12,13,14,15,16 按此规律第15组第7个数是__________.2.某粮店运来100千克装的大米若干袋,如果按原价提高20%出售,则卖掉大米数量的34又10袋时,即已收回成本.则粮店运来大米____________袋.3.一个自然数与4的和能被6整除,与4的差能被8整除,求满足上述条件的最小的自然数是____________.4.如图,用3根火柴可以摆出第1个正三角形,加上2根火柴可以摆出第2个正三角形,再加上2根火柴可以摆出第3个正三角形 这们继续下去,摆出第51个正三角形时共用____________根火柴.5.长180厘米的一条绳子,从一端开始每3厘米作一记号,每4厘米也作一记号,然后将有记号的地方剪断,绳子共剪成的段数为____________.6.一项工程甲、乙两队合作12天完工,现由甲队做了3天,乙队做了5天,完成这项工程的27,单独完成这项工程,乙队需要______________天.7.一辆汽车由A 地到B 地,原计划用5小时20分钟,由于途中有335千米的道路不平,走这段不平的路时,速度只相当于原速度的34,因此比计划晚到了12分钟.则A 、B 两地间的路程长为_________千米. 8.设标有A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 记号的七盏灯顺次排成一行,每盏灯安装一个天关,现在A 、C 、E 、G 四盏灯开着,其余三盏灯是关的.小刚从灯A 开始,顺次拉动开关,即:从A 到G ;再从A 顺次拉动开关,即:又从A 到G 他这样拉动了2006次开关后,_____________是开着的(请填出记号).9.赵先生向商店订购某种商品,每件定价100元,共订购60件,赵先生对商店经理说:“如果你肯减价,每减1元,我就多订购3件.”商店经理算了一下,如果减价5%,由于赵先生多订购,仍可与原来一样多的利润.这种商品成本是__________元.10.对于任意的自然数x 、y ,定义()21f x x =-,()21g y y =÷+,则()()()()103f g g f -=____________. 二、计算题(每小题5分,共40分) 1.22323423450121231234123450+++++++⨯⨯⨯⨯+++++++++++ 2.4161143979403917991714112⨯+⨯+⨯+÷ 3.1155911111191119⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4.111111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5.35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 6.200220022002200220022002200320032003200320032003++++ 7.小亮在一个圆上订了三颗钉子A 、B 、C ,并用橡皮筋把这三颗钉子套住,围成三角形,如图,直径两端的钉子A 、B 不动,而钉子C 沿着圆周运动,移动时C 点到直径AB 的距离每增加1厘米,橡皮筋所围成的ABC △的面积就增加2平方厘米.圆的面积是多少平方厘米?(π取3.14)8.如图,将边长为1的正三角形放在一条直线上,让ABC △绕顶点C 到达位置Ⅱ,再继续这样转动到三二一BA达位置Ⅲ,则A 点走过的路程长为多少?(π取3)三、应用题(每小题10分,共50分)1.一个长方体如果长增加10厘米,则体积增加300立方厘米;如果宽增加8厘米,则体积增加320立方厘米;如果高增加6厘米,则体积增加288立方厘米.问原长方体的表面积是多少平方厘米?2.如图所示,一条环形公路上有四个仓库,图中两个仓库间的数为两个仓库间路程的千米数,A 仓存盐40吨,B 仓存盐5吨,C 仓存盐35吨,D 仓位空仓.现在要调整存放量,计划使A 、B 、C 、D 四个仓库存盐量相等.已知每一吨盐运1千米,运费为2元.要运完上述调运计划,最节省的方案需要运费多少元?3.一个自然数被8除余1,所得的商被8除也余1,再把第二次所得的商被8除后余7,最后得到一个商是a ,又知这个自然数被17除余4,所得的商被17除余15,最后得到一个商是a 的2倍,求这个自然数.4.西北某地区改造沙漠,从2002年起“治沙种草”,规定每一个新增草地面积达10亩的农户,当年可得生活补贴1500元,且每超出1亩另奖a 元,另外治沙种草后的土地从下一年起每亩平均有b 元的种草收入.某农户2002年新增种草地20亩,共得收入2600元;2003年又新增种草地26亩,共得收入5060元,试确定a 、b 的值.5.某校学生列队以8千米/时的速度前进,在队尾,校长让一名学生跑步到队伍的最前面找带队老师传达一个指示,然后立即返回队尾,这位学生的速度为12千米/时,从队尾出发赶到排头又回到队尾共用了7.2分钟,问学生队伍的长是多少米? ⅢⅡⅠC BA。
2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷(含答案)
2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题:本题共10小题,每小题3分,共30分。
1.若xy ≠−1,且{4x 2+9x +3=03y 2−9y +4=0,则x y = ______.2.11+2+11+2+3+11+2+3+4+⋯+11+2+3+⋯+2024= ______.3.已知正实数a ,b ,c 满足a +b +c =6,则 a 2+18+ b 2+32+ c 2+50的最小值为______.4.已知函数y =|x 2+2x−a +3|,当−2≤x ≤1时,y 有最大值5,则a 的值为______.5.已知△ABC 中,BC 上的一点D ,2BD =CD ,∠DAC =30°,则∠ABD 的最大值为______.6.若点T 为线段BC 中点,AT ⊥DT ,且AT =2,DT =1,AB//CD ,BC = 13,则AB CD = ____.7.如图,在△ABC 中,G ,E 分别在AB ,AC 上,连结BE 交AF 于O ,若BO OE =92,AE EC =12,G ,O ,C 共线,△GEF 的面积为11,则△OBC 的面积为______.8.已知整数x ,y ,z 满足xy +yz +zx =118,则x 2+y 2+z 2的最小值为______.9.已知x ,y ,z 是大于1的正整数,且(x +1y )(y +1z )(z +1x )为整数,则x +y +z = ___.10.已知EA 、EC 为圆O 的两条切线,连结DE 交圆于点B ,若BC =6,AB =3,∠ABD =30°,则BD = ______.二、解答题:本题共2小题,共16分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
11.(本小题8分)已知P(3,4),矩形OAPB 的A ,B 顶点分别在x 轴,y 轴上,反比例函数y =kx (x >0,k >0)与矩形的BP ,AP 分别交于D ,C ,△COD 的面积为4.5.(1)判断并证明直线CD 与AB 的关系.(2)求k 的值.(3)若E ,F 分别为直线AB 和反比例函数上的动点,M 为EF 中点,求OM 的最小值.12.(本小题8分)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,D是垂心,O是外心,延长AD交BC于E,OH⊥BC于H.(1)求证:2OH=AD.(2)证明:B,O,D,C四点共圆.(3)若BE=2CE=2,求DE.参考答案1.−342.202320253.184.1或75.90°6.37.308.1189.1210.4 311.解:(1)如图1,CD//AB ,理由如下:由题意得,C(3,k 3),D(k 4,4),∴BD =k 4,AC =k 3,∴PD =PB−BD =3−k 4=12−k 4,PC =PA−AC =4−k 3=12−k 3,∴PD PC =34,∴PD PC =PB PA ,∵∠P =∠P ,∴△PCD ∽△PAB ,∴∠PDC =∠PBA ,∴CD//AB ;(2)如图2,作DG ⊥OA 于G ,∵S △AOC =S △DOG =12k ,∴S △COD =S 四边形AOCD −S △AOC =(S △DOG +S 梯形ACDG )−S △AO C =S 梯形ACDG ,∴12(AC +DG)⋅PD =4.5,∴(4+k 3)⋅(3−k 4)=9,∴k 1=6,k 2=−6(舍去),∴k =6;(3)如图2,取点A′(−3,0),B′(0,−4),则直线A′B′与直线AB 关于O 对称,连接EO ,并延长交A′B′于H ,连接FH ,则OE =OH ,∵M 是EF 的中点,∴OM =12FH ,∴当FH 最小时,OM 最小,作直线QH//AB ,交y 轴与Q ,且使QR 与双曲线y =6x 在第一象限的图象相切,切点为F′,作B′R ⊥QR 于R ,作F′T ,则FH 的最小值是F′T 的长,∵直线AB 的解析式为:y =−43x +4,∴设直线QR 的解析式为:y =−43x +m ,由−43x +m =6x 整理得,4x 2−3mx +18=0,∴Δ=(−3m )2−4×4×18=0,∴m 1=4 2,m 2=−4 2(舍去),∴OQ =4 2,∴QB′=4 2+4,∵∠AOB =90°,OA =3,OB =4,∴AB =5,∴sin ∠RQB′=sin ∠ABO =OB AB =45,∴F′H =B′R =BQ ⋅sin ∠RQB′=162+165,∴OM 最小=12F′H =8 2+85. 