第1章 质点运动学
大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT
方向：
cosa
=
x r
cosβ=
y r
cosγ=
z r
路程:质点所经路径得总长度。
三、速度
描述位置矢量随时间变化快慢得物理量
1、平均速度
在移质为点r由）A，到单B的位过时程间中内（的所平用均时位间移为称为t该，质所点发在生该的过位
程中的平均速度。
v
=
Δ Δ
r t
=
Δx Δt
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
0
Δx
Δ t —割线斜率（平均速度）
dx —切线斜率（瞬时速度） dt
x~t图
t tt
1
2
2、 v ~ t 图
v ~ t图
割线斜率：
Δv Δt = a
v v2
切线斜率：
dv dt
=a
v1
v ~ t 图线下得面积(位移):
0 t1
t2
x2
dt dx x2 x1 x
t1
x1
t2 t
3、 a ~ t 图
=
dθ
dt
B
Δθ A
θ
0
x
(3)、角加速度
β =ΔΔωt
β
=
lim
Δt
Δω
0Δ t
=ddωt
=ddθt2 2
(4)、匀变速率圆周运动
0
t
1 2
t2
0 t
2
2 0
2
(5)、线量与角量得关系
Δ s = rΔθ
lim Δ s
Δt 0Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
第1章 质点运动学
100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z
第1章-质点运动学
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
大学物理——第1章-质点运动学
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
第一章 质点运动学
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
第一章_质点运动学
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角
第一章质点运动学1大学物理教程北京邮电大版
质点运动的方法。
x
1
gt2
2
1.2.1 位置矢量 运动方程
1 位置矢量 确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位
r 置矢量, 简称位矢 。
r
xi
yj
zk
y
y
r
*P
k j
式中 i、j 、k 分别为x、y、z
方向的单位矢量。
z ox
i
x
例如： r 2i 3 j 5k z
r 位矢 的大小为： r r x2 y2 z2
x
dx dt
r dr r2 h2 dt
按题意
0
dr dt
由此得船速
x 0
r r2 h2
0
x2 h2 x
v = vxi = -v0
x2 h2 i x
上式中的负号表示船的速度v沿X轴的负方向。
加速度：
ax
dvx dt
0
h2 x2 h2
dx dt
v02h2 x3
a
v02h 2 x3
i
负号表示加速度a的方向与X轴的正方向相反。 由于a与v同向，所以小船是加速靠岸的。
在直角坐标系中分解：
r xi yj zk
在直角坐标系中分 解：
rA xAi yA j zAk rB xBi yB j zB k
则在直角坐标系 Oxyz 中其位移为
r (xB xA)i ( yB yA) j (zB zA)k
xi yj zk
y
yB A r
r y A A
z = z(t)
该r运动2方ti程矢(8量式t：2 )
j
方程组消去t就得到质点的轨迹方程。 例运动学方程为x=2t, y=8-t2,轨迹方程为
1质点运动学
1质点运动学第1章质点运动学⼀、基本要求1．理解描述质点运动的位⽮、位移、速度、加速度等物理量意义；2．熟练掌握质点运动学的两类问题：即⽤求导法由已知的运动学⽅程求速度和加速度，并会由已知的质点运动学⽅程求解位⽮、位移、平均速度、平均加速度、轨迹⽅程；⽤积分法由已知的质点的速度或加速度求质点的运动学⽅程；3．理解⾃然坐标系，理解圆周运动中⾓量和线量的关系，会计算质点做曲线运动的⾓速度、⾓加速度、切向加速度、法向加速度和总加速度； 4．了解质点的相对运动问题。
⼆、基本内容（⼀）本章重点和难点：重点：掌握质点运动⽅程的物理意义及利⽤数学运算求解位⽮、位移、速度、加速度、轨迹⽅程等。
难点：将⽮量运算⽅法及微积分法应⽤于运动学解题。
（提⽰：⽮量可以有⿊体或箭头两种表⽰形式，教材中⼀般⽤⿊体形式表⽰，学⽣平时作业及考试请⽤箭头形式表⽰）（⼆）知识⽹络结构图：相对运动总加速度法向加速度切向加速度⾓加速度⾓速度曲线运动轨迹⽅程参数⽅程位⽮⽅程质点运动⽅程运动⽅程形式平均加速度加速度平均速度速度位移位⽮基本物理量,,,,:)(,,（三）容易混淆的概念： 1.瞬时速度和平均速度瞬时速度（简称速度），对应于某时刻的速度，是质点位置⽮量随时间的变化率，⽤求导法；平均速度是质点的位移除以时间，对应的是某个时间段内的速度平均值，不⽤求导法。
