5 格林公式及其应用

L
P d x Qd y 0 .
(ii) 对D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分 与路径无关, 只与 L 的起点及终点有关.

L
P d x Qd y
的全微分,
(iii)
是 D 内是某一函数 即 d u ( x, y ) P d x Q d y
(iv) 在 D 内处处成立
P Q . y x
曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
L
意闭曲线 C 的曲线积分 Pdx Qdy 等于零
L
这是因为 设L1和L2是G内任意两条从 点A到点B的曲线 则L1(L2)是G内一条任 意的闭曲线 而且有
L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 由条件(iv), 在 D 上处处成立
D
P Q y x
利用格林公式 , 得
Q P L P d x Q d y ( x y )d xd y 0
证毕
由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
y y0 x
u(x, y) P(x, y0)dx Q(x, y)dy
x0 y
u(x, y) Q(x0, y)dy P(x, y)dx
y0 x0
应用定理2应注意的问题 (1)区域G是单连通区域 (2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保 证成立
AO ,
原式
L AO ( x 3 y) dx ( y x) d y 2 2 ( x 3 y ) d x ( y x) d y OA 4 2 y 4 d xd y x dx L 0 D
2 2
64 8 3
D
o
Ax
xdy ydx 例 4 计算 2 2 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 L x y 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 解 记L所围成的闭区域为D
(1) 当(0 0)D时
由格林公式得
xdy ydx L x2 y2 0
y 这里 P 2 2 Q 2 x 2 x y x y 当x2y20时 有 Q y 2 x2 2 2 2 P x ( x y ) y
提示:
xdy ydx 例 4 计算 2 2 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 L x y 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向
( x, y) ( x0 , y0 )
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y
具有性质：d u = P dx + Q dy
称 u( x, y ) 为 P dx + Q dy 在域 D 内的一个原函数.
求原函数的公式
u(x, y)
(x, y)
(x0 , y0 ) x
证明 (i) 设 线, 则
(ii)
L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲


L1
P d x Qd y P d x Qd y L2
L2
B
L1
A
L 1 L 2
P d x Qd y
L2
(根据条件(i))
所以
P d x Qd y
证明 (ii)
在单连通开区域 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有 D 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 价 命 题
(1) 在D内 Pdx Qdy与路径无关
L
(2)
Pdx Qdy 0,闭曲线C D
C
(3) 在D内存在U ( x, y)使du Pdx Qdy
L PdxQdy L PdxQdy
1 2
恒成立 就说曲线积分 Pdx Qdy 在 G 内
L
与路径无关 否则说与路径有关
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB
Pd x Qd y Pd x Qd y A
B
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
取圆弧 AB : x

2
cos , y

2
sin ( :

2
0)
W
k
AB
r
2
( y dx x d y)
y
A L


2
o
k
B x
思考: 积分路径是否可以取 无关 !
AO OB ? 为什么？
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
机动
目录
上页
下页
返回
结束
小结 与路径无关的四个等价命题 条 件
D
例3 求椭圆xacos ybsin 所围成图形的面积A
解
设L是由椭圆曲线 则
1 xdy ydx 1 22 1 (absin2 abcos2 )d 1 xdy A (absin2 abcos2 )d A 2 LL 2 20 2 0 1 ab d 1 ab 22d ab 0 ab 22 0
移动到 由 A( 0, )
2
y
k ( y dx x d y) 2 r
解: W
L F d s L
2 2
A L
令
则有
o
( x2 y2 0 )
B x
P k ( x y ) Q 4 x y r
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(4) 在D内, P Q y x
x 2 y 2 a 2 从点 (0, a) 依逆时针 备用题 1. 设 C 为沿 到点 (0,a) 的半圆, 计算 y2 dx a x 2 y ln( x a 2 x 2 ) d y a2 x2 C y 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . a C D C 原式 = C C C o x 2y a d xd y D a2 x2 a (2 y ln a) d y
§6.4.3 格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、格林公式
单连通与复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域
单连通区域
在他的左边.
复连通区域
边界曲线的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总
解 记L所围成的闭区域为D (2) 当(0 0)D时在D内取一圆周l: x2y2r2(r>0) 记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得
xdy ydx Q ( P )dxdy 0 Ll x2 y2 x y D
1
其中l的方向取顺时针方向 于是 2 r 2 cos 2 r 2 sin 2 xdy ydx xdy ydx d 2 L x2 y2 l x2 y2 0 2 r
则
L
2xydx x2dy 2xydx x2dy 2xydx x2dy
OA AB 1 0
12 dy1
例6 验证 2xydxx2dy在整个xOy平面内是某一函数u(x y)的
全微分 并求这样的一个u(x y).
解 ：这里 Q 2x P x y
定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y) 在D上具有一阶连续偏导数 则有
(
D
Q P )dxdy Pdx Qdy ——格林公式 L x y
其中L是D的取正向的边界曲线
应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的 方向对区域D来说都是正向
证明 (iii)
(iv)
设存在函数 u ( x , y ) 使得 则
du P dx Qd y u P ( x , y ), x
u Q( x , y ) y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 所以
从而在D内每一点都有
P Q y x
证明 (iv)
(i) 所围区域为
用格林公式计算二重积分
例 2 计算 e
D
y2
dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
为顶点的三角形闭区域
解 令 P0 Q xe 因此 由格林公式有 提示:
Q P y 2 2 e 只需 P0 Q xe y 要使 x y
( x x , y ) ( x, y )
Pd x
P( x x, y)x xu u lim P( x x, y ) P( x , y ) lim x x 0 x x 0 u 同理可证 Q( x , y), 因此有 d u P d x Q d y y
例 5 计算 2xydx x2dy 其中 L 为抛
L
物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 解 这里P2xy Qx2
P Q 2x 因为 所以积分 y x
L
2xydx x2dy 与路径无关
选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线
y2
Q P y 2 则 e x y
例 2 计算 e
D
y2
dxdy 其中 D 是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1)
为顶点的三角形闭区域
解 令 P0 Q xe 因此 由格林公式有