高考复习专题函数零点的求法及零点的个数

函数零点的求法及零点的个数

题型1：求函数的零点。

[例1] 求函数

222

3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程

02223=+--x x x 的根 [解析]令 32

220x x x --+=，∴2

(2)(2)0x x x ---=

∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数222

3

+--=x x x y 的零点为-1，1，2。

[反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型2：确定函数零点的个数。

[例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数.

[解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数

[解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ⋅<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。

方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数

即求ln 62y x

y x =⎧⎨

=-⎩的交点的个数。画图可知只有一个。

[反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法：

①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围

[例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数

()a x ax x f --+=3222

,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。

[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2

x 的系数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.

令

()2

48382440

a a a a ∆=++=++=, 解得

a =

①当

a =

时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;

②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。 ③当

()

y f x =在[

]

1,1-上有两个零点时, 则

()()20824401

1121010a a a a f f >⎧

⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨

⎪

≥⎪

⎪

-≥⎩

或

()()20824401

1121010a a a a f f <⎧

⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨

⎪

≤⎪

⎪

-≤⎩

解得5a ≥

或

32a --<

综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或

32a --≤

。

[反思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高

考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.

②二次函数2()f x ax bx c =++的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。 考点3 根的分布问题

[例5] 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围

[解题思路]由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论

[解析]（1）若m=0，则f （x ）=－3x+1，显然满足要求. （2）若m ≠0，有两种情况：

原点的两侧各有一个，则⇒⎪⎩⎪

⎨⎧<=>--=01

04)3(2

12m x x m m Δm ＜0；

都在原点右侧，则⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪

⎪⎨⎧

>=>-=+≥--=,01,023,04)3(212

12m x x m m x x m m Δ解得0＜m ≤1，综上可得m ∈（－∞，1］。

[反思归纳]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程

ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的分布有关的结论：

①方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f （r ）＜0.

②二次方程f （x ）=0的两根都大于r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=⇔.

0)(,2,

042r f a r a

b a

c b Δ

③二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧>⋅>⋅<-

<>-=⇔.

0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b Δ

④二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f （p ）·f （q ）＜0，或f （p ）=0，

另一根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.

⑤方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）⎩⎨

⎧>⋅<⋅⇔.0)(,0)(q f a p f a （二）、强化巩固训练 1、函数()221f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是（ ）。 A ．(

],1-∞；B ．(

]{},01-∞U ；C ．(

)(]

,00,1-∞U ；D ．(

)

,1-∞

[解析] B ；依题意得（1）

⎪⎩

⎪⎨⎧<>--=∆>0)0(04)2(0

2

f m m 或（2）

⎪⎩

⎪⎨⎧>>--=∆<0)0(04)2(02

f m m 或

（3）

⎩⎨⎧=--=∆≠04)2(0

2m m 显然（1）无解；解（2）得0

2、方程

223x x -+=的实数解的个数为 _______ 。 [解析] 2；在同一个坐标系中作函数x y )21

(=及

32

+-=x y 的图象，发现它们有两个交点

故方程2

23x x -+=的实数解的个数为2。

3、已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_________。

[解析] (－3，23

） 只需2(1)2290f p p =--+>或2(1)210f p p -=-++> 即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3, 23

)。

4、设函数321

()2

x y x y -==与的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（ ）。

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4) 答案B 。

5、若方程2(2)210x k x k +-+-=的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k 的取值范围。

[解析] 12

23k <<；令12)2()(2

-+-+=k x k x x f ，则依题意得 ⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+<-+-+>-0

12424012210

12k k k k k ，解得12

2

3k <<。