垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。
2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。
3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。
三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。
如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。
2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。
已知AB=6cm，求BC的长度。
四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。
2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。
答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。
2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。
垂径定理练习题及答案
1．△ ABC中 , AB=6cm , ∠ A=30° , ∠ B=15° , 则△ ABC绕直线 AC旋转一周所得几何体的表面积为 ____
2．一个圆锥的高为 10 3 cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是 3．已知圆锥的母线长是 10cm，侧面展开图的面积是 60π cm2，则这个圆锥的底面半径是
）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为 ( )
A． 5 米 B ． 8 米 C ． 7 米 D ． 5 3 米
3、如图，在同心圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C， AB=6，则圆环的面积是 _____________
1．在三角形 ABC中， BC=14， AC=9， AB=13，它的内切圆分别和 BC、 AC、 AB切于点 D、 E、 F，求 AF 、 BD、 CE的长。
第 1 题图 4．如图，已知在△ 切线；
第 2 题图
第 3 题图
ABC中， AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O交 AC于点 F，交 BC于点 D，DF⊥ AC于点 F．求证： DF 是⊙ O的
2．如图所示， 已知 PA、PB切⊙ O于 A、B 两点，C是上一动点， 过 C 作⊙ O的切线交 PA于点 M，交 PB于点 N，已知∠ P=56°， 求∠ MON的度数。
A、 B、C 三根木柱，使得 A、 B 之间的
距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC长为 240 米， A 到 BC的距离为 5 米，如图 5 所示。请你帮他们求出滴水湖的半
中考数学专题复习《垂径定理》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《垂径定理》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________ 1．如图 在O 中 直径AB 垂直弦CD 于点E 连接,,AC AD BC 作CF AD ⊥于点F 交线段OB 于点G （不与点,O B 重合） 连接OF ．(1)若1BE = 求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG = 猜想CAD ∠的度数 并证明你的结论．2．如图 AB 是O 直径 直线l 经过O 上一点C 过点A 作直线l 的垂线．垂足为D ．连接AC ．已知AC 平分DAB ∠．(1)求证：直线l 与O 相切(2)若70DAB ∠=︒ 3CD = 求O 的半径．（参考数据：sin350.6︒≈cos350.8︒≈．tan350.7︒≈）3．如图 AC 与BD 相交于点E 连接AB CD CD DE =．经过A B C 三点的O 交BD 于点F 且CD 是O 的切线．(1)连接AF 求证：AF AB =(2)求证：2AB AE AC =⋅(3)若2AE = 6EC = 4BE = 则O 的半径为 ． 4．如图 四边形ABCD 内接于O 对角线,AC BD 交于点E 连接OE ．若,AC BD O ⊥的半径为,r OE m =．(1)若ABC BAD ∠=∠ 求证：OE 平分AEB ∠(2)试用含,r m 的式子表示22AC BD +的值(3)记ADE BCE ABE CDE 的面积分别为1S 2S 3S 4S 当求证：AC BD =．5．如图 AB 是O 的直径 ,C D 是O 上两点 且AD CD = 连接BC 并延长与过点D 的O 的切线相交于点E 连接OD ．(1)证明：OD 平分ADC ∠(2)若44,tan 3DE B == 求CD 的长． 6．已知BC 是O 的直径 点D 是BC 延长线上一点 AB AD = AE 是O 的弦 30AEC ∠=︒．(1)求证：直线AD 是O 的切线(2)若AE BC ⊥ 垂足为M O 的半径为10 求AE 的长．7．已知 在O 中 AB 为弦 点C 在圆内 连接AC BC OC 、、,ACO BCO ∠=∠．(1)如图1 求证：AC BC =(2)如图2 延长AC BC 、交O 于点E D 、 连接DE 求证：AB DE ∥(3)如图3 在（2）的条件下 设O 的半径为,3R DE R = 弦FG 经过点C 连接BG BF 、 72,3,33DBF DBG CG R ∠=∠== 求线段CF 的长． 8．已知点,,A B C 在O 上．(1)如图① 过点A 作O 的切线EF 交BC 延长线于点,E D 是弧BC 的中点 连接DO 并延长 交BC 于点G 交O 于点H 交切线EF 于点F 连接,BA BH ．若24ABH ∠=︒ 求E ∠的大小(2)如图① 若135AOC B ∠+∠=︒ O 的半径为5 8BC = 求AB 的长． 9．如图 A B C D 分别为O 上一点 连AB AC BC BD CD AC 垂直于BD 于E AC BC = 连CO 并延长交BD 于F ．(1)求证：CD CF =(2)若10BC = 6BE = 求O 的半径．10．如图 在 Rt ABC △中 90C ∠=︒，AD 平分 BAC ∠ 交 BC 于点D 点O 是边 AB 上的点 以点O 为圆心 OD 长为半径的圆恰好经过点A 交AC 于点E 弦 EF AB ⊥于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线．(2)若 12AG EG ==，，求O 的半径．(3)设O 与AB 的另一个交点为 H 猜想AH AE CE 之间的数量关系 并说明理由． 11．如图 在ABC 中 90ACB ∠=︒ 5AB = 1AD = BD BC = 以BD 为直径作O 交BC 于点E 点F 为AC 边上一点 连接EF 过点A 作AG EF ⊥ 垂足为点G =BAC GAF ∠∠．(1)求证：EG 为O 的切线(2)求BE 的长．12．如图 四边形ABCD 中 90B C ∠=∠=︒ 点E 是边BC 上一点 且DE 平分AEC ∠ 作ABE的外接圆O．(1)求证：DC是O的切线(2)若O的半径为5 2CE=求BE与DE的长．13．如图1 在直角坐标系中以原点O为圆心半径为10作圆交x轴于点A B，（点A⊥（点D在点E上方）连在点B的左边）．点C为直径AB上一动点过点C作弦DE AB∥交圆O于另一点记为点F．直线EF交x轴于点G连接接AE过点D作DF AE，，．OE BF AD(1)若80∠=︒求ADFBOE∠的度数(2)求证：OE BF∥(3)若2=请直接写出点C横坐标．OG CG14．如图AB为O的弦C为AB的中点D为OC延长线上一点连接BO并延长交O于点E交直线DA于点F B D∠=∠．(1)求证：DA为O的切线(2)若42EF=求弦AB的长度．AF=2⊥交O于B C两点．连15．如图在O中M为半径OA上一点．过M作弦BC OA=．接BO并延长交O于点D连接AD交BC于点E．已知EB ED(1)求证：60CD =︒(2)探究线段CE EM 长度之间的数量关系 并证明．参考答案：1．(1)1(3)45︒2．(2)2583．4．(2)()222242AC BD r m +=-5．(2)6．(2)AE =7．(3)21349CF =8．(1)48E ∠=︒ (2)9．51010．(2)52(3)2AH AE CE =+11．(2)16512．(2)6BE = 25DE =13．(1)100︒(3)点C 555-14．28215．(2)2CE EM =。
圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题一. 选择题 1.如图1,00的直径为10,圆心0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（ ）2.如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的一个动点，则线段0M 长的最小值为（）3.过O 0内一点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（）A* 9cmE, 5cm4.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 0A 0B 在 0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直位 D. 15个单位5.如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（）6. 下列命题中，正确的是（A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为A.4B. 6C. 7D. 8 B. 3 C. 4 D. 5B . 10个单位 C. 1个单A . 212个单位E & 5米B, 8米C. 7米D,出米D8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm9•已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的高为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 二、填空题1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦心距为 _______________________________ cm3. 在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 _____________________4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘米，贝U CD= ___________ 厘6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m7. 过O 0内一点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm8. 已知AB 是O 0的直径，弦CDL AB E为垂足，CD=8 0E=1则AB= __________9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长11. __________________________ 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝卩点B 的坐标是12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD的高度为13. 如图，矩形ABCDf圆心在AB上的圆0交于点G B、F、E, GB=10 EF=8 那么AD= ______14.___________________________________________________________________________ 如图，O O 的半径是 5cm P 是o o 外一点，PO=8cm / P=3GO,则 AB ______________________ cm是 __________________ Cm16. 已知AB 是圆O 的弦,半径OC 垂直AB 交AB 于D,若AB=8 CD=2则圆的半径为 _______________ 17. 一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 ___________________ 米 18. 在直径为10厘米的圆中，两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图,是一个隧道的截面,如果路面AB 宽为8米,净高CD 为8米,那么这个 隧道所在圆的20. 如图,AB 为半圆直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点0 若 AC=8cm DE=2cm 则 OD 的长为 _____________ c m21. 已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的。
初中垂径定理试题及答案
初中垂径定理试题及答案一、选择题1. 在圆中，垂直于弦的直径是该弦的（）。
A. 垂线B. 垂径C. 弦心距D. 弦长答案：B2. 垂径定理告诉我们，如果一条线段垂直于弦，并且平分弦，那么它也平分弦所对的（）。
A. 弧B. 圆心角C. 弦心距D. 弦长答案：A3. 在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦分成的两段长度（）。
A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 取决于圆的大小答案：A二、填空题4. 在圆中，如果弦AB的中点为M，且直径CD垂直于弦AB于点M，则弦AB所对的弧ACB的度数为______。
答案：90°5. 垂径定理在圆的几何学中非常重要，它说明了垂直于弦的直径将弦平分，并且平分的弦所对的弧是______。
答案：相等的三、解答题6. 已知圆O的半径为10cm，弦AB垂直于直径CD于点M，求弦AB的长度。
答案：由于直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理，弦AB被直径CD平分，因此弦AB的长度为圆的直径，即20cm。
7. 在一个圆中，弦AC的长度为12cm，弦BC的长度为8cm，且AC和BC相交于点O，求圆的半径。
答案：由于AC和BC相交于圆心O，根据垂径定理，OA=OC，OB=OA，因此OA=OC=6cm，OB=OA=6cm。
根据勾股定理，圆的半径r满足r^2 =OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 72，所以r = √72 = 6√2 cm。
四、证明题8. 证明：在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦平分。
答案：设圆心为O，直径为CD，弦为AB，且CD垂直于AB于点M。
要证明CM=MD。
由于CD是直径，所以∠CMO=∠DMO=90°。
根据垂径定理，CM=MD，因此这条直径将弦平分。
浙教新版九年级上册《3.3 垂径定理》2024年同步练习卷(4)+答案解析
浙教新版九年级上册《3.3垂径定理》2024年同步练习卷（4）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知的直径于点E，则下列结论一定错误的是()A.B.C.D.≌2.如图，AB是的直径，弦于点E，，，则A.8B.5C.3D.23.如图，AB，BC是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则AB的长为()A.B.C.4D.54.如图，的直径，AB是的弦，，垂足为若OM：：5，则AB的长为()A.8B.12C.15D.165.如图，在半径为5的中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则OP的长为()A.3B.4C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