12.解:(1)根据题意,以O 为圆心,OB 为半径作圆O ,延长BO 交圆于点F ,延长BD 交AC 于点M ,连接OC ,CD ,AF ,FC ,∵BF是直径,∴FA⊥AB,FC⊥BC,∵D为垂心,∴BD⊥AC,CD⊥AB,AD⊥BC,∴FA//CD,FC//AD,∴AFCD是平行四边形,∴AF=CD,∵∠BAC=60°,OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴OH=1OB,2r,设半径为r,BM=32∴BC=3r,CF,又∵OH=12∴AD=2OH;(2)∵D为垂心,∴BD⊥AC,CD⊥AB,AD⊥BC,∴∠ACD=30°,∴∠CDM=60°,∴∠BDC=120°,∵∠BOC=120°,∠OBC=∠OCB=30°,∴B、C、D、O四点共圆;(3)设DE=x,∵BE=2CE=2,∴CE=1,∵在直角△BFC中,∠OBC=30°,BC=3,BF2=FC2+BC2,∴CF=3,BF=23,∴AD=3,在直角△ABE中,AB2=AE2+BE2,即:AB2=(x+3)2+22,在直角△CDE 中,CD 2=DE 2+CE 2,即:CD 2=x 2+12,∵CD =AF ,∴AF 2=x 2+1,在△ABF 中,BF 2=AF 2+AB 2,即:(2 3)2=(x 2+1)+[(x + 3)2+22]),∴x 2+ 3x−2=0,∴x = 11− 32或x =− 11− 32(舍去),∴DE = 11− 32.。
浙江省宁波市(新版)2024高考数学统编版质量检测(强化卷)完整试卷
浙江省宁波市(新版)2024高考数学统编版质量检测(强化卷)完整试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分 (共8题)第(1)题等比数列的前项和为,若,,,,则()A.30B.31C.62D.63第(2)题已知复数,则()A.B.C.D.第(3)题若能被13整除,则可以是()A.0B.1C.11D.12第(4)题已知集合,,则()A.B.C.D.第(5)题已知圆锥的底面半径为1,侧面展开图的圆心角为,则该圆锥的侧面积为()A.B.C.D.第(6)题已知D是由不等式组所确定的平面区域,则圆在区域D内的弧长为A.B.C.D.第(7)题设集合则A.B.C.D.第(8)题为了加深师生对党史的了解,激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情,某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛,并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分,成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图,估计这组数据的第85百分位数为()分A.84B.85C.86D.87二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分 (共3题)第(1)题若,则下列结果正确的是()A.B.C.D.第(2)题下列说法中,其中正确的是()A.命题:“”的否定是“”B.化简的结果为2C.…D.在三棱锥中,,,点是侧棱的中点,且,则三棱锥的外接球的体积为.第(3)题下列不等式中正确的是()A.B.C.D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 (共3题)第(1)题已知三棱锥P-ABC的底面ABC为等边三角形.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,P,F,E三点共线,B,C,E三点共线,,,则PB=___.第(2)题已知椭圆的焦点为,,点P为椭圆上任意一点,过作的外角平分线所在直线的垂线,垂足为点Q.抛物线上有一点M,它在x轴上的射影为点H,则的最小值是________.第(3)题若,则的最大值为______,的最小值为______.四、解答题:本题共5小题,每小题15分,最后一题17分,共77分 (共5题)第(1)题已知数列的首项为1,前n项和为,且,其中.(1)求证:数列是等比数列;(2)当时,求证:.第(2)题已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)设为数列的前项和,求证.第(3)题如图,在四棱锥中,四边形为矩形,且E,F分别为棱的中点,.(1)证明:平面.(2)求平面与平面的夹角的余弦值.第(4)题记的内角的对边分别为.已知.(1)求;(2)若为的中点,且,求.第(5)题随着科技的不断发展,人工智能技术的应用领域也将会更加广泛,它将会成为改变人类社会发展的重要力量.某科技公司发明了一套人机交互软件,它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对该交互软件进行测试时,如果输入的问题没有语法错误,则软件正确应答的概率为;若出现语法错误,则软件正确应答的概率为.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为.(1)求一个问题能被软件正确应答的概率;(2)在某次测试中,输入了个问题,每个问题能否被软件正确应答相互独立,记软件正确应答的个数为X,的概率记为,则n为何值时,的值最大?。
2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三)(附答案详解)
2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三)1. 已知i 为虚数单位,则z =−i1+2i =( )A. −25−15iB. −25+15iC. 25−15iD. 25+15i2. 设集合U ={x ∈Z|1<x <6},A ={3,5},B ={x|x 2−3x −4<0},∁U (A ∩B )=( )A. {2,4}B. {2,4,5}C. {2,3,4,5}D. {2,3,4,6}3. 如图,在平行四边形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是线段AE 上靠近点A 的三等分点,则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 已知函数f(x)={x 2,x ≤0−x 2,x >0,则下列结论中不正确的是( )A. f(−2)=4B. 若f(m)=9,则m =±3C. f(x)是奇函数D. f(x)在R 上单调函数5. 已知函数f(x)=sin(2x −π6),则“b −a >π2”是“函数f(x)在(a,b)上不单调”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若(2x 2−3x )5的展开式中不含x a (a ∈R)项,则a 的值可能是( )A. −5B. 1C. 2D. 77. 某师范院校为响应国家教育脱贫攻坚号召,决定每年安排5名师范生到某贫困县的3所学校进行支教,要求每所学校至少安排1名师范生,且1名师范生只去一所学校,则不同的安排方法有( )A. 90种B. 120种C. 150种D. 180种8. 在正四面体ABCD 中,已知E ,F 分别是AB ,CD 上的点(不含端点),则( )A. 不存在E ,F ,使得EF ⊥CDB. 存在E ,使得DE ⊥CDC. 存在E ,使得DE ⊥平面ABCD. 存在E ,F ,使得平面CDE ⊥平面ABF9. 已知双曲线C :x 23−y 2=1的左焦点为F ,过F 的直线l 交双曲线C 的左、右两支分别于点Q ,P ,若|FQ|=t|QP|,则实数t 的取值范围是( )A. (0,2√3−36]B. (2√3−36,1]C. (−∞,2√3−36]D. (2√3+36,2] 10. 