二次函数压轴题分类精选---取值范围
中考数学二次函数综合压轴题型归类
中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=，mx 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个x解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
二次函数求值、求范围综合问题(函数)-全国各地2019中考数学压轴题函数大题题型分类汇编(解析版)
2019全国各地中考数学压轴大题函数综合
九、二次函数求值、求取值范围综合问题
1.（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正
半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x ﹣m）2+m+2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．
∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．
（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．。
二次函数——取值范围
专题十一：二次函数之取值范围坐标相关的取值范围例题1 ：如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（﹣5，0），与y轴交于C（0，﹣5），并且对称轴x＝﹣3．（1）求抛物线的解析式；（2）P在x轴上方的抛物线上，过P的直线y＝x+m与直线AC交于点M，与y 轴交于点N，求PM+MN的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点，①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；②若△ACD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．例题2 ：A是直线x＝1上一个动点，以A为顶点的抛物线y1＝a（x﹣1）2+t和抛物线y2＝ax2交于点B（A，B不重合，a是常数），直线AB和抛物线y2＝ax2交于点B，C，直线x＝1和抛物线y2＝ax2交于点D．（如图仅供参考）（1）求点B的坐标（用含有a，t的式子表示）；（2）若a＜0，且点A向上移动时，点B也向上移动，求的范围；（3）当B，C重合时，求的值；（4）当a＞0，且△BCD的面积恰好为3a时，求的值．练习1. 抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出M点横坐标的变化范围，并说明理由．练习2 . 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线解析式；（2）抛物线与y轴交于点C，在抛物线上存在点P，使S△BAP ＝S△CAP，求P点坐标；（3）已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿y＝2x﹣1方向平移，平移过程中与l 相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在一点P，使∠EPF＝90°，求m的范围．角度相关取值范围例题1 ：已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，5）三点，其对称轴2交x轴于点H，一次函数y=k x+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；=S△EAB时，求一次函数的解析式；（2）如图1，当S△EOC（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．练习1 . 已知在平面直角坐标系x O y中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A （0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）经过点D．．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣13①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．动点相关的取值范围例题1 ：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，顶点坐标D为（3，4√3）。
易错压轴01 二次函数(十大易错压轴题型+举一反三+易错题通关)(解析版)
易错压轴01二次函数易错压轴一：二次函数的图象与性质例1．已知二次函数2(1)5y x =--+，当a x b ≤≤且0ab <时，y 的最小值为2a ，最大值为2b ，则a b +的值为（）A ．2B ．12C ．3D ．32【答案】B【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，由题意可得0a <，0b >，则y 的最小值为2a 为负数，最大值为2b 为正数．最大值为2b 分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出 2.5b =，结合图象最小值只能由x a =时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x b =求出，最小值只能由x a =求出．【详解】解：二次函数2(1)5y x =--+的大致图象如下：①当01a x b <≤≤<时，当x a =时，y 取最小值，即2215()a a =--+，例2．已知Rt ABC △的直角顶点C 与原点O 重合，点A ，B 都落在抛物线24y x =上，则AB 与y 轴的交点为；若OD AB ⊥于点D ，则点D 到点()1,0的最大距离为．则24AM m =，MO m =-，BN =90MAO MOA ∠+∠=︒ ，MOA ∠MAO BON ∴∠=∠，AMO ONB ∴∽ ，AM ON MO NB ∴=，即：2244m n m n=-，1OD AB ⊥ ，14OE =，F 为OE 中点，在Rt DOE △中，1128DF OE ==，练习1．定义：把二次函数()2y a x m n =++与()2y a x m n =---（0a ≠，m 、n 是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数212y x bx =+-与2214y x cx c =--+（b 、c 是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（）A ．2c =-；B ．14b c =；C ．当x t =时，12y y t +=-；D ．不论x 取何值，120y y +=练习2．若关于x 的方程2230x kx k -+-=的一个实数根13x ≥，另一个实数根20x ≤，则关于x 的二次函数223y x kx k =-+-图象的顶点到x 轴距离h 的取值范围是．练习3．已知二次函数()(2y ax a b x b a =-++、b 是常数，0).a ≠(1)若(4)(0),M m m ->在该二次函数的图象上，当0a <时，试判断代数式a b +的正负性；(2)已知对于任意的常数a 、(0)b a ≠，二次函数的图象始终过定点P ，求证：一次函数()()2331y k x k x =++≥图象上所有的点都高于点.P 【答案】(1)a b +为正(2)见解析【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关1．已知二次函数()240y ax ax c a =++>图象上的两点()15,y -和()22,x y ，若12y y >，则2x 的取值范围是（）A ．25x >-B ．22x <-C ．251x -<<D ．252x -<<-2．已知抛物线2y ax bx =+，当3y ≥-时，自变量x 的取值范围是2x m ≤-或2(0)x m m ≥+>，若点(),9P n 在对称轴左侧的抛物线上，则n 的取值范围是．3．已知二次函数223y x x =+-．(1)将223y x x =+-写成()2y a x h k =-+的形式，并写出它的顶点坐标；(2)当40x -<<时，直接写出函数值y 的取值范围；(3)该二次函数的图象与直线y n =有两个交点A ，B ，若6AB >，直接写出n 的取值范围．【答案】(1)()214y x =+-，顶点坐标为()1,4--(2)45y -≤<(3)5n >【分析】（1）利用完全平方公式转化为顶点式，由顶点式写出顶点坐标；易错压轴二：二次函数的图象与系数的关系例1．对于二次函数2y ax bx c =++，定义函数()()2200ax bx c x y ax bx c x ⎧++≥⎪=⎨---<⎪⎩是它的相关函数．若一次函数1y x =+与二次函数24y x x c =-+的相关函数的图象恰好两个公共点，则c 的值可能是（）A．1-B．0C．1D．22例2．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线=1x -，且过点(1,0)，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①0ab >且0c <；②420a b c -+>；③80a c +>；④直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x ，，则12125x x x x ++=-．其中结论正确的是．练习1．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于(2,0)-，()1,0x ，其中101x <<．有下列五个结论：①0abc >；②0a b c -+>；③20a c +>；④()(2)0a b a b -->；⑤若m ，()n m n <为关于x 的一元二次方程()1(2)10a x x x +-+=的两个根，则21m n -<+<-．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象与各项系数的符号，根据二次函数图象判断式子的符号，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象与性质是解题的关键，注意数形结合．根据抛物线开口方向、对称轴的位置及抛物线与y 轴交点位置，可确定a 、b 、c 的符号，练习2．如图，二次函数²y ax bx c =++的图像与x 轴交于点(30)，，对称轴为直线1x =，下列结论∶①<0abc ；②420a b c -+>；③30a c +=；④抛物线上有两点11(,)M x y 和22(,)N x y ，若121x x <<，且122x x +>，则12y y >，其中正确的是．(只填写序号)【答案】①③④【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像判断式子的符号，数形结合是本题最大特点．由图像的开口方向、对称轴及图像与y 轴的交点位置可分别确定a 、b 、c 的符号，从而可判定①；由抛物线的对称性可确定当1x <-时，图像位于x 轴下方，从而当2x =-时练习3．已知二次函数()2210y ax ax a =-+≠，图象经过点()1,m -，()1,n ，()3,p ．(1)当2m =-时．①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的x 的取值范围，使得y 随x 的增大而增大；(2)若在m ，n ，p 这三个实数中，只有一个是正数，求证：13a ≤-．【答案】(1)①221y x x =-++；②1x <.(2)见解析.【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质,熟知二次函数的图象和性质是解题的关键.（1）①利用待定系数法即可解决问题；②根据所得二次函数的图象和性质即可解决问题；（2）由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题．【详解】（1）①当2m =-时，将点()1,2--代入函数解析式得，1．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的一个交点为()4,0，其对称轴为直线1x =，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①0abc <；②240b ac -<；③930a b c ++=；④80a c +=；⑤若关于x 的方程21ax bx c ++=-有两个实数根12,x x ，且满足12x x <，则12x <-，24x >．