6.如图，AB、AC、BC都是的弦，，，垂足分别为M、N，若，则BC的长为______.7.如图，已知AB是半圆O的直径，弦，，，则BC的长为______.8.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，于D，过点O作交半圆O于点E，过点E作于若，则OF的长为__________.9.如图，在中，弦，点C在AB上移动，连接OC，过点C作，交于点D，则CD长的最大值为______.三、解答题：本题共4小题，共32分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.本小题8分已知：如图，AB是的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且求证：11.本小题8分如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为，顶棚到路面的距离是，点B到路面的距离为请求出路面CD的宽度．精确到12.本小题8分如图，OD是的半径，AB是弦，且于点C连接AO并延长交于点E，若，，求半径OA的长．13.本小题8分如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，，米，于点E，此时测得OE：：求CD的长；如果水位以米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？答案和解析1.【答案】B【解析】解：的直径于点E，，，在和中，，≌，根据已知条件无法证明，故选：根据垂径定理得出，，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明≌本题考查了垂径定理的应用和全等三角形的判定，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.【答案】A【解析】解：，AB是直径，，在中，，，故选：根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出OE即可解决问题．本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3.【答案】A【解析】解：连接OB，，AO过O，，，，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，故选：根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：连接OA，的直径，OM：：5，，，，，故选：连接OA，先根据的直径，OM：：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．作于M，于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．【解答】解：作于M，于N，连接OB、OD，由垂径定理、勾股定理得：，弦AB、CD互相垂直，，于M，于N，四边形MONP是矩形，，四边形MONP是正方形，故选：6.【答案】2【解析】解：，，垂足分别为M、N，OM过圆心O，ON过圆心O，，，，，，故答案为：根据垂径定理得出，，根据三角形的中位线性质得出，再求出BC即可．本题考查了三角形的中位线和垂径定理，能根据垂径定理求出和是解此题的关键．7.【答案】【解析】解：过点O作于H，分别过点C、D作于点E，于点F，连接OC，如图，则，在中，，，，，，，又，四边形HOEC是矩形，，，，，故答案为：过点O作于H，分别过点C、D作于点E，于点F，连接OC，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，根据题意推出四边形HOEC是矩形，根据矩形的性质及勾股定理即可得解．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．8.【答案】6【解析】【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的性质和判定等知识.熟练掌握垂径定理，证明≌是解决问题的关键．先根据垂径定理求出AD的长，再由AAS定理得出≌，推出即可求出答案．【解答】解：，，，，，，，，在和中，，≌，，故答案为：9.【答案】2【解析】解：，，，当OC的值最小时，CD的值最大，时，OC最小，此时D、B两点重合，，即CD的最大值为2，故答案为：根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当时，OC最小，根据垂径定理计算即可．本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．10.【答案】证明：如图，过点O作于点M，则又，【解析】本题考查了等腰三角形的性质及垂径定理．平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．如图，过点O作于点根据垂径定理得到然后利用等腰三角形“三线合一”的性质推知，故11.【答案】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：，所以，，由题意可知：，过O，，在中，由勾股定理得：，，所以路面CD的宽度为【解析】连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD即可．本题考查了垂径定理和勾股定理，能求出CE的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．12.【答案】解：弦AB，，，设的半径，，在中，，解得：，【解析】先根据垂径定理求出AC的长，设的半径为r，在中利用勾股定理求出r的值．本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．13.【答案】解：直径米，米，，第11页，共11页，：：8，：：4，设米，则米，在中，由勾股定理得：，解得：负值已舍去，米，米；由得：米，如图，延长OE 交圆O 于点F ，米，小时，答：经过5小时桥洞会刚刚被灌满．【解析】设米，则米，由勾股定理求得DE 的长，即可得出结论；延长OE 交圆O 于点F ，求得EF 的长，即可解决问题．此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．。
(附答案)《垂径定理》典型例题
《垂径定理》典型例题例1. 选择题：（1）下列说法中，正确的是（）A. 长度相等的弧是等弧B. 两个半圆是等弧C. 半径相等的弧是等弧D. 直径是圆中最长的弦答案：D（2）下列说法错误的是（）A. 圆上的点到圆心的距离相等B. 过圆心的线段是直径C. 直径是圆中最长的弦D. 半径相等的圆是等圆答案：B例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。
分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。
证明：连结OC、OD∵M、N分别是OA、OB的中点∵OA＝OB，∴OM＝ON又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD∴Rt△OMC≌Rt△OND∴∠AOC＝∠BOD例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB 的度数和圆的半径。
分析：根据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。
解：过O点作OE⊥AB于E∵AB＝12由垂径定理知：∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形。
例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA 为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。
求AB、AD的长。
分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：过点C作CF⊥AB于F∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB∴△AFC∽△ACB例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。
分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M∵点P在AB上，PA＝4cm即⊙O的半径为7cm。
例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
垂径定理(含答案)
9题10题11题5题6题《垂径定理》练习题1.半径为8的圆中，垂直平分半径的弦长为 。
2.⊙O 的半径为6，M 为⊙O 内一点，OM=4，则过点M 的所有弦中，最长的弦长为 ,最短的弦长为 。
3. 如图，⊙O 的AB 垂直平分半径OACB 的形状为 。
4.如图，⊙O 中，AB ⊥AC ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，且OE=3,OF=4,则AB= ,AC= ,⊙O 的半径R= 。
5.如图，⊙O 中，AB 为弦，AB=8m,直径为10cm ，若M 为弦AB 上一点，则OM 的长x 的取值范围为 。
6.如图，⊙O 中，AB 为弦，且AB=421 cm ，sin ∠OAB=25,则⊙O 的半径为 。
7.如图，AB 是半径为15cm 的⊙O 中的一条弦，交半径为13cm 的同心圆于点C 、D 两点，已知，O 到AB 的距离为12cm,则AC+BD= 。
8.如图，有一条圆弧形拱桥，桥的跨度AB=16m,拱高CD=4m ，则拱形的半径为 。
9.如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加一个条件 ，就可以得到M 为AB 的中点。
10.如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA 与点A 运动所形成的⊙O 交于点B ，现测得PB=4cm,AB=10cm, ⊙O 的半径R=13cm,此时P 点到圆心O 的距离是 。
11.如图，已知AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10cm,PB=4cm,OP=5cm,则⊙O 的半径为 。
12.如图，水平放置的圆柱形水管的截面半径为5dm,水面宽AB 为6dm,则此时水深为 。
13.⊙O 的半径为13cm ，E 为⊙O 内一点，OE=5cm,则过E 点的所有弦中，长度为整数的弦有 条。
14.⊙O 中弦AB 与弦CD 垂直于点P ，且AP=PB=4cm,PC=2cm,则⊙O 的直径为 .15.已知P 为⊙O 内一点，且经过P 点的最长弦长为26cm, 过P 点的最短弦长为10cm ，则OP= 。
垂径定理的应用专项练习60题(有答案)ok
垂径定理的应用专项练习60题（有答案）1．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为多少m？2．赵州桥建于1400多年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性的桥梁，桥拱是圆弧形（如图）．经测量，桥拱下的水面距拱顶6m时，水面宽34.64m，已知桥拱跨度是37.4m，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高．（注意：运算时取37.4=14，34.64=20）3．有一圆弧形拱桥，水面AB的宽32米，当水面上升4米时，水面宽24米，当上游洪水来到时，水面每小时上升0.25米，问再过几小时，洪水会漫过桥面？4．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱项距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时，高度为5m的船是否能通过该桥？请说明理由．5．一个半圆形桥洞截面如图所示，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=16m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？6．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．7．某处一个圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，量得AB的长为16cm，截面最深处为4cm，请你帮助维修人员确定管道圆形截面的半径长．8．已知排水管的截面为如图所示的圆O，半径为10，圆心O到水面的距离是6，求水面宽AB．9．如图是小方在十一黄金周某旅游景点看到的圆弧形门，小方同学很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助小方同学计算出这个圆弧形门的半径是多少？10．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？11．在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．12．小明想知道一个大理石球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图），并量的两砖之间的距离是60cm，请你在图中利用所学的几何知识，求出大理石球的半径（要写计算过程）．13．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高为2，弦AB=（1）求⊙O的半径；（2）求截面中有水部分弓形的面积．（保留根号及π）14．一种花边是由如图的弓形组成，弧ACB的半径为5，弦AB=8．求弓形的高．15．有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8m，拱顶高出水面2m．现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6m，高1.5m（货箱底与水面持平），问该货船能否顺利通过该桥？16．我们在园林游玩时，常见到如图所示的圆弧形的门，若圆弧所在圆与地面BC相切于E点，四边形ABCD是一个矩形．已知AB=米，BC=1米．（1）求圆弧形门最高点到地面的距离；（2）求弧AMD的长．17．一辆卡车装满货物后，高4米，宽2.8米．（1）这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？请说明你的理由；（2）若将此隧道的上部（从边AB、CD的中点起）装上彩灯，请计算彩灯线的总长度L．（结果保留整数）18．如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点．（1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如果AC=BC=60cm，∠ACB=120°，求该残破圆轮片的半径．19．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是60cm，聪明的你也能算出这个大石球的半径了吗？请你建立一个用于求大理石球的几何模型，并写出你的计算过程．20．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧．（1）请你确定弧AB的中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果已知石拱桥的桥拱的跨度（即弧所对的弦长）为24米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为8米，求桥拱所在圆的半径．21．如图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分；图2是车棚顶部截面的示意图．（1）用尺规在图2中作出弧AB所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）车棚顶部是用一种帆布覆盖的，由图1中给出数据求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）．22．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：（1）桥拱的半径．（2）现有一轮船宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？23．如图是有一部分埋藏在地下的圆形水管截面的示意图，小明量得这个圆形水管的弦AB=160cm，露出地面部分的高为40cm，求圆形水管的半径．24．小明家在进行新房装修时准备在阳台中间位置做一个圆弧形的观景台．已知阳台的宽为80cm，廊道的宽为60cm，观景台的跨度AB为120cm，观景台的外端到墙壁EF的最近距离为40cm．求设计的圆弧形的观景台的半径应为多少cm？25．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，C弧AB是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，求这段弯路的半径．26．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．27．如图是某公园新建的圆形人工湖．为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B 之间的距离与B、C之间的距离相等，并测得B到AC的距离为3米，AC的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径．28．如图所示，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=30m，拱形的半径R=30m，则拱形的弧长为多少？29．某地方有座弧形的拱桥，如图，桥下的水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？30．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=24cm，CD=8cm，求（1）中所作圆的半径．31．如图是无为中学某景点内的一个拱门，它是⊙O的一部分．已知拱门的地面宽度CD=2m，它的最大高度EM=3m，求构成该拱门的⊙O的半径．32．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面宽16cm，最深地方的高度是4cm，求这个圆形切面的半径．33．一辆汽车装满货物的卡车，2.5m的高，1.6m的宽，要进厂门形状如图某工厂，问这辆卡车能否通过门？请说明理由．34．在半径为13cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图．若油面宽AB=24cm，求油的最大深度．35．如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求截面上有油部分油面高CD（单位：cm）．36．一条排水管的截面如右图所示，截面中有水部分弓形的弦AB为cm，弓形的高为6cm．（1）求截面⊙O的半径．（2）求截面中的劣弧AB的长．