现代控制理论第六章分析
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%:
，
& % % % % x Ax Bu % % % y Cx Du
1 a n 1 1 a1
P 为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有 这里，
0 ~ A PAP1 a n
0 M ~ cP1 % Pb c b n n1 0 1 对式(6.2.2)引入状态反馈
* 1 2 * 2, 3 1 j 3
给定系统的状态空间表达式为
1 1x
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
1 0 0 3 A 2 b rank 0 1 1 0 0 1
解：因为
rank b
Ab
系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律 能 任意 配置闭环特征值。
解：设所需的状态反馈增益矩阵k为 k k1 k 2 k3 因为经过状态反馈 u v kx 后，闭环系统 的
特征多项式为
f s det sI A bk
s 0 0 0 0 0 1 det 0 s 0 1 1 0 0k1 k 2 k 3 0 0 s 0 1 1 0
由
( A BK ) B 的列向量可以由 ( B AB)
( A BK ) B AB B( KB) ，可知
的列向量的线性组合表示。
( A BK ) B 的列向量可以由( B AB A B )的
2
2
列向量的线性组合表示。 依此类推，不难看出
[ B ( A BK ) B ( A BK )2 B ( A BK )n1 B] A B] 的列向量
系统
1 2 0 & x u ： x 3 1 1
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈
u [3 1]x V
则闭环系统 K的状态空间表达式为
1 2 0 & K ： x x v 0 0 1
y [1 2]x
。
K HC ，则 Kx Hy ，状态反馈就等价于输
出反馈 H 。
(2) D=0时，可以求得闭环系统 K 的传递函数阵
G(s；K，L) C[sI ( A BK )]1 BL
①利用矩阵运算直接可推出（见书）
G(s；K，L) G(s)[I K (sI A)1 B]1 L
1
1
1
定理 6.1.1 对于任何实常量矩阵 K，系统 K
完全能控的充要条件是系统 完全能控。 证 注意到系统 和 K 的能控性矩阵分别为
uc [B AB A2 B
An1B] ( A BK )n1 B]
uc ' [ B ( A BK ) B ( A BK )2 B
1)将 u kx 带入系统状态方程，求得闭环系 统的特征多项式
f ( s) s n a1 (k ) s n 1 a n 1 (k ) s a n (k )
其中 ,
ai (k )是反馈矩阵 k 的函数 , i 1,, n
ai ( k )
2) 计算理想特征多项式
输出反馈传递函数阵的公式求出，
Gab (s) (sI A)1 B[ I K (sI A)1 B]1
于是，从 即为
v
到 y 的传递函数矩阵 G(s; K , L)
G( s；K，L) C (sI A) B[ I K (sI A) B] L G(s)[ I K (sI A)1 B]1 L
% a * a 由此即有 k 1 n n
% * k2 an1 an1 M * % kn a1 a1
% % v Kx % u v Kx v KP1 x
又因为
所以
% K KP
必要性：采用反证法，设 不完全能控，则必
非奇异变换阵 T 使系统结构分解
A TAT
1
Ac 0
A12 Ac
bc b Tb 0
且对任意 k [k1 , k 2 ] ，有
det(sI A bk) det(sI A bkT 1 ) det(sI A bk )
例6.2.1
0 0 0 1 & y 0 x 1 1 0 x 0 u 0 1 1 0
5)
P Q 1 1 2 1 1 1 0 1 0 0
1
0 0 1
0 1 2
1 1 1
6)
1 0 0 ~ 2 3 3 k k p 8 7 2 0 1 1 1 2 1 算法2：直接配置
n
同时，由指定的任意 n 个期望闭环极点*1 , * 2 ,, * n
可求得期望的闭环特征方程
(s )(s 2 )(s
* 1 * * n
) s a s
n
* n 1 1
a
* n 1
s an 0
*
通过比较系数，可知 ~ a1 k n a1* ~ * a 2 k n 1 a 2 ~ * a k a 1 n n
第六章 状态反馈和状态观测器
6.1 状态反馈的定义及其性质 6.2 极点配置 6.3 应用状态反馈实现解耦控制
6.4 状态观测器
6.1 状态反馈的定义及其性质
给定系统
& Ax Bu ：x y Cx Du
在系统中引入反馈控制律
u Lv Kx
则闭环系统 K 的结构如图 6.1.1 所示。
1) 由
0 0 s s 3 2s 2 s det( sI A) det 1 s 1 0 0 1 s 1
a1 2, a2 1, a3 0.