其中正确结论的个数为（）A ．5B ．4C ．3D ．22．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，对称轴为直线1x =，下列论中∶①0a b c -+=；②若点()()()1233,,2,,4,y y y -均在该二次函数图象上，则123y y y <<；③若m 为任意实数，则24am bm c a ++≤-；④方程210ax bx c +++=的两实数根为12,x x ，且12x x <，则121,3x x <->．正确结论的序号为．∴与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，2(0)y ax bx c a =++<的图象向上平移一个单位长度，即为21y ax bx c =+++的图象，∴21y ax bx c =+++的图象与x 轴的两个交点一个在(1,0)-的左侧，另一个在(3,0)的右侧，∴若方程210ax bx c +++=的两实数根为12,x x ，且12x x <，则121,3x x <->，故④正确；综上可知，正确的有①③④，故答案为：①③④3．在平面直角坐标系中，设二次函数22y ax bx =++（a ，b 是常数，0a ≠）．(1)若2a =时，图象经过点()11，，求二次函数的表达式．(2)写出一组a ，b 的值，使函数22y ax bx =++的图象与x 轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．(3)已知，二次函数22y ax bx =++的图象和直线4y ax b =+都经过点()2m ，，求证：2212a b +≥．易错压轴三：根据二次函数的对称性求函数值例1．如图，抛物线21y a x =与抛物线22y a x bx =+相交于点()1,P m -，过点P 作x 轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M ，N ，若点M 是PN 的中点，则12a a 的值是（）A ．12B ．2C ．13D ．3将()1,P m -，代入1y a x =则12a a b =-，∴()1222a a a =--，∴123a a =，∴123a a =，故选：D ．例2．已知二次函数2y ax bx c =++的图像过点(1,0)A -和(0,1)C ．（1）若此抛物线的对称轴是直线12x=，点C与点P关于直线12x=对称，则点P的坐标是．（2）若此抛物线的顶点在第一象限，设t a b c=++，则t的取值范围是．练习1．设二次函数24y kx kx c =-+（k ，c 为实数）的图象过点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 三点，且3212x x x <<<，13x x =，124x x +>，下列结论正确的是（）A ．若0k >，则312y y y =>B ．若0k >，则321y y y >>C ．若0k <，则123y y y >>D ．若0k <，则213y y y >>练习2．已知22x m n =++和2x m n =+时，多项式246x x ++的值相等，则当x m n =+时，多项式的值为.【答案】2【分析】本题考查了二次函数的性质，令246y x x =++，可知对称轴为直线2x =-，根据题意，求出2x m n =+=-，即可求解．【详解】解：∵()224622y x x x =++=++，练习3．自变量x 的函数值我们通常记作()f x ，()f n 表示自变量x n =时，函数()f x 的函数值，已知函数()23f x x ax =-+，其中a 为常数．(1)若2a =，求()5f 的值；(2)若存在唯一一个自变量x 的值，使得另一个函数()()g x f x =，()2g x x =+，试求满足条件的a 的值；(3)若存在实数m 且12m -<≤，使得()()223f m f m =-+，试求实数a 的取值范围．1．设函数()y f x =对一切实数不均满足(5)(5)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有6个不同的实根，则这6个实根的和为（）A ．10B ．12C ．18D ．30【答案】D【分析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，解题的关键是看出函数的图象关于直线5x =对称，得到函数的零点是成对出现的．根据函数()f x 满足(5)(5)f x f x +=-，可得函数的图象关于5x =对称，从而得到方程()0f x =的6个实数解中有3对，每一对的和为10，由此可得结论．【详解】解：对于任意实数，函数()f x 不均满足(5)(5)f x f x +=-∴函数的图象关于5x =对称，∴函数的零点关于5x =对称，∴方程()0f x =的根关于5x =对称，∴方程()0f x =的6个实数解中有3对，∴成对的两个根之和等于2510⨯=，6∴个实根之和是10330⨯=，故选：D ．2．已知关于直线1x =对称的抛物线2y x bx c =++经过()123,A n y +，()21,B n y -两点，且点A ，B 分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是（填A 或B ），若此时12y y <，则n 的取值范围是．【答案】B 10n -<</01n >>-【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据抛物线对称轴为1x =，开口向上，根据已知条件分类讨论得出点B 在对称轴的左侧；根据12y y <，进而得出不等式，解不等式即可求解．【详解】解： 抛物线2y x bx c =++关于直线1x =对称，经过()123,A n y +，()21,B n y -两点，且点A ，B 分别位于拋物线对称轴的两侧，若点A 位于对称轴左侧，则23123111n n n n +<-⎧⎪+<⎨⎪->⎩，解得412n n n <-⎧⎪<-⎨⎪>⎩，不等式组无解，不符合题意；若点B 位于对称轴左侧，则23123111n n n n +>-⎧⎪+>⎨⎪-<⎩，解得412n n n >-⎧⎪>-⎨⎪<⎩，∴不等式组的解为12n -<<；此时12y y <，()()11231n n ∴-->+-，解得：0n <，∴10n -<<，综上，12y y <时，则n 的取值范围是10n -<<，故答案为：B ，10n -<<．3．设二次函数2223y x mx m =+-+（m 为常数）的图象为f ．【特例感悟】（1）当2m =，30x -≤≤时，二次函数2223y x mx m =+-+（m 为常数）的最小值是______、最大值是______；【类比探索】（2）当直线()0y m m =-<与图象f 在第一象限内交A 、B 两点（点A 在点B 的左边），A 点横坐标a ，点B 的横坐标b ，7a b =，求在a x b ≤≤范围内二次函数2223y x mx m =+-+（m 为常数）的最大值与最小值的差；【纵深拓展】（3）①不论m 为何实数时，图象f 一定会经过一个定点，求出这个定点坐标；②当02x ≤≤时，二次函数2223y x mx m =+-+（m 为常数）的最大值为9，那么图象f 的对称轴与x 轴的交点横坐标会大于0小于2吗？试说明你的理由，并指出满足条件的对称轴与定点之间的距离．【答案】（1）51-，-；（2）最大值与最小值的差为9；（3）①定点坐标为()1,4；②当02x ≤≤时，图象f 的对称轴与x 轴的交点横坐标不能大于0小于2．理由见详解，定点()1,4分别到直线=1x -、3x =的距离都是2．【分析】（1）函数的对称轴为直线2x =-，则2415y x x =+-=-，当0x =时，2411y x x =+-=-，即可求解；（2）由28273a m a m=-⎧⎨=-⎩，整理得2716480m m +-=，得到图象f 的对称轴为4x =，进而求解；（3）①222232(1)3y x mx m x m x =+-+=+-+，当1x =时，无论m 为何实数，都有4y =，即可求解；②当02m ≤-≤时，抛物线开口向上，在0x m ≤≤-时，y 随x 的增大而减小，函数在2m x -≤≤时y 随x 的增大而增大，即可求解；当对称轴为2x m =->时，函数在02x ≤≤时y 随x 的增大而减小，同理可解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质，确定函数对称轴和分类求解是解题的关键．【详解】解：（1）当2m =，30x -≤≤时，241y x x =+-，函数的对称轴为直线2x =-，则2415y x x =+-=-，当0x =时，2411y x x =+-=-，易错压轴四：二次函数的最值问题例1．已知：()2110422m a a a =--≤≤，()414n b b =≤≤，2m n +=，则下列说法中正确的是（）A ．n 有最大值4，最小值1B ．n 有最大值3，最小值32-C ．n 有最大值3，最小值1D ．n 有最大值3，最小值52例2．已知二次函数()2211y ax b x =--+（a ，b 为常数且0a >），当21x -≤≤-时，y随x 的增大而增大，则ab 的最大值为．练习1．4．已知二次函数()()22y x x m =---，当0x m ≤≤时，则（）A ．若4m >时，函数y 有最小值24m-B ．若4m >时，函数y 有最小值24mC ．若4m <时，函数y 有最小值24m-D ．若4m <时，函数y 有最小值24m【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握根据二次函数的性质求二次函数最值的取值范围是解题的关键．先将二次函数解析式化成顶点式，然后根据各选项m 的取值范围，确定对称轴和m 的练习2．已知抛物线1C ：228=-y x ，把1C 绕点()1,0旋转180︒，得到抛物线2C ，则2C 的解析式为；在1C 和2C 构成的封闭区域内作直线l y 轴，分别交1C 和2C 与点M ，N ，则MN 的最大值为．【答案】288y x x=-+12【分析】先求出抛物线1C 的顶点为(0,8)-，与x 轴交点为(2,0)和(2,0)-，由旋转的性质可得抛物线2C 的顶点为(2,8)，2C 图像上的两点(0,0)和(4,0)，设二次函数的顶点式，代入(0,0)即可求出解析式；设2(,28),M m m -则2(,28)N m m m -+，可得24(1)12MN m =--+，进而可求最值；【详解】解：在228=-y x 中，令0y =得2x =或2x =-，∴抛物线1C 的顶点为(0,8)-，与x 轴交点为(2,0)和(2,0)-，将(0,8)-绕点(1,0)旋转180︒，得到抛物线2C 的顶点为(2,8)；将(2,0)和(2,0)-绕点(1,0)旋转180︒，分别得到2C 图像上的点(0,0)和(4,0)；设抛物线2C 的解析式为2(2)8y a x =-+，把(0,0)代入得：048,a =+，解得2a =-，∴抛物线2C 的解析式为222(2)828y x x x =--+=-+；设2(,28),M m m -则(,2N m m -2228(28)MN m m m ∴=-+--由222828x x x x -+=-可得x ∵在1C 和2C 构成的封闭区域内作直线3131,m ∴-+<<+∴当1m =时，MN 取最大值故答案为：228y x x =-+；练习3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点0,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求此二次函数的解析式；(2)当22x -≤≤时，求二次函数2y x bx c =++的最大值和最小值；(3)点P 为此函数图象上任意一点，其僙坐标为m ，过点P 作PQ x ∥轴，点Q 的横坐标为21m -+．已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小．①求m 的取值范围；②当7PQ ≤时，直接写出线段PQ 与二次函数2123y x bx c x ⎛⎫=++-≤< ⎝⎭的图象只有1个交点时m 的取值范围．m 图象只有1个交点，直线13x =关于抛物线对称轴直线4132m ∴-<<-时，PQ 当423m -≤≤-时，PQ 综上所述，423m -≤≤-PQ 与图象有2个交点，1．如图，矩形ABCD 中，42AB AD ==，，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90︒得到点F ，连接CF ，则CEF △面积的最小值是（）A ．4B ．154C ．3D ．