已知函数f(x)={|log 2(−x)|,x <0−log 2|1−x|,x ≥0,若f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4),且x 1<x 2<x 3<x 4,则下列结论:①x 1x 2=1,②x 3+x 4=1,③0<x 1x 2x 4<1,④x 1+x 2+x 3+x 4<0,其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3且P =(ξ=k)=log a k(k =1,2,3),则a = (1) ,E(ξ)= (2) .12. 如图所示为某几何体的三视图,网格纸上小正方形的边长均为1,则该几何体的体积为 (1) ,表面积为 (2) .13. 已知直线l :y =x −1经过抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点,且与抛物线C 交于点A ,B 两点,则p = (1) ,|AB|= (2) .14. 定义max{a,b}={a,a ≥bb,a <b,已知实数x ,y 满足不等式组{|x|≤2|y|≤2max{x,y}≥0,则目标函数z =x +2y 的最大值为______.15. 已知数列{a n },{b n },且a 1=b 1=1,a n+1=a n +1,b n+1=b n +2n ,则b n = (1) ;设c n =b n +1a n2,则c n 的最小值为 (2) .16. 已知f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),f′(x)是f(x)的导函数,且满足xf′(x)−2f(x)>0,若f(x)是偶函数,f(1)=1,则不等式f(x)>x 2的解集为______. 17. 在△ABC 中,BC =√3AC,∠BAC =π3,点D 与点B 分别在直线AC 的两侧,且AD =1,DC =√3,则BD 的长度的最大值是______. 18. 已知函数f(x)=sin(2x +π6)+12cos 2(x −π6).(1)求f(x)的最小正周期以及f(π12)的值;(2)若g(x)=f(π2−x),求g(x)在区间[−π4,π6]上的最值.19.如图,△ABC为正三角形,半圆O以线段BC为直径,D是圆弧BC上的动点(不包括B,C点)平面ABC⊥平面BCD.(1)是否存在点D,使得BD⊥AC?若存在,求出点D的位置,若不存在,请说明理由;(2)∠CBD=30°,求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.20.已知S n为数列{a n}的前n项和,且a2=2,2S n=na n+n,数列{b n}的通项公式为b n=3a n,(1)证明:数列{a n}为等差数列;(2)设数列{b n}前n项的和为T n,n∈N∗,若C n=(−1)n+14T n+3T n⋅T n+1,且对于任意的正整数n,C1+C2+⋯+C n<√m−1−m+4112恒成立,求实数m的取值范围.21.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:x22+y2=1,C2:x24+y22=1,设直线l与椭圆C1切于点M,交椭圆C2于点A,B,设直线l1平行于l,且与椭圆C2切于点N.(1)求证:直线MN恒过原点O;(2)若点M为线段ON上一点,求四边形OANB的面积.22.已知函数f(x)=x−alnx(a∈R).(1)当a=−1时,若存在唯一的实数x使得f(x)=x3−2ex2+tx成立,求t的值;(2)若函数f(x)有2个零点x1,x2(x1≠x2),求a的取值范围,并证明:1x1+1x2<1.答案和解析1.【答案】A【解析】解:z =−i1+2i =−i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−25−15i . 故选:A .直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.2.【答案】B【解析】解:集合U ={x ∈Z|1<x <6}={2,3,4,5}, B ={x|x 2−3x −4<0}=(−1,4), 因为A ={3,5}, 则A ∩B ={3}, 则∁U (A ∩B )={2,4,5}, 故选:B .先求B ,再求交集,再求补集. 本题考查集合交并补,属于基础题.3.【答案】C【解析】解:由可知,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故选:C .利用平面向量的基本定理,用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 线性表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 向量即可.本题主要考查了平面向量的基本定理,以及向量的线性表示,是基础题.4.【答案】B【解析】解:∵f(x)={x 2,x ≤0−x 2,x >0,A :f(−2)=4,故正确;B :若f(m)=9则m 2=9,则m =−3,故B 错误;C :由f(x)={x 2,x ≤0−x 2,x >0可得f(−x)={−x 2,x ≤0x 2,x >0,∴−f(x)={−x 2,x ≤0x 2,x >0=f(−x),故正确;D :结合分段函数的性质及二次函数的性质可知f(x)在R 上单调递增,故正确. 故选:B .由已知结合分段函数的性质及函数的奇偶性及单调性的定义即可分别判断.本题主要考查了分段函数的性质及函数的奇偶性及单调性的定义的应用,属于基础试题.5.【答案】B【解析】解:函数f(x)=sin(2x −π6)的周期T =π,b −a >T2,故函数f(x)在(a,b)不单调,充分性;又函数f(x)在(a,b)上不单调,只需满足(a,b)包含最值点,故不必要. 故选:B .由b −a >T2可知函数f(x)在(a,b)不单调,充分性;又函数f(x)在(a,b)上不单调,只需满足(a,b)包含最值点,故不必要,得到答案.本题考查了充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.6.【答案】C【解析】解:由题意可得,二项展开式的通项为:T r+1=∁5r (2x 2)5−r⋅(−3x )r =(−3)r ⋅∁5r ⋅25−r⋅x 10−3r ; ∵r =0,1,2,3,4,5,∴10−3r =10,7,4,1,−2,−5, ∴a 的值可能是2. 故选:C .先求二项展开式的通项为T r+1=∁5r (2x 2)5−r ⋅(−3x )r =(−3)r ⋅∁5r ⋅25−r⋅x 10−3r ,然后根据r 的可能取值,可求10−3r 的值,进而可判断a .本题主要考查了利用二项展开式的通项求解二项展开式的项,解题的关键是熟练应用基本公式.7.【答案】C【解析】解:根据题意,分2步进行分析:①将5名师范生分成3组,若分为1、1、3的三组,有C 53=10种方法, 若分为1、2、2的三组,有C 51C 42C 22A 22=15种方法,则有10+15=25种分组方法;②将分好的三组全排列,安排到3所学校,有A 33=6种情况, 则25×6=150种安排方法; 故选:C .根据题意,分2步进行分析:①将5名师范生分成3组,②将分好的三组全排列,安排到3所学校,由分步计数原理计算可得答案.本题考查排列、组合的应用,注意要先分组,再进行排列,属于基础题.8.【答案】D【解析】解:(1)对于A ,D 选项,取E ,F 分别为AB ,CD 的中点如图:因为A −BCD 是正四面体,所以它的各个面是全等的等边三角形.所以CE =DE ,所以EF ⊥CD ,同理可证EF ⊥AB.故A 错误;又因为AB ⊥CE ,AB ⊥DE ,且CE ∩DE =E ,故AB ⊥平面CED ,又AB ⊂平面ABF , 所以平面ABF ⊥平面CED.故D 正确.(2)对于B 选项,将C 看成正三棱锥的顶点,易知当E 在AB 上移动时,∠CDE 的最小值为直线CD 与平面ABD 所成的角,即(1)中的∠CDE ,显然为锐角,最大角为∠CDB =∠CDA =60°,故当E 在AB 上移动时,不存在E ,使得DE ⊥CD.故B 错误.(3)对于C 选项,将D 看成顶点,则由D 向底面作垂线,垂足为底面正三角形ABC 的中心,不落在AB 上,又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直,故不存在E ,使得DE ⊥平面ABC ,故C 错误. 故选:D .对于A ,D 两项:当E ,F 分别是AB ,CD 的中点时,易证EF ⊥CD ,且平面CDE ⊥平面ABF . 对于B :可利用E 在AB 上移动时,∠CDE 的范围判断.