37．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是多少毫米？38．如图，是一个直径为650㎜的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600㎜，求油面的最大深度．39．如图，半径是13cm圆柱形油槽，装入油后，油深CD为8cm，求油面宽度AB．40．①白云商厦服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？②如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m（竹排与水面持平）．问：该货箱能否顺利通过该桥？41．（1）试找出如图3所示的破残轮片的圆心的位置；（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图4，在等边△ABC外接圆劣弧上任取一点P，连接PA、PB、PC，判断结论“PB+PC＞PA”是否正确，若正确请证明，若不正确，请举反例．42．如图为桥洞的形状，其正视图是由圆弧和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB 为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．（1）求所在⊙O的半径DO；（2）若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．43．如图是团风某座石拱桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为？44．当宽为3cm的刻度尺的一边与⊙O相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为多少cm？45．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD为多少？46．如图直径为26cm的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽AB=24cm，求油的最大深度．47．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB=300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=45m，求这段公路的半径．48．某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m（如图所示）．现有一艘宽3m、船舱顶部为正方形并高出水面AB，2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？49．如图，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长．50．高速公路上一个隧道的横截面的形状是以O为圆心的圆的一部分（弓形ACB），如图，若路面AB=10米，隧道顶端与路面的最大距离（弓形高）CD=7米，求⊙O的半径．51．小明家位于六朝古都西安，一个星期天的早晨，小明吃过早饭，像往常一样来到菜地，帮助妈妈锄草，“铛”的一声，引起小明的注意，好奇的小明发现草丛下面的土里，有一个圆形的破损的古镜，爱动脑筋的小明想知道这个古镜的半径大小，他在古镜上随意找到了三个点A、B、C．若构成的△ABC恰好是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，你能帮忙计算镜子的半径吗？52．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A、B、C，（1）画出该轮子的圆心；（用直尺与圆规）（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=10cm，腰AB=6cm，求圆片的半径R．53．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处是否会受到噪音影响？若受到影响，求出影响的时间，若不受到影响，请说明理由．54．如图，要把破残的圆形模具复制完整，已知弧上的三点A、B、C；（1）用尺规作图法，找出B、A、C所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC是等腰直角三角形，腰AB=5cm，求圆形模具中弧AC的长．55．如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB=60cm，则水管中水的最大深度为多少？56．如图，某排水管模截面，已知原有积水的水平面宽CD=0.8m时最大水深0.2m，当水面上升0.2m时水面宽多少？57．如图是一个弓形零件的截面图．已知弓形高为9cm，弦长为6cm，求弓形所在圆的半径．58．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°．点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机从P 沿公路MN前行，假设拖拉机行驶时周围100m以内会受到噪声影响，那么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由，若受影响已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多长？59．如图，两条公路EF和PQ在点O外交汇，∠QOF=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200米，如果公路上的汽车行驶时，周围200米以内会受噪音影响，那么一汽车在公路EF上沿OF的方向行驶时，居民楼是否会受影响？如果这辆汽车的速度是每小时72千米，居民楼受影响的时间约为多少秒？（≈1.732，精确到0.1秒）60．如图所示，某城区的过境公路MN和城区马路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，现计划在点A（马路PQ边）处建一所中学，AP=160m，假设汽车行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响．（1）那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A是否会受到噪声的影响？请说明理由；（2）如果受到影响，已知汽车的速度限为60km/小时，那么学校受到影响的时间为多少秒？参考答案：1．如图所示：已知AB=16m，半径OA=10m，AB为弦，∴OC垂直平分AB∴AD=AB=8m在Rt△AOD中，由勾股定理可得：OD2=AO2﹣AD2∴OD=6m∴CD=OC﹣OD=4m答：中间柱CD的高度为4m．2．如图，设圆弧所在圆的圆心为O，AB=37.4=14m，CD=34.6=20m，GE=6m．在Rt△OCE中，OE=OC﹣6，CE=10．∵OC2=CE2+OE2，∴OC2=（10）2+（OC﹣6）2．∴OC=28（m）．∴OA=28．在Rt△OAF中，AF=7，∴．∴拱高GF=28﹣21=7（m）．3．如图，AE=AB=16m，CF=CD=12m设OE=x，OF=4+x根据勾股定理R2=AE2+OE2=CF2+OF2即162+x2=122+（4+x）2解得x=12∴R==2020﹣（12+4）=44÷0.25=16∴时间为16小时4．不能通过．设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18，R2=302+（R﹣18）2，R2=900+R2﹣36R+324解得R=34m连接OM，在Rt△MOE中，ME=16，OE2=OM2﹣ME2即OE2=342﹣162=900，∴OE=30，∴DE=34﹣30=4，∴不能通过．5．（1）∵OE⊥CD于E，CD=16，∴ED=CD=8．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE==，∴OD=10（m）；（2）在Rt△DOE中，OE==（m），根据题意知：水面要以每小时0.5m的速度下降，即时间t=6÷0.5=12（小时），故将水排干需12小时．6．过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=AB=×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．7．设圆形截面的圆心过O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，连接AO，（1分）∵OC⊥AB，∴cm．（3分）由题意可知：CD=4cm，设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD2+AD2=OA2，∴（x﹣4）2+82=x2．∴x=10．（5分）答：这个圆形截面的半径为10cm．8．过O点作OC⊥AB，连接OB，∴AB=2BC，在Rt△OBC中，BC2+OC2=OB2，∵OB=10，OC=6，∴BC=8，∴AB=16．答：水面宽AB为16．9．∵AB⊥BD，CD⊥BD∴AB∥CD∵AB=CD∴ABCD为矩形∴AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20cm∴AG=GC=100cm （3分）设⊙O的半径为R，得R2=（R﹣20）2+1002，解得R=260cm答：这个圆弧形门的半径是260cm10．过O作OD⊥AB于D，设内径为R，则有：AD2=DO2+AO2，故R2=（R﹣10）2+302，解得：R=50．答：修理工人应准备内径为50cm的管道．11．过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理得：AC=AB=×600=300（mm），在Rt△ACO中，AC2+OC2=AO2，∴3002+OC2=3252，解得：OC=125mm，∴CD=OD﹣OC=325﹣125=200（mm）．答：油的最大深度是200mm12．连接AC，OA，OB，设⊙O的半径为r，∵AC=60cm，BD=10cm，OB⊥AC，∴AD=AC=×60=30cm，在Rt△ADO中，AD2+OD2=OA2，即302+（r﹣10）2=r2，解得r=50cm．答；大理石球的半径为50cm13．（1）过点O作OC⊥AB于点D ，交于点C，连接OB，设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2，∵OC⊥AB，∴BD=AB=×4=2，在Rt△BOD中，∵OD2+BD2=OB2，即（r﹣2）2+（2）2=r2，解得r=4；（2）∵由（1）可知，BD=2，OB=4，∴sin∠BOD===，∴∠BOD=60°，∴∠AOB=2∠BOD=120°，∴S弓形=S扇形AOB﹣S△AOB =﹣×2×2=﹣214．如右图，连接OC、OA，设OC与AB的交点为D点．在Rt△OAD中，OA=5，OD=5﹣CD，AD=AB=4；由勾股定理得：52=（5﹣CD）2+42，解得CD=2．故弓形的高为2．15．作出弧AB所在圆的圆心O，连接OA、ON，则NH=MN=6=3，设OA=r，则OD=OC﹣CD=r﹣2，AD=AB=4，在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，∴r2=42+（r﹣2）2，∴r=5（m）在Rt△ONH中，OH2=ON2﹣NH2∴，∴FN=DH=OH﹣OD=4﹣3=1（m），∵1＜1.5，∴货船不可以顺利通过这座拱桥．16．（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OE交AD于F，连接OA，如图所示：设⊙O半径为x，则OF=x ﹣米，AF=米在Rt△AOF中x2=（）2+（x ﹣）2解得：x=1 圆弧门最高点到地面的距离为2米．（2）∵OA=1，OF=1﹣=∴∠AOF=30°∴∠AOD=60°（8分）弧AMD的长==米．17．（1）如图，设半圆O的半径为R，则R=2，作弦EF∥AD，且EF=2.8，OH⊥EF于H，连接OF，由OH⊥EF，得HF=1.4，（3分）又OH=，∴此时隧道的高AB+OH＞2.6+1.4=4（米），∴这辆卡车能通过此隧道；（2）L=（AB+CD）+AD=2.6+2π=8.88≈9（米）．18．①如图1所示：②如图2，∵AC=BC=60cm，∠ACB=120°∴∠AOC=∠BOC，又∵AO=CO，CO=BO，∴△AOC≌△COB，∴∠CBO=∠ACO=60°，∵BO=CO，∴∠OBC=∠BCO=60°，∴△OBC是等边三角形，∴半径为60cm．19．根据题意可以建立圆中垂径定理的模型如图：AC=60cm，BD=10cm，设半径为r，∵OB⊥AC，∴，在Rt△ADO中，AD2+OD2=OA2，可得：302+（r﹣10）2=r2，解得r=50cm．答：大理石球的半径为50cm．20．（1）如图：点E即为所求（2）设和AB的交点是D，在直角三角形AOD中，AB=24m，DE=8m，：r2=122+（r﹣8）2解得：r=13cm．答：桥拱所在圆的半径为13cm．21．（1）如图所示：；（2）如（1）中的图，根据垂径定理，得AD=2．设圆的半径是r．在直角三角形AOD中，根据勾股定理，得r2=（r﹣2）2+（2）2，解得r=4．则OD=2．∴∠AOD=60°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，则弧AB 的长是=，则覆盖棚顶的帆布的面积是×60=160π（m2）．22．（1）如图，点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB 于F，延长EF交圆于点D，则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF=FB=AB=40，EF=ED﹣FD=AE﹣DF，由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE﹣DF）2，设圆的半径是r，则：r2=402+（r﹣20）2，解得：r=50；（2）货船能顺利通过这座拱桥．理由：连接EM，设MD=30米．∵DE⊥MN，EF=50﹣20=30（m），在Rt△DEM中，DE==40（米），∵DF=DF﹣EF=40﹣30=10（米）∵10米＞9米，∴货船能顺利通过这座拱桥．23．设圆心为O，作OD⊥AB于点D，交圆于点C．∵OC⊥AB，∴BD=AB=×160=80cm，设圆形水管的半径是rcm，则在直角△ODB中，OB=rcm，OD=r﹣40cm．根据勾股定理可以得到：r2=802+（r﹣40）2．解得：r=100cm．24．找AB中点D，作OC垂直AB于D，连OB．OC为⊙O半径，设⊙O半径为x．由图可知，CD=80﹣40=40cm∵D是AB的中点，AB=120cm，∴BD==60cm，∵△BOD是直角三角形，∴OB2=OD2+BD2，即x2=（x﹣40）2+602，x2=x2﹣80x+1600+3600，80x=5200，解得，x=65cm．答：设计的圆弧型的观井台的半径应为65cm．25．∵OC⊥AB，∴BD=AB=×300=150m，∵设这段弯路的半径长是r，则在直角△OBD中，OB=r，OD=r﹣50m，OB2=OD2+BD2，∴r2=1502+（r﹣50）2，解得：r=250m26．这辆卡车能通过厂门．理由如下：如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，则CD=MN=1.6m，AB=2m，由作法得，CE=DE=0.8m，又∵OC=OA=1m，在Rt△OCE中，OE===0.6（m），∴CM=2.3+0.6=2.9m＞2.5m．所以这辆卡车能通过厂门．27．设点O为圆心，连接半径OA、OB、OC，设OB交AC 于点D．∵AB=BC，∴=，∴OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB，∵OA=OC，∴AD=CD=30米．设OA=x米，则有x2﹣（x﹣3）2=302，解得x=151.5（米）．故人工湖的半径为151.5米28．过O作OD⊥AB，交AB于点C ，交于点D，如图所示，∴C为AB的中点，即AC=BC=AB=15m，在Rt△AOC中，sin∠AOC===，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则拱形的弧长l==2π．29．假设圆心在O处，连接OA，OC，过O作OK⊥AB于K，交CD于H，交圆O于G点．设圆O的半径为r，则OA=OG=r，GK=2.4，OK=OG﹣GK=r﹣2.4，又∵AB为7.2米，所以AK=3.6米，在直角三角形AOK中，根据勾股定理得：（r﹣2.4）2+3.62=r2解得：r=3.9，∴OK=3.9﹣2.4=1.5（米），当CD=3米时，HC=1.5米，则OH2=3.92﹣1.52，解得OH=3.6，∴HK=OH﹣OK=3.6﹣1.5=2.1米＞2米．∴此货船能顺利通过这座拱形桥．30．（1）如图：⊙O即为所求；（2）∵AB⊥CD，∴AD=AB=12cm，设OA=x，OD=（x﹣8）cm，∵OA2=OD2+AD2，即x2=144+（x﹣8）2，解得：x=13．∴圆的半径为13．31．连接OC．设⊙O的半径为xm，∵EM⊥CD，∴CM=CD=1m．在Rt△OCM中，由OM2+CM2=OC2，得（3﹣x）2+1=x2．解得：x=．答：构成该拱门的⊙O 的半径为m32．设圆形切面的半径，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=BD=AB=×16=8cm，∵最深地方的高度是4cm，∴OD=r=4，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即r2=82+（r﹣4）2，解得r=10（cm）．答：这个圆形切面的半径是10cm．33．这辆卡车能通过厂门．理由如下：如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，则CD=MN=1.6m，AB=2m，由作法得，CE=DE=0.8m，又∵OC=OA=1m，∴OE==0.6m∴CM=0.6+2.3=2.9m＞2.5m∴卡车能通过大门．