数学建模课程及答案

数学建模课程及答案

《数学建模课程》练习题一

一、填空题

1. 设开始时的人口数为0

x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的

马尔萨斯模型应为 。

2. 设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而

供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格

是 。

3. 某服装店经营的某种服装平均每天卖出110

件，进货一次的手续费为200元，存储费用为

每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，

则最优进货周期与最优进货量分别

为 。

4. 一个连通图能够一笔画出的充分必要条件

是 .

5.设开始时的人口数为0

x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m

x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型

为 .

6. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N

将和下列因素有关：

（1）参加展览会的人数n；（2）气温T超过C 10；

（3）冰淇淋的售价p.

由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为.

7、若银行的年利率是x%，则需要时间，存入的钱才可翻番.若每个小长方形街路的8. 如图是一个邮路，邮递员从邮局A出发走遍所有长方形街路后再返回邮局.

边长横向均为1km，纵向均为2km，则

他至少要走km..A

9. 设某种新产品的社会需求量为无限，开始时的生产量为100件，且设产品生产的增长率控制在0.1，t时刻产品量为)(t x，则)(t

x= .

10. 商店以10元/件的进价购进衬衫，若衬衫的

需求量模型是802,

=-是销售单价（元/件），为

Q p p

获得最大利润，商店的出售价是.

二、分析判断题

1．从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，

需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚

麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，

建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电

梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。

2．某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半

当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，

到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论

多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但

不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.

3．一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲

过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”。

交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准

备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人

可以穿越马路。那末“选择设置斑马线的地点”

这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种。

4. 某营养配餐问题的数学模型为

minZ=4x 1+3x 2

s .t .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+0,)

3(,4256)2(,4085)1(,5051021212121x x x x x x x x

其中2

1,x x 表示参与配餐的两种原料食品的采购量，约束条件（1）、（2）、（3）依次表示铁、蛋白质和钙的最低摄入量。并用图解法给出了其最优解T x )6,2(*=，试分析解决下述问题：

（1） 假如本题的目标函数不是求最小而是

求最大值类型且约束条件不变，会出现什么结果？

（2） 本题最后定解时，只用了直线（1）

与直线（3），而直线（2）未用上，这件事说明了什么？试从实际问题背景给以解释.

5．据绘画大师达芬奇的说法，在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点。也就是说，这个比值越接近0.618，就越给人以一种美的感觉。很可惜，一般人的躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高比都低于此数值，大约只有0.58—0.60左右。

设躯干长为x ，身高为l ，一位女士的身高为

1.60()m ，其躯干与身高之比:0.60x l =，若其所穿的高跟鞋高度为（单位与x ，l 相同），那么，她该穿多高的高跟鞋（d =？）才能产生最美的效应值。

三、应用题

1．从厂家A 往B 、C 、D 三地运送货物，中间

可经过9个转运站123123123

,,,,,,,,E E E F F F G G G .从A 到321,,E E E 的运价依次为3、8、7；从1E 到2

1,F F 的运价为4、3；从2E 到321,,F F F 的运价为2、8、4；从3E 到

32,F F 的运价为7、6；从1F 到2

1,G G 的运价为10、12；从2F 到321,,G G G 的运价为13、5、7；从3F 到3

2,G G 的运价为6、8；从1G 到C B ,的运价为9、10；从2

G 到D C B ,,的运价为5、10、15；从3

G 到D C ,的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线。

2. 试求如表2所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用：

3．某工厂计划用两种原材料B A ,生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3（百元）乙的需要两依次为3、1个单位，产值为9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：

（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？

若有请至少给出两个，否则说明理由.

（2） 原材料的利用情况.

4. 两个水厂21,A A 将自来水供应三个小区,,,321B B B 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各