对于C :可将D 看成三棱锥的顶点,则过D 做底面的垂线只有一条,即高线,从而否定C . 本题考查了空间线线垂直、线面垂直以及面面垂直之间的相互转化.同时也考查了正四面体的性质,以及学生的空间想象能力以及逻辑推理能力.属于中档题.9.【答案】A【解析】解:根据条件可得F(−2,0),设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), 则FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2),QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 2,y 1−y 2), 因为|FQ|=t|QP|,则(x 2+2,y 2)=t(x 1−x 2,y 1−y 2), 所以x 2=tx 1−21+t,y 2=ty11+t ,又因为P 、Q 都在双曲线上,所以{x 12−3y 12=3(tx 1−2)2−3(ty 1)2=3(1+t)2,整理可得x 1=1−6t4t , 易知x 1≥√3,所以1−6t 4t≥√3,又t >0,所以0<t ≤2√3−36, 即实数t 的取值范围是(0,2√3−36),故选:A .设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),利用坐标向量法表示可得x 2=tx 1−21+t,y 2=ty11+t ,带入双曲线可得x 1=1−6t 4t≥√3,解得即可.本题考查双曲线的几何性质,直线与双曲线的位置关系,考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.10.【答案】B【解析】解:函数f(x)的图象如右图所示:若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1<x2<x3<x4,则x1<−1<x2<0<x3<1<x4<2.由f(x1)=f(x2)可得:log2(−x1)=−log2(−x2),即log2(−x1)+log2(−x2)=log2(x1x2)=0,∴x1x2=1,故①正确;由f(x3)=f(x4)可得:−log2(1−x3)=−log2(x4−1),即1−x3=x4−1,∴x3+x4=2,故②错误;又x1x2x4=∈(1,4),故③错误;∵x1<−1<x2<0,x1x2=1,x3+x4=2,∴x1+x2+x3+x4=1x2+x2+2,∵x2∈(−1,0),∴−x2+1−x2>2,∴1x2+x2<−2,∴x1+x2+x3+x4<−2+2=0,故④正确.所以正确的个数为2.故选:B.由已知画出图象,求得x1x2=1,x3+x4=2,再把x1x2x4与x1+x2+x3+x4分别转化为x4与x2的关系式,进而判断出正确的个数,选出正确选项.本题考查数形结合、对数运算及基本不等式的应用,属于中档题.11.【答案】65log62【解析】解:由随机变量分布列的性质可知,P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1,即log a1+log a2+log a3=1,解得a=6.∴E(ξ)=1×log61+2×log62+3×log63=log632=5log62.故答案为:6,5log62.先根据分布列的性质,概率和为1,可以得出a的值,再根据数学期望的算法即可得解.本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查学生的运算能力,属于基础题.12.【答案】48+3√5+√13【解析】解:由正视图和俯视图均为三角形可知该几何体是锥体,再结合侧视图可以确定是一个四棱锥.如图所示:可以将该四棱锥O−ABCD(图中蓝线部分对应的四棱锥)置于长、宽都为2,高为3的长方体ABCD−MNPQ中,其中O为MN的中点.故V=13S矩形ABCD⋅AM=13×2×3×2=4.易知△AOD,△COB是全等的直角三角形,AO=BO=√22+12=√5,∴S△AOD=S△BOC=12×√5×3=3√52.△COD底边CD上的高为DM=√32+22=√13,S△COD=12CD×DM=12×2×√13=√13.S△AOB=12AB×AM=12×2×2=2.底面矩形ABCD的面积为AB×AD=2×3=6.故该四棱锥的表面积为S△AOB+S△COB+S△COD+S△AOD+S矩形ABCD=8+3√5+√13.故答案为:4,8+3√5+√13.将这个几何体放在一个长方体中,容易找出它的直观图,是一个一个侧面水平放置的四棱锥.然后计算其体积与表面积即可.本题考查了三视图的视图问题,以及空间四棱锥的体积及表面积的计算问题.同时考查了学生的直观想象、逻辑推理以及数学运算等数学核心素养.13.【答案】28【解析】解:根据条件得到抛物线的焦点为(p2,0), 故0=p2−1,解得p =2, 所以抛物线方程为y 2=4x ,联立{y 2=4x y =x −1,整理可得x 2−6x +1=0,则x A +x B =6,所以|AB|=x A +x B +2=6+2=8, 故答案为2,8.焦点为(p 2,0),带入直线方程即可求出p ,联立直线与抛物线方程,结合抛物线的定义可得|AB|=x 1+x 2+p ,并结合x 1+x 2=6,即可得到弦长AB .本题考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题.14.【答案】6【解析】解:画出满足条件的平面区域,如图示:A(2,2)目标函数z =x +2y 过A(2,2)时z 取得最大值,最大值是6, 故答案为:6.先画出满足条件的平面区域,求出面积即可,再结合图象分别求出3x +2y 和x +3y 的最大值,从而求出答案.本题考察了简单的线性规划问题,考察数形结合思想,是一道基础题.15.【答案】2n −189【解析】解:因为a 1=b 1=1,a n+1=a n +1,b n+1=b n +2n , 所以:a n −a n−1=1;所以:数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列;∴a n=1+(n−1)=n;∵b n+1=b n+2n⇒b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b2−b1)+b1=2n−1+ 2n−2+⋯+21+20=1×(1−2n)1−2=2n−1;即b n=2n−1;∴c n=b n+1a n2=2nn2;∵c n+1−c n=2n+1(n+1)2−2nn2=2n⋅(n2−2n−1)(n+1)2⋅n2;因为:f(n)=n2−2n−1=(n−1)2−2;对称轴为n=1,开口向上,其最小值为f(1)=−2,且f(2)=−1,f(3)>0即数列{c n}前三项递减,从第三项开始其递增;故c n的最小值为c3=2332=89.故答案为:2n−1;89.根据递推关系式找到数列{a n},{b n}的规律,即可求其通项;进而得到数列{c n}的通项,相邻项作差判断其单调性即可求解结论.本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项公式,同时考查等比数列前n项和,考查推理能力,属于中档题.16.【答案】(−∞,−1)∪(1,+∞)【解析】解:令g(x)=f(x)x2(x≠0),则g′(x)=x2f′(x)−2xf(x)x4=xf′(x)−2f(x)x3,因为足xf′(x)−2f(x)>0,所以,当x>0时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(x)是偶函数,故g(x)=f(x)x2(x≠0)也是偶函数,而f(1)=1,故g(1)=f(1)12=f(1)=1,因此,f(x)>x2⇔f(x)x2>1,即g(x)>g(1),即g(|x|)>g(|1|)所以,|x|>1,解得:x>1或x<−1.则不等式f(x)>x2的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞),故答案为:(−∞,−1)∪(1,+∞).构造函数g(x)=f(x)x 2(x ≠0),依题意可知它是偶函数且在(0,+∞)上单调递增,于是f(x)>x 2等价转化为g(x)>g(1),即g(|x|)>g(|1|)⇒|x|>1,从而可得答案. 本题考查利用导数研究函数的单调性,构造函数g(x)=f(x)x 2(x ≠0),并判断它为偶函数且在(0,+∞)上单调递增是关键,考查等价转化思想与逻辑思维能力及运算能力,属于中档题.17.【答案】3√3【解析】解:在三角形ABC 中,设AC =x ,则BC =√3x ,且√3−1<x <√3+1. 由正弦定理得AC sinB =BCsin π3,解得sinB =12,显然B 为锐角,故B =π6. ∴∠ACB =π2.