114∵矩形ABCD 中，4AB =∴A GEF EHF ∠=∠=∠=∴FEH EBA ∽，EF EG =∴FE FH EHEB EA AB==，2．若点(),1p 在抛物线214y x =上过y 轴上点E 作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB CD ，的中点，EMN 面积的最小值为．3．设二次函数214y ax x c =-+（a ，c 是常数）的图象与x 轴有交点．(1)若图象与x 轴交于A ，B 两点的坐标分别为(10)(30)，，，，求函数1y 的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．(2)若图象与x 轴只有一个交点，且过()a c ，，求此时a ，c 的值．(3)已知1a =，若函数1y 的表达式还可以写成()()1y x m x n =--（m ，n 为常数，m n ≠且2mn =），设二次函数()()2y x m x n =---，求12y y -的最小值．【答案】(1)2143y x x =-+；()21-，(2)当2a =时，2c =；当2a =-时，2c =-(3)4-【分析】（1）将(10)(30)，，，代入214y ax x c =-+，可求13a c =⎧⎨=⎩，进而可得2143y x x =-+，化成顶点式可得顶点坐标；（2）令240ax x c -+=，由图象与x 轴只有一个交点，则()2440ac ∆=--=，即4ac =，将()a c ，代入214y ax x c =-+得，34c a a c =-+，可求2a =或2a =-或0a =（舍去），然后求解作答即可；易错压轴五：二次函数的平移问题例1．若抛物线242y x x =-+-向上平移()0m m >个单位后，在14x -<<范围内与x 轴只有一个交点，则m 的取值范围是（）A ．2m ≥B ．02m <≤C ．07m <≤D ．27m ≤<【答案】D 【分析】先根据函数图象平移规则“上加下减求得平移后的函数解析式，根据二次函数的性质，结合函数的图象，进而可列出不等式组求解即可．【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的表达式为242y x x m =-+-+，∵平移后抛物线的开口向下，对称轴为直线2x =，∴要使在14x -<<范围内与x 轴只有一个交点，只需=1x -时对应图象上的点在x 轴下方，4x =时对应函数图象上的点在x 轴上或x 轴上方，如图，∴1420161620m m ---+<⎧⎨-+-+≥⎩，解得27m ≤<，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象的平移、二次函数与x 轴的交点问题，解答的关键是掌握二次函数的性质，以及与方程、不等式的关系．例2．如图①是杭州亚运会的徽标中的钱江潮头，可近似地看成是顶点在y 轴上的二次函数，如图②所示，已知1OC =，6AB =．当潮头以2个单位每秒的速度向x 轴正方向移动的过程中，若记潮头起始位置所在的二次函数图象与坐标轴三个交点围成的面积为ABC S ，则经过秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为ABC面积的一半．练习1．已知，二次函数21(,y ax bx a b =+-是常数，且0)a ≠的图象经过()2,1,(4,3)A B ，()4,1C -三个点中的两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线1y x =-上，则平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标（）A ．有最大值为1B ．有最大值为12-C ．有最小值为1D ．有最小值为12-【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象的平移，一次函数的图象和性质，待定系数法的应用；首先判断出抛物线经过点A 、C ，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据题意设出平移后的抛物线解析式，令0x =，得到纵坐标与平移距离之间的函数关系式，进而可得答案．【详解】解：∵()2,1,(4,3)A B 在直线1y x =-上，练习2．对某一个函数给出如下定义：若存在实数0m >，对于任意的函数值，都满足m y m -≤≤，则称这个函数是有界函数．．．．，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数()212,0y x x t t =-+-≤≤≥的图象向上平移t 个单位，得到的函数的边界值n 满足是9542n ≤≤时，则t 的取值范围是．练习3．已知二次函数的图像L 过点0,2⎛⎫⎪⎝⎭，顶点坐标为()1,2-．(1)求这个二次函数的表达式；(2)L 与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），求A ，B 两点坐标；(3)将L 向上平移个()0k k >单位长度，与x 轴相交于1A ，1B 两点，若点(),0K k 在线段11A B 上，求k 的取值范围．1．如图，抛物线22y x x =+与直线2y x =+交于A 、B 两点，与直线2x =交于点P ，将抛物线沿着射线AB平移P经过的路程为（）A．6B．132C．254D．142．如图，抛物线2286y x x =-+-与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作1C ，将1C 向右平移得2C ，2C 与x 轴交于点B 、D ．若直线y x m =+与1C 、2C 共有2个不同的交点，则m 的取值范围是．当1y x m =+与抛物线1C ：2286y x x =-+-相切时，令21286y x x x m =-+-=+，即2276x x m -+--根据相切可知方程有两个相等的解，即27∆=-解得118m =，当2y x m =+过点()1,0A 时，即：201m =+，解得21m =-，3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，(5,0)B ．(1)求抛物线的表达式．(2)若抛物线22y x bx c mx =++-，当2123m x m -≤≤+时，y 有最大值12，求m 的值．(3)若将抛物线2y x bx c =++平移得到新抛物线2y x bx c n =+++，当23x -<<时，新抛物线与直线1y =有且只有一个公共点，直接写出n 的取值范围．①点时，则485191251n n +-+≥⎧⎨--+≤⎩解得69n -≤≤；②当抛物线245y x x =--与直线易错压轴六：二次函数与一元二次方程例1．将抛物线223y x x =-++中x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线y x m =+有4个交点，则m 的取值范围是（）A ．5m ≤-B ．2154m -≤<-C ．2134m -<<-D ．3m ≥-【答案】C【分析】本题考查抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．解方程2230x x -++=得()1,0-，()3,0，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为()()13y x x =+-，即()22313y x x x =---≤≤，然后求出直线y x m =+经过点()3,0时m 的值和当直线y x m =+与抛物线()22313y x x x =---≤≤有唯一公共点时m 的值，即可得解．掌握抛物线与x 轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换．【详解】解：对抛物线223y x x =-++，当0y =时，得：2230x x -++=，解得：=1x -或3x =，∴抛物线与x 轴的交点为()1,0-、()3,0，∵将抛物线223y x x =-++中x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图像的其余部分不变，∴新图像中当13x -≤≤时，解析式为()()13y x x =+-，即2=23y x x --，如图，当直线y x m =+经过点()3,0时，此时直线y x m =+与新函数图像有3个交点，把()3,0代入直线y x m =+，解得：3m =-，将直线y x m =+向下平移时，有4个交点，例2．已知点()0,0.3A ，)B，()2,0.3C 在二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象上，则方程20.70ax bx +-=的解为【答案】23-或3【分析】本题考查了二次函数的性质，。
二次函数多结论压轴小题精选30道(必考点分类集训)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册
二次函数多结论压轴小题精选30道1．（2024春•岳麓区校级期末）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）①abc ＞0；②b 2＞4ac ；③a ﹣b +c ＜0；④2a ﹣b ＞0；⑤a +c ＜1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2024•宝安区校级模拟）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc ＜0，②a +b +c ＝2，③a ＞12④0＜b ＜1中正确的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④3．（2024•凤凰县模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，在下列5个结论：①abc ＜0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＜m （am +b ）（m ≠1的实数）．其中正确结论个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．（2024•汝阳县一模）图形结合法既可以由数解决形的问题，也可以由形解决数的问题．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①ab＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④|a+c|＜|b|．其中正确的个数有（ ）A．1B．2C．3D．45．（2024•斗门区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（ ）A．①④B．②③④C．①②④D．①②③④6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关于x 的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x1x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；⑤直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论的个数为（ ）A．5B．4C．3D．27．（2024•旺苍县三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个8．（2023秋•龙港区期中）函数y＝ax2+bx+c与y＝kx的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＝0；③x＝﹣2时，函数y＝﹣ax2+（k﹣b）x﹣c有最大值；④关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝﹣3，其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．49．（2023•石城县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax21+bx1=ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）A．①④B．③④C．②⑤D．②③⑤10．（2024•苍溪县模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中结论正确的个数为（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个11．