2. 瞬时加速度和平均加速度瞬时加速度（简称加速度），对应于某时刻的加速度，是质点速度⽮量随时间的变化率，⽤求导法；平均加速度是质点的速度增量除以时间，对应的是某个时间段内加速度的平均值，不⽤求导法。
3.质点运动⽅程、参数⽅程和轨迹⽅程质点运动⽅程（即位⽮⽅程），是质点位置⽮量对时间的函数；参数⽅程是质点运动⽅程的分量式；⽽轨迹⽅程则是从参数⽅程中消去t 得到的，反映质点运动的轨迹特点。
4．绝对速度、相对速度和牵连速度绝对速度是质点相对于静⽌参照系的速度；相对速度是质点相对于运动参照系的速度；牵连速度是运动参照系相对于静⽌参照系的速度。
第1章质点运动学
2.几种典型的坐标系 几种典型的坐标系 (1).直角坐标系 直角坐标系
z P
r 直角坐标系中， 直角坐标系中，任意矢量 A 可表示为 r r r r A= A i + Ay j + A k x z
矢量的大小或模 矢量的大小或模表示为
x
γ
O
A
α
β
y
A = A2 + A2 + A2 x y z
方向余弦满足关系
cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1
r dk =0 dt
直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量， 直角坐标系中，坐标轴的单位矢量是常矢量，满足
r di =0 dt
r dj =0 dt
3
(2).自然坐标系 自然坐标系 为坐标原点， 在已知运动轨迹上任取一点O为坐标原点，用质点距离原点的轨 来确定质点任意时刻的位置， 道长度s来确定质点任意时刻的位置，以轨迹切向和法向的单位 矢量( 作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 矢量(τ、n)作为其独立的坐标方向，这样的坐标系，称为自然坐 称为自然坐标 自然坐标。 标系 s 称为自然坐标。
在第6章 狭义相对论中讲授 在第6
10
§1.3.2 描述一般曲线运动的线参量
线参量： 线参量： 位置矢量、位移矢量、 位置矢量、位移矢量、 速度矢量和加速度矢量
z P(x,y,z)
γ α
r
z
β
1.位置矢量与运动方程 1.位置矢量与运动方程
x x
o
y y
(1).位置矢量： 由坐标原点指向质点的有向线段。 (1).位置矢量：时刻t，由坐标原点指向质点的有向线段。 位置矢量
β
第一章 质点 运动学
rB
r
思考题 质点作曲线运动，判断下列说法的正误 注： r (或称 r |) 位矢大小的变化量
r r
r r
s r
s r
s r
平均速度： v
r t
单位： m s 1
平均速度的方向与 t 时间内位移的方向一致
质点作变加速圆周运动，切 向加速度和法向加速度的大小方 向
当子弹从枪口射出时，椰子刚好从树上由静止 自由下落. 试说明为什么子弹总可以射中椰子 ?
例 设在地球表面附近有一个可视为质点的抛体,
以初速 v0 在 Oxy 平面内沿与 Ox 正向成 角抛出, 并
略去空气对抛体的作用. （1）求抛体的运动方程和其
y
B
角速度：
lim
t d dt
R
s
A
角加速度：
t 0
O
x
lim
t 0
t
d dt
圆周运动的角量描述
角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rads-1) ； 角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad s-2) 。
讨论：
(1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
RES 1.5 108 3 RE 6.4 10
2.4 10 1
4
地球上各点的公转速度相差很小，忽略地球自身尺 寸的影响，作为质点处理。
质
点
研究地球自转
v R
地球上各点的速 度相差很大，因 此，地球自身的 大小和形状不能 忽略，这时不能 作质点处理。
大学物理第一章质点运动学讲义
质点运动学的重要概念
位移
质点的位移是指质点在某一时刻相对 于参考点的位置变化量。
速度
质点的速度是指质点在某一时刻相对 于参考点的位置变化率。
加速度
质点的加速度是指质点在某一时刻相 对于参考点的速度变化率。
相对速度和相对加速度
当存在多个质点时，需要引入相对速 度和相对加速度的概念，以描述不同 质点之间的相对运动关系。
伽利略变换适用于低速运动，即速度远小于光速的情况。在 高速运动或引力场中，需要使用爱因斯坦的相对论变换。
牛顿运动定律的相对性
01
牛顿第一定律
一个质点将保持其运动状态，除非受到外力作用。在相对运动的参考系
中，牛顿第一定律速度与作用力成正比，与质量成反比。在相对运动的参考系中，
质点的描述主要包括位置、速度和加速度等基本参数，这些参数随时间变化而变 化，描述质点的运动状态。
质点运动的基本参数
位置
质点的位置可以用空间坐标来表示，通常用三维 坐标系中的坐标值描述。
速度
质点的速度是描述质点运动快慢和方向的物理量， 用矢量表示，包括大小和方向。
加速度