设∠ACD =α,∴∠BCD =π2+α.∴在△BCD 中,BD 2=(√3x)2+√32−2×√3×√3xcos(π2+α) =3(x 2+1)+6xsinα……①. 又∵在△ACD 中,cosα=x 2+3−12√3x=x 2+22√3x.∴sinα=√−x 4+8x 2−42√3x.代入①式得:BD 2=3(x 2+1)+√3√−x 4+8x 2−4.令t =x 2+1,则上式可化为y =3t +√3×√−t 2+10t −13,(5−2√3<t <5+2√3)……②. ∴y′=3+√3(−2t+10)2√−t 2+10t−13,令y′=0得√3=t−5√−t 2+10t−13,可见t >5.即t 2−10t +16=0,∴t =8或t =2(舍)将t =8代入②式得BD 2=27,故BD =3√3.(因为开区间内唯一的极值点即为该函数的最值点) 故答案为:3√3.根据BC =√3AC,∠BAC =π3可分析出△ABC 是直角三角形,画出图形,可设∠ACD =α,借助于余弦定理在三角形BCD 中表示出BD 2,然后再利用三角形ACD 借助于余弦定理找到x与α角的关系,代入BD2表达式,利用导数研究函数最值的方法求解.本题考查了利用正余弦定理解三角形的问题,同时也考查了导数在实际优化问题中的应用.还考查了学生的逻辑推理能力和数学运算能力.难度较大,18.【答案】解:(1)f(x)=sin(2x+π6)+12cos2(x−π6)=sin(2x+π6)+12×1+cos(2x−π3)2=(√32sin2x+12cos2x)+14(12cos2x+√32sin2x)+14=5√38sin2x+58cos2x+14=54sin(2x+π6)+14;所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π,f(π12)=54sin(2×π12+π6)+14=54×√32+14=5√3+28;(2)由g(x)=f(π2−x)=54sin[(π−2x)+π6]+14=54sin(2x−π6)+14,当x∈[−π4,π6]时,2x−π6∈[−2π3,π6],所以sin(2x−π6)∈[−1,12],所以54sin(2x−π6)+14∈[−1,78],所以g(x)在区间[−π4,π6]上的最小值为−1,最大值为78.【解析】本题考查了三角函数的恒等变换与性质,也考查了运算求解能力,是中档题.(1)化函数f(x)为正弦型函数,求出函数f(x)的最小正周期和f(π12)的值;(2)根据g(x)=f(π2−x)求出函数g(x)的解析式,再求g(x)在区间[−π4,π6]的最小值与最大值.19.【答案】解:(1)D 是圆弧BC 上的动点(不包括B ,C 点),假设存在点D ,使得BD ⊥AC .过点D 作DE ⊥BC ,∵平面ABC ⊥平面BCD ,平面ABC ∩平面BCD =BC .∴DE ⊥平面ACB ,AC ⊂平面ABC , ∴DE ⊥AC ,又DE ∩BD =D ,∴AC ⊥平面BCD ,而∠ACB =60°,得出矛盾. ∴假设不正确.因此不存在点D ,使得BD ⊥AC .(2)设圆心为点O ,连接OA ,分别以OC ,OA ,为y 轴作空间直角坐标系. 设OC =1,O(0,0,0),A(0,0,√3),B(0,−1,0),D(√32,12,0),C(0,1,0).BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3), 设平面ABD 的法向量为:n ⃗ =(x,y,z),则n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴y +√3z =0,√32x +32y =0,取n ⃗ =(3,−√3,1),∴直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值=|cos <n ⃗ ,CA⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3√13×2=√3913.【解析】(1)D 是圆弧BC 上的动点(不包括B ,C 点),假设存在点D ,使得BD ⊥AC.过点D 作DE ⊥BC ,利用面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理得出矛盾,即可判断出结论.(2)设圆心为点O ,连接OA ,分别以OC ,OA ,为y 轴作空间直角坐标系.设平面ABD 的法向量为:n ⃗ =(x,y,z),则n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得n ⃗ .利用直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值=|cos <n ⃗ ,CA⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |即可得出. 本题考查了线面面面垂直的性质定理、法向量的应用、数量积运算性质、圆的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.【答案】解:(1)证明:∵2S n =na n +n ,∴当n =1时,2S 1=a 1+1,解得a 1=1.当n =3时,2S 3=3a 3+3=2(a 1+a 2+a 3),又a 2=2,解得a 3=3.所以猜想a n =n.下面用数学归纳法证明猜想: ①当n =1,2,3时,通过前面运算有a n =n :②假设当n =k(k ≥3,且k ∈N),有a k =k ,∵2S n =na n +n ,∴2S k =ka k +k =k 2+k,解得S k=k2+k2.又2S k+1=(k+1)a k+1+(k+1)=2(S k+a k+1)=k2+k+2a k+1,∴a k+1=k+1.这说明当n=k+1时也成立.综合①②知:a n=n.又a n+1−a n=1,故数列{a n}为等差数列.(2)解:由(1)知:a n=n,又b n=3a n,∴b n=3n,T n=3(1−3n)1−3=3(3n−1)2.若C n=(−1)n+14T n+3T n⋅T n+1,则C n=(−1)n+1×43×2×3n−1(3n−1)(3n+1−1)=(−1)n+1×23(13n−1+13n+1−1),∴C1+C2+⋯+C n=23{(131−1+132−1)−(132−1+133−1)+(133−1+134−1)−(134−1+135−1)+⋯+(−1)n+113n−1+13n+1−1}=23[131−1+⋯(−1)n+113n+1−1]=23[12+⋯(−1)n+113n+1−1].①当n=2k−1(k∈N+)时,C1+C2+⋯+C n=23(12+13n+1−1)≤C1=512;②当n=2k(k∈N+)时,C1+C2+⋯+C n=23(12−13n+1−1)<13;故(C1+C2+⋯+C n)max=512.又对于任意的正整数n,C1+C2+⋯+C n<√m−1−m+4112恒成立,所以512<√m−1−m+4112.解之得1≤m<5.所以m的取值范围为[1,5).【解析】(1)可先求出数列的前几项,然后猜想出数列{a n}的通项公式,借助于数学归纳法证明猜想,再证明其为等差数列;(2)先求出等比数列{b n}前n项的和为T n,接着求出C n,利用裂项相消法求出C1+C2+⋯+C n,再求出其最大值,然后求解含m的不等式,解出m的取值范围.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项相消法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.21.【答案】解:(1)证明:①当直线l的斜率不存在或为0时,显然有直线;②当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l:y=kx+t,直线l1:y=kx+m,由{y =kx +t x 22+y 2=1联立得:(1+2k 2)x 2+4ktx +2(t 2−1)=0,又∵△1=16k 2t 2−8(t 2−1)(1+2k 2)=0,∴t 2=1+2k 2,x M =−2kt 1+2k 2=−2k t∴M(−2k t,1t); 由{y =kx +m x 24+y 22=1联立得:(1+2k 2)x 2+4kmx +2(m 2−2)=0,又∵△2=16k 2m 2−8(m 2−2)(1+2k 2)=0,∴m 2=2+4k 2, x N =−2km1+2k 2=−4k m ,∴N(−4k m,2m ),∴直线MN :y =1−2k x 必恒过原点O ; 综合①②知直线MN 恒过原点O ;(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{y =kx +t x 24+y 22=1联立得:(1+2k 2)x 2+4ktx +2(t 2−2)=0,∴△=16k 2t 2−8(t 2−2)(1+2k 2)=8(4k 2+2−t 2)>0, x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2(t 2−2)1+2k 2,∴|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2√1+k 2√4k 2+2−t 21+2k 2=2√2√1+k 2|t|, 又设点O 、N 到直线AB 的距离为d 1与d 2,则d 1=√1+k 2,d 2=√1+k 2,又∵t 2=1+2k 2,m 2=2+4k 2, ∴m =√2t ,∴四边形OANB 的面积为12|AB|⋅(d 1+d 2)=√2(|t|+|t−m|)|t|=2.