* (s 1 ) (s *2 ) ( s * 3)
得 2) 由 得
s 3 2 k1 s 2 2k1 k 2 1s k1 k 2 k 3
根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征 多项式为
f s s 2 s 1 j 3 s 1 j 3 s 3 4s 2 8s 8
比较两多项式同次幂的系数，有 ：
2 k1 4 , 2 k1 k 2 1 8 , k1 k 2 k 3 8
得：k1 2, k2 3,k 3 3 即得状态反馈增益矩阵为:
k 2 3 3
与例6.2.1的结果相同 6.2.3 讨论 (1) 状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递 函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的 公因子被对消所致。
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再 能观测。
6.2 极点配置
6.2.1 极点配置定理 定理 6.2.1 给定系统
:
& Ax Bu x y Cx Du
u v kx
任意配置极点的充
通过状态反馈
要条件 完全能控。
证: 只就单输入系统的情况证明本定理 充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换 ~ x Px 必能将它变为能控标准形
(s 2)( s 1 j 3 )( s 1 j 3 ) s 3 4 s 2 8s 8
* a1 4, a2 8, a3 8.
k a3 a3 , a2 a2 , a1 a1 8,7,2
3)
4)
a2 a1 1 1 0 0 1 2 1 1 2 1 2 Q b Ab A b a1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0
②在图 6.1.1 中令Hale Waihona Puke Baidu 0 并改用图6.1.2 表示
a
v
L
-
u
B
+
x
I
b
C
y
A K
图 6.1.2
图中a和 b 之间的部分，可以看成是由系统
& x Ax Bu
% y Ix ( 为单位矩阵)
和输出反馈
% u v Ky
Gab (s) 不难用 所组成从到 b 的传递函数矩阵。
D
v
L
-
u
B
+
x
+
C
y
A K
图 6.1.1
K 的状态空间表达式为：
& K ：x ( A BK ) x BLv y (C DK ) x DLv
若 D 0 ，则
& K ：x ( A BK ) x BLv y Cx
状态反馈性质 (1) L I 时，为单纯的状态变量反馈。若
(2)对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动 系统传递函数的零点。
(3) 若系统是不完全能控的，可将其状态方程变 换成如下形式： % & A % A % x % % x b 1 1 11 12 1 u & % x % % x 0 A 2 0 2 22 ~ 其中， A22的特征值不能任意配置。 (4) 系统综合往往需要将不稳定的极点，移到 s平面的左半部，这一过程称为系统镇定。 ~ 的全部特征值都具有负实部时，系 只有 A 22 统才能稳定。
n1
的列向量可以由 [ B AB 的线性组合表示。这意味着
rankuc ' ≤ rankuc
系统 也可看成是由系统 K 经过状态反馈
( K，I ) 而获得的，因此，同理有
rankuc rankuc '
所以系统 K 的能控性等价于系统 的能控性，
于是定理得证。
例 6.1.1
1 式(6.3.2)可写为 y(s) G(s)u(s) C (sI A) Bu (s)
y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g12 ( s )u2 ( s ) L L g1 p ( s )u p ( s ) y2 ( s ) g 21 ( s )u1 ( s ) g 22 ( s )u2 ( s ) L L g 2 p ( s )u p ( s ) M M yq ( s ) g q1 ( s )u1 ( s ) g q 2 ( s )u2 ( s ) L L g qp ( s )u p ( s )
6.3 应用状态反馈实现解耦控制
6.3.1 问题的提出 考虑MIMO系统
& Ax Bu ：x y Cx
(6.3.1)
在 x(0) 0 的条件下，输出与输入之间的关系， 可用传递函数 G ( s) 描述：
y(s) G(s)u(s) C(sI A)1 Bu(s)
(6.3.2)
% % u v Kx
1
~ d d
% k % L % k K 1 2
% k n
% 的状态空间表达式为 则闭环系统 K
% % & % bK % % % x (A )x bv % : K % % % % % y (c dK )x dv
其中，显然有
1 0 % % bK % (A ) % % an k1 an 1 k2 O L 1 % a1 k n
% 的闭环特征方程为 系统 K
~ n1 ~ ~ n 2 s (a1 kn )s (a2 kn1 )s (an k1 ) 0