质点的加速度是描述质点速度变化快慢的物理量， 也是矢量，包括大小和方向。
描述一个质点相对于另一个质点的运 动速度。当两个质点相对运动时，它 们的相对速度取决于它们各自的运动 状态和方向。
相对加速度
描述一个质点相对于另一个质点的加 速度。相对加速度的大小和方向与两 个质点的相对速度有关，并影响它们 之间的相对位置和运动轨迹。
伽利略变换
伽利略变换是描述两个相对运动的惯性参考系之间关系的数 学公式。通过伽利略变换，可以计算一个质点在另一个质点 的参考系中的位置、速度和加速度。
大学物理第一章质点运动 学讲义
第一章- 质点运动学
间位置而设置的坐标系统，是固结于参考系上的一个数
学抽象。 常见的坐标系：
角向
r
Oα
径向
•P(r,α)
极轴
z
P•(x,y,z)
r
Or
y
x
极坐标系
r n
τr
P(n,τ)
O
•P(r,ϕ ,θ ) r
直角坐标系
自然坐标系
球坐标系
§1-2 描述质点运动的物理量
1-2-1 位置矢量与运动方程
上海
热带风暴
1 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
设质点： t+
t ∆t
时位时移刻刻:：: AB∆,, rvrvrBvA
z
A v
∆rv
B
rA
v rB
O
y
x
平均速度： vr = ∆rv ∆t
单位：m⋅s-1
平均速度的方向与∆t时间内位移的方向一致
2 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
2. 瞬时速度(速度) 精细地描述质 z
avt
=
dv dt
evt
=
d2s dt 2
evt
v 讨论 det
dt
∆evt
=
v et
(t
+
∆t)
-
v et
(t
)
当： ∆t → 0 , ∆θ → 0
有 ∆et = et ⋅ ∆θ = ∆θ
方向 ∆evt ⊥ evt
v d et dt
= lim ∆evt ∆t→0 ∆t
= lim ∆θ ∆t→0 ∆t
质点运动学1
? (x2 ?
?
x
1
)i ? (
?
y2
?
y?1 )j
?
(z2 ??z1 )k
? r ? ? xi ? ? yj ? ? zk
位移矢量的大小
? Δr ? Δx 2 ? Δy2 ? Δz2
位移矢量的方向 cosα ? Δx?, cosβ ? Δy?, cosγ ? Δz?
Δr
Δr
Δr
说明
?? 1）? r 和 r 是两个不同的概念。
大学物理 （2-1）
第1章 质点运动学
质点运动学研究质点的 位置、位移、 速度 、加速度 等随 时间 变化的规律。
本章重点： 1.2 描述质点运动的基本物理量； 1.3 平面曲线运动。
1.1 运动学的一些基本概念
1.1.1 参考系(reference frame )和坐标系(coordinate)
?
d2 y d t2 ,
az
?
d vz dt
?
d2 z d t2
加速度的大小
?
a? a ?
a
2 x
?
a
2 y
?
a
2 z
加速度的方向
cos? ? ax , cos ? ? a y , cos ? ? az
a
a
a
?
?
?
例题1-1 已知质点的运动方程是 r ? ( R cos ? t )i ? ( R sin ? t ) j
dx ? d y ? dz ?
dx
dy
dz
v ? ? i ? j? k dt dt dt dt
vx ? d t ,vy ? d t ,vz ? d t
第1章 质点运动学
第1章 质点运动学一、目的与要求1、确切理解描述质点运动及运动变化的基本物理量；掌握位置矢量、位移、速度、加速度的定义及性质，明确这些物理量的矢量性、相对性和速度、加速度的瞬时性。
2、熟练掌握质点运动学两类问题，即用微分方法由已知的运动学方程求速度、加速度；用积分方法由已知质点的速度或加速度求质点的运动学方程。
3、熟悉和掌握在几种常用坐标系（直角坐标系、自然坐标系、极坐标系）下速度、加速度的表达形式。
4、掌握圆周运动的角量表示及角量与线量之间的关系。
5、掌握速度、加速度变换式，并会运用变换式求解质点相对运动问题。
二、内容提要1、确定质点位置的方法：确定质点运动首先要确定参考系，在确定的参考系中，确定质点位置的方法主要有坐标法、位矢法和自然法。
2、运动学方程：表示质点位置随时间变化关系)(t r r =用直角坐标表示⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 用极坐标表示⎩⎨⎧==)()(t t r r ϕϕ 用自然坐标表示)(t s s =3、质点的位移、速度和加速度 位移：)()(t t t r r r -∆+=∆速度：td d r =v 加速度：22d d d d tt ra ==v在直角坐标系中k j i k j i tz t y t x z y x d d d d d d ++=++=v v v v k j i k j i a tt t a a a z y x z y x d d d d d d vv v ++=++=k j i 222222d d d d d d t z t y t x ++=在极坐标系中 r t r r +=+=r r d d 00ϕϕv v v t d d ϕ0ϕϕa a r +=0r a 0ϕ)d d d d 2d d ())d d (d d (220222t t r tr t r t r ϕϕϕ++-=r 0ϕ 在自然坐标系中ττtsd d ==v vτττt a a n d d v =+=n a ρ2v +n n ρτ222)d ds (d d t t s += 4．