（2024•高青县校级一模）小明从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个12．（2024•沂源县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：x ＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c＞0；③2a+3b＞0；④a+b＞am2+bm（m≠1）；上述结论中正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个13．（2024•桃江县一模）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为（2，﹣a ）（如图所示），则下列说法：①abc ＜0；②（a +b ）2≥c ；③关于x 的方程ax 2+bx ＝0有两个不相等的实数根；④﹣1≤a ≤0．则正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．（2023秋•中山市校级期末）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示．下列结论：①2a +b ＝0；②3a +c ＞0；③m 为任意实数，则a +b ＞am 2+bm ；④若A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2＝2，其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④15．（2023秋•西城区校级月考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则下列结论：①a ＜0；②9a +3b +c ＞0；③c ＞0；④﹣3＜―b 2a＜0其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．（2023•东港区校级三模）函数y ＝x 2+bx +c 与y ＝x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b +c ＝0；③2b +c +3＝0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0其中正确的有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．117．（2023•双台子区校级一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，给出四个结论：①abc ＞0；②4a ﹣2b +c ＞0；③对于任意实数m ，有am 2+bm +c ＜a ﹣b +c ；④c a ＞―3，其中正确的有（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④18．（2023•遂溪县模拟）如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，对称轴是直线l ，则以下说法：①a ﹣b +c ＝0；②4a +b ＝0；③ab c＞0；④16a +5b +2c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．419．（2023秋•义乌市期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ）A．①②③B．②③④C．①④D．②③20．（2023秋•铜梁区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜―b a ；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个21．（2023•仁怀市模拟）如图，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大⑥一定存在实数x0，使得ax20+bx0＞a﹣b 成立．上述结论，正确的是（ ）A．①②⑤B．②③④C．②③⑥D．③④⑤22．（2023•广东模拟）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论：①abc ＜0；②2a ﹣b +c ≤0；③3b ﹣2c ＜0；④对任意实数m ，都有2am 2+2bm ﹣b ≥0．其中正确的有（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④23．（2023•凤凰县模拟）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①abc ＜0；②3a +b ＞―13c ；③2c ＜3b ；④（k +1）（ak +a +b ）≤a +b ，其中正确的是（ ）A ．①③④B ．C ．①④D ．②③④24．（2024•黄石模拟）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＜0）与x 轴交于点（x 1，0），（2，0），其中﹣1＜x 1＜0．下列四个结论：①abc ＜0；②a ﹣b +c ＞0；③2b ﹣c ＜0；④不等式ax 2+bx +c ＞―c 2x +c 的解集为0＜x ＜2．其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④25．（2024•殷都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y 1＝mx +n 与抛物线y 2=ax 2+bx ―3相交于点A ，B ．结合图象，判断下列结论：①当﹣3＜x ＜2时，y 1＞y 2；②x ＝﹣3是方程ax 2+bx ﹣3＝0的一个解；③若（﹣4，t 1），（1，t 2）是抛物线上的两点，则t 1＞t 2；④对于抛物线y 2=ax 2+bx ―3，当﹣3＜x ＜2时，y 2的取值范围是0＜y 2＜5．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个26．（2024•东港区校级一模）如图，抛物线 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与y 轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）．下列结论中正确的是（ ）①不等式ax 2+c ＜﹣bx 的解集为x ＜﹣1或x ＞3；②9a 2﹣b 2＜0；③一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两个根分别为x 1=13，x 2＝﹣1；④6≤3n ﹣2≤10．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二．填空题（共4小题）27．（2024•射洪市一模）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示（1＜x ＝h ＜2，0＜x A ＜1）．下列结论：①abc ＜0；②2a +b ＞0；③若OC ＝2OA ，则2b ﹣ac ＝4；④3a ﹣c ＜0．其中正确的有 ．（只填写序号）28．（2023秋•太康县期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的图象如图所示．下列4个结论：①b ＞0；②b ＜a +c ；③c ＜4b ；④a +b ＜k 2a +kb （k 为常数，且k ≠1）．其中正确的结论序号是 ．29．（2023秋•青山区期末）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（2，c ），且满足a ﹣b +c ＝0．下列四个结论：①抛物线的对称轴是直线x ＝1；②b 与c 同号；③若a +2b +4c ＞0，则不等式ax 2+bx +c ＜﹣2ax ﹣a ﹣b 的解集﹣2＜x ＜2；④抛物线上的两个点M （m ﹣1，y 1），N （m +2，y 2），当c ＜0，且y 1＞y 2时，m ＜12．其中一定正确的是 .（填写序号）30．（2023秋•城厢区校级月考）如图，是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），点A 和点B 均在直线y 2＝mx +n （m ≠0）上．①2a +b ＝0；②abc ＞0；③抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣4，0）；④方程ax 2+bx +c ＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤a ﹣b +c ＜4m +n ；⑥不等式mx +n ＞ax 2+bx +c 的解集为1＜x ＜4．其中正确的是 ．。
二次函数60道压轴题型专项训练(12大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(浙教)
二次函数60道压轴题型专项训练（12大题型）【题型目录】压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题压轴题型三 根据二次函数的对称性求值压轴题型四 二次函数的平移压轴题压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）压轴题型八 二次函数中的存在性问题压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题压轴题型十 二次函数的翻折问题压轴题型十一 二次函数最值问题压轴题型十二 二次函数的综合【压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题】1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线3y x =--与抛物线2()4=--y x m 对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．54m £B ．54m £或74m =C ．1m £D ．1m £或54m =2．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴只有一个公共点，且当x a =和x a n =+时函数值都为m ，则m 与n 的等量关系为 ．3．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数()()13y a x x =--的图像过点()4,m ，(),p n (1)当1m =时，求a 的值；(2)若>>0m n ，求p 的取值范围；(3)求证：0>am an +．4．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数2(2)3(0)y m x m =-->的图象与x 轴交于点(,0),(,0)A a B b ．(1)当3a =-时，求b 的值．(2)当0a b <<时，求m 的取值范围．(3)若(1,),(1,)P a p Q b q ++两点也都在此函数图象上，求证：0p q +>．5．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点(1,)m 和(3,)n 都在二次函数2y ax bx =+（0，，¹a a b 是常数）的图象上．(1)若6==-m n ，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴．(2)若1a =-，m n <，求b 的取值范围．(3)已知点()()()1231,,2,,4,y y y -也都在该二次函数图象上，若0mn <且a<0，试比较123y y y ，，的大小，并说明理由．【压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题】1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线()20y ax bx c a =++¹的顶点为(12)D -，，与x 轴的一个交点A 在点(30)-，和(20)-，之间，其部分图象如图，则以下结论：①0abc <；②若方程20ax bx c m ++-=没有实数根，则2m >；③320b c +<；④图象上有两点()11,P x y 和()22,Q x y ，若12x x <且122x x +<-，则一定有12y y >；正确的是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（20-21九年级上·浙江·期末）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ¹）经过点()1,0-和()0m ,；且12m <<，当1x <-时，y 随着x 的增大而减小．