n * n 1 * * f ( x) (s 1 )(s ) ( s ) s a s a s a 2 n 1 n 1 n
3) 列方程组 ai (k ) a , i 1,, n. 并求解 。
* i
其解 k [k1 ,, k n ] ,即为所求 例6.2.2 同例6.2.1。
，
& % % % % x Ax Bu % % % y Cx Du
1 a n 1 1 a1
P 为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有 这里，
0 ~ A PAP1 a n
0 M ~ cP1 % Pb c b n n1 0 1 对式(6.2.2)引入状态反馈
* 1 2 * 2, 3 1 j 3
给定系统的状态空间表达式为
1 1x
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
1 0 0 3 A 2 b rank 0 1 1 0 0 1
解：因为
rank b
Ab
系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律 能 任意 配置闭环特征值。
解：设所需的状态反馈增益矩阵k为 k k1 k 2 k3 因为经过状态反馈 u v kx 后，闭环系统 的
特征多项式为
f s det sI A bk
s 0 0 0 0 0 1 det 0 s 0 1 1 0 0k1 k 2 k 3 0 0 s 0 1 1 0
由
( A BK ) B 的列向量可以由 ( B AB)
( A BK ) B AB B( KB) ，可知
的列向量的线性组合表示。
( A BK ) B 的列向量可以由( B AB A B )的
2
2
列向量的线性组合表示。 依此类推，不难看出
[ B ( A BK ) B ( A BK )2 B ( A BK )n1 B] A B] 的列向量
系统
1 2 0 & x u ： x 3 1 1
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈
u [3 1]x V
则闭环系统 K的状态空间表达式为
1 2 0 & K ： x x v 0 0 1
y [1 2]x
。
K HC ，则 Kx Hy ，状态反馈就等价于输
出反馈 H 。
(2) D=0时，可以求得闭环系统 K 的传递函数阵
G(s；K，L) C[sI ( A BK )]1 BL
①利用矩阵运算直接可推出（见书）
G(s；K，L) G(s)[I K (sI A)1 B]1 L
1
1
1
定理 6.1.1 对于任何实常量矩阵 K，系统 K
完全能控的充要条件是系统 完全能控。 证 注意到系统 和 K 的能控性矩阵分别为
uc [B AB A2 B
An1B] ( A BK )n1 B]
uc ' [ B ( A BK ) B ( A BK )2 B
1)将 u kx 带入系统状态方程，求得闭环系 统的特征多项式
f ( s) s n a1 (k ) s n 1 a n 1 (k ) s a n (k )
其中 ,
ai (k )是反馈矩阵 k 的函数 , i 1,, n
ai ( k )
2) 计算理想特征多项式
输出反馈传递函数阵的公式求出，
Gab (s) (sI A)1 B[ I K (sI A)1 B]1
于是，从 即为
v
到 y 的传递函数矩阵 G(s; K , L)
G( s；K，L) C (sI A) B[ I K (sI A) B] L G(s)[ I K (sI A)1 B]1 L
% a * a 由此即有 k 1 n n
% * k2 an1 an1 M * % kn a1 a1
% % v Kx % u v Kx v KP1 x
又因为
所以
% K KP
必要性：采用反证法，设 不完全能控，则必
非奇异变换阵 T 使系统结构分解
A TAT
1
Ac 0
A12 Ac
bc b Tb 0
且对任意 k [k1 , k 2 ] ，有
det(sI A bk) det(sI A bkT 1 ) det(sI A bk )
例6.2.1
0 0 0 1 & y 0 x 1 1 0 x 0 u 0 1 1 0
5)
P Q 1 1 2 1 1 1 0 1 0 0
1
0 0 1
0 1 2
1 1 1
6)
1 0 0 ~ 2 3 3 k k p 8 7 2 0 1 1 1 2 1 算法2：直接配置
n
同时，由指定的任意 n 个期望闭环极点*1 , * 2 ,, * n
可求得期望的闭环特征方程
(s )(s 2 )(s
* 1 * * n
) s a s
n
* n 1 1
a
* n 1
s an 0
*
通过比较系数，可知 ~ a1 k n a1* ~ * a 2 k n 1 a 2 ~ * a k a 1 n n
第六章 状态反馈和状态观测器
6.1 状态反馈的定义及其性质 6.2 极点配置 6.3 应用状态反馈实现解耦控制
6.4 状态观测器
6.1 状态反馈的定义及其性质
给定系统
& Ax Bu ：x y Cx Du
在系统中引入反馈控制律
u Lv Kx
则闭环系统 K 的结构如图 6.1.1 所示。
1) 由
0 0 s s 3 2s 2 s det( sI A) det 1 s 1 0 0 1 s 1
a1 2, a2 1, a3 0.