34．过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连OA，如图，∵OA=OD=13cm，AB=24cm，∴AC=BC=12cm，在Rt△AOC中，OA=13，AC=12，∴OC=5，∴CD=5+12=17（cm）．所以油的最大深度为17cm．35．如图；连接OA；根据垂径定理，得AC=BC=12cm；Rt△OAC中，OA=13cm，AC=12cm；根据勾股定理，得：OC==5cm；∴CD=OD﹣OC=8cm；∴油面高为8cm．36．（1）设⊙O半径为r，作OC⊥AB于C点，交弧AB于D点∵AB=12，∴AC=BC=AB=6，∵CD=6，∴，解得：r=12（cm）答：截面⊙O的半径为12cm．（2）连接AD，∵∴AD=OA=OD∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°同理∠BOD=60°∴∠AOB=120°∴弧长．答：截面中有水部分弓形的弧AB的长为8πcm．37．如图，设钢珠的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连OC，则OA=12÷2=6mm，CD=9mm，OC=9mm﹣6mm=3mm，∵OC⊥AB，∴CA=CB，在Rt△AOC中，AC===3，∴AB=6mm．所以这个小孔的直径AB是6毫米．38．过点O作OD⊥AB于点D ，交于点F，连接OA，∵AB=600mm，∴AD=300mm，∵底面直径为650mm，∴OA=×650=325mm，∴OD===125mm，∴DF=OF﹣OD=×650﹣125=200mm．答：油面的最大深度为200mm．39．连接OA，故OC⊥AB于点D，由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2AD，∵OA=13cm，∴OD=OC﹣CD=13﹣8=5（cm），由勾股定理知，AD===12（cm），故油面宽度AB=24cm．40．①∵如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，∴如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=20，x2=10（舍去），答：每件童装应降价20元；②连接OA，OM，设OA=r，ME=2，则OM=r，DG=2，∵AB=7.2，∴AD=3.6，∵CD=2.4，∴OD=r﹣2.4，在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，∴r2=3.62+（r﹣2.4）2，∴r=3.9，OD=3.9﹣2.4=1.5，∴OG=OD+DG=1.5+2=3.5，在Rt△OMG中，MG2=OM2﹣OG2=3.92﹣3.52=2.96，∴MG==，∴MN=2MG=≈3.44＞3，∴该货箱能顺利通过该桥．41．（1）点O就是所求的圆心．（2）在PA上截取PE=PC，连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∴△PCE是等边三角形，∴PC=CE，∠PCE=∠ACB=60°，∴∠PCB=∠ACE，∵BC=AC，∠PBC=∠CAE，∴△ACE≌△PBC，∴PB=AE，∴PA=PB+PC．故结论“PB+PC＞PA”不正确42．（1）∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2（m），在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5；答：所在⊙O的半径DO为5m；（2）如图所示：假设矩形的船为矩形MQRN，船沿中点O为中心通过，连接MO，∵MN=6m，∴MY=YN=3m，在Rt△MOY中，MO2=YO2+NY2，则52=YO2+32，解得：YO=4，答：船能通过桥洞时的最大高度为4m．43．如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH=10﹣2=8m，则AE=EH，EF=EH﹣HF．由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE﹣HF）2，即AE2=122+（AE﹣8）2，解得：AE=13m．答：桥拱的半径为13m．44．连接OC，交AB于点D，连接OA，由图可得：AB=9﹣1=8（cm），∵刻度尺的一边与⊙O相切，∴OC⊥CE，∵AB∥CE，∴OD⊥AB，∴AD=AB=4cm，设OA=xcm，则OD=（x﹣3）cm，在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2，∴x2=（x﹣3）2+42，解得：x=．∴该圆的半径为cm．45．找出圆心O，连接OA，OC，D必然在OC上，∴OA=OC=5，∵OC⊥AB，AB=8，∴AD=BD=4，在Rt△AOD中，OA=5，AD=4，根据勾股定理得：OD==3，则弓形的高CD=OC﹣OD=5﹣3=2．46．连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，∵AB=24cm，∴BD=AB=×24=12cm，∵⊙O的直径为26cm，∴OB=OC=12cm，在Rt△OBD中，OD===5cm，∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8cm．答；油的最大深度为8cm．47．如图，设半径为r，则OD=r﹣CD=r﹣45，∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB，∴在Rt△AOD中，AO2=AD2+OD2，即r2=（×300）2+（r﹣45）2=22500+r2﹣90r+2025，90r=24525，解得，r=272.5m．答：这段弯路的半径是272.5m．48．如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，∴BD=AB=3.6m．又∵CD=2.4m，设OB=OC=ON=r，则OD=（r﹣2.4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=（r﹣2.4）2+3.62，解得r=3.9．∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB，2m，∴CE=2.4﹣2=0.4m，∴OE=r﹣CE=3.9﹣0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2﹣OE2=3.92﹣3.52=2.96（m2），∴EN=（m）．∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．49．OA=50mm，CD=20mm∴OD=OC﹣CD=30mm在Rt△AOD中AD==40（mm）∴AB=2AD=80mm．50．∵CD⊥AB且过圆心O，∴AD=AB=×10=5m，设半径为rm，∴OA=OC=rm，∴OD=CD﹣OC=（7﹣r）m，∴在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，∴r2=（7﹣r）2+52，解得：r=，⊙O 的半径为．51．连接AO，OB，∵△ABC恰好是等腰三角形，∴AB=AC ，∴=，∴AO⊥BC，∵BC=8cm，∴BD=4cm，∵AB=5cm，∴AD==3（cm），设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R﹣3）cm，∴R2=52+（R﹣3）2，解得：R=8.5（cm），答：圆片的半径R为8.5cm52．（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，∵BC=10cm，∴BD=5cm，垂径定理的应用----21∵AB=6cm，∴AD==cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R ﹣）cm，∴R2=52+（R ﹣）2，解得：R=cm，∴圆片的半径R 为cm．53．如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16（秒）．54．（1）如图所示：（2）连接AO，∵△ABC是等腰直角三角形，腰AB=5cm，∴AC=5，BC==5，∴AO⊥BC，∴∠AOC=90°，∴圆的半径为：，∴弧AC 的长为：=π．55．连接OA，根据题意得：CD⊥AB，∴AD=AB=×60=30（cm），∵水管的直径是100cm，∴OA=50cm，在Rt△AOD中，OD==40（cm），∴CD=OC+OD=90（cm）．∴水管中水的最大深度为90cm．56．如图，AB为水面上升0.2m时水面宽，CD=0.8m，过O作OH⊥AB于H，交CD于F，交⊙O于E，则EF=0.2m，FH=0.2m，连OA，OC，∵OH⊥AB，∴OF⊥CD，∴CF=DF=0.4m，AH=BH，设⊙O的半径为R，在Rt△OCF中，OF=R﹣0.2，∴R2=（R﹣0.2）2+0.42，解得R=0.5，在Rt△OAH中，OH=R﹣0.4=0.1，∴AH==，∴AB=m．即当水面上升0.2m 时水面宽为m．57．连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，∵OE⊥AB，AB=6cm，∴AE=3cm，设弓形所在圆的半径OA=r，则OE=9﹣r，在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（9﹣r）2+32，解得r=5cm．垂径定理的应用----22故弓形所在圆的半径为5cm58．过点A作AB⊥MN于B，∵∠QPN=30°，AP=160m，∴AB=AP=×160=80（m），∵80＜100，∴该所中学会受到噪声影响；以A为圆心，100m为半径作圆，交MN于点C与D，则AC=AD=100m，在Rt△ABC中，BC==60（m），∵AC=AD，AB⊥MN，∴BD=BC=60m，∴CD=BC+BD=120m，∵18km/h=5m/s，∴学校受影响的时间为：120÷5=24（秒）．59．过点A作AD⊥EF，∵∠QOF=30°，AO=200米，∴AD=AO•sin30°=200×=100米＜200米，∴居民楼会受到影响；连接AB，∵OA=200米，AD⊥OB，∴OB=2DO，∵在Rt△AOD中，AO=200米，AD=100米，∴OD===100米，∴OB=200米，∵这辆汽车的速度是每小时72千米=20米/秒，∴=10≈17.3秒．答：居民楼受影响的时间约为17.3秒．60．（1）汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A会受到噪声的影响．理由是：过A作AE⊥PN于E，∵∠QPN=30°，AP=160，∴AE=80＜100，∴汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A会受到噪声的影响．（2）以A为圆心，以100m为半径作圆，交PN与C、D，连接AC、AD，AC=AD=100，∵AE⊥CD，∴CE=DE==60，∴CD=120m，60KM/小时=m/秒，∴120÷=7.2（秒），答：学校受到影响的时间为7.2秒．垂径定理的应用----23。
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案垂径定理练习题及答案垂径定理是几何学中的一个重要定理，它解决了关于圆的切线和半径之间的关系问题。
在学习和应用垂径定理时，我们需要通过大量的练习题来巩固理论知识，并提高解题能力。
下面将给出一些垂径定理的练习题，并附上详细的解答，希望能对大家的学习有所帮助。
练习题一：在一个圆中，直径为10厘米，且过圆心的直径AC与切线BD相交于点E。
若AC=8厘米，求BE的长度。
解答：根据垂径定理，切线BD与半径AC垂直，所以∠BAC=90°。
由此可知，三角形BAC是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：BA²+AC²=BC²代入已知条件，得：BA²+8²=10²化简得：BA²+64=100移项得：BA²=36开方得：BA=6由于∠BAC=90°，所以BE也是直径，即BE=10厘米。
练习题二：在一个圆中，直径为16厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=3厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
由此可知，三角形CAD是一个直角三角形。
根据勾股定理可得：CA²+AD²=CD²代入已知条件，得：CA²+16²=CD²化简得：CA²+256=CD²移项得：CA²=CD²-256开方得：CA=√(CD²-256)根据垂径定理，AE是半径CD的垂直平分线，所以AE=DE。
又已知AE=3厘米，所以DE=3厘米。
由于∠CAD=90°，所以BE也是直径，即BE=16厘米。
练习题三：在一个圆中，直径为12厘米，切线AB与半径CD相交于点E。
若AE=5厘米，求BE的长度。
解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。
垂径定理精选题35道
垂径定理精选题35道一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．82．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）A．B．2C．2D．84．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．45．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4 cm6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm7．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．18．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5 9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．610．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．B．8C．D．11．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（）A．6B．8C．10D．1212．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（）A．4B．6C．6D．814．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．15．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共14小题）16．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．17．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O 于点D，则CD的最大值为．18．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．19．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为；当点E在⊙G 的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．21．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．22．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为cm．24．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝cm．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为．26．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为cm．27．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为．28．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．29．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为．三．解答题（共6小题）30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．32．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．33．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．垂径定理精选题35道参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，由于OC＝3，PC＝a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE＝1，则PD＝PE＝，所以a＝3+．【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）A．B．2C．2D．8【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝＝，∴CD＝2CH＝2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．