【解析】(1)可对直线l 分以下两种情况进行证明:①当直线l 的斜率不存在或为0时,显然有直线;②当直线l 的斜率存在且不为0时; (2)先由{y =kx +t x 24+y 22=1联立得:(1+2k 2)x 2+4ktx +2(t 2−2)=0,∴△=16k 2t 2−8(t 2−2)(1+2k 2)=8(4k 2+2−t 2)>0,x 1+x 2=−4kt1+2k 2,x 1x 2=2(t 2−2)1+2k 2,求出|AB|,再计算出点O 、N 到直线AB 的距离为d 1与d 2,从而求出四边形OANB 的面积.本题主要考查椭圆与直线的位置关系及利用弦长公式、点线距离公式求解面积问题,属于一道较难的题.22.【答案】解:(1)由x+lnx=x3−2ex2+tx,得lnxx=x2−2ex+t−1,即lnxx−(x−e)2+(1+e2−t)=0.令g(x)=lnxx −(x−e)2+(1+e2−t),g′(x)=1−lnxx2−2(x−e).当x∈(0,e)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,∴若存在唯一的实数x使得f(x)=x3−2ex2+tx成立,则g(e)=0,即t=1+e2+1e;(2)证明:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1−ax =x−ax(x>0).当a≤0时,f′(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不存在2个零点;当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a,当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,a)上单调递减,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在(a,+∞)上单调递增,从而f(x)在x=a处求得最小值且最小值为f(a)=a−alna.要使函数f(x)有两个零点,则必有a>0,且f(a)=a−lna<0,解得a>e.下面证明a>e是f(x)有两个零点的充分条件.∵f(1)=1>0,f(a)=a−alna<a−alne=0,∴由函数零点存在定理可得,f(x)在(1,a)内有一个零点.取n0=e2a,则f(n0)=e2a−2a2>12(2a)2−2a2=0,且e2a>2a+1>a.∴函数f(x)在(a,n0)内有一个零点,则当a>e时,f(x)有两个零点.故a的取值范围为(e,+∞);不妨设x1<x2,则f(x)在(x2,+∞)上单调递增,由f(x1)=f(x2)=0,可得x1=alnx1,x2=alnx2,则x1+x2=aln(x1x2),易知x1>1,则x1x2>x2.于是x1x2−(x1+x2)=x1x2−aln(x1x2)=f(x1x2)>f(x2)=0.故x1x2−(x1+x2)>0,即x1+x2<x1x2,可得1x1+1x2<1.【解析】(1)由x+lnx=x3−2ex2+tx,变形得lnxx−(x−e)2+(1+e2−t)=0,令g(x)=lnxx−(x−e)2+(1+e2−t),利用导数求其最小值,结合已知可得g(e)=0,从而得到t=1+e2+1e;(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),求其导函数,可得当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不存在2个零点;当a>0时,利用导数求其最小值为f(a)=a−alna,可得要使函数f(x)有两个零点,则必有a>0,且f(a)=a−lna<0,解得a>e,再证明a>e 是f(x)有两个零点的充分条件;不妨设x1<x2,则f(x)在(x2,+∞)上单调递增,结合f(x1)=f(x2)=0,可得x1=alnx1,x2=alnx2,证明x1x2−(x1+x2)>0,即x1+x2<x1x2,从而得到1x1+1x2<1.本题考查利用导数求函数的最值,考查化归与转化思想方法,考查逻辑思维能力与推理论证能力,本题第二问考生容易漏掉检验a>e是f(x)有两个零点的充分条件,取n0= e2a,证明函数f(x)在(a,n0)内有一个零点是难点,该题是难题.。
师大附中数学试卷初三
一、选择题(每题5分,共50分)1. 下列选项中,不是一元二次方程的是()A. x^2 + 2x - 3 = 0B. 2x + 5 = 0C. x^2 - 4x + 4 = 0D. x^2 - 5x + 6 = 02. 已知等差数列{an}的前三项分别是2,5,8,则该数列的公差是()A. 1B. 2C. 3D. 43. 在直角坐标系中,点A(2,3),点B(-3,4)关于直线y=x对称的点是()A.(-2,3)B.(3,-2)C.(-3,2)D.(2,-3)4. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1,3]上单调递增,则函数f(x)在区间()A. [0,1]上单调递增B. [1,2]上单调递增C. [2,3]上单调递增D. [3,4]上单调递增5. 下列选项中,能表示圆的方程是()A. x^2 + y^2 = 9B. x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0C. x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0D. x^2 + y^2 - 4x - 4y = 06. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|,则f(x)的最小值是()A. 1B. 2C. 3D. 47. 在△ABC中,若∠A = 60°,∠B = 45°,则△ABC的外接圆半径R等于()A. 1B. 2C. √3D. 2√28. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c(a≠0)的图像开口向上,且顶点坐标为(1,-2),则a、b、c的取值范围是()A. a > 0,b < 0,c > -2B. a > 0,b > 0,c > -2C. a < 0,b < 0,c < -2D. a < 0,b > 0,c < -29. 已知数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n,则数列{an}的前n项和S_n等于()A. 3^n - 2^nB. 3^n + 2^nC. 3^n - 1D. 2^n - 110. 若直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 4相切,则k和b的关系是()A. k^2 + b^2 = 4B. k^2 + b^2 = 16C. k^2 + b^2 = 8D. k^2 + b^2 = 1二、填空题(每题5分,共50分)11. 若方程x^2 - 3x + 2 = 0的两根为a和b,则a + b = _______,ab =_______。
师大附中考试试卷数学试卷
