第二类曲面积分

0 F ( i ,i , i ) n ( i ,i , i )Si
n i 1
如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时, 上面和式 有极限（极限值与区域的分法和点的取法无关） ，则称此
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极限值为向量函数 F ( x , y , z ) 在有向曲面 Σ 上沿指定 一侧 对坐标的曲面积分 （或第二类曲面积分， 或向量场 上的面积分） ，记作：

——两类曲面积分之间的关系
我们常用记号 dydz ，dzdx，dxdy 表示面积微元 dS 在 yoz 平面， zox 平面， xoy平面上的有向投影，即
dydz cos dS , dzdx cos dS , dxdy cos dS
则
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0 F n dS P cos Q cos R cos dS
0
i 1
i 1 n
R( i , i , i )( S i ) xy ]
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第二类曲面积分的定义：
设 Σ 为光滑的有向曲面，取定一侧，记这一侧的 0 单位法向量为 n ( x , y , z ) 。 又设向量函数 F ( x , y, z ) 在Σ 上 有定义。 Σ 任意分成 n块小曲面 Si ( Si 同时又表示 把 第 i 块小曲面的面积), ( i , i , i ) 是 Si 上任意取定的一 0 点， n ( i , i , i )表示该点处的单位法向量，作和式：
以 后 如 不 特 殊 说 明 我 们 总 假 定 P ( x, y, z ) ， Q( x , y , z )， R( x , y , z )在 Σ 上连续。
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基本性质：
（1）线性性质： 0 0 0 (k1F1 k2 F2 ) n dS k1 F1 n dS k2 F2 n dS

化成对面积的曲面积分，其中 是平面 3 x 2 y 2 3z 6 在第一卦限部分的上侧 。
解： 3 x 2 y 2 3z 6 上侧的法向量为：n {3,2,2 3}
单位法向量为：n0 { 3 , 2 , 2 3 } 5 5 5
P ( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
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例 1：计算曲面积分 Q xdydz ydzdx zdxdy ，其中

是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 的外侧 。
0 解： 设 F { x , y , z } ， Q F n dS 则
0 0 因为 F //n ，且同向，所以 F n | F | a 0 Q F n dS adS a dS
Dxy
R x , y, z ( x , y) 1}dxdy
0 lim F ( i ,i , i ) n ( i ,i , i )Si
n
0



0 F ( x , y , z ) n ( x , y , z ) dS
i 1

0 F ( x , y , z ) dS （ dS n dS 称为有向面积元素）
1 ( 3 P ( x , y , z ) 2Q 2 3R( x , y , z ))dS 5
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三、第二类曲面积分的计算法
设积分曲面 由方 程 z z ( x , y )给出， 在 xoy面上的投影 区域为 Dxy ， 且设函数
z ( x , y )在 Dxy 上具有
i 1 n
R( i , i , i )( S i ) xy ]
3.取极限
n
0
取极限得到流量的精确值 .
0 lim vi ni S i
0
lim [ P ( i , i , i )( S i ) yz Q ( i , i , i )( S i ) xz

Pdydz Qdzdx Rdxdy

——第二类曲面积分的坐标表示 其中：
P d y d z 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;
称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
R d x d y
称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
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则该点流速为 vi
0 单位法向量为 ni .


o x
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y
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则该点流速为： vi v ( i ,i , i )
P ( i ,i , i )i Q( i ,i , i ) j R( i ,i , i )k ,
n
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典型单侧曲面:
莫比乌斯带
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定义：
设 为一光滑曲面，M 为 上任意一点， 在 M 处的法向量有两个指向 ，取定一个指 向 ，记为 n，若动点从 M 点出发，在 上不 越过边界移动，最后回 M 点时，n 的方向 到 没有改变，则称 为双侧曲面。否则称为单 侧曲面。
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（2）设稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1） 的速度场为
v ( x, y, z ) P ( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k
设 Σ 是速度场中的一片有向曲面，
函数 P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )在 Σ 上连续，