4．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．4【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4 cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC＝＝＝4（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：如图，连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4cm，OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3cm，∴CM＝OC+OM＝5+3＝8cm，∴AC＝＝＝4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2cm，在Rt△AMC中，AC＝＝＝2cm．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AD＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD＝2，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．8．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝3，在Rt△AOM中，OM＝＝＝＝4；此时OM最短，所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC＝2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC＝2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC＝2∠A，∠BOC+∠A＝180°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵⊙O的半径为4，∴BD＝OB•cos∠OBC＝4×＝2，∴BC＝4．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．B．8C．D．【分析】根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可．【解答】解：连接BE，∵AE为⊙O直径，∴∠ABE＝90°，∵OD⊥AB，OD过O，∴AC＝BC＝AB＝＝4，∵AO＝OE，∴BE＝2OC，∵OC＝3，∴BE＝6，在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出AC＝BC是解此题的关键．11．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（）A．6B．8C．10D．12【分析】连接OC，根据题意OE＝OC﹣1，CE＝3，结合勾股定理，可求出OC的长度，即可求出直径的长度．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，∴OE＝OC﹣1，CE＝3，∴OC2＝（OC﹣1）2+32，∴OC＝5，∴AB＝10．故选：C．【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接OC，构建直角三角形，根据勾股定理求半径OC的长度．12．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径；最短弦即是过点P且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．∵AB是直径，且CD⊥AB，∴CP＝CD＝3cm．根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．故选：B．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦是解题的关键．13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（）A．4B．6C．6D．8【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据含30°角的直角三角形的性质得出OC＝MO＝3，根据勾股定理求出AC，再根据垂径定理得出AB＝2AC，最后求出答案即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°，∵MO＝6，∠OMA＝30°，∴OC＝MO＝3，在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，∵OC⊥AB，OC过O，∴BC＝AC，即AB＝2AC＝2×4＝8，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．14．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据垂径定理求出AF＝BF，CE＝BE，＝，求出∠AOD＝2∠C，求出∠AOD＝2∠A，求出∠A＝30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵CD为直径，CD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝2∠C，∵CD⊥AB，AE⊥BC，∴∠AFO＝∠CEO＝90°，在△AFO和△CEO中∴△AFO≌△CEO（AAS），∴∠C＝∠A，∴∠AOD＝2∠A，∵∠AFO＝90°，∴∠A＝30°，∵AO＝1，∴OF＝AO＝，AF＝OF＝，同理CE＝，OE＝，连接OB，∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，∴由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝，∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+＝，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键．15．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴CM＝，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即9＝AM2+（）2，解得：AM＝，∴AE＝2AM＝．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二．填空题（共14小题）16．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝3，∵OB＝AB＝5，∴OD＝＝4．故答案为4．【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．17．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．【分析】连接OC，由垂径定理得出CE＝CD＝2，设OC＝OA＝x，则OE＝x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2＝OC2，得出方程，解方程即可．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝CD＝2，∠OEC＝90°，设OC＝OA＝x，则OE＝x﹣1，根据勾股定理得：CE2+OE2＝OC2，即22+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝；故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为2；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为﹣1．【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA＝OB，在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，∴AG＝2OG，OA＝＝，∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．故答案为2，﹣1．【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD＝DB＝DA＝＝，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．21．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝20E•sin∠EOH＝20E•sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝1×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．22．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于点E并延长交CD于点F．如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AE＝8cm，CF＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴EO＝6cm，OF＝8cm，∴EF＝OF﹣OE＝2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AF＝8cm，CE＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴OF＝6cm，OE＝8cm，∴EF＝OF+OE＝14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为4cm．【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE＝DE，由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4cm，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE＝45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC＝CE＝4cm，故答案为：4【点评】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．24．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝8cm．【分析】根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由垂径定理，AC＝AB＝12cm．由半径相等，得OA＝OD＝13cm．由勾股定理，得OC＝＝＝5．由线段的和差，得CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8cm，故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键，又利用了勾股定理．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为2．【分析】设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，先求出A、C坐标，得到OA、OC长度，可得∠CAO＝30°，Rt△AOD中求出AD长度，从而根据垂径定理可得答案．【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：在y＝x+中，令x＝0得y＝,∴C(0,),OC＝,在y＝x+中令y＝0得x+＝0,解得x＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA＝2,Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴AB＝2，故答案为：2．【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用tan∠CAO＝得到∠CAO＝30°．26．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为1或7cm．【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，则利用勾股定理可计算出OE＝3，OF＝4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当点O不在AB与CD 之间时，EF＝OF﹣OE．【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm，在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm，在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm，当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故答案为1或7．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．27．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为4．【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为4．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．28．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为3．【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．29．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为20．【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC＝2BE，由此得解．【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝12；∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD＝2；∴BE＝10；∴BC＝2BE＝20；故答案为20．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．三．解答题（共6小题）30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【分析】（1）先根据CD＝16，BE＝4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）先根据同角的余角相等得到∠CNM＝∠B，利用等量代换得到∠AND＝∠B，利用同弧所对的圆周角相等得到∠D＝∠B，则得∠AND＝∠D，利用等角对等边可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，连接AO，设OE的长为x，则DE＝NE＝x+1，OA ＝OD＝2x+1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵，∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．32．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．【分析】（1）由OD⊥AC知AD＝DC，同理得出CE＝EB，从而知DE＝AB，据此可得答案；（2）作OH⊥AB于点H，连接OA，根据题意得出OH＝3，AH＝4，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，同理：CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵AB＝8，∴DE＝4．（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH＝BH＝AB，∵AB＝8，∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，∴AO＝5，即圆O的半径为5．【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了中位线定理与勾股定理．33．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．【分析】（1）连接AC，如图，利用垂径定理可判断CD垂直平分AB，则CA＝CB＝3，同理可得AE垂直平分BC，所以AB＝AC＝3；（2）先证明△ABC为等边三角形，则AE平分∠BAC，所以∠OAF＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．【解答】解：（1）连接AC，如图，∵CD⊥AB，∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，∴CA＝CB＝3，∵AO⊥BC，∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，∴AB＝AC＝3；（2）∵AB＝AC＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，∴OA＝2OF＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．。