圆周运动运动学方程（角位置）：)(t θθ= 角位移：)()(t t t θθθ-∆+=∆角速度：td d θω= 角加速度：22d d d d tt θωβ== 线量与角量的关系：θr s =ωθr t r t s ===d d d d vβωτr t r t a ===d d d d v22ωωr ra n ===v v5．运动学的两类问题（1）已知)(t r r =，求)(t v v =，)(t a a =等——微分 （2）已知a 和0r ，0v ，求运动学方程)(t r r =——积分 6．相对运动一质点相对于两个相对平动参考系的速度间关系为e r a v v v +=加速度变换关系为e r a a a a +=三、例题1－1 在平面上运动的某质点，运动方程为Rt t R x ωω+=sin ，R t R y +=ωcos ，式中ω，R 为正的常量。
第一章质点运动学
3v 1.73v， y 轴正向 沿
作业：习题1-7，1-9
练习：习题1－6
提示：1-1题为第一类质点运动学问题,即 运动方程 加速度
速度 加速度
1-2题为第二类质点运动学问题,即
速度 运动方程
§1-3
圆周运动
y
y
平面极坐标 质点在A点的位置由 （r,θ）来确定． 以（r,θ）为坐标的 坐标系称为平面极坐标系
x x(t ) 分量式 y y (t ) z z(t )
—参数方程
2.运动方程
y
y (t )
r (t )
P
x(t )
从上式中消去参数 t ，可 z (t ) z 得质点运动的轨迹方程:
o
x
f ( x, y, z) 0
选择题.已知一质点位置矢量的表达式为 ： r 2i 5 j 37k ,则该质点作 (A) 匀速直线运动。 (B) 静止。 (C) 抛物线运动。 (D)一般曲线运动。
物 理 学
第一章
质点运动学
§1-1
质点运动的描述
一 参考系 质点 1.参考系 为描述物体运动而选定的标准物,称 为参考系。 参考系选取的不同，物体运动的描 述不同，即对物体运动的描述具有相 对性。 2.质点 忽略物体的体积与形状,将其抽象为 具有同等质量的点，称为质点. 质点是理想模型.
二 位置矢量
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0， 则有 t x 2 ，带入 y 中可消去参数 t ，
可得轨迹方程为
轨迹图
t 4 s
6
y 0.25x x 3.0
2
y/m
第一章 质点运动学
六. 单位 本课程采用国际单位制（ ）， ），其中 本课程采用国际单位制（SI），其中 长度单位 时间单位 速度单位 加速度单位 米（符号 m） ） 秒（符号 s） ） 米每秒（ 米每秒（符号 m/s ） 米每二次方秒（ 米每二次方秒（符号 m/s2 ）
例题1-4 已知质点作匀加速直线运动，加速度 已知质点作匀加速直线运动， 例题 求这质点的运动方程。 为 a ，求这质点的运动方程。 dv = a 常量），积分得 ），积分得 解 由定义 （常量）， dt
∆r = r1 − r
即等于质点位矢在∆t O 即等于质点位矢在∆ 时间内的增量。 时间内的增量。且有
r
r ∆t 时间内位移 1
t +∆t 时刻位矢 ∆
x
∆r = x1i + y1 j − xi − yj = ( x1 − x )i + ( y1 − y ) j
时间内质点通过的路程 为标量 路程∆ 为标量， ∆t 时间内质点通过的路程∆s为标量，仅当 ∆t→0时，位移的大小 时 lim ∆r = ∆s
d 2 x dv x ax = 2 = = −ω 2 R cos ω t dt dt d 2 y dv y ay = 2 = = −ω 2 R sin ω t dt dt
由此得加速度的大小
v a = ω R cos ωt + sin ωt = ω R = R
2 2 2 2
2
如果把加速度写成矢量式， 如果把加速度写成矢量式，则有
本课程中只讨论平面内的运动问题， 本课程中只讨论平面内的运动问题，常用坐标 系有平面直角坐标系 极坐标系和自然坐标系。 平面直角坐标系、 系有平面直角坐标系、极坐标系和自然坐标系。
二. 质点 一般情况下， 一般情况下，运动物体的形状和大小都可能变化
第1章 质点运动学
第1章 质点运动学
1.1 质点运动的描述
一、几个基本概念
运动是绝对的，对运动的描述是相对的。
1. 参考系 为了描述物体的运动而被选作参考的 物体叫做参考系.
任何实物物体均可被选作参考系;场不能作为参考系。
2. 坐标系 为了定量的描述物体的运动，在选定的参考 系上建立的带有标尺的数学坐标,简称坐标系。 坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。
?
