二次函数压轴题分类精选---平行四边形

1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；

（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可；

（2）由题意得到直线BC与直线AM垂直，求出直线BC解析式，确定出直线AM中k的值，利用待定系数法求出直线AM解析式，联立求出M坐标即可；

（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．

【解答】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，解得：，

则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）设直线BC解析式为y=kx﹣3，

把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，

∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，

∴直线AM解析式为y=x+m，

把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，

∴直线AM解析式为y=x﹣1，

联立得：，

解得：，

则M（﹣，﹣）；

（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，

分两种情况考虑：

设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），

当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），

根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，

解得：m=1±，x=2±，

当m=1+时，m2﹣2m﹣3=8+2﹣2﹣2﹣3=3，即P（1+，2）；

当m=1﹣时，m2﹣2m﹣3=8﹣2﹣2+2﹣3=3，即P（1﹣，2）；

当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），

根据平移规律得：﹣1+m=0+x，0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0，

解得：m=0或2，

当m=0时，P（0，﹣3）（舍去）；当m=2时，P（2，﹣3），

综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）或（2，﹣3）．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，以及平移规律，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．

（1）求直线AD及抛物线的解析式；

（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；

（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案．

【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；

当x=﹣2时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y=﹣3，

即D（﹣2，﹣3）．

设AD的解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入，得

，

解得，

直线AD的解析式为y=x﹣1；

（2）设P点坐标为（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3），

l=（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）

化简，得

l=﹣m2﹣m+2

配方，得

l=﹣（m+）2+，

=；

当m=﹣时，l

最大

（3）DR∥PQ且DR=PQ时，PQDR是平行四边形，

由（2）得0＜PQ≤，

又PQ是正整数，

∴PQ=1，或PQ=2．

当PQ=1时，DR=1，﹣3+1=﹣2，即R（﹣2，﹣2），

﹣3﹣1=﹣4，即R（﹣2，﹣4）；

当PQ=2时，DR=2，﹣3+2=﹣1，即R（﹣2，﹣1），

﹣3﹣2=﹣5，即R（﹣2，﹣5），

综上所述：R点的坐标为（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣2，﹣1）（﹣2，﹣5），使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形．

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用DR=PQ且是正整数得出DR的长．

3．如图11，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．

（1）求a的值和直线AB的解析式；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；

（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．

【分析】（1）把点A坐标代入y=ax2﹣（2a﹣）x+3可求a，应用待定系数法可求直线AB的解析式；

（2）用m表示DE、AC，易证△DEF∽△AEC，S1=4S2，得到DE与AE的数量关系可以构造方程；

（3）用n表示GH，由平行四边形性质DE=GH，可得m，n之间数量关系，利用相似用GM表示EG，表示▱DEGH周长，利用函数性质求出周长最大时的m值，可得n 值，进而求G点坐标．

【解答】解：（1）把点A（4，0）代入，得

0=a•42﹣（2a﹣）×4+3

解得

a=﹣