考试时间:120分钟满分:150分一、选择题(每题5分,共50分)1. 下列各数中,属于有理数的是:A. √2B. πC. 0.1010010001…(无限循环小数)D. 无理数2. 若 |a| = 3,则 a 的值为:A. 3B. -3C. ±3D. 03. 已知二次函数y = ax² + bx + c 的图象开口向上,且顶点坐标为 (1, -2),则 a 的取值范围是:A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a 的取值无法确定4. 在等腰三角形 ABC 中,AB = AC,若∠BAC = 60°,则∠B 的度数为:A. 60°B. 120°C. 30°D. 90°5. 下列各函数中,为奇函数的是:A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 16. 已知等差数列 {an} 的首项 a1 = 2,公差 d = 3,则第 10 项 an 的值为:A. 29B. 32C. 35D. 387. 在直角坐标系中,点 P(2, -3) 关于 x 轴的对称点坐标为:A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (-2, 3)D. (2, -3)8. 若 a、b、c 是等差数列的三项,且 a + b + c = 12,则 b 的值为:A. 4B. 6C. 8D. 109. 下列各命题中,正确的是:A. 两个平行四边形一定相似B. 两个等腰三角形一定相似C. 两个等边三角形一定相似D. 两个等腰梯形一定相似10. 已知 a、b、c 是等比数列的三项,且 a + b + c = 27,b² = ac,则 a 的值为:A. 9B. 3C. 1D. -3二、填空题(每题5分,共50分)11. 若 a、b、c 是等差数列的三项,且 a + b + c = 18,则 3a + 3b + 3c 的值为 _______。
2024年浙江省宁波市中考数学甬真试题(潮卷)
2024年浙江省宁波市中考数学甬真试题(潮卷)一、单选题1.四个实数34-,0,3 ) A .34- B .0 C .3 D2.下列计算正确的是( )A .347a a a +=B .459a a a ⋅=C .824a a a ÷=D .()495=a a 3.从浙江省文旅厅获悉,2023年中秋国庆假期全省共接待游客4372.4万人次,实现旅游收入486.4亿元,游客人均消费1113元.数43724000用科学记数法表示为( ) A .80.4372410⨯ B .74.372410⨯ C .64.372410⨯ D .643.72410⨯ 4.如图是由长方体和圆柱体组成的几何体,则它的主视图是( )A .B .C .D . 5.某果园实验基地种植了甲、乙两个品种的葡萄树,工作人员随机从甲、乙两品种的葡萄树中采摘了10棵,统计了每棵的产量.下列关于两品种每棵产量的平均数和方差的描述中,能说明甲品种的葡萄产量较稳定的是( )A .x x >甲乙B .x x <甲乙C .22S S <甲乙D .22S S >甲乙6.已知圆锥的底面半径为5cm ,高为12cm ,则这个圆锥的侧面积为( ) A .260cm π B .265cm π C .2120cm π D .2130cm π二、填空题7.如图,在四边形ABCD 中,90ABC D ∠=∠=︒,E 是对角线AC 的中点,F 是CD 的中点.若3BE =,4CD =,则EF 的长为( )AB C .D .52三、单选题8.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗:“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是:如果一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果一间客房住9人,那么就空出一间客房,若设该店有客房x 间,房客y 人,则列出关于x 、y 的二元一次方程组正确的是( )A .()7791x y x y -=⎧⎨-=⎩B .()7791x y x y +=⎧⎨-=⎩C .7791x y x y +=⎧⎨-=⎩D .7791x y x y -=⎧⎨-=⎩9.已知二次函数242(0)y mx mx m m =-++≠,下列结论正确的是( )A .当1m =-时,函数图象的顶点坐标为(2,3)-B .当2x >时,y 的值随x 的增大而增大C .当1m =,3y ≤时,x 的取值范围是04x <<D .当14x -≤≤时,y 的最大值为8,则1m =或2m =-10.将两张矩形纸片AEQH ,NFCG 和另三张正方形纸片EBFM ,MNPQ ,HPGD 按如图所示方式不重叠地放置在矩形ABCD 内.则下列条件中,不能求出四边形EFGH 的面积的是( )A .正方形EBFM 与正方形HPGD 周长的和B .矩形ABCD 与正方形MNPQ 周长的差C .矩形AEQH 与矩形NFCG 周长的和D .矩形ABCD 的周长四、填空题11.-64的立方根是.12.当x =时,分式21x x --的值为0. 13.有一枚质地均匀的骰子,骰子各个面上的点数分别为1~6.任意抛掷这枚骰子,朝上面的点数大于3的概率是.14.对于实数a ,b ,定义一种运算“⊕”为:a ⊕22b a b =-,若关于x 的方程(1)x +⊕(3)0m =没有实数根,则实数m 的取值范围为.15.如图,在矩形ABCD 中,4AB =,5BC =,点E 在对角线AC 上运动(不与点A 重合),O e 为ABE V 的外接圆,当O e 与矩形ABCD 的边相切时,O e 的半径为 .16.如图,AOC ∆的顶点A 在反比例函数(0,0)k y k x x=<<的图象上,顶点C 在y 轴的正半轴上,AO AC =,过原点O 作AC 的平行线,交反比例函数4(0)y x x=>的图象于点B ,连结AB 交y 轴于点P ,连结BC.若PC ,则k 的值为,四边形AOBC 的面积为.五、解答题17.(1)计算:2(1)(1)a a a ++-;(2)解不等式组2601322x x -<⎧⎪⎨-≤⎪⎩. 18.图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形,已经有5个小等边三角形涂上阴影,请在余下的空白小等边三角形中,分别按下列要求选取一个涂上阴影.(请将两个小题依次作答在图①,图②中,均只需画出符合条件的一种情形)(1)使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形. (2)使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.19.如图,一次函数112y x b =-+的图象与反比例函数2(0)k y k x =≠的图象在第二象限交于点A ,与y 轴交于点(0,3)B ,连结OA ,AOB ∆的面积为3.(1)求反比例函数的表达式.(2)当213y y ≥>时,根据图象直接写出x 的取值范围.20.为落实“双减”政策,优化作业管理,某中学从全体学生中随机抽取部分学生,调查他们每天完成书面作业的时间t (单位:分钟).按照完成时间分成五组:A 组“t ≤45”,B 组“45<t ≤60”,C 组“60<t ≤75”,D 组“75<t ≤90”,E 组“t >90”.将收集的数据整理后,绘制成如下两幅不完整的统计图. 根据以上信息,解答下列问题:(1)这次调查的样本容量是,请补全条形统计图;(2)在扇形统计图中,B 组的圆心角是度,本次调查数据的中位数落在组内;(3)若该校有1800名学生,请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数. 21.如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景,图2是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到底面CD 垂直的OM 位置时的示意图,已知0.8AC =米,0.2BD =米,30α=︒(参1.73 1.41≈)(1)求AB 的长;(2)若0.7ON =米,求M 、N 两点的距离(精确到0.1米).22.如图,将球从点O 的正上方3m 的点A 处发出,把球看成点,其运行的高度(m)y 与运行的水平距离(m)x 满足关系式214y x bx c =-++.(1)若当小球运动的水平距离为1m 时,小球达到最大高度,求小球达到的最大高度.(2)若小球的正前方4m(=4m)OC 处有一个截面为长方形的球筐CDEF ,其中CD 为2m ,DE 为1m ,若要使小球落人筐中,求b 的取值范围.23.【基础巩固】(1)如图(1),在ABC V 和EDB △中,点E 在BC 上,AC BD A BED ∠=∠∥,,求证:ABC EDB ∽V V .【尝试应用】(2)如图(2),在(1)的条件下,连结CD .若90,2,4BCD AC EC BE ∠=︒===,求DE 的长.【拓展提高】(3)如图(3),在ABCD Y 中,对角线AC BD ,相交于点O ,90BAC ∠=︒,点E 是边CD 上一点,2DE CE =,连结AE 交BD 于点F ,线段AE 与BC 的延长线交于点P ,若AFB ABC ∠=∠,1OF =,求平行四边形ABCD 的面积.24.如图(1),O e 为锐角CBD ∆的外接圆,过点D 作DH BC ⊥于点H ,DC ,DH 分别交直径AB 于点E ,F ,连结AC ,290CDH ABC ∠+∠=︒.(1)求证:CB CD =.(2)当CH DH =时,求证:AE BF =.(3)如图(2),若2,AC BC ==①求sin CDH ∠的值;②求EF 的长.。