下列结论：①0abc >；②0a b +>③若点()13,A y -，点()23,B y 都在抛物线上，则12y y <；④()10a m b -+=；⑤若1c £-，则244b ac a -£．其中结论正确的是．3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在二次函数223(0)y x tx t =-+>中．(1)若函数图象的顶点在x 轴上，求t 的值．(2)若点(,)t s 在抛物线上，令q t s =+，求证：134q £．(3)如果(2,)A m a -，()4,B b ，(,)C m a 都在这个二次函数图象上，且3a b <<，求m 的取值范围．4．（2024·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线()24430y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A ，B ．(1)求抛物线的对称轴及顶点坐标；(2)若 1,m =当 3t x t +≤≤时，函数最小值为 2-，求t 的值；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点 A ，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有10个整点，求m 的取值范围．5．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知抛物线()20y ax bx c a =++>，(1)若抛物线过点()()35m m -，，，，求抛物线的对称轴；(2)已知点()()()()0112042y x y y n -，，，，，，，在抛物线上，其中121x -<<-，若存在1x 使1y n >，试比较012y y y ，，的大小关系．【压轴题型三 根据二次函数的对称性求值】1．（2024·山东淄博·二模）二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x…2-1-012…2y ax bx c=++…tm2-2-n…且当12x =-时，与其对应的函数值0y >，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③36m n +<-，其中正确的结论个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数2y ax bx c =++的图像过点(1,0)A -和(0,1)C ．（1）若此抛物线的对称轴是直线12x =，点C 与点P 关于直线12x =对称，则点P 的坐标是 ．（2）若此抛物线的顶点在第一象限，设t a b c =++，则t 的取值范围是 ．3．（2024·云南曲靖·二模）已知抛物线²y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）(1)若20a b -=，4-+=a b c ，求此抛物线的顶点坐标；(2)在（1）的条件下，抛物线经过点()0,2，将抛物线²y ax bx c =++的图象0x <的部分向下平移h （h 为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与x 轴有2个交点，若点1(,)S m n y -与点2(,)Q m y 在平移后的抛物线上（点S ，Q 不重合），且点S 与点 Q 关于对称轴对称，求代数式22281244m mn n n h -+-+的值．4．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m ，()4,n 在抛物线()20y ax bx c a =++>上．设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若30a b +=．比较,,m n c 的大小关系，并说明理由；(2)点()00),1(x m x ¹在抛物线上，若m c n <<，求t 及0x 的取值范围．5．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线()220y ax bx a =++>的图象上，设抛物线的对称轴为x t =．(1)若()2,1M -，()8,1N -，则t =_______；(2)当12x =-，223x <<时，都有122y y >>，求t 的取值范围．【压轴题型四 二次函数的平移压轴题】1．（2024·河北邯郸·二模）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线1C ：224y x x =-++与()22:C y x m =-（m 是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2024·福建·模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()02A ，，点()20C ，，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值的差为3．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，将过点()2,1-的抛物线211:4C y x bx =-+（b 为常数）向右平移m 个单位（0m >），再向上平移n 个单位（0n ³）得到新的抛物线2C ，其顶点为E ．(1)求点E 的坐标；（用含m ，n 的式子表示）(2)若抛物线2C 与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E 的纵坐标；(3)当1n =时，抛物线2C 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，且当02x ££时，对抛物线1C 上的任意一点P ，在抛物线2C 上总存在一点Q ，使得点P ，Q 的纵坐标相等，探究下列问题：①求m 的取值范围；②若存在一点F ，满足DF AF BF ==，求点F 的纵坐标的取值范围．4．（2024·内蒙古赤峰·二模）小爱同学学习二次函数后，对函数()21y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：(1)观察探究：①至少写出该函数的两条性质；②直接写出方程()211x --=-的解；③直接写出方程()21x a --=有四个实数根时a 的取值范围．(2)延伸思考：将函数()21y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数()21213y x =---+的图象?写出平移过程，并直接写出当123y <£时，自变量x 的取值范围．5．（2024·山东济南·二模）已知抛物线1C :26y x mx m =--+交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ．(1)如图1，当点A 坐标为()30-，时，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，点D 是第二象限内抛物线上的一点，连接BD ，若BD 将四边形ABCD 平分成面积相等的两部分，求点D 的横坐标；(3)如图2，EFH V 为等边三角形，点F ，H 在x 轴上，且点E 的坐标为()06，，将抛物线1C :26y x mx m =--+向右平移m 个单位，再向下平移6m 个单位后得到新的抛物线2C ，若2C 与等边EFH V 三边恰有四个交点，求m 的取值范围．【压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题】1．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线2y ax bx =+与2y bx ax =+的交点为A ，与x 轴的交点分别为B ，C ，点A ，B ，C 的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，且1230x x x ¹．若0a b +<，20a b +>，则下列说法正确的是（ ）A ．231x x x <<B ．321x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数()2(2)03y x x =-££的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数()21034y x bx c x =++££图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b =．3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线()230y ax ax c a =++¹与y 轴交于点A ．(1)当1a =，2c =，求该抛物线与x 轴交点坐标；(2)若1a =，点(),P m n 在二次函数抛物线23y ax ax c =++的图象上，且0n c ->，试求m 的值；(3)若点A 的坐标是()0,1，当2c c -<时，抛物线与x 轴只有一个公共点，求a 的取值范围．4．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）在书本阅读材料中提到利用几何画板可以探索函数2y ax bx c =++的系数a ，b ，c 与图像的关系．如图1，在几何画板软件中绘制一个二次函数的图像的具体步骤如下：步骤一：在直角坐标系内的x 轴上取任意三个点A （A 不在原点），B ，C ，度量三个点的横坐标，分别记为a ，b ，c ；步骤二：绘制函数2y ax bx c =++；步骤三：任意移动A ，B ，C 三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化．问题：如图2，将点A 移动到点()1,0-的位置．(1)若点B 移动到点()4,0-，请求出此时抛物线的对称轴；(2)在点B ，C 移动的过程中，且满足AB AC =，是否存在某一位置使得抛物线与x 轴只有一个交点，若存在，请求出此时点B 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象经过点(1,1)A -和(2,4)B .(1)求a ，b 满足的关系式；(2)当自变量x 的值满足12x -££时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；(3)若函数图象与x 轴无交点，求2a b +的取值范围.【压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）】1．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%．经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数关系120y x =-+．有下列结论：①销售单价可以是90元；②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021·江苏连云港·中考真题）某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．3．（2024·四川德阳·三模）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x 元，日销售量为P 盒．(1)当60x =时，P 等于______；(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W （元）最大？最大利润是多少？(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x 的范围为6080x ££．”你认为他们的说法正确吗？4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？5．（2023·湖北省直辖县级单位·一模）某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量y （件）与售价x （元/件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x （元/件）456y （件）1000095009000(1)求y 关于x 的函数关系式(不求自变量的取值范围)；(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？