0 其中 n 是球面外侧的单位法向量。

a 表面积 4 a 3
0 1 事实上，容易求得：n { x , y , z } a
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例 2：把对坐标的曲面积分 P ( x, y, z )dydz Q( x, y, z )dzdx R( x, y, z )dxdy
用曲面法向量的指向规定曲面的侧， 规定了侧的曲面称为有向曲面。
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曲面侧的具体规定如下：
（1）若 的方程为 z z ( x , y) ： 规定：法向量与 z 轴正向的夹角为锐角的一侧称 为 的上侧（正侧） ，另一侧称为下侧（负侧） 。
（2）若 的方程为 x x ( y, z ) ： 规定：法向量与 x 轴正向的夹角为锐角的一侧称 为 的前侧（正侧） ，另一侧称为后侧（负侧） 。
说明：
引例中，流向 指定一侧的液体的流量 为： 0 v ( x , y , z ) n ( x , y , z ) dS

Pd y d z Qd z d x Rd x d y

第二类曲面积分存在的必要条件: 我们可以证明： 当向量函数 F ( x , y, z ) 的三个分 量函数 P ( x , y , z )，Q( x , y , z )， R( x , y , z )在有向光滑 曲面 Σ 上连续时，第二类曲面积分总存在。
i 1
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n
[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i
i 1
n
R( i , i , i ) cos i ]Si
[ P ( i , i , i )( S i ) yz Q ( i , i , i )( S i ) xz
z
n
z z( x , y )

o
Dxy
一阶连续偏导数，函 数 P ， ，R 在 上连 Q 续。
y
x
(S ) xy
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的法向量为： n { z , zy ,1} x
法向量为上侧时取正号，为下侧时取负号
有向曲面Σ的法向量的方向余弦为
z zy x cos , cos , 2 2 2 2 zy 1 zx 1 z zy x 1 cos . 2 2 1 z zy x
第五节 第二类曲面积分
一、有向曲面
第十章
二、第二类曲面积分的 概念与性质 三、第二类曲面积分的 计算
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一、有向曲面
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
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曲面的分类: 典 型 双 侧 曲 面
1.双侧曲面;
2.单侧曲面.
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二、第二类曲面积分
引例: 流体流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ，有向平面区域 A，求单 位时间流过 A 的流体的质量 (假定密度为 1).
v
流量

A
0 n
A v cos 0 Av n v A
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（2）可加性： 1 2 0 0 0 F n dS F n dS （3）有向性： F n dS F n dS

注意：第二类曲面积分没有第一类曲面积分的对称 性质及有关不等式的性质。
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（3）若 的方程为 y y( z, x ) ： 规定：法向量与 y 轴正向的夹角为锐角的一侧称 为 的右侧（正侧） ，另一侧称为左侧（负侧） 。
（4）若 为封闭曲面: 规定： 法向量朝外的一侧称为 的外侧 （正侧） ， 朝内的一侧称为内侧（负侧） 。
正、负侧分别记为 ， 。
dS 1 z 2 zy2 dxdy x
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则
0 F n dS

Pdydz Qdzdx Rdxdy

P cos Q cos R cos dS

{ P x , y , z( x , y )( z ) Q x , y , z( x , y )( zy ) x
当Σ 是封闭曲面时，第二类曲面积分常记作 0 F ( x , y, z ) dS F n dS

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若 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 0 n ( x , y , z ) cos ,cos ,cos ， 则 0 F n dS P cos Q cos R cos dS
求在单位时间内流向 Σ 指定 一侧的流体的质量 。

z
解： 利用微元法
o
y
分割、近似、求和、取极限
x
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1.分割 把曲面 Σ 分成 n小块 Si ( Si 同时也代表 第 i 小块曲面的面积), 在 Si 上任取一点 vi z S ni i ( i , i , i ) ( i ,i , i ),
记该点处曲面 Σ 的单位法向量为： 0 ni cos i i cos i j cos i k
2.近似 通过 Si 流向指定侧的流量的近似值为
0 v i ni S i
( i 1,2,, n).
3.求和 通过 Σ 流向指定侧的流量
0 vi ni S i