垂径定理-练习题 含答案
垂径定理副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图所示，的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，则A. 5B. 7C. 9D.11【答案】A【解析】解：由题意可得，，，，，，故选A．根据的半径为13，弦AB的长度是24，，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．2.如图，AB是的直径，弦于点E，，的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为A.B. 3cmC.D. 6cm【答案】A【解析】解：连接CB．是的直径，弦于点E，圆心O到弦CD的距离为OE；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，，；在中，，，．故选A．根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知，已知半径OC的长，即可在中求OE的长度．本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．3.如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，，则的半径为A. 5B.C.D. 4【答案】C【解析】解：连结OA，如图，设的半径为r，，，在中，，，，，解得．故选C．连结OA，如图，设的半径为r，根据垂径定理得到，再在中利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可．本题考查了的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4.如图，线段AB是的直径，弦CD丄AB，，则等于A.B.C.D.【答案】C【解析】解：线段AB是的直径，弦CD丄AB，，，，．故选：C．利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案．此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键．二、解答题（本大题共2小题，共16.0分）5.如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．求证：四边形AECD为平行四边形；连接CO，求证：CO平分．【答案】证明：由圆周角定理得，，又，，，，，，四边形AECD为平行四边形；作于M，于N，四边形AECD为平行四边形，，又，，，又，，平分．【解析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定和性质定理得到，证明结论；作于M，于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．6.如图，AB为直径，C为上一点，点D是的中点，于E，于F．判断DE与的位置关系，并证明你的结论；若，求AC的长度．【答案】解：与相切．证明：连接OD、AD，点D是的中点，，，，，，，，，与相切．连接BC交OD于H，延长DF交于G，由垂径定理可得：，，，，弦心距，是直径，，，是的中位线，．【解析】先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，判定，最后根据，得出DE与相切；先连接BC交OD于H，延长DF交于G，根据垂径定理推导可得，再根据AB是直径，推出OH是的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线本题也可以根据与相似，求得AC的长．。
垂径定理-中考数学专项训练(含解析)
垂径定理一、单选题A．82．如图，圆弧形桥拱的跨度A．2米B．43．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，是弧AB的中点，2CD=cm，杯内水面宽A．6cm4．如图，CD是圆O长为（）A．33A ．45︒6．如图，O 的半径是A ．27．如图是一段圆弧 AB 点．若63,AB CD =A ．6πB ．4π8．如图，在O 中，半径23r =，AB 过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则A ．4B的直径，11．如图，AB是O==，则CD5,3AB BC的弦，半径12．如图，AB是O中，直径13．如图，在O一点，连AE，过点C作14．如图，在圆O中，弦的直径15．如图．O为．的外接圆，16．如图，⊙O是ABC∠的度数为于点D，连接BD，则D三、解答题17．如图，AB为半圆O点D，若4，==AB AC(1)DE的长．(2)阴影部分的面积．18．如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于点E ，连接DO 并延长交O 于点F ，连接AF 交CD 于点G ，CG AG =，连接AC ．(1)求证：AC DF ∥；(2)若12AB =，求AC 和GD 的长．19．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，若16cm 6cm AB CD ==，．(1)求AC 的长；(2)若大圆半径为10cm ，求小圆的半径．∠；(1)连接AD，求OAD(2)点F在 BC上，CDF∠=参考答案：∵OA OB =，C 为弦AB 中点，∴OC AB ⊥，4AC =，∴OE 平分 AB ，∵D 为 AB 的中点，∴点,D E 重合，∴,,O C D 三点共线，设圆的半径为r ，则：2OC OD CD r =-=-，由勾股定理，得：222OA AC OC =+，∴()22242r r =+-，解得：=5r ；故选B ．4．C【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接OC ，首先根据题意可求得63OC OE ==，，根据勾股定理即可求得CE 的长，再根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，连接OC ，∵123AB BE ==，，∴63OB OC OE ===，，∵AB CD ⊥，∵50BOC ∠=︒，OC ∴OCB OBC ∠=∠=∵OC AB ⊥，∴AD BD =，故选：B．7．B【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，先根据垂径定理求出=长，由题意得OD OAOE AB ⊥ ，132AE BE AB ∴===，22OE OA AE ∴=-=在Rt COE △中，∵AB 是O 的直径，∴152OD OB AB ===∵,6CD AB CD ⊥=，∴13,2DE CD DEO ==∠∴22OE OD DE =-=∵5AB =，∴25OE =，∵DE 切O 于点E ，∴OE DE ⊥，∴90OED ∠=︒，∵1OA =，120AOB ∠=︒，∴30A B ==︒∠∠，AC BC =∴1122OC OA ==，AC =∵直径CD 长为4，∴1422OD =⨯=，∵1OG =，∴1DG OD OG =-=，∴AB 垂直平分OD ，OH 经过圆心O ，12AH BH AB ∴===∴2AO AH OH =+故答案为：5．在Rt AOD 中，12OD OA ==，，1cos 2AOD \Ð=，60AOD ∴=︒∠，OE AC ⊥ ，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB是 的直径，CD⊥AB∴垂直平分CD，M是OA的中点，∴1122OM OA OD==，OA CD于点M，⊥∴点M是CD的中点，∴垂直平分CD，ABNC ND∴=，Q，∠=︒45CDFNCD NDC∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，90CND。
(完整版)圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题一.选择题1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53.过⊙0内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD，则直径AB的长是（）6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A． 1 cm B．7cm C． 3 cm或4 cm D．1cm 或7cm 9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3二、填空题1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为cm3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于4. 已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD 的高度为m11. 如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。
垂径定理证明题
选择题已知圆O中，直径AB垂直于弦CD于点E，下列结论正确的是：A. CE = EDB. AE < BEC. ∠CEA = ∠CED（正确答案）D. 弧AC = 弧BD且大于弧BC在圆x² + y² = r²内，若直径MN垂直于弦PQ，则：A. MP > NQB. MP = NQ但不一定垂直于MNC. MP = PQ/2（正确答案）D. ∠PMN = ∠QMN且为锐角设圆C的半径为R，直径AB垂直于弦EF，G为垂足，则：A. AG + BG > RB. AG × BG = R²（正确答案）C. EG = GF但不一定小于RD. 弧AE与弧AF的长度相等且都大于弧BE圆O中，直径CD垂直于弦AB于点M，下列说法错误的是：A. AM = MB（正确答案的逆否形式，即若AM ≠ MB，则CD不垂直于AB，但此处要求选错误项，故不直接标为正确答案）B. ∠AMC = 90°C. 弧AC = 弧BCD. 若点N在弧AC上，则∠ANC为锐角（错误，应为∠ANM为锐角，若N不在直径上）对于圆P中的任意弦QR，若直径ST垂直于QR，则：A. 弧QS = 弧RT且都小于半圆B. QS = RT且为直径ST的一半（正确答案）C. ∠QST = ∠RST且为钝角D. 点P到弦QR的距离小于半径圆K中，直径LM垂直于弦NP，Q为LM上一点且不等于M，下列结论正确的是：A. ∠NQL = ∠PQL且都为直角B. 弦NP的长度是固定的，与Q的位置无关（正确答案）C. 弧NQ的长度随Q的位置变化而变化D. 若Q靠近L，则∠NQL为钝角已知圆R的半径为5，直径GH垂直于弦IJ，K为垂足，则：A. GK + KH = 10（正确答案）B. IK = KJ但不一定等于5C. 弧GI的长度大于弧HID. ∠GIK = ∠HIK且为锐角在圆S中，直径UV垂直于弦WX，Y为UV上一点，下列说法正确的是：A. ∠WYU和∠XYU都是直角（仅当Y为垂足时成立）B. 弧WX的长度是圆S周长的四分之一（不一定，除非WX是直径）C. 无论Y在UV上如何移动，弦WX的长度保持不变（正确答案）D. ∠WXY的度数随Y的位置变化而变化（仅当Y不在直径上时变化）。
圆垂径定理专项练习60题(有答案)ok
垂径定理专项练习60题（有答案）1．如图，已知⊙O的直径AB=6，且AB⊥弦CD于点E，若CD=2，求BE的长．2．已知：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M，N，AM=BM，AB∥CD．求证：DN=CN．3．如图，AB为⊙O的弦，C、D分别是OA、OB延长线上的点，且CD∥AB，CD交⊙O于点E、F，若OA=3，AC=2．（1）求OD的长；（2）若，求弦EF的长．4．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．（1）请写出四个正确的结论；（2）若BC=6，ED=2，求⊙O的半径．5．如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，求⊙O的半径．6．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，连接OC，OC=5，CD=8，求BE的长．7．如图，过▱ABCD中的三个顶点A、B、D作⊙O，且圆心O在▱ABCD外部，AB=8，OD⊥AB于点E，AB=8的半径为5，求▱ABCD的面积．8．已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=2cm，DB=6cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F 两点，又OM⊥AP于M．求OM及EF的长．9．如图，已知弦CD⊥直径AB于E，CD=2，BD=，求直径AB的长．10．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD、BC，AB=5，AC=4，求：BD的长．11．如图，在⊙O中，=，半径OA交BC于点D．若BC=24，AD=8，求⊙O的半径R．12．如图，已知OE是⊙O的半径，F是OE上任意一点，AB和CD为过点F的弦，且FA=FD．求证：AB=CD．13．已知：如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上一点，OE⊥弦AC于点D，交⊙O于点E．若AC=8cm，DE=2cm．求OD的长．14．⊙O的两条弦AB，CD相交于点E，（1）若AB=CD，且AB=8，AE=5，求DE的长；（2）若AB是⊙O的直径，AB⊥CD，且AE=2，CD=8，求⊙O的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；16．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直径为10的⊙E交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，且点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0）．（1）求圆心E的坐标；（2）求点C、D的坐标．18．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．19．如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，OC平分AB，交AB于点H，交于点C，求AC的长．20．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，分别交直线CD于E、F．（1）求证：CE=DF；（2）若AB=20cm，CD=10cm，求AE+BF的值．21．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求圆心O到CD的距离．22．如图，⊙C经过坐标原点，并与坐标轴分别交于A、D两点，点B在⊙C上，∠B=30°，点D的坐标为（0，2），求A、C两点的坐标．23．如图，凸四边形ABCD内接于⊙O，==90°，AB+CD为一偶数．求证：四边形ABCD面积为一完全平方数．24．点A、B、C在⊙O上，且AB=OA，OP⊥BC于P，DB⊥AB交OP于D．（1）找出图中等于30°的角；（2）求证：OA2=AC•．OD．25．如图，AB为⊙O的弦，过点O作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，过点D作CD∥AB，连接OB并延长交CD于点C，已知⊙O的半径为10，OE=6．求：（1）弦AB的长；（2）CD的长．26．如图，⊙O直径CD⊥AB于E，AF⊥BD于F，交CD的延长线于H，连AC．（1）求证：AC=AH；（2）若AB=，OH=5，求⊙O的半径．27．已知：如图⊙O的半径为5，CD为直径，AB为弦，CD⊥AB于M，若AB=6，求DM的长．28．已知：如图，点C在⊙O的弦AB上，且∠BOC=90°，BO=8，CO=6，求线段BC、线段AC的长．29．等腰△ABC中，AB=AC，高AD交对边BC于D，P为AD上任意一点．以P为圆心过B、C两点的圆交直线AB、AC于G、F两点，证明：BG=CF．30．如图所示，已知⊙O的直径为4cm，M是弧的中点，从M作弦MN，且MN=cm，MN交AB于点P，求∠APM的度数．31．已知：⊙O的半径为5cm，CD为直径，AB为弦，CD⊥AB于M，若AB=6cm，求CM的长．32．在⊙O中，弦AB=8cm，P为弦AB上一点，且AP=2cm，则经过点P的最短弦长为多少？33．已知AB是圆O的直径，弦CD垂直AB于E，BE=4cm，CD=16cm，求圆O的半径．34．半径为5cm的⊙O中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦的距离为多少？35．如图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交于D，连接AC①请写出两个不同类型的正确结论．②若CB=16，ED=4，求⊙O的半径．36．如图，在⊙O中，弦MN=12，半径OA⊥MN，垂足为B，AB=3，求OA的长．37．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF．求证：OE=OF．38．已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．39．如图，⊙O半径为6厘米，弦AB与半径OA的夹角为30°．求：弦AB的长．40．如图，⊙O中，弦PQ=PR，M、N分别是PQ和PR的中点，求证：∠OMN=∠ONM．41．