即：
v v lim lim ? t 0 t t 0 t
v
vB
A
v
v v dv dv dt dt
第1章 质点运动学
总结：
描述对象 位置
描述质点运动的基本物理量
物理量 位矢 定义
r , r (t )
中心
位置变化
位移
v v0
a (t )
，如何求解
即
dv a dt
t dv adt
t0
同理：
r
r0
t dr v dt
t0
积分上、 下限！
第1章 质点运动学 例: 质量为5kg可视为质点的物体从原点开始运动， 其加速度为 a (0.4 1.2t )i 1.6 j （设运动开始记时，t 为运动时间），求任意时刻质点的速度及运动方程。
rB
r
r r
第1章 质点运动学
讨论： 比较位移和路程
r AB
s AB
s
A
B
r
位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点 运动轨迹无关，只与始末点有关。 路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点 运动轨迹有关 直线（直进）运动 r s 何时取等号？ 曲线运动 t 0时, dr ds
第1章 质点运动学
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
质点运动学
et (t)
A
Δs
Δθ
Δθ
Δ et
o
B
et (t + Δt)
dθ 1 en (t) = v dt ρ o' det dθ 1 v =v en = v en 切向加速度分量 an dt dt ρ 2 dv v2 d s 1 ds 2 a= et + en = et + ( ) en 2 dt ρ dt ρ dt
ds v = vet = et dt
dv d(vet ) a= = dt dt det dv = et + v dt dt
反映速度大小的变化
反映速度方向的变化
dv d s 切向加速度分量： a t = = 2 dt dt
2
det v ? dt
t时间内： Δet
Δθ 大小： Δet = 2 et sin( ) 2 当 Δt 0 有 Δθ 0 Δθ 大小： Δet = 2 Δθ 2
lim Δr = dr ——元位移 记： Δ t 0
Δt 0
lim Δr = dr ——元位移的大小
A B
Δr
3、Δ r 与Δ r 的区别
——标量 = rB Δr = r B -r A A
Δr Δr
（三角形的两边之差小于第三边）
rA
o
rB
二、速度
7/8班
A
Δr
et
Δs
Δr 平均速度： v = Δt Δs 平均速率： v = Δt
2
2
2
极坐标系：
随时间变化 横向单位矢量 径向单位矢量
eθ
极径
er
极角
极点
r θ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1章 质点运动学一、选择题1. 一物体在位置1的矢径是 r 1, 速度是 v 1． 经∆t 秒后到达位置2，其矢径是r 2, 速度是v 2．则在∆t 时间内的平均速度是[ ] (A) )(2112v v - (B) )(2112v v+(C)tr r ∆-12 (D)tr r ∆+122. 一物体在位置1的速度是 v 1, 加速度是 a 1．经∆t 秒后到达位置2，其速度是 v 2, 加速度是a 2．则在∆t 时间内的平均加速度是[ ] (A) )(112v v -∆t(B))(112v v +∆t (C))(2112a a - (D) )(2112a a+3. 关于加速度的物理意义, 下列说法正确的是 [ ] (A) 加速度是描述物体运动快慢的物理量 (B) 加速度是描述物体位移变化率的物理量 (C) 加速度是描述物体速度变化的物理量 (D) 加速度是描述物体速度变化率的物理量4．运动方程表示质点的运动规律, 运动方程的特点是 [ ] (A) 绝对的, 与参考系的选择无关 (B) 只适用于惯性系(C) 坐标系选定后, 方程的形式是唯一的 (D) 参考系改变, 方程的形式不一定改变5. 竖直上抛的物体, 在t 1秒末时到达某一高度, t 2秒末再次通过该处，则该处的高度是 [ ] (A)2121t gt (B) )(2121t t g + (C)221)(21t t g + (D))(2112t t g -6. 一质点作曲线运动, 任一时刻的矢径为 r , 速度为v , 则在∆t 时间内[ ] (A) v v ∆=∆ (B) 平均速度为∆∆rt (C) r r ∆=∆(D) 平均速度为tr ∆∆7. 一质点作抛体运动, 忽略空气阻力, 在运动过程中, 该质点的td d v 和td d v 的变化情T 1-1-1图T 1-1-2图况为 [ ] (A)t d d v 的大小和t d d v 的大小都不变 (B) t d d v 的大小改变, t d d v 的大小不变 (C)td d v 的大小和td d v 的大小均改变 (D)td d v 的大小不变,td d v 的大小改变8. 一质点在平面上作一般曲线运动, 其瞬时速度为v, 瞬时速率为v , 平均速度为v, 平均速率为v , 它们之间的关系必定为[ ] (A) v v = v v =(B) v v ≠ v v =(C) v v ≠ v v ≠ (D) v v = v v ≠9. 