高考数学专题 复数

第91炼 复数

一、基础知识：

复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，

2、几类特殊的复数：

（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等

（2）实数： 0b =

3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈

（1）2

1i =-

（2）()()12z z a c b d i ±=+++

（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=-++

注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =- （4）()()()()()()122

2a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。 4、共轭复数：z a bi =-， 对于z 而言，实部相同，虚部相反 5、复数的模：22z a b =+ 2z z z =⋅ (2

2z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等

7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。

8、处理复数要注意的几点：

（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈

（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等

二、典型例题

例1：若复数221z i i

=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）

2 D. 2

思路：需要求复数的模，那首先要化成标准形式z a bi =+，进行化简，目前需要处理的就是分式，化简再求模即可 解：()()()

21222211111i z i i i i i i i i -=+=+=+-=+++-

z ∴=

答案：A

例2： 已知复数1z i =-，则221

z z z -=-（ ） A. 2i B. 2i - C. 2 D. 2- 思路：本题可直接带入计算，也可考虑先化简再求值

解： 2222111112111z z z z z i i z z z i

--+-==--=--=----- 答案：B

例3： 设i 是虚数单位，且20141

i k i ki -=-，则实数k 等于（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 1-

思路：等号左边201421i i ==-，若化简等号右边则比较麻烦。所以考虑利用等式性质两边同乘()1ki -,然后利用复数相等的性质求出k 值 解：20141111

i k i k i ki k i ki ki --=⇔-=⇔-=-+-- 1k ∴=- 答案：D

小炼有话说：

（1）i 的指数幂呈周期性变化（周期为4)即4142434,1,,1n n n n i

i i i i i +++==-=-=.故可依照周期性的想法，将i 的较高指数幂进行降次。

（2）对于呈分式形式的复数等式，一般两种处理方法：一是对分式本身进行化简，二是利用等式性质进行“去分母”（尤其是分母形式较复杂时）

例4：复数321i z i i =-

+，在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 思路：将复数化为标准形式后再进行判断。

解：2(1)121i z i i i i i =--

=--+=--+在复平面上对应的点为()1,2--，所以在第三象限 答案：C

例5：（2013天津河东一模，1）若1a i z i

+=-是纯虚数，则实数a 的值是（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2

思路：涉及到纯虚数的概念，所以首先把z 化成标准形式，再根据纯虚数的定义即可求出a 解：()()()()()11111111222

a i i a a i a i a a z i i i i ++-+++-+====+--+ 由纯虚数可得

1012a a -=⇒= 答案：C

例6： 若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值是（ ）

A. 1

B. 2

C. 1或2

D. 1- 思路：纯虚数：实部为零且虚部不为零，所以要将a 满足的条件写全

解：Q 复数()

()2321a a a i -++-是纯虚数 2320210

a a a a ⎧-+=∴⇒=⎨-≠⎩ 答案：B

例7： 已知复数313i

z i +=，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）

A. 14

B. 12

C. 1

D. 2 思路：想到2z z z =⋅，进而只需将z 化为标准形式后求模即可 解：32

13i

i z i +==--，214z ∴= 答案：A

例8：设117,,12i a b R a bi i

-∈+=-（i 是虚数单位），则a b +的值是____________ 思路：利用等式性质两边同时乘以()12i -，进而可对照实部虚部求出,a b 解：()()1171211712i a bi a bi i i i

-+=⇔+-=-- ()()211522117273a b a a b b a i i b a b +==⎧⎧∴++-=-⇒⇒⎨⎨-=-=⎩⎩

8a b ∴+=

答案：8a b +=

例9：设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部是___________

思路：2z 要通过1z 来确定，所以考虑用待定系数法设1z a bi =+，再参与运算 解： 设1z a bi =+ ()()211z z iz a bi i a bi a b b a i ∴=+=+--=-+- 1a b ∴-=- 2z ∴的虚部是1

答案：1

例10：已知复数1z 满足()()1211z i i -+=-（i 是虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，则2z =____________

解：设22z a i =+，12z x yi =++（目的：为了更加便于计算） ()()1211z i i -+=-Q ()()()()111x yi i i x y x y i i ∴++=-⇔-++=-

0,1x y ∴==- 12z i ∴=-

()()()1222224z z i a i a a i ∴⋅=-⋅+=++- 由于12z z ⋅是实数，所以4a = 242z i ∴=+

答案：242z i =+