如图所示，⊙O的直径AB=16cm，P是OB的中点，∠APC=30°，求CD的长．42．⊙O的半径为10厘米，圆内两条平行弦AB、CD的长为12厘米，16厘米，求两弦之间的距离．43．如图，⊙O中，弦AB的长为8厘米，∠AOB的度数是120°，求⊙O的直径．44．如图，⊙O中，AB⊥CD，直径AB的长是12厘米，E是OB的中点，求CD的长．45．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．请写出五个不同类型的正确结论．46．如图，AB是⊙O的直径，BC=8，E为的中点，OE交BC于D，连接AD，DE=2．（1）求⊙O的半径；（2）求线段AD的长．47．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为P，OB=5，PB=2，求CD的长．48．在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心，以AC为半径作圆C，交AB于点D，求BD的长．49．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD．50．如图，AB是⊙O 的一条直径，CD是⊙O的一条弦，交AB与点P，=．若AP=1，CD=4，求⊙O的直径．51．已知，⊙O的半径为1，弦AB=，若点C在⊙O上，且AC=，求∠BAC的度数．（要求画出图形）52．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长．53．已知，如图，圆C中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm．（1）求AB长度．（2）求AD长度．54．如图：AB是⊙O的直径，BC是弦，D是弧BC的中点，OD交BC于点E，且BC=8，ED=2．①求⊙O的半径；55．如图，⊙O的弦AB⊥CD于E，OF⊥CD于F，且OF=2，OE=4，OA=．（1）求AB的长；（2）求BE的长．56．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=20cm，∠AOB=120°，求（1）弦AB的长；（2）△AOB的面积．57．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：CD=DE．58．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，求线段OE的长．59．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，以AB为直径作⊙O交CD于点E、F，DF=CE，若AB=10，EF=8．求A、B到直线CD的距离之和．60．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．（1）请写出四个不同类型的正确结论；（2）若BC=，∠CBD=30°，求⊙O的半径．参考答案：1．连接OC，∵直径AB⊥弦CD于点E，CD=2，∴CE=ED=，∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=，OC=3，∴OE=2，∴BE=1．2．∵PQ是直径，AM=BM，∴PQ⊥AB于M．又∵AB∥CD，∴PQ⊥CD于N．∴DN=CN．3．（1）∵OA=3，AC=2，∴OC=5，∵CD∥AB，∴，∵OB=OA=3，∴，（2）过点O作OG⊥CD于G，连接OE，∴OE=OA=3，∵，∴，∴，在Rt△OEG中，∴，∵OG⊥EF，EF是弦，∴EF=2EG=4．4．（1）正确的结论有：CE=BE；D 为的中点；OE∥AC；OE=AC；（2）∵OD⊥BC，∴E为BC的中点，又BC=6，∴BE=CE=3，设圆的半径为r，由DE=2，得到OE=r﹣2，在Rt△BOE中，OB=r，OE=r﹣2，EB=3，根据勾股定理得：r2=（r﹣2）2+32，解得：r=，则圆的半径为．5．连接OA，∵在圆O中，M为AB的中点，AB=8，∴OM⊥AB，AM=AB=4，在Rt△OAM中，OM=3，AM=4，根据勾股定理得：OA===5．6．∵AB为直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=4，在Rt△COE中，OE===3，∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，故BE=2．7．连接OA，∴OA=OD=5．∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，AB=8∴AE=AB=4，在Rt△OEA中，由勾股定理得，OE2=OA2﹣EA2，∴OE=3，∴DE=2，∴S平行四边形ABCD=AB•DE=8×2=168．连接OF，∵DB=6cm，∴OD=3cm，∴AO=AD+OD=2+3=5cm，∵∠PAC=30°，OM⊥AP，∴在Rt△AOM中，OM=AO=×5=cm∵OM⊥EF，∴EM=MF，∵MF==cm∴EF=cm．9．连接OC，∵CD⊥AB，∴E为CD的中点，即CE=DE=CD=，在Rt△BDE中，BD=，DE=，根据勾股定理得：EB==1，设半径OC=OB=r，则OE=OB﹣EB=r﹣1，在Rt△COE中，OC=r，CE=，OE=r﹣1，根据勾股定理得：r2=（）2+（r﹣1）2，解得：r=，则直径AB为3．10．∵OD过圆心O，OD⊥AC，AC=4，∴CD=AC=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，∴BC===3，在Rt△BCD中，DB===11．连接OC，∵=，AO过圆心O，∴OA⊥BC，CD=BC，∵BC=24，AD=8，∴CD=BC=12，OD=OA﹣AD=R﹣8，在Rt△ODC中，OC2=OD2+DC2，即R2=122+（R﹣8）2，解得：R=13．则圆O的半径R=13．12．连接OA，OD，作AB、CD的弦心距OM，ON，∵OA=OD，FA=FD，OF=OF，∴△AOF≌△DOF，∴∠AFO=∠DFO，∴OM=ON，∴AB=CD．13．∵OE⊥AC，AC=8cm，∴AD=AC=4．设OA=r，则OD=OA﹣DE=r﹣2，在Rt△AOD中，∴OA2=OD2+AD2，∴r2=（r﹣2）2+16解得，r=5．∴OD=3．14．（1）如图甲，当点C在AB的左侧时，∵AB=CD，∴=，∴=，∴∠B=∠C，∴CE=BE，∴DE=AE=5；如图乙，当点C在AB的右侧时，同理：DE=BE=AB﹣AE=3，（2）如图丙，若点A在CD的下方，连结OC，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=CD=4，设OC=x，则OE=x﹣2，∵AB⊥CD，∴OE2+CE2=OC2，即（x﹣2）2+42=x2，解得：x=5．如图丁，若点A在CD的上方，则AB＜2AE=4，与CD=8产生矛盾（或与上类似地计算得OE为负数）．答：⊙O的半径为5．15．（1）证明：∵OE⊥AC，∴=，∴∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC；（2）解：∵OD⊥AC，∴AE=AC，∠OEA=90°，∵OE=3，OA=5，∴在Rt△AOE中，AE==4，∴AC=2AE=816．（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，∵AB=CD，∴OE=OF，∴PO平分∠BPD；（2）在Rt△POE与Rt△POF中，∵OP=OP，OE=OF，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴PE=PF，∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足，∴AE=，CF=，∴AE=CF，∴PE﹣AE=PF﹣CF，即PA=PC．17．（1）作EF⊥x轴，交x轴于点F，连接EA，∵A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），∴AB=6，OA=4，∴AF=3，∴OF=1，∵⊙E的直径为10，∴半径EA=5，∴EF=4，∴E的坐标是（﹣1，4）．（2）同理，作EG⊥y轴，交y轴于点G，连接EC、ED，由勾股定理CG==2，∴点C的坐标是（0，4+），点D的坐标是（0，4﹣）18．∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×24=12（cm），设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣8（cm），在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=122+（x﹣8）2，解得：x=13，∴⊙O的半径为13cm，∴⊙O的直径为26cm．故答案为：2619．连接OA，∵OC平分AB，即H为AB的中点，∴OH⊥AB，在Rt△OAH中，OA=25，AH=24，根据勾股定理得：OH==7，∴HC=OC﹣OH=25﹣7=18，在Rt△AHC中，根据勾股定理得：AC==30．20．（1）证明：过点O作OG⊥CD于G，∵AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，∴AE∥OG∥BF，（1分）∴=又∵OA=OB，∴==，∴GE=GF，（2分）∵OG过圆心O，OG⊥CD，∴CG=GD，（3分）∴EG﹣CG=GF﹣GD，即CE=DF；（4分）（2）解：连接OC，则OC=AB=10，（5分）∵OG过圆心O，OG⊥CD，∴CG=CD=5，（6分）∴OG=，（7分）∵梯形ABFE中，EG=GF，AO=OB，∴OG=（AE+BF），∴AE+EF=2OG=．（8分）21．过O作OF⊥CD于F，则OF的长是圆心O到CD的距离，∵AE=6cm，EB=2cm，∴OB=4cm，∴OE=4cm﹣2cm=2cm，∵∠OFE=90°，∠CEA=30°，∴OF=OE=1cm，即圆心O到CD的距离是1cm22．连接AC、OC，过点C分别作CM⊥OD于M，CN⊥OA 于N．∵点B在⊙C上，∠B=30°，∴∠ACO=60°．∵CA=CO，∴△CAO是等边三角形．∴CA=CO=OA，∠COA=60°．∴∠COM=30°．∵CM⊥OD，点C为圆心，点D的坐标为（0，2），∴．在Rt△OCM中，，由勾股定理得，．∴．同理可得．∴点A的坐标为．点C的坐标为．23．∵=，∴AB∥DC，ABCD为梯形．过O作MN⊥AB于M交CD于N，易知MN⊥CD于N，由垂径定理知M为AB中点，N为CD中点，连接OA，OD．∵∠AOD=90°，∴∠AOM=90°﹣∠DON=∠ODN，从而有∴∴==∵AB+CD为偶数，∴S ABCD必是完全平方数．24．（1）解：∠OBP=30°；∠ACB=30°，先根据AB=OA得到△ABO是正三角形，所以∠ABO是60°．又DB⊥AB交OP于D，所以∠OBP是30°；∠ACB 是60°圆心角对的弧所对的圆周角，所以∠ACB是30°；（2）证明：∵OP⊥BC于P，∴∠BOD=∠BOC，∴∠BAC=∠BOD，在△ABC和△ODB中，∴△ABC∽△ODB，∴，∴AB•OB=AC•OD，∵AB=OB=OA，∴OA2=AC•OD．25．（1）∵OE2+BE2=OB2∴BE=8．（2分）又∵OE⊥AB，∴AB=2BE=16．（4分）（2）∵CD∥AB，∴∠OBE=∠C．又∠BOE=∠COD，∴△BOE∽△COD．（6分）∴=．∴CD=．26．（1）∵AF⊥BD，CD⊥AB，∴∠H=∠B，又∵∠C=∠B，∴∠C=∠H，∴AC=AH；（2）连接AO，∵AC=AH，CD⊥AB，∴AE=，CE=EH，设ED=x，OE=y，∴OA=OC=OD=x+y，∴EH=CE=x+2y，∴OH=x+3y，∴x+3y=5，又∵OA2=AE2+OE2，∴，∴x=2，y=1，∴⊙O的半径x+y=3．27．连接OA，∵CD为直径，AB为弦，AB⊥CD，AB=6，∴根据垂径定理可知AM=AB=3，在Rt△OAM中，OA=5，OM==4，∴DM=OD+OM=9．28．∵∠BOC=90°，BO=8，CO=6，∴．（2分）作OH⊥AB于H，则OH=，（3分）∴．∵OH⊥AB，∴AB=2BH=12.8，（5分）∴AC=12.8﹣10=2.8．（6分）29．连接GF交AD于H．则∠AGF=∠C，∠AFG=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠AGF=∠AFG，∴AG=AF，∴BG=CF．30．连接OM交AB于点E，∵M是弧的中点，∴OM⊥AB于E．（2分）过点O作OF⊥MN于F，由垂径定理得：，（4分）在Rt△OFM中，OM=2，，∴cos∠OMF=，（6分）∴∠OMF=30°，∴∠APM=60°．（8分）31．连接OB，∵CD⊥AB，AB=6cm，∴由垂径定理得：AM=BM=AB=3cm，∠bmo=90°，在Rt△BOM中，由勾股定理得：OM===4（cm），则CM=OC﹣OM=5cm﹣4cm=1cm．32．如图，设过P点最短的弦为CD，则OP⊥CD，由垂径定理可知CP=PD，∵AB=8，AP=2，∴PB=8﹣2=6，由相交弦定理可知，CP•PD=AP•PB，即CP2=2×6，解得CP=2，∴CD=2CP=4．答：经过点P的最短弦长为4cm．33．∵AB是圆O的直径，弦CD垂直AB于E，CD=16cm，∴CE=CD=×16=8cm，连接OC，设OC=r，则OE=OB﹣BE=r﹣4，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，即r2=（r﹣4）2+82，解得r=10cm．答：⊙O的半径是10cm．34．分两种情况讨论：两弦在圆心同侧或两弦在圆心两侧，过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OC，∴AE=AB=4（cm），CF=CD=3（cm），∴OE==3（cm），OF==4cm．当在同侧时，两弦之间距离为1cm，当在两侧时，两弦之间距离为7cm．35．（1）不同类型的正确结论有：①BE=CE，②=，③∠BED=90°，④∠BOD=∠A，⑤AC∥OD，⑥AC⊥BC，⑦OE2+BE2=OB2，⑧S△ABC=AC•CE等．（写出2个即可），（2）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣4，∵OD⊥BC，∴CE=EB=BC=8；在Rt△OBE中，∵OE2+EB2=OB2，∴（x﹣4）2+82=x2，解得x=10，所以⊙O的半径是10．36．连接ON∵OA⊥MN于点B∴（2分）设ON=x，则OB=x﹣3在Rt△OBN中∵ON2=OB2+BN2∴x2=（x﹣3）2+62（4分）解得（5分）即37．连接OA，OB，∵OA=OB，∴∠A=∠B．又∵AE=BF，∴△OAE≌△OBF．∴OE=OF．38. 连接AD，∵⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD，∴弧AC=弧AD，∴∠AMD=∠ADC，∵A、M、C、D四点共圆，∴∠FMC=∠ADC（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），∴∠AMD=∠FMC39．作OD⊥AB于D，则AD=DB，在Rt△AOD中，∵∠DAO=30°∴OD=OA=3∵AD2=OA2﹣OD2∴AD=∴AB=2AD=．40．M、N分别是PQ和PR的中点，∴OM⊥PQ，ON⊥PR．∴∠OMP=∠ONP．∵PQ=PR，M、N分别是PQ和PR的中点，∴PM=PN．∴∠PMN=∠PNM．∴∠OMN=∠ONM．41．过O作OE⊥CD，垂足为E，连接OC，∵AB=16cm，∴OC=OB=8cm，∵P是OB的中点，∴OP=OB=4cm，∵∠APC=30°，OE⊥CD，∴OE=OP=2cm，在Rt△COE中CE===2cm，∴CD=2CE=4cm．42．过O作EF⊥AB于E点，交CD于F点，连OA、OC，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∴AE=BE=6cm，CF=DF=8cm，在Rt△AEO中，OA=10，OE===8，在Rt△OCF中，OF===6，如图：，当圆心O在AB与CD之间，EF=OE+OF=8+6=14（cm）；，当圆心O不在AB与CD之间，EF=OE﹣OF=8﹣6=2（cm）．所以两弦之间的距离为14cm或2cm43．如图，过O作OC⊥AB于C，∴C为AB的中点，而OA=OB，∴OC平分∠AOB，而弦AB的长为8厘米，∠AOB的度数是120°，∴∠AOC=60°，AC=4，∴在Rt△AOC中，OC=4，∴AO=8，∴⊙O的直径为16．44．如图，连接OC，∵AB⊥CD，且E是OB的中点，∴∠OCE=30°，CE=DE，而AB=12，∴OC=6，OE=3，∴CE=3，∴CD=645．∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E，∴CE=BE ，=，∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴AC∥OD，∴△BOE∽△BAC，∵OA=OB，∴OE=AC．∴五个不同类型的正确结论为：CE=BE，=，∠ACB=90°，AC∥OD，OE=AC，△BOE∽△BAC等46．（1）∵BC=8，E 为的中点，∴OE⊥BC，BD=CD=BC=×8=4，设⊙O的半径为r，则OB=r，OD=r﹣DE=r﹣2，在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5；答：⊙O的半径为5；（2）连接AC，∵AB是⊙O的直径，BC=8，AB=2OB=2×5=10，∴AC===6，在Rt△ACD中，AD===2．答：线段AD的长为247．连接OC，∵⊙O中，直径AB⊥弦CD，∴CD=2CP．在Rt△OPC中，∵PC2+PO2=OC2，且OP=OB﹣PB=5﹣2=3．∴PC===4，∴CD=2CP=848．∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB===10，点C作CE⊥AB于点E，则AD=2AE，AC2=AE•AB，即62=AE×10，∴AE=3.6，∴AD=2AE=2×3.6=7.2，∴BD=AB﹣AD=10﹣7.2=2.8．