师大附中中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。
每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 下列各数中,有理数是()A. √2B. πC. 3.14D. √92. 已知a,b是实数,且a+b=0,那么下列结论正确的是()A. a=0,b=0B. a=0,b≠0C. a≠0,b=0D. a≠0,b≠03. 下列各式中,分式是()A. x+yB. 3x+2yC. x/(x+1)D. x²-y²4. 在下列各图形中,有内角和为360°的图形是()A. 正方形B. 正五边形C. 正六边形D. 正七边形5. 已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(2,-1),那么k和b的值分别是()A. k=2,b=-1B. k=1,b=-1C. k=-1,b=2D. k=-1,b=-16. 在等腰三角形ABC中,底边BC=8,腰AB=AC=10,那么顶角A的度数是()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°7. 已知一元二次方程x²-5x+6=0的两个实数根分别为x₁和x₂,那么x₁+x₂的值是()A. 5B. 6C. 7D. 88. 下列函数中,是反比例函数的是()A. y=x²B. y=2x+3C. y=3/xD. y=√x9. 在直角坐标系中,点P的坐标为(-3,2),点Q在y轴上,且PQ=5,那么点Q 的坐标可能是()A. (0,7)B. (0,-7)C. (0,2)D. (0,-2)10. 下列各数中,属于无理数的是()A. √25B. 3.14159C. √(9/4)D. π二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。
把答案填在题中的横线上。
)11. 3的平方根是______,-2的立方根是______。
12. 若a=2,b=-3,那么a²+b²的值是______。
2021年宁波市重点中学提前招生数学试卷(Word可编辑版)
2021年宁波市重点中学提前招生数学试卷
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2021年宁波市重点中学提前招生数学试卷
1.已知关于x的方程mx+2=2(m—x)的解满足x- -1=0,则m的值是( )
A.10或
B.10或- c.-10或 D.-10或
2.设直角三角形的三边长分别为a、b、c,若c-b=b-a>O,则( )
A.1/2
B.1/3
C.1/4
D.1/5
3.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了( )
A.2x%
B. 1+2x%C(1+x%)x% D.(2+x%)x%
4.甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另—个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b元,后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是( )
A.a>b b.a1,这是不可能的.(2)若sl=i+1+j=14,则
S2=1+j+(i-1)=13,S=j+(i-1)+2:14,s4=(i-1)+2+(j-1)=13,这时S5=14,只能是S=2+(j-1)+i,i重复出现:所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法.。
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()
三、选择题。( 分)
一个零件的实际长度是 毫米,但在图上量得长是
( )。
∶
∶
∶
下列分数中能化成有限小数的是( )。
厘米,这幅图的比例尺是 ∶
某人从甲地到乙地需要 小时,他走了 小时,还有 米没有走,他已经走了多
少米?正确的算式是( )。
(-) (-)
(- ) (-)
一段质量为 千克的圆柱形钢柱,锻压成等底的圆锥,这个圆锥的高和圆柱的高
浙江省宁波市某师大附中招生数学真卷
(时间: 分钟 总分: 分)
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
一、填空题。(第 小题每空 分,其余每空 分,共 分)
( )∶ = =( )=( ) =( ) 在○里填上“ ”“ ”或“=”。
( ≠)
一辆小汽车的牌照是○□△ (一个四位数),已知○+○=□,○+□+□+ = ,
△+△=○,那么它的牌照号码是(
处,请用 ∶
的比例尺将医院和电影院的位置画在下面,并求出学校到电影院大约有
多少米。( 分)
北 学校
一项工作,第一天甲、乙两人合作 小时,完成全部工作的 ;第二天乙又独做了 小时,还剩全部工作的 没完成。这项工作由甲一人独立完成需要多少小时?( 分)
服装店老板买进 双袜子,每双进价 元,原定零售价是 元,因为太贵,没人 买,老板决定按零售价打八折出售,卖了 双,剩下的又按零售价打七折售完,请你算 一算,卖完这 双袜子是盈利还是亏本了?盈利(或亏本)多少元?( 分)
梯形上底与下底的比是 ∶ ,阴影三角形的面积为 平方厘米,空白 三角形的面积是( )平方厘米。
二、判断题。( 分)
一个自然数,不是奇数就是偶数。
()
一根绳子长 米,也可以写成 米。
()
圆有无数条对称轴。
()
一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等,体积也相等,则圆锥的高是圆柱的高的 倍。
()
甲数的 与乙数的 相等,则甲数一定比乙数大。
甲、乙两辆汽车同时从 , 两地相对开出, 小时后两车已行的路程是 , 两地距 离的 ,甲车每小时行 千米,比乙车每小时少行 ,求 , 两地距离。( 分)
红星村挖了一口井,井口的外沿周长 米,想给它配上一个井盖,井盖的面积是 多少?如果沿着井边铺 米宽的石子地,每车小石子能铺 平方米,那么至少要运几 车?( 分)
米
水果店里西瓜个数与哈密瓜个数的比为 ∶ ,如果每天卖哈密瓜 个,西瓜 个, 若干天后,哈密瓜正好卖完,西瓜还剩 个。水果店里原来有西瓜多少个?( 分)
参考答案 一、
() () ()
∶
二、 √ 三、 四、 五、 略
√
√
=
=
( ) - - -
= (时)
= (元)
+( - )
=
,所以盈利了,盈利 -
( - )+
相比( )。
圆锥的高是圆柱的 倍
相等
圆锥的高是圆柱的
圆锥的高是圆柱的
绘制统计图时,要能清楚地表示数量增减变化的情况,应选用( )。
条形统计图
扇形统计图
折线统计图
四、计算题。( 分)
+
+
-
+
-( - )=
( ) ∶ + = ∶
五、解答题。( 分)
某城市,医院在学校的正南方向 米处,电影院在医院的北偏东 方向 米
= (千米)
(元) = (元)
= (千米)
(
)
= (平方)
(- )
(车)
设正好卖了 天哈密瓜卖完。
==
西瓜: + = (个)
( )如果用整个圆代表某校全体学生的人数,已知扇形 比扇形 多 ,且多 人,全校有( )人。
王宏买了 年期的国家建设债券 元,如果年利率为 ,到期时他可获本金 和利息共( )元。
一种练习本,提价 后,又降价 ,现价与原价的比是( )。
一个比例的两个内项都是 ,其中一个外项是 ,另外一个外项是( )。
一个圆柱和圆锥的底面半径和高分别相等,已知圆柱的体积比圆锥的体积多
,
圆柱的体积是( ) ,圆锥的体积是( ) 。
对于非零自然数 和 ,规定符号 的含义是 =
( 是一个确定的整数)。
如果 = ,那么 是( )。 观察右边的扇形统计图,并填空。 ( )如果用这个圆代表总体,那么扇形( )表示总体的 。
( )如果用整个圆代表 公顷的稻田,那扇形 大约代表( ) 公顷。
)。
在比例尺为 ∶
的地图上量得温州至杭州的距离是 厘米,两地实际相距
( )千米,如果一辆汽车以每小时 千米的速度于上午 时 分从温州开出,那么将
在下午( )时( )分到达杭州。
央视二套“购物街”栏目有一个价格游戏,一个口袋里装 颗白球, 颗彩色球,
任意摸一颗,摸到白球算“爆”。那第一次摸“爆”的可能性是( )。