空间向量与立体几何-单元测试-有答案

第三章空间向量与立体几何单元测试
(时间:９０分钟满分：1２0分)
第Ⅰ卷(选择题，共５0分)
一、选择题：本大题共１０小题,每小题5分，共50分.
1．以下四组向量中,互相平行的组数为()
①a＝（２,2,1）,b＝(３，-2，-2);②a＝(8,4,-6),b=(4,2,-３）；③a＝(０,-1，１），b=(0,３,-3);④a=（-3,２,0),ｂ=（4,-3,３)
A.１组ﻩB．2组
Ｃ．3组ﻩD．4组
解析:∵②中a＝2b，∴a∥b；③中ａ=－错误!ｂ,
∴a∥b；而①④中的向量不平行．
答案：B
2．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－｜b|=|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥ｂ,则存在唯一的实数λ,使ａ=λb;③对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若错误!=2错误!－2错误!-错误!，则P,A,Ｂ，C四点共面；④若｛a,b,c｝为空间的一组基底,则{a+b，ｂ＋c，c+ａ｝构成空间的另一组基底;⑤｜(a·ｂ）·ｃ｜=｜a|·|b|·|c|.
Ａ．２个ﻩB.3个
C．4个ﻩD．5个
解析：①|a|-|ｂ｜＝|a＋b｜⇒ａ与b共线,但a与b共线时｜a|－|b|＝|a+b|不一定成立,故不正确;②ｂ需为非零向量,故不正确;③因为2-2-1≠１，由共面向量定理知,不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确.
答案:Ｃ
３.如图，已知四边形ＡBCD为矩形,PＡ⊥平面ABCD,连接ＡC,BD,ＰB，PC，PD,则下列各组向量中，数量积不一定为零的是（)
A.错误!与错误!B．错误!与错误!
C.错误!与错误!
D.错误!与错误!
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
设矩形ＡBCD的长、宽分别为a,b，P A长为ｃ,则Ａ(0,0,0),Ｂ(b,0，0）,Ｄ(0,ａ,０)，Ｃ（b,ａ，0)，P（0,0，c)．
则错误!＝(b，a,－c),错误!＝（-b，a，0),错误!=(0，-a，0)，错误!＝(b,0,-ｃ),错误!＝（0,a,－c),错误!=(ｂ,0,0)，错误!=(0,0,－c）,错误!＝（-b,0，０).
∴＼ｏ(PC,＼ｓ＼up1５(→）)·错误!=－b２＋a2不一定为0.
错误!·错误!=０，错误!·错误!＝0，错误!·错误!=0.
答案：A
４.已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且ａ＝3e1+2ｅ2-e3,b＝e1＋2ｅ3，则（6a)·错误!等于()
A．15 Ｂ.3
C．-3 ﻩＤ．5
解析:(6a）·错误!＝3a·b=３（3e1＋2ｅ2-ｅ3)·(ｅ1＋2e３)=9|ｅ1｜２-6|ｅ３|2＝3．
答案：Ｂ
５.如图,AＢ＝AC=BD＝1，AＢ⊂面α，AＣ⊥面α,BＤ⊥AＢ，BD与面α成30°角,则Ｃ、D间的距离为()
A．1 B．2
C.2ﻩ
D. 3
解析：|错误!|２＝|错误!＋错误!＋错误!|2＝|错误!|2＋|错误!|2+｜错误!|２+２错误!·错误!+２错误!·错误!＋2错误!·错误!=1＋1＋1＋0+0+2×1×1×cos１20°=2.∴|错误!|=错误!.
答案:Ｃ
6.已知空间三点O(0,0,0),A（－1,1,0）,B(0,1,1）在直线OA上有一点H 满足ＢH⊥OＡ，则点Ｈ的坐标为( )
A.(-2,2，0) Ｂ．(２,－2,０)
Ｃ．错误!ﻩD.错误!
解析：由错误!＝(-１,1，0)，且点H在直线OA上,可设H(-λ，λ,０),则错误!
＝（-λ,λ-1，－1).
又ＢＨ⊥OＡ,∴错误!·错误!=０，
即（-λ,λ－１，－１)·(-1，1,0)＝０,
即λ＋λ－1=0,解得λ=＼f(1,2）,∴H错误!.
答案：Ｃ
７.已知a＝(cosα,1,ｓinα)，b=(ｓinα，１,cosα)，则向量a＋ｂ与a-b的夹角是（)
Ａ.90°Ｂ．60°
C．３0°ﻩＤ．０°
解析：（a+b)·（ａ－b)=a2－b２＝(cｏs２α＋sｉn2α+１)-(sin2α+1＋cｏs２α)=0，∴(a+b）⊥(ａ－b).