49．∵AE=6cm，EB=2cm，∴OA=（6cm+2cm）÷2=4cm，∴OE=4cm﹣2cm=2cm，过点O作OF⊥CD于F，可得∠OEF=90°，即△OEF为直角三角形，∵∠CEA=30°，∴OF=OE=1cm，连接OC，根据勾股定理可得，在Rt△COF中，CD=2CF=2=2=2cm．50．连接OC，设OC=x，∵=，∴CD⊥AB，∵CD=4，∴CP=2，∵AP=1，∴OP=x﹣1，在Rt△CPO中，x2=22+（x﹣1）2，解得：x=，∴⊙O的直径为2×=5．51．分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．根据特殊角的三角函数值可得，∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC=45°﹣30°=15°．52．如图，连接OA，设OM=3x，OC=5x，则DM=2x，∵CD=15cm，∴3x+5x+2x=15，解得x=1.5cm，∴OM=3×1.5cm=4.5cm，∴AM===6cm，∴AB=12cm．53．（1）在Rt△ACB中，AC=3cm，BC=4cm，由勾股定理得：AB=5cm；（2）过C作CE⊥AD于E ，∵S△ABC=×AC×BC=×AB×CE，∴3cm×4cm=5cm×CE，∴CE=cm，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE==cm，∵CE⊥AD，CE过C，∴AB=2AC=cm．54．①∵OD是半径，D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵BC=8，ED=2设半径为R，则BE=4，OE=R﹣2，∴R2=（R﹣2）2+42∴R=5②∵AB是直径∴∠C=90°，AB=10，BC=8∴AC=6作CF⊥AB于F，则∴55．（1）过点O作OG⊥AB于G，连接OA，则AG=BG=AB，∵OF⊥CD，AB⊥CD，∴∠OGE=∠OFE=∠FEG=90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OG=EF，EG=OF，在Rt△OEF中，EF===2∴OG=2，在Rt△OAG中，AG===，∴AB=2．（2）∵由（1）得，四边形OFEG是矩形，∴EG=OF=2，∵由（1）得，BG=AG=AB=×2=，∴BE=BG﹣EG=﹣2．56．（1）过O作OC⊥AB于C，∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠A=∠B=30°，∴OC=OA=10cm，由勾股定理得：AC==10（cm），∴由垂径定理得：AB=2AC=20cm；（2）S△AOB=×AB×OC=×20cm×10cm=100cm257．（1）∵AD为直径，AD⊥BC，∴，∴BD=CD．（2）∵，∴∠BAD=∠CBD，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE=∠CBE，∵∠DBE=∠CBE+∠CBD，∠BED=∠ABE+∠BAD，∴∠BAD+∠ABE=∠CBD+∠EBF，即∠BED=∠EBD，∴BD=DE，∴CD=DE．58．连接OD，如图所示：∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又CD=16，∴CE=DE=CD=8，又OD=AB=10，∵CD⊥AB，∴∠OED=90°，在Rt△ODE中，DE=8，OD=10，根据勾股定理得：OE2+DE2=OD2，∴OE==6，则OE的长度为6．59．连接OE，过点O作OG⊥EF于点G，∵点O是⊙O的圆心，EF=8，∴GE=EF=4，∵AB=10，∴OB=OC=5，∴OG===3，∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∴点O是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2OG=2×3=6．答：A、B到直线CD的距离之和是6．60．（1）①根据垂径定理可知，CE=BE；②根据直径所对的圆周角是直角可知，∠C=90°；③根据三角形中位线定理可知，OE=AC；④根据垂径定理可知，=．（2）∵OD⊥BC于E，BC=，∴CE=BE=4，在Rt△BED中，ED=4•tan30°=4，设半径为R，根据勾股定理得，R2=（R﹣4）2+（4）2，解得R=8．答：⊙O的半径为8。
垂径定理练习题答案
垂径定理练习题答案一、题目描述在平面几何中，垂径定理是指垂直于某直径的任何弦都是经过该直径的直角弦。
现给出一系列练习题，请根据垂径定理解答相关问题。
二、练习题答案1. 题目：在一个圆的直径上，有两个弦AB和CD，且AB⊥CD，如果AB=8 cm，CD=6 cm，求圆的半径。
解答：根据垂径定理，AB⊥CD，且AB和CD经过圆的直径，故AB和CD均为直角弦。
由此可得，AB和CD对应的圆心角均为直角角度，即∠AOC=∠COD=90°。
考虑△AOB和△COD，根据勾股定理，可得：AO² + OB² = AB²CO² + OD² = CD²因为AO = CO，OB = OD，代入已知数据，得：AO² + OB² = 8²AO² + OB² = 64CO² + OD² = 6²CO² + OD² = 36由上述方程组可得：2(AO² + OB²) = AO² + OB² + CO² + OD²2(64) = 36 + OB² + OB²128 = 36 + 2OB²2OB² = 92OB² = 46OB ≈ 6.78因为OB为半径，故圆的半径约为6.78 cm。
2. 题目：在一个圆的直径上，有两个弦AB和CD，且AB⊥CD，如果圆的半径为10 cm，且AB=6 cm，求弦CD的长度。
解答：根据垂径定理，AB⊥CD，且AB和CD经过圆的直径，故AB和CD均为直角弦。
由此可得，AB和CD对应的圆心角均为直角角度，即∠AOC=∠COD=90°。
考虑△AOB和△COD，根据勾股定理，可得：AO² + OB² = AB²CO² + OD² = CD²代入已知数据，得：10² + OB² = 6²100 + OB² = 36OB² = 36 - 100OB² = -64根据求解过程可知，OB²为负数，但平方数不可能为负数，因此无解。
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O D#BCB APOyxPBAO垂径定理一.选择题1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．82．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41}4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm 6．下列命题中，正确的是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) ；A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米 8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB 空题1．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm 2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm 3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 4．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm5．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD ＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米6．半径为6cm 的圆中，垂直平分半径OA 的弦长为 cm. 7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM的长等于 cm）8．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________9．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m 11．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B 的坐标是12．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD= 14．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cm15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm 16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为 17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米 18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米 `道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆19．如图，是一个隧的半径OA 是____米20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD 的长为 cm 21．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为22．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为23．如图，⊙O 的的半径为5，直径AB ⊥弦CD ，垂足为E ，CD=6，那么 ∠B 的余切值为_________ 三.解答题 ~1．已知⊙O 的弦AB 长为10，半径长R 为7，OC 是弦AB 的弦心距，求OC 的长2．已知⊙O 的半径长为50cm ，弦AB 长50cm.求：（1）点O 到AB 的距离；（2）∠AOB 的大小ＯＡＢO图 4E DCAB A DC O · CA BOD OBCAAC DB%3．如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度AB4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点E ，如果BE=OE ，AB=12m ，求△ACD 的周长5．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。
已知：AB=24cm ，CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径.：6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高AD 上，AB=10，BC=12．求⊙O 的半径 !7．如图，已知⊙O 的半径长为25，弦AB 长为48，C 是弧AB 的中点．求AC 的长．8．已知：在△ABC 中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC 的外接圆的半径. /9．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。
为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱，使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图5所示。
请你帮他们求出滴水湖的半径。
10．如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD 。
求证：OC=OD（11．如图，AB 是⊙O 的弦，点D 是弧AB 中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ．求证：AD ＝DC12．如图，AB 、CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别是点M 、N ， BA 、DC 的延长线交于点P ． 求证：PA=PC[ 《切线的性质与判定》1、如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于M （2，0），N （0，8）两点，则点P 的坐标是_________2、如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，∠APB=70°，C 是⊙O 上不同于A 、B 的任一点，则∠ACB 等于____________3、如图，在同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，AB=6，则圆环的面积是_____________第1题图 第2题图 第3题图4．如图，已知在△ABC 中， AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点F ，交BC 于点D ，DF ⊥AC 于点F ．求证：DF 是⊙O 的切线；'5、如图，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，P 是AB 延长线上一点，PD 切⊙O 于点D ，CD 交AB 于点E ，判断△PDE 的形状，并说明理由．6．21．如图，半径OA ⊥OB ，P 是OB 延长线上一点，PA 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线CE 交PO 于C 点，求证：PC=CD ．?7、如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切．O ]DED CBA EPB AO8．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B ，连接OC 交⊙O 于点E ，且OC 与弦AD 平行．求证： CD 是⊙O 的切线．》9．如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90°，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的☉O 恰与AC 相切于点D ．若AE=2，AD=4．求⊙O 的直径BE 和线段BC 的长。
10、已知：菱形的对角线相交于点O ，⊙O 与AB 相切于点E ， 求证：⊙O 与菱形其他边BC 、CD 、DA 也相切|1．在三角形ABC 中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，求 AF 、BD 、CE 的长。
2．如图所示，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，C 是上一动点，过C 作⊙O 的切线交PA 于点M ，交PB 于点N ，已知∠P=56°，求∠MON 的度数。
?3．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为三个切点，若∠DEF=50°，求∠A 的度数。
,4．如图，在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是多少5．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，∠BAC=70°，求∠BOC 的度数．;6．如图所示，BC 是⊙O 的直径，P 为⊙O 外的一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，切点分别为A 、B ．试证明：AC ∥OP ．\9. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长．10. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o ，求弦AB 的长．—11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．)13．已知：如图，△ABC 三边BC =a ，CA =b ，AB =c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o ，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ．(1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积．$1．△ABC 中 , AB=6cm , ∠A=30° , ∠B=15° , 则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的表面积为____ 2．一个圆锥的高为310cm ，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是3．已知圆锥的母线长是10cm ，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径是 cm ． 4．已知圆锥的底面半径是2cm ，母线长是5cm ，则它的侧面积是 ．5．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是 ．6．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm ，那么这个烟囱帽的底面直径为]7．圆锥的底面半径为3，母线长为5，求圆锥的侧面积 1 8．圆锥的侧面积为π15，底面半径为3，求圆锥的高。