二次函数压轴题分类精选---取值范围

1．已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=

（1）求二次函数的解析式；

（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；

（3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？若存在，直接写出x1，x2的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）首先根据tan∠ACO=，求出OA的值，即可判断出A点的坐标；然后把A点的坐标代入y=x2+bx﹣4，求出b的值，即可判断出二次函数的解析式．（2）首先根据Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（﹣，n）；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n 的值，进而判断出Q点坐标即可．

（3）根据题意，分3种情况：①当x1≤x2≤﹣时；②当x1≤﹣≤x2时；③当﹣

＜x1≤x2时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x1、x2（x1＜x2），使得当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤即可．

【解答】解：（1）如图1，连接AC，

，

∵二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，∴C点的坐标为（0，﹣4），

∵tan∠ACO=，

∴，

又∵OC=4，

∴OA=1，

∴A点的坐标为（1，0），

把A（1，0）代入y=x2+bx﹣4，

可得0=1+b﹣4，

解得b=3，

∴二次函数的解析式是：y=x2+3x﹣4．

（2）如图2，

，

∵y=x2+3x﹣4，

∴抛物线的对称轴是：x=﹣，

∵Q为抛物线对称轴上的一点，

∴设点Q的坐标为（﹣，n），

∵抛物线的对称轴平行于y轴，

∴∠CQP=∠OCQ，

又∵∠OQC=∠CQP，

∴∠OQC=∠OCQ，

∴OQ=OC，

∴，

∴，

解得n=±，

∴Q点坐标是（﹣，）或（﹣，﹣）．

（3）①当x1≤x2≤﹣时，二次函数y=x2+3x﹣4单调递减，∵y的取值范围为≤y≤，

∴

由+3x1﹣4=，

解得x1=﹣3，﹣2，2，

由+3x2﹣4=，

解得x2=﹣3，﹣2，2，

∵x1≤x2≤﹣，

∴

②当x1≤﹣≤x2时，

Ⅰ、当﹣时，可得x1+x2≤﹣3，

∵y的取值范围为≤y≤，∴

由（1），可得，

由（2），可得x1=﹣3，﹣2，2，∵x1≤﹣＜x2，，

∴没有满足题意的x1、x2．

Ⅰ、当﹣时，

可得x1+x2＞﹣3，

∵y的取值范围为≤y≤，

∴

解得

∵x1+x2=≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3，∴没有满足题意的x1、x2．

③当﹣＜x1≤x2时，

二次函数y=x2+3x﹣4单调递增，

∵y的取值范围为≤y≤，

∴

（1）×x2﹣（2）×x1，可得

（x1﹣x2）（x1x2+4）=0，

∵x1﹣x2≠0，

∴x1x2+4=0，

∴…（1），

把（3）代入（1），可得

，

∵

， ∴

， ∴

，

∵， ∴没有满足题意的x 1、x 2．

综上，可得

x 1=﹣3，x 2=﹣2时，当x 1≤x ≤x 2时，y 的取值范围为≤y ≤．

【点评】（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．

（2）此题还考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．

2．已知抛物线经过A （﹣3，0），B （1，0），C （2，）三点，其对称轴交x 轴于点H ，一次函数y=kx +b （k ≠0）的图象经过点C ，与抛物线交于另一点D （点D 在点C 的左边），与抛物线的对称轴交于点E ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当S △EOC =S △EAB 时，求一次函数的解析式；

（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k 的取值范围．

【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）代入y=ax2+bx+c，解方程组即可；

（2）把C点坐标代入直线CD，由S

△EOC =S

△EAB

得关于k、b的方程组，解方程组即可；

（3）设CD的解析式为y=kx+﹣2k，当y=0和x=﹣1时，求出FH、EH、AH，根据tanα＞tanβ列不等式可求出k的取值范围．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣；

（2）如图1所示，

将C点坐标代入直线CD，得

2k+b=①．

当x=0时，y=b，即F（0，b），

当x=﹣1时，y=﹣k+b，即E（﹣1，﹣k+b）．

由S

△EOC =S

△EAB

时，得×[2﹣（﹣1）]|b|=[1﹣（﹣3）]|（﹣k+b）|②．

联立方程①②，得

，解得或

故当S

△EOC =S

△EAB

时，一次函数的解析式为y=x+或y=．

（3）如图2所示，

①当E点在x轴上方时，如图2所示，

当α=β时，∵∠EHA=90°，∴∠AEC=90°，

∴k AE=﹣，

∵A（﹣3，0），E（﹣1，﹣k+b），

∴=﹣，即k2﹣bk﹣2=0，

联立方程

解得k=（k=舍去），

随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越大，∠EAH的读数越来越小，当E点和H 点重合时（如图3所示），α和β均等于0，此时联立方程，解得

因此当＜k＜且k≠0时，α＞β；

②当E点在x轴下方时，如图4所示，

当α=β时，∵∠EHA=90°，∴∠AEC=90°，