下面各种判断中, 错误的是[ ] (A) 质点作直线运动时, 加速度的方向和运动方向总是一致的(B) 质点作匀速率圆周运动时, 加速度的方向总是指向圆心 (C) 质点作斜抛运动时, 加速度的方向恒定(D) 质点作曲线运动时, 加速度的方向总是指向曲线凹的一边10. 下列表述中正确的是:[ ] (A) 质点作圆周运动时, 加速度一定与速度垂直 (B) 物体作直线运动时, 法向加速度必为零 (C) 轨道最弯处法向加速度最大(D) 某时刻的速率为零, 切向加速度必为零11. 一抛射物体的初速度为v 0, 抛射角为θ, 则该抛物线最高点处的曲率半径为[ ] (A) ∞ (B) 0 (C)g20v (D)θ220cos gv12. 有两个各自作匀变速运动的物体, 在相同的时间间隔内所发生的位移大小应有 [ ] (A) 加速度大的位移大 (B) 路程长的位移大 (C) 平均速率大的位移大 (D) 平均速度大的位移大13. 一沿直线运动的物体, 其速度与时间成反比, 则其加速度大小与速度大小的关系是[ ] (A) 与速度成正比 (B) 与速度平方成正比(C) 与速度成反比 (D) 与速度平方成反比14. 质点作曲线运动, r 表示位置矢量的大小, s 表示路程, a 表示加速度大小, 则下列各式中正确的是 [ ] (A)a t =d d v (B) v =t r d d (C)v =ts d d (D)a t=d d vT1-1-11图15. 一物体作匀变速直线运动, 则 [ ] (A) 位移与路程总是相等(B) 平均速率与平均速度总是相等 (C) 平均速度与瞬时速度总是相等(D) 平均加速度与瞬时加速度总是相等16. 平抛物体在空中运动的总时间决定于 [ ] (A) 初速度的大小 (B) 抛体的质量(C) 抛出点与落地点的竖直距离 (D) 抛出点与落地点的水平距离17. 初速率相等的两个抛射体, 抛射仰角分别为α和β, 且2π=+βα．则它们的[ ] (A) 射高相等 (B) 水平射程相等 (C) 运行时间相等 (D) 都不相等18. 在地面上以初速v 0、抛射角θ 斜向上抛出一物体, 不计空气阻力. 问经过多长时间后速度的水平分量与竖直分量大小相等, 且竖直分速度方向向下?[ ] (A) )cos (sin 0θθ+g v(B) )cos 2(sin 0θθ-g v(C))sin (cos 0θθ-gv (D)g0v19. 从离地面高为h 处抛出一物体，在下列各种方式中，从抛出到落地时间内位移数值最大的一种是[ ] (A) 自由下落 (B) 以初速v 垂直下抛 (C) 以初速v 平抛 (D) 以初速v 竖直上抛20. 一物体从某一确定高度以0v 的速度水平抛出, 已知它落地时的速度为t v, 则它运动的时间是[ ] (A) g t 0v v - (B) g t 20v v -(C)gt 22v v - (D)gt 2202v v -21. 作匀变速圆周运动的物体[ ] (A) 法向加速度大小不变 (B) 切向加速度大小不变(C) 总加速度大小不变 (D) 以上说法都不对22. 作圆周运动的物体[ ] (A) 加速度的方向必指向圆心 (B) 切向加速度必定等于零 (C) 法向加速度必定等于零 (D) 总加速度必定不总等于零23. 质点作变速直线运动时, 速度及加速度的关系为 [ ] (A) 速度为0, 加速度一定也为0(B) 速度不为0, 加速度也一定不为0 (C) 加速度很大, 速度也一定很大(D) 加速度减小, 速度的变化率也一定减小24. 作匀速圆周运动的物体[ ] (A) 速度不变 (B) 加速度不变(C) 切向加速度等于零 (D) 法向加速度等于零25. 下列几种情况中, 哪种情况是不可能的? [ ] (A) 物体具有向东的速度和向东的加速度 (B) 物体具有向东的速度和向西的加速度 (C) 物体具有向东的速度和向南的加速度 (D) 物体具有变化的加速度和恒定的速度26. 一质点在平面上运动, 已知质点位置矢量的表示式为j t b i t a r22+=(其中a 、b 为常量) , 则该质点作[ ] (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物曲线运动 (D) 一般曲线运动27. 以同一初速v 0、不同的发射角1θ和2θ 发射的炮弹均能击中与发射点在同一平面内的目标. 不计空气阻力, 则1θ与2θ之间的关系为[ ] (A) π21=+θθ (B) 2π21=-θθ (C) 2π21=+θθ (D) 4π21=-θθ28. 一质点在x O y 平面内运动, 其运动方程为Rt t R x ωω+=sin , R t R y +=ωcos , 式中R 、ω均为常数. 当y 达到最大值时该质点的速度为 [ ] (A) 0,0==y x v v (B) 0,2==y x R v v ω (C) ωR y x -==v v ,0 (D) ωωR R y x -==v v ,229. 某人以4m.s -1的速度从A 运动至B, 再以6m.s -1的速度沿原路从B 回到A, 则来回全程的平均速度大小为[ ] (A) 5m.s -1 (B) 4.8m.s -1 (C) 5.5m.s -1(D) 030. 物体不能出现下述哪种情况?[ ] (A) 运动中, 瞬时速率和平均速率恒相等 (B) 运动中, 加速度不变, 速度时刻变化(C) 曲线运动中, 加速度越来越大, 曲率半径总不变(D) 曲线运动中, 加速度不变, 速率也不变31. 