(3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数m 元()15m ££，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数m 的值．【压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）】1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）以初速度v （单位：m/s ）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系是24.9h vt t =-．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为9.8m/s ，经过a 秒后，将第二个相同材质的小球从地面以初速度4.9m/s 竖直上抛．若两球能在空中相遇，则a 的取值范围为（ ）A ．34a <<B ．12a <<C ．324a <<D 2a <<2．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长 2.7m AB =，宽 1.5m AD =的矩形，E F ，分别是AB 和CD 的中点，在E ，F 处设置高0.15m HE =的拦网．一次运动员在AD 端发球，在P 点击打乒乓球后经过桌面O 点反弹后的运行路径近似二次项系数427a =-的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O 在到桌面底边AD 的距离为0.1m ，到桌面侧边AB 的距离为0.1m 处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于BC ），此时球在越过拦网时正好比拦网上端GH 高0.1m ，则乒乓球落在对面的落点Q 到拦网EF 的距离为 m ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O 点反弹后飞向对方桌面，落点Q 在距离BC 为0.2m 的Q 点处，此时QC 的长度为 m ．3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知点(2,2)A -和点(4,)B n -在抛物线2(0)y ax a =¹上．(1)求a 的值及点B 的坐标；(2)点P 在y 轴上，且ABP V 是以AB 为直角边的三角形，求点P 的坐标；(3)将抛物线2(0)y ax a =¹向右并向下平移，记平移后点A 的对应点为A ¢，点B 的对应点为B ¢，若四边形ABB A ¢¢为正方形，求此时抛物线的表达式．4．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图所示，在ABC V 中，90B Ð=°，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度运动．P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当P 、Q 两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为s t ．(0)t ≥(1)当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ；(2)求出V BPQ S 关于t 的函数解析式，计算P 、Q 出发几秒时，V BPQ S 有最大值，并求出这个最大面积？5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()3,0A -、()1,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式．(2)已知点D 为y 轴上一点，点D 关于直线AC 的对称点为1D ．①当点1D 刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点D 的坐标．②点P 在抛物线上（点P 不与点A 、点C 重合），连接PD ，1PD ，1DD ，是否存在点P ，使1PDD △为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【压轴题型八 二次函数中的存在性问题】1．（2024·浙江宁波·一模）新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数22y x x c =-+（c 为常数）在13-<<的图象上存在两个“和谐点”，则c 的取值范围是（ ）A ．2574c <<B ．2544c <<C ．11c -<<D ．2504c <<2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(如图2所示)，桥面CB ∥OA ，其抛物线解析式为()218020320y x =--+，抛物线上点A 离桥面距离22AB =米，若存在一点E 使得38CE CB =，则点E 到抛物线的距离ED = 米．3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数y =的图象与坐标轴交于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++的图象经过A 、B 两点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 为抛物线上一动点，在直线AB 上方是否存在点P 使PAB V 的面积最大？若存在，请求出PAB V 面积的最大值及点P 的坐标，请说明理由．4．（23-24九年级上·黑龙江伊春·期末）如图，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为．(1)求此抛物线和直线AB 的表达式；(2)设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M ，N ，C ，E 是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由；5．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，直线212y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线23103y ax x c =++经过B C ，两点，与x 轴交于另一点A ，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过E 作EF y ∥轴交x 轴于点F ，交直线BC 于点M ．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EM 的最大值；(3)在（2）的条件下，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P Q A M ，，，为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题】1．（2024·浙江杭州·一模）二次函数21y x bx c =++（b ，c 是常数）过()2,0-，()0m ,两个不重合的点，一次函数2y x d =+过()0m ,和二次函数的顶点，则m 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．22．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0)ab ¹经过()()11,0,,0x ，一次函数y a x c =+经过()2,0x ，一次函数y b x c =+经过()3,0x ．已知1254,1x m x m -<<-<<+，31n x n <<+，其中,m n 为整数，则m n +的值为 ．3．（2024·浙江舟山·三模）已知一次函数5y x =-的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，将点A 向左平移4个单位，得到点A ¢，且点A ¢恰好在二次函数23y ax bx =+-（a 、b 是常数，0a ¹）图象的对称轴上．(1)用含a 的代数式表示b ．(2)求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标．(3)若二次函数图象与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数121y x =+的图象与二次函数22y x ax b =++的图象相交于A ，B 两点，点A 坐标为()1m -，，点B 坐标为()25，．(1)求m 的值以及二次函数的解析式．(2)根据图象，直接写出当1y >2y 时x 的取值范围．(3)若将二次函数向上平移t 个单位长度后，得到的图象与x 轴没有交点，求t 的取值范围．5．（2023·浙江金华·三模）如图，一次函数()00b y x b a b a=-+>>，与坐标轴交于A ，B 两点，以A 为顶点的抛物线过点B ，过点B 作y 轴的垂线交该抛物线另一点于点D ，以AB ，AD 为边构造ABCD Y ，延长BC 交抛物线于点E ．(1)若2a b ==，如图1．①求该抛物线的表达式．②求点E 的坐标．(2)如图2，请问BE AB 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【压轴题型十 二次函数的翻折问题】1．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，过点C 作直线l 垂直于y 轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ，点()1,M m y ，()21,N m y +为图形G 上两点，若12y y >，则m 的取值范围是（ ）A ．102m £<B 1m <<C m <<D 12m <<2．（2023江苏南通·模拟预测）如图，将二次函数2y x m =-（其中0m >）的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为1y ，另有一次函数2y x =+的图象记为2y ，若1y 与2y 恰有两个交点时，则m 的范围是 ．3．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线22(0)y x x m m =-++>与y 轴交于A 点，其顶点为D ．直线122y x m =--分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，与直线AD 相交于E 点．(1)求A 、D 的坐标（用m 的代数式表示）；(2)将ACE V 沿着y 轴翻折，若点E 的对称点P 恰好落在抛物线上，求m 的值；(3)抛物线22(0)y x x m m =-++>上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数223y x x =--在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M ．(1)若直线12y x n =+与图象M 恰好有3个交点．求n 的值．(2)若直线12y x n =+与图象M 恰好有2个交点．求n 的取值范围．5．（2023·浙江杭州·二模）已知二次函数2420y mx mx m m =-+-¹（），且与x 轴交于不同点M 、N ．(1)若二次函数图象经过点30A （，），①求二次函数的表达式和顶点坐标；②将抛物线在05x ££之间的那部分函数图象沿直线5x =翻折，将抛物线翻折前后的这两部分合记为图象F ，若直线y kx n =+过点151C （，），且与图象F 恰有两个交点，求n 的取值范围；(2)若0m ＜，当4MN £时，求实数m 的取值范围．【压轴题型十一 二次函数最值问题】1．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数222y x x -=+， 当0x t ££时，函数最大值为M ，最小值为N ．若5M N =，则t 的值为 （ ）A ．0.5B ．1.5C ．3D ．42．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数()2211y ax b x =--+（a ，b 为常数且0a >），当21x -££-时，y 随x 的增大而增大，则ab 的最大值为 ．3．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 23y x bx =++的图象经过点()()()12,,,43A x n B x t C -,，．