* (s 1 ) (s *2 ) ( s * 3)
得 2) 由 得
s 3 2 k1 s 2 2k1 k 2 1s k1 k 2 k 3
根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征 多项式为
f s s 2 s 1 j 3 s 1 j 3 s 3 4s 2 8s 8
比较两多项式同次幂的系数，有 ：
2 k1 4 , 2 k1 k 2 1 8 , k1 k 2 k 3 8
得：k1 2, k2 3,k 3 3 即得状态反馈增益矩阵为:
k 2 3 3
与例6.2.1的结果相同 6.2.3 讨论 (1) 状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递 函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的 公因子被对消所致。
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再 能观测。
6.2 极点配置
6.2.1 极点配置定理 定理 6.2.1 给定系统
:
& Ax Bu x y Cx Du
u v kx
任意配置极点的充
通过状态反馈
要条件 完全能控。
证: 只就单输入系统的情况证明本定理 充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换 ~ x Px 必能将它变为能控标准形
(s 2)( s 1 j 3 )( s 1 j 3 ) s 3 4 s 2 8s 8
* a1 4, a2 8, a3 8.
k a3 a3 , a2 a2 , a1 a1 8,7,2
3)
4)
a2 a1 1 1 0 0 1 2 1 1 2 1 2 Q b Ab A b a1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0
②在图 6.1.1 中令Hale Waihona Puke Baidu 0 并改用图6.1.2 表示
a
v
L
-
u
B
+
x
I
b
C
y
A K
图 6.1.2
图中a和 b 之间的部分，可以看成是由系统
& x Ax Bu
% y Ix ( 为单位矩阵)
和输出反馈
% u v Ky
Gab (s) 不难用 所组成从到 b 的传递函数矩阵。
D
v
L
-
u
B
+
x
+
C
y
A K
图 6.1.1
K 的状态空间表达式为：
& K ：x ( A BK ) x BLv y (C DK ) x DLv
若 D 0 ，则
& K ：x ( A BK ) x BLv y Cx
状态反馈性质 (1) L I 时，为单纯的状态变量反馈。若
(2)对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动 系统传递函数的零点。
(3) 若系统是不完全能控的，可将其状态方程变 换成如下形式： % & A % A % x % % x b 1 1 11 12 1 u & % x % % x 0 A 2 0 2 22 ~ 其中， A22的特征值不能任意配置。 (4) 系统综合往往需要将不稳定的极点，移到 s平面的左半部，这一过程称为系统镇定。 ~ 的全部特征值都具有负实部时，系 只有 A 22 统才能稳定。
n1
的列向量可以由 [ B AB 的线性组合表示。这意味着
rankuc ' ≤ rankuc
系统 也可看成是由系统 K 经过状态反馈
( K，I ) 而获得的，因此，同理有
rankuc rankuc '
所以系统 K 的能控性等价于系统 的能控性，
于是定理得证。
例 6.1.1
1 式(6.3.2)可写为 y(s) G(s)u(s) C (sI A) Bu (s)
y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g12 ( s )u2 ( s ) L L g1 p ( s )u p ( s ) y2 ( s ) g 21 ( s )u1 ( s ) g 22 ( s )u2 ( s ) L L g 2 p ( s )u p ( s ) M M yq ( s ) g q1 ( s )u1 ( s ) g q 2 ( s )u2 ( s ) L L g qp ( s )u p ( s )
6.3 应用状态反馈实现解耦控制
6.3.1 问题的提出 考虑MIMO系统
& Ax Bu ：x y Cx
(6.3.1)
在 x(0) 0 的条件下，输出与输入之间的关系， 可用传递函数 G ( s) 描述：
y(s) G(s)u(s) C(sI A)1 Bu(s)
(6.3.2)
% % u v Kx
1
~ d d
% k % L % k K 1 2
% k n
% 的状态空间表达式为 则闭环系统 K
% % & % bK % % % x (A )x bv % : K % % % % % y (c dK )x dv
其中，显然有
1 0 % % bK % (A ) % % an k1 an 1 k2 O L 1 % a1 k n
% 的闭环特征方程为 系统 K
~ n1 ~ ~ n 2 s (a1 kn )s (a2 kn1 )s (an k1 ) 0
n * n 1 * * f ( x) (s 1 )(s ) ( s ) s a s a s a 2 n 1 n 1 n
3) 列方程组 ai (k ) a , i 1,, n. 并求解 。
* i
其解 k [k1 ,, k n ] ,即为所求 例6.2.2 同例6.2.1。