一质点作直线运动, 某时刻的瞬时速度v = 2 m.s -1, 瞬时加速度a = -2 m.s -2, 则1秒钟后质点的速度大小[ ] (A) 等于零 (B) 等于-2 m.s -1(C) 等于2m.s -1(D) 不能确定32. 某物体的运动规律为t k t2d d v v -=, 式中k 为常数．当t = 0时，初速度为v 0．则速度v 与时间t 的函数关系是: [ ] (A) 0221v v +=t k (B) 0221v v +-=t k(C)2121v v+=t k (D)2121v v+-=t k33. 站在电梯内的人, 看到用细绳连结的质量不同的两物体跨过电梯内的一个无摩擦的定滑轮而处于“平衡”状态, 由此他断定电梯作加速运动, 其加速度的[ ] (A) 大小为g , 方向向上 (B) 大小为g , 方向向下 (C) 大小为g /2, 方向向上(D) 大小为g /2, 方向向下34. 若以时钟的时针为参考系，分针转一圈所需的时间约是：[ ] (A) 55分 (B) 65.45分 (C) 65.25分 (D) 55.3分35. 一电梯在以恒定速率v 竖直上升过程中, 某时刻有一螺帽自电梯的天花板上脱落, 最后落到电梯底板上．已知电梯的天花板至底板间的距离为d , 在此过程中螺帽相对地面的位移大小为[ ] (A) 大于d (B) 等于d(C) 小于d (D) 与d 的关系要视v 的大小决定36. 一条河设置A 、B 两个码头,相距1km ．甲、乙需要从A 到B, 再由B 返回.甲划船去, 船相对于河水的速率为4km.h -1, 乙沿岸步行,其速率也为4km.h -1, 如果河水流速2km.h -1, 方向从A 到B, 则 [ ] (A) 甲比乙晚10分钟回到A (B) 甲和乙同时回到A (C) 甲比乙早10分钟回A (D) 甲比乙早2分钟回到A37. 某人骑自行车以速率v 向正西方行驶, 遇到由北向南刮的风(设风速大小也为v ), 则他感到风是从[ ] (A) 东北方向吹来 (B) 东南方向吹来(C) 西北方向吹来 (D) 西南方向吹来38. 在相对地面静止的坐标系内, A 、B 两船都以2 m.s -1的速率匀速行驶. A 船沿x 轴正向, B 船沿y 轴正向．现在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系, 则从A 船上看B 船, 它对A 船的速度(SI)为：[ ] (A) j i 22+ (B) j i22+-(C) j i22-- (D) j i 22-T1-1-36图T1-1-38图39. 一飞机相对空气的速度为200 km.h -1, 风速为56 km.h -1, 方向从西向东. 地面雷达测得飞机的速度大小是192 km.h -1, 方向是[ ] (A) 南偏西16.3︒ (B) 北偏东16.3︒ (C) 西偏东16.3︒ (D) 正南或正北 40. 用枪射击挂在空气中的目标A, 在发射子弹的同时, 遥控装置使A 自由下落, 假设不计空气阻力, 要击中A, 枪管应瞄准[ ] (A) A 本身 (B) A 的上方 (C) A 的下方 (D) 条件不足不能判定 41. 在离水面高为h 的岸边, 一电动机用绳子拉船靠岸．如果电动机收绳速率恒为u , 则船前进速率v[ ] (A) 必小于u (B) 必等于u(C) 必大于u (D) 先大于u 后小于u 42. 在匀速行驶火车上的一个学生,掷一个球给车内坐在他对面的朋友(他们之间的连线与火车前进方向垂直), 则小球运动轨迹对地面的投影是[ ] (A) 与火车运动方向成90︒角的直线(B) 指向前的一个弧线(C) 指向后的一个弧线(D) 与火车运动方向不成90︒角的直线43. 在同一地点将甲乙两物体同时以相同的初速率沿同一竖直面抛出, 但抛出时的仰角不同, 不计空气阻力, 下面哪种判断是不正确的? [ ] (A) 有可能使甲、乙在空中相碰 (B) 不可能使甲、乙在空中相碰(C) 甲、乙在空中飞行的时间不会相同(D) 甲、乙在空中飞行的水平距离不会相同二、选择题1. 一辆汽车以10m.s -1的速率沿水平路面直前进, 司机发现前方有一孩开始刹车, 以加速度－0.2m.s -2作匀减速运动, 则刹后一分钟内车的位移大小是 ．2. 一质点沿半径为R 的圆周运动一周回到原地, 质点在此运动过程中，其位移大小为 ，路程是 ．3. 甲、乙二卡车在一狭窄的公路上同向行驶,甲车以10m.s -1速度匀速行驶, 乙车在后. 当乙车发现甲车时, 车速度为15m.s -1, 相距1000m ．为避免相撞, 乙车立即作匀减速行驶, 其加速度大小至少应为 ．4. 物体通过两个连续相等的位移的平均速度大小分别为1v =10m.s -1和2v =15m.s -1．若物体作直线运动, 则整个运动中物体的平均速度大小为 ．T 1-2-3图T1-1-41图T1-1-40图5. 一质点沿x 轴作直线运动，其v ~ t 曲线如图所示．若t ＝0时质点位于坐标原点，则t ＝4.5s 时，质点在x 轴上的位置为 ．6以初速率0v 、仰角θ(设 45>θ)将一物体抛出后, 到)cos (sin 0θθ-=gt v 时刻, 该物体的切向加速度为 ．7. 一质点沿x 轴作直线运动, 在t = 0时, 质点位于x 0 =2m 处. 