(1)求二次函数的函数表达式；(2)当 212x x -=时，①若 0nt £，求 t n -的取值范围；②设直线AB 的函数表达式为y kx m =+，求m 的最大值．4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数214y x bx c =-++的图象经过原点O 和点()8,0A t +，其中0t ³．(1)当0=t 时．①求y 关于x 的函数解析式；求出当x 为何值时，y 有最大值？最大值为多少？②当x a =和x b =时()a b ¹，函数值相等，求a 的值．(2)当0t >时，在08x ££范围内，y 有最大值18，求相应的t 和x 的值．5．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）设二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，均为常数，且0a ¹）．已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：x L3-2-1-01L y L n 5a -n a-4a L (1)若1a =．①求二次函数的表达式，并写出顶点坐标；②已知点()1,m y 与()23,m y -都在该二次函数图象上，且12y y ³，请求出1y 的最小值．(2)将该二次函数图象向右平移k （02k <<）个单位，若平移后的二次函数图象在20x -££的范围内有最小值为3116a -，求k 的值．【压轴题型十二 二次函数的综合】1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线218333y x x =+-与x 轴交于点A 和点B 两点，与y 轴交于点C ，D 点为抛物线上第三象限内一动点，当2180ACD ABC Ð+Ð=°时，点D 的坐标为（ ）A ．(8,3)--B ．(,)--1673C ．(6,7)--D ．(5,8)--2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x ，y 满足：24x y k =+，24y x k =+（k 为常数）且x y ¹，则称点(),M x y 为“好点”．（1）若()5,P m 是“好点”，则m ．（2）在32x -<<的范围内，若二次函数23y x x c =-+的图象上至少存在一个“好点”，则c 的取值范围为 ．3（2024·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线()2233y mx m x m =--+-（m 是常数，且0m ¹）经过点()2,4，且与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．(1)求出二次函数的表达式．(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点(),P a p 和(),Q b q ，与直线AB 交于点(),c n ，若a c b <<，直接写出a b c ++的取值范围．(3)当13x t =-，2x t =，33x t =+时，对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ．求证：123454y y y ++³．4．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线21:4C y x =，()01F ，，点()11,A x y ，()22,B x y 为抛物线上第一象限内的两点，且满足FA FB ^，以FA FB 、为边向右作矩形FAPB ，若P 点纵坐标为5．(1)求12y y +的值；(2)求12x x 的值；(3)求矩形FAPB 的面积．5．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B -和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q æöç÷èø，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，若BME AOM V V ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH V 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值．。
二次函数压轴题(二)【图像与取值范围】
二次函数(二）2017、８１、在平面直角坐标系xOｙ中,抛物线与x轴交于、两点,点得坐标为.(1）求点坐标；(2)直线经过点、①求直线与抛物线得解析式；②点在抛物线上,过点作轴得垂线，垂足为．将抛物线在直线上方得部分沿直线翻折,图象得其余部分保持不变，得到一个新图象．请结合图象求:当图象与直线只有两个公共点时,得取值范围2、已知抛物线.（１）求证:无论k为任何实数,该抛物线与x轴都有两个交点;（2)在抛物线上有一点Ｐ(m,n）,n<０，OP=,且线段OP与ｘ轴正半轴所夹锐角得正弦值为,求该抛物线得解析式;(3)将(２）中得抛物线x轴上方得部分沿ｘ轴翻折,与原图象得另一部分组成一个新得图形M,当直线与图形M有四个交点时,求b得取值范围、3、已知关于得一元二次方程．(1)求证:无论为任何实数,此方程总有两个不相等得实数根;(２)抛物线与轴得一个交点得横坐标为,其中,将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位,得到抛物线.求抛物线得解析式；（３)点Ａ(m,n）与Ｂ(ｎ,m)都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合,求代数式得值.４、关于得一元二次方程.(1)求证：无论为何值时,方程总有一个根大于;(2)若函数与ｘ轴有且只有一个交点,求得值;(3)在(2)得条件下,将函数得图象沿直线翻折,得到新得函数图象.在轴上分别有点(t,０),(0,2ｔ）,其中，当线段与函数图象只有一个公共点时，求得值.５、已知关于x得一元二次方程.(１)求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根;(２)关于x得二次函数得图象经过与两点.①求这个二次函数得解析式;②把①中得抛物线沿x轴翻折后,再向左平移2个单位,向上平移８个单位得到抛物线．设抛物线交x轴于Ｍ、Ｎ两点(点M在点N得左侧),点Ｐ(a,b)为抛物线在x轴上方部分图象上得一个动点、当∠MPN≤４5°时,求a得取值范围．６、在平面直角坐标系中,抛物线过点，,与轴交于点.(1）求抛物线得函数表达式;（2)若点在抛物线得对称轴上，当得周长最小时,求点得坐标；(３)在抛物线得对称轴上就是否存在点,使成为以为直角边得直角三角形?若存在,求出点得坐标;若不存在,请说明理由、７.已知:关于x得一元二次方程－x２＋(ｍ＋1)ｘ+(m+2）=0（m>0).(1）求证:该方程有两个不相等得实数根;(2）当抛物线y＝－x2＋(m+1）x＋（m＋2)经过点(3,0),求该抛物线得表达式;(3)在(２)得条件下,记抛物线ｙ＝－x2+（m+1）ｘ+(m＋2）在第一象限之间得部分为图象G，如果直线y=k(x+1)＋4与图象G有公共点，请结合函数得图象,求直线y=k（x+１）+４与y轴交点得纵坐标t得取值范围.８、已知抛物线y=ax２+x+ｃ(a≠0)经过Ａ（，０）,B(2,0)两点,与y轴相交于点C，点D为该抛物线得顶点.(１)求该抛物线得解析式及点D得坐标;(2)点Ｅ就是该抛物线上一动点,位于第一象限,当点E到直线BＣ得距离为时,求E得坐标;(3)在(2)得条件下,在x轴上有一点Ｐ,且∠ＥAO+∠EPO=∠α,当tanα=2时，求Ｐ得坐标.9、在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点Ａ(-3,0)、Ｂ(1,0)两点,Ｄ就是抛物线顶点，E就是对称轴与x轴得交点、(1)求抛物线得解析式;（2)若点Ｆ与点D关于轴对称,点P就是x轴上得一个动点，过点P作ＰQ∥OF交抛物线于点Ｑ,就是否存在以点Ｏ,F,P，Ｑ为顶点得平行四边形?若存在,求出点P坐标；若不存在,请说明理由、1０、二次函数得图象过点A（－１,２），Ｂ(4,7)、（1）求二次函数得解析式;（2）若二次函数与得图象关于x轴对称,试判断二次函数得顶点就是否在直线AB上;(3)若将得图象位于A，B两点间得部分（含A,B两点)记为Ｇ,则当二次函数与Ｇ有且只有一个交点时,求m满足得条件、11、已知关于得方程.(１) 求证：无论取何值时,方程总有两个不相等得实数根;(2) 抛物线与轴交于,两点,且，抛物线得顶点为,求△ＡBC得面积;(3）在(２)得条件下,若就是整数,记抛物线在点B,Ｃ之间得部分为图象Ｇ（包含Ｂ,C两点),点D 就是图象G上得一个动点,点Ｐ就是直线上得一个动点,若线段DP得最小值就是,求得值.1２、已知关于x得一元二次方程．（１)求证:不论为任何实数时，该方程总有两个实数根;（２)若抛物线与轴交于、两点（点与点在y轴异侧)，且,求此抛物线得表达式;(3）在(2)得条件下，若抛物线向上平移个单位长度后,所得到得图象与直线没有交点,求得取值范围、1３、已知：二次函数得图象过点A(-1，0）与C（0,2)、（1)求二次函数得表达式及对称轴;(2)将二次函数得图象在直线ｙ=1上方得部分沿直线ｙ=1翻折，图象其余得部分保持不变,得到得新函数图象记为G,点M(ｍ,)在图象G上,且，求m得取值范围。
二次函数解答压轴题(共62题)(学生版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
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1．已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=（1）求二次函数的解析式；（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；（3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写出x1，x2的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）首先根据tan∠ACO=，求出OA的值，即可判断出A点的坐标；然后把A点的坐标代入y=x2+bx﹣4，求出b的值，即可判断出二次函数的解析式．（2）首先根据Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（﹣，n）；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n 的值，进而判断出Q点坐标即可．（3）根据题意，分3种情况：①当x1≤x2≤﹣时；②当x1≤﹣≤x2时；③当﹣＜x1≤x2时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x1、x2（x1＜x2），使得当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤即可．【解答】解：（1）如图1，连接AC，，∵二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，∴C点的坐标为（0，﹣4），∵tan∠ACO=，∴，又∵OC=4，∴OA=1，∴A点的坐标为（1，0），把A（1，0）代入y=x2+bx﹣4，可得0=1+b﹣4，解得b=3，∴二次函数的解析式是：y=x2+3x﹣4．（2）如图2，，∵y=x2+3x﹣4，∴抛物线的对称轴是：x=﹣，∵Q为抛物线对称轴上的一点，∴设点Q的坐标为（﹣，n），∵抛物线的对称轴平行于y轴，∴∠CQP=∠OCQ，又∵∠OQC=∠CQP，∴∠OQC=∠OCQ，∴OQ=OC，∴，∴，解得n=±，∴Q点坐标是（﹣，）或（﹣，﹣）．（3）①当x1≤x2≤﹣时，二次函数y=x2+3x﹣4单调递减，∵y的取值范围为≤y≤，∴由+3x1﹣4=，解得x1=﹣3，﹣2，2，由+3x2﹣4=，解得x2=﹣3，﹣2，2，∵x1≤x2≤﹣，∴②当x1≤﹣≤x2时，Ⅰ、当﹣时，可得x1+x2≤﹣3，∵y的取值范围为≤y≤，∴由（1），可得，由（2），可得x1=﹣3，﹣2，2，∵x1≤﹣＜x2，，∴没有满足题意的x1、x2．Ⅰ、当﹣时，可得x1+x2＞﹣3，∵y的取值范围为≤y≤，∴解得∵x1+x2=≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3，∴没有满足题意的x1、x2．