《证明线面平行》公开课课件

z
D1 B1
C1
设平面 BDA1的法向 x A B n ( x , y , z ) 则有 量为 x=1 x+z=0 令x=1,则得方程组的解为 y=-1 x+y=0 z=-1 故平面BDA1的法向量为 n (1,1,1)
DB (1,1,0)
oD
C
y
则显然有 n m 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？
求得平面 BDGH的法向 A 量为 m (2,2,1) x 显然有
oD
C
y
mn
B
故 平面AEH∥平面BDGF
小结：
利用向量的有关知识解决一些立体几何 的问题，是近年来很“时髦”的话题，其 原因是它把有关的“证明”转化为“程序 化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何 中的证明“线面平行”的一些例子，结合 我们以前讲述立体几何的其他问题(如：证 明垂直、求角、求距离等)，大家从中可以 进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的 空间直角坐标系及写出有关点的坐标。
用空间向量证明“平行”， 包括线面平行和面面平行。
↑
→ n
m
m
↑
nm 0
↑
n m
n
C 例1.如图：ABCD与 ABEF是正方形， CB⊥平面ABEF，H、 M G分别是AC、BF上 B 的点，且AH=GF. N 求证： E HG∥平面CBE.
D
H
A G F
C N B
a , 1-
2 2
a,0),
量为n (0,1,0), 故 HG n,而 故 HG∥平面CBE
z
H
证明：由已知得：AB、 BC、BE两两垂直，故 可建立如图所示的空 间直角坐标系o-xyz. 设正方形边长为1, AH=FG=a, 则 2 2 H(0,1- 2 a , 2 a)、 E
D
A
y
F
平面CBE
NN1∥PP1 MM1∥AA1
A
D1
C1 B1
P
M D P1 M1
N N1 B Q C
又NN1、MM1均等于边长的一半 故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1 MN∥平面AC
z 证明：建立如图 D1 所示的空间直角 C1 坐标系o-xyz A1 B1 设正方形边长为2， P 又设A1P=BQ=2x N 则P(2，2x，2)、 M Q(2-2x，2，0) o C D Q 故N(2-x, 1+x, 1), A B 而M(2, 1, 1) x 所以向量 MN (-x, x, 0)，又平面 AC 的法 向量为 n (0, 0, 1)，∴ MN n 0 ∴MN n 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC
例2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， A1 P、Q分别是A1B1和 BC上的动点，且 A1P=BQ，M是AB1 的中点，N是PQ的 中点. 求证： A MN∥平面AC.
M是中点，N是中点
D1
C1
B1
P
M D
N Q R B C
MN∥RQ
MN∥平面AC
作PP1⊥AB于P1， 作MM1 ⊥AB于M1，A1 连结QP1， 作NN1⊥ QP1于N1， 连结M1N1
y
例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证： A 1 平面A1BD∥平面CB1D1
平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
D1
B1
C1
D A B
C
于是平面A1BD∥平面CB1D1
证明：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1， A1 则向量 DA1 (1,0,1)
作业： 1.在正方体ABCDA1 A1B1C1D1中,E、F 分别是A1D1 、 BB1 的中点，问:在边 CC1上是否存在一 点P，使AC∥平面 A EFP？若存在，求 出P的位置；若不 存在，请说明理由。
D1
E
C1
B1 P D
F B C
2.在四棱锥P-ABCD中， P 底ABCD是正方形， 且PA=PB=PC= M PD=AB=BC= CD =DA, M、N分别 D 是PA、BD上的 A 动点， 且 PM:MA=BN:ND。问： 直线MN与平面PBC有什 么关系？请证明你的结论.
MH∥AB,NG ∥AB AH=FG CH=BG MH=NG
MH∥NG CH:CA=BG:BF
PH∥CB,PG∥BE
平面HPG∥平面CBE
C
D
H B E G
HG∥平面CBE
P
F
A
C
oB G
x
2 2 (1 a,0, a) ,而平面CBE的法向 故 HG H 2 2
G(1-
2 2
D1 HG F B1来