该质点的速度随时间变化的规律为2312t -=v ( t 以秒计)． 当质点瞬时静止时，其所在位置为 ，加速度分别为 ．8. 一作直线运动的物体的运动规律是t t x 403--=，从时刻t 1到t 2间的平均速度是 ．9. 质点作直线运动, 加速度为t A ωωsin 2．已知t = 0 时, 质点的初状态为00=x ,A ω-=0v , 则该质点的运动方程为 ．10. 已知一个在xoy 平面内运动的物体的速度为j t i82-=v ．已知t = 0时它通过(3,-7)位置．则该物体任意时刻的位置矢量为 ．11. 一人以速率v 骑由东朝西行驶, 风以相同的速率从北偏东30︒方向吹来．则人感到风吹来的方向是 ．12. 距河岸(看成直线)300 m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为min /r 1=n 转动，当光束与岸边成30°角时，光束沿岸边移动的速率=v ．13. 有一水平飞行的飞机，速度为0v，在飞机上以水平速度v 向前发射一颗炮弹，略去空气阻力, 并设发炮过程不影响飞机的速度，则(1) 以地球为参照系，炮弹的轨迹方程为 ．(2) 以飞机为参照系，炮弹的轨迹方程为 ．14. 半径为30cm 的飞轮，从静止开始以-2s rad 500⋅.的匀角加速度转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240°时的切向加速度的大小τa ＝ ，法向加速度的大小n a ＝ ．15. 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°．则物体在A 点的切向加速度的大小τa ＝ ，轨道的曲率半径=ρ ．T1-2-5图)s -三、计算题1. 如T-1-3-1图所示，跨过滑轮C 的绳子，一端挂有重物B ，另一端A 被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率1s m 1-⋅=v ．A 离地高度保持为h ，h =1.5m ．运动开始时，重物放在地面B 0处，此时绳C 在铅直位置绷紧，滑轮离地高度H =10m ，滑轮半径忽略不计，求：(1) 重物B 上升的运动学方程； (2) 重物B 在时刻的速率和加速度； (3) 重物B 到达C 处所需的时间．2. 一炮弹发射后在其运行轨道的最高点h =19.6m 处炸裂成质量相等的两块，其中一块在爆炸后以(SI) 7.141000j i+=v 的速度运动；另一块在爆炸后落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离S 1=1000m ．问另一块落地点与发射点的距离S 2是多少（设空气阻力不计）?3. 一个人扔石头时的最大出手速率为-10s m 25⋅=v ，他能击中一个与他的手水平距离L =50m 、高h =13m 处的一个目标吗? 在这个距离内他能击中的目标的最大高度是多少?4. 质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a 0，以后加速度均匀增加，每经过τ 秒增加a 0 ，求经过 t 秒后质点的速度和位移．5. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a ＝－k y ，式中k 为常数，y 是以平衡位置为原点所测得的坐标．假定振动的物体在坐标0y 处的速度为0v ，试求速度v 与坐标y 的函数关系式．6. (1) 对于作匀速圆周运动的质点，试求直角坐标和单位矢量i和j 表示其位置矢量r, 并由此导出速度v 和加速度a 的矢量表达式．(2) 试证明加速度a的方向指向轨道圆周的中心．7. 如T1-3-7图所示，质点P 在水平面内沿一半径为R = 2m 的圆轨道转动．转动的角速度ω与时间t 的函数关系为2kt =ω(k 为常量)．已知t ＝2s 时，质点P 的速度值为32m ⋅s -1．试求t ＝1s 时，质点P 的速度与加速度的大小．8. 一张致密光盘(CD)音轨区域的内半径R 1= 2.2cm ，外半径为R 2 = 5.6cm ，径向音轨密度N = 650条/mm ．在CD 唱机内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以v =1.3m/s 的恒定线速度运动的．(1)这张光盘的全部放音时间是多少? (2) 激光束到达离盘心r =5.0cm 处时，光盘转动的角速度和角加速度各是多少?T1-3-7图T1-3-1图T1-3-2图129. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km⋅h-1的速度向西刮来，如果飞机的航速(在静止空气中的速率)为180 km⋅h-1，试问驾驶员应取什么航向? 飞机相对于地面的速率为多少? 试用矢量图说明．10. 静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为30°; 当火车以-1sv的=m35⋅速率沿水平直路行驶时，车上乘客发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为45︒．假设雨滴相对于地的速度保持不变，试计算雨滴相对地的速度大小．。