③当﹣＜x1≤x2时，二次函数y=x2+3x﹣4单调递增，∵y的取值范围为≤y≤，∴（1）×x2﹣（2）×x1，可得（x1﹣x2）（x1x2+4）=0，∵x1﹣x2≠0，∴x1x2+4=0，∴…（1），把（3）代入（1），可得，∵， ∴， ∴，∵， ∴没有满足题意的x 1、x 2．综上，可得x 1=﹣3，x 2=﹣2时，当x 1≤x ≤x 2时，y 的取值范围为≤y ≤．【点评】（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．2．已知抛物线经过A （﹣3，0），B （1，0），C （2，）三点，其对称轴交x 轴于点H ，一次函数y=kx +b （k ≠0）的图象经过点C ，与抛物线交于另一点D （点D 在点C 的左边），与抛物线的对称轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当S △EOC =S △EAB 时，求一次函数的解析式；（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k 的取值范围．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）代入y=ax2+bx+c，解方程组即可；（2）把C点坐标代入直线CD，由S△EOC =S△EAB得关于k、b的方程组，解方程组即可；（3）设CD的解析式为y=kx+﹣2k，当y=0和x=﹣1时，求出FH、EH、AH，根据tanα＞tanβ列不等式可求出k的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣；（2）如图1所示，将C点坐标代入直线CD，得2k+b=①．当x=0时，y=b，即F（0，b），当x=﹣1时，y=﹣k+b，即E（﹣1，﹣k+b）．由S△EOC =S△EAB时，得×[2﹣（﹣1）]|b|=[1﹣（﹣3）]|（﹣k+b）|②．联立方程①②，得，解得或故当S△EOC =S△EAB时，一次函数的解析式为y=x+或y=．（3）如图2所示，①当E点在x轴上方时，如图2所示，当α=β时，∵∠EHA=90°，∴∠AEC=90°，∴k AE=﹣，∵A（﹣3，0），E（﹣1，﹣k+b），∴=﹣，即k2﹣bk﹣2=0，联立方程解得k=（k=舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越大，∠EAH的读数越来越小，当E点和H 点重合时（如图3所示），α和β均等于0，此时联立方程，解得因此当＜k＜且k≠0时，α＞β；②当E点在x轴下方时，如图4所示，当α=β时，∵∠EHA=90°，∴∠AEC=90°，根据①可得此时k=（k=舍去），随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越小，∠EAH的读数越来越大，因此当＜k＜时，α＞β．综上所述可得，当α＞β时，可得取值范围为﹣＜k＜（k≠0）或＜k＜时．【点评】本题考查的是一次函数、二次函数和锐角三角函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式和锐角三角函数的概念是解题的关键．3．阅读理解抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP 的取值范围．【分析】（1）如图1，只需令x=0，即可得到点C的坐标．根据题意可得AC=AE，从而有∠AEC=∠ACE．易证AE∥CO，从而有∠AEC=∠OCE，即可得到∠ACE=∠OCE，同理可得∠OCF=∠BCF，然后利用平角的定义即可证到∠ECF=90°；（2）①过点P作PH⊥EF于H，分点H在线段EF上（如图2①）和点H在线段EF 的延长线（或反向延长线）上（如图2②）两种情况讨论，然后只需运用勾股定理及平方差公式即可证到PE2+PF2﹣2PM2=2EM2，即PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②连接CD，PM，如图3．易证ⅠCEDF是矩形，从而得到M是CD的中点，且MC=EM，然后根据①中的结论，可得：在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．由MC=EM可得PC2+PD2=PE2+PF2．根据PE=PF=3可求得PC2+PD2=18．根据1＜PD＜2可得1＜PD2＜4，即1＜18﹣PC2＜4，从而可求出PC 的取值范围．【解答】解：（1）当x=0时，y=k•0+1=1，则点C的坐标为（0，1）．根据题意可得：AC=AE，∴∠AEC=∠ACE．∵AE⊥EF，CO⊥EF，∴AE∥CO，∴∠AEC=∠OCE，∴∠ACE=∠OCE．同理可得：∠OCF=∠BCF．∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，∴2∠OCE+2∠OCF=180°，∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°；（2）①过点P作PH⊥EF于H，Ⅰ．若点H在线段EF上，如图2①．∵M为EF中点，∴EM=FM=EF．根据勾股定理可得：PE2+PF2﹣2PM2=PH2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2=2PH2+EH2+HF2﹣2（PH2+MH2）=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2=（EH+MH）（EH﹣MH）+（HF+MH）（HF﹣MH）=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）=EM（EH+MH）+EM（HF﹣MH）=EM（EH+MH+HF﹣MH）=EM•EF=2EM2，∴PE2+PF2=2（PM2+EM2）；Ⅰ．若点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上，如图2②．同理可得：PE2+PF2=2（PM2+EM2）．综上所述：当点H在直线EF上时，都有PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②连接CD、PM，如图3．∵∠ECF=90°，∴ⅠCEDF是矩形，∵M是EF的中点，∴M是CD的中点，且MC=EM．由①中的结论可得：在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．∵MC=EM，∴PC2+PD2=PE2+PF2．∵PE=PF=3，∴PC2+PD2=18．∵1＜PD＜2，∴1＜PD2＜4，∴1＜18﹣PC2＜4，∴14＜PC2＜17．∵PC＞0，∴＜PC＜．【点评】本题主要考查了二次函数的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的定义，矩形的判定与性质、勾股定理、解不等式、平方差公式等知识，还考查了阅读理解能力、运用已有经验解决问题的能力，第（2）小题中，运用勾股定理是解决第①小题的关键，运用①中的结论是解决第②小题的关键．4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣QO|的取值范围．【分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（0，6）；由题意得：BC是∠ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6∵AB=10，∴AH=4，设OC=x，则AC=8﹣x由勾股定理得：x=3∴点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；（3）如图，由对称性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，|QA﹣QO|取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，|QA﹣QO|取得最小值0．【解答】解：（1）点C的坐标为（3，0）．（1分）∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6.4分）设点P的坐标为（x，﹣2x+6）．解法一：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．（5分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P（6分）解法二：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．（5分）∵x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．（6分）（3）|QA﹣QO|的取值范围是．（8分）当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA ﹣QO|=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．【点评】此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．5．如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．【分析】（1）求解析式一般采用待定系数法，通过函数上的点满足方程求出．（2）平行四边形对边平行且相等，恰得MN为OF，即为中位线，进而横坐标易得，D为x轴上的点，所以纵坐标为0．（3）已知S范围求横坐标的范围，那么表示S是关键．由PH不为平行于x轴或y 轴的线段，所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题，此法底为两点纵坐标得差，高为横坐标的差，进而可表示出S，但要注意，当Q在O点右边时，所求三角形为两三角形的差．得关系式再代入，求解不等式即可．另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R、E之间的限制．【解答】解：（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°•GO==，IO=cos30°•GO==3，JE=cos30°•OE==，JO=sin30°•OE==1，∴G（﹣，3），E（，1），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵经过G、O、E三点，∴，解得，∴y=x2﹣x．（2）∵四边形OHMN为平行四边形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN为△OGF的中位线，∴x D=x N=•x G=﹣，∴D（﹣，0）．（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q在抛物线y=x2﹣x上，∴设Q的坐标为（x，x2﹣x），∵Q在R、E两点之间运动，∴﹣＜x＜．①当﹣＜x＜0时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P），S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q），∴S△PQH =S△PKQ+S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P）+•（y K﹣y Q）•（x H﹣x Q）=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x P）=•[﹣x+2﹣（x2﹣x）]•[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②当0≤x＜时，如图3，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），同理S△PQH =S△PKQ﹣S△HKQ=•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x P）﹣•（y K﹣y Q）•（x Q﹣x H）=•（y K﹣y Q）•（x H﹣x P）=﹣x2+．综上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，当S=时，对应的x=﹣和，因此由S=﹣x2+的图象可得﹣＜x＜时满足，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．【点评】本题考查了一次函数、二次函数性质与图象，直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点．注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点，需要加强理解运用．。