答案：A
8.已知E、Ｆ分别是棱长为１的正方体ＡＢCD-Ａ1B1Ｃ1D1的棱BC、ＣC1的中点,则截面AＥＦD１与底面ＡＢCＤ所成二面角的正弦值是( )
A.错误!ﻩ
B.错误!
C.错误!ﻩＤ.错误!
解析：以Ｄ为坐标原点，以ＤA、ＤC、DD１分别为x轴、ｙ轴、z轴建立空间直角坐标系,如图．则A(1,0,0),E错误!，F错误!，D1(0，0,1)，ｌ所以错误! =(－1,0，1)，错误!＝错误!．
设平面AEF Ｄ1的法向量为n ＝(ｘ，y ,z ），
则错误!⇒错误!
∴x ＝2y =z ．取ｙ＝1,则n ＝(2，1,2)，而平面A ＢC Ｄ的一个法向量为ｕ
=(0，0，1）,∵ｃos 〈n ，ｕ〉=＼f （2,3),∴ｓi ｎ〈n ，u 〉＝53.
答案:C
9．在三棱锥P -A ＢC 中,△ABC 为等边三角形,P A ⊥平面ＡBC ,且P A ＝AB ,则二面角Ａ-ＰB -Ｃ的平面角的正切值为（ )
A ．错误!
B ．错误!
C ．＼r(6)６ D.错误!
解析:设P Ａ=AB =２，建立如图所示的空间直角坐标系.
则B (0,2，0）,C (3，１,0),P (0，0,2),
∴错误!=(0,－2,2)，
ＢＣ＼s ＼u ｐ15(→)＝(错误!,-1,0)．
设n ＝（x ,y ,z )是平面PBC 的一个法向量．
则错误!即错误!
令ｙ＝1，则x =错误! ,ｚ＝1.
即n ＝错误!.
易知m =(1,0,0)是平面P A Ｂ的一个法向量.
则cos 〈m ,n 〉＝＼f(m·n ，｜m ||n ｜)＝错误!＝错误!.
∴正切值tan 〈m ,n 〉=错误!.
答案:A
10.已知错误!＝（1,2,3)，错误!＝(2,１,2），错误!＝（1，１,2)，点Q 在直线ＯＰ上运动，则当错误!·错误!取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）
A.错误! ﻩＢ.错误!
C.错误!
D.错误!
解析：∵Q 在OP 上,∴可设Q (x ,x,2x ）,则错误!=(１－ｘ,２-x ，3-2x ),
＼o(QB ,→）
=（2－x,1－x ，2－2ｘ)．
∴错误!·错误!＝6ｘ2－1６x ＋１0，
∴x =＼ｆ（4，3）时，QA →
·错误!最小，
这时Q 错误!.
答案:C
第Ⅱ卷（非选择题,共７0分)
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共２０分.
１１.已知a ＝(3，－2,－３)，b ＝(－1,x －1,1),且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是__________．
解析：因为a 与b 的夹角为钝角，于是－1＜cos 〈ａ,b 〉<０，因此a·b <0，且ａ与b 的夹角不为π，即cos 〈ａ，b 〉≠－1.
解得x ∈错误!∪错误!.
答案：错误!∪错误!
12．如图所示,已知正四面体Ａ-ＢＣD中,AE=
1
４
AB，CF=错误!CＤ，则直线ＤE和ＢＦ所成的角的余弦值为___＿＿_＿___.
解析：ED
→
=错误!+错误!＝错误!错误!+错误!,
错误!＝错误!＋错误!＝错误!+错误!错误!,
coｓ〈错误!,错误!〉＝错误!
=错误!
＝错误!.
答案：４１3
13.已知a ＝(x,2,-4)，ｂ=(-1，y,3）,c =(1,-2，z ),且a ,ｂ,c 两两垂直，则(x ，ｙ，z )＝______＿__＿.
解析:由题意知错误!
解得x =－６4,y =－26,ｚ＝－１7．
答案:(-６４，－26，-1７)
14.已知空间四边形ＯABC ,如图所示，其对角线为OB 、ＡC ,Ｍ、N 分别为OA 、BC 的中点,点G 在线段MN 上，且错误!＝3错误!,现用基向量错误!、错误!、错误!表示向量错误!，并设错误!＝x ·错误!＋y ·错误!+z ·错误!，则x 、ｙ、z 的和为___＿＿＿____．
解析：错误!=错误!＋错误!=错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!+错误!错误!=错误!错误!-错误!错误!＋错误!错误!+错误!错误!-错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!,
∴x ＝18,y ＝38，z =38.
∴x +y +z ＝错误!.
答案:７８
三、解答题：本大题共4小题,满分50分．
15.(12分)已知ａ＝(1，2,-2).
(1)求与a共线的单位向量b；
(2)若a与单位向量c＝（0，m，ｎ)垂直，求m、ｎ的值．
解：(1)设ｂ=(λ,２λ,-２λ），而b为单位向量,
∴|ｂ|＝1，即λ2＋4λ2+4λ2＝9λ２＝１．
∴λ=±错误!.(４分）
∴b＝错误!或ｂ=错误!.(6分)
(２)由题意，知错误!⇒错误!
解得错误!或错误!(１2分)
１6.(1２分）如下（左）图,在Rt△ＡBC中,∠C＝90°，BC=3,ＡＣ＝6，D,Ｅ分别为AC、AB上的点,且ＤE∥ＢC,ＤE＝2,将△ＡDE沿DＥ折起到△A１DE的位置,使A1C⊥CD,如下(右）图.
(１)求证:Ａ１Ｃ⊥平面ＢＣDE;
(2)若Ｍ是Ａ1D的中点,求ＣＭ与平面A1ＢＥ所成角的大小.
解：(１)∵AC⊥BＣ，DE∥BC，∴DE⊥AC.
∴DE⊥A１D，DE⊥ＣD，∴DE⊥平面A1DC.
∴ＤE⊥A1C.
又∵A1C⊥CＤ,
∴A1C⊥平面BＣDＥ.(４分）
（２)如图所示，以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C-ｘyz,则A1(0,０,2＼r(３)),D(0,2，0）,M(0,1,＼ｒ(3))，B(3,０,0）,E(2，2,0)．设平面Ａ1BE的法向量为n=(x,y，z),则ｎ·错误!=０，ｎ·错误!=０.
又错误!＝(３,０，-2错误!），
错误!＝(-1,2,0）,
∴错误!
令ｙ=１，则x＝2,z=3，∴n＝(2,1，＼r（３))．
设ＣＭ与平面A1BＥ所成的角为θ．
∵错误!=(0，1,错误!),
∴sinθ=｜cｏs〈ｎ，错误!〉|=|错误!|＝错误!=错误!.
∴CM与平面A1BＥ所成角的大小为错误!.(１2分）
17．（12分)如图,已知正方形ABCＤ和矩形ACEF所在的平面互相垂直,A Ｂ=２，ＡＦ=1,M是线段EＦ的中点.
(1)求证：AM∥平面BDE;
(2)试在线段AC上确定一点Ｐ,使得PF与CD所成的角是6０°.
解：(1)证明:如图,建立空间直角坐标系．
设ＡＣ∩ＢD＝N，连接NE，
则N错误!,E(０,0，１),
∴错误!=错误!.
又A（＼ｒ(2),错误!,0),M错误!，
∴错误!=错误!．
∴错误!=错误!，且NE与AM不共线．
∴NE∥AM．
又ＮE⊂平面ＢDE，AM⊄平面BDＥ，
∴AM∥平面BDE．(6分)
(2)设P （t ,t ，0)(0≤ｔ≤＼ｒ(2）),
则错误!＝(错误!－t ,错误!－t,１),错误!=(错误!,0,0).
又∵＼o(P Ｆ,→
)与错误!所成的角为6０°.
错误!＝错误!，
解之得ｔ=错误!,或t ＝错误!(舍去).
故点P 为A Ｃ的中点．（1２分)
18．（1４分)如图，在圆锥P Ｏ中，已知PO =错误!，⊙O 的直径ＡB ＝2,Ｃ是错误!的中点，D 为AC 的中点.
（1）证明：平面PO Ｄ⊥平面P AC ;
(2）求二面角B -P Ａ-C 的余弦值．
解: （１)证明:如图所示，以O 为坐标原点，OB ，OC ,ＯＰ所在直线分别为x 轴,ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标系，则O （0,0，0)，Ａ(-1，０,0），
Ｂ（1，０,0),C(0,1，0)，P(0，０，错误!),D错误!.
设ｎ１=(x1，y１,z１)是平面PＯD的一个法向量，则由n１·错误!=0,n1·错误!＝0，
得错误!(4分)
∴z1=0,ｘ1＝y１．
取ｙ1＝1,得n1=(１,1，0)．
设ｎ2＝(ｘ2,y2，z２)是平面P AC的一个法向量,则由n2·错误!=0，n2·错误!＝0，
得错误!
∴x2=－＼r(2）z２，ｙ2=＼r（2)z2，
取ｚ2＝1，得n2=(-2,２，1).
∵n１·n2=（１，1，０)·(-2,错误!,1)＝0,
∴n1⊥n2.从而平面POD⊥平面P AC.（８分)
（2)∵y轴⊥平面ＰAB．
∴平面P AB的一个法向量为n3=(0，1,0)．由（１）知,平面PＡC的一个法向量为ｎ2=（-错误!,错误!,1）.
设向量ｎ2和n3的夹角为θ,
则cosθ=错误!＝错误!＝错误!.
由图可知，二面角B-PＡ-C的平面角与θ相等,∴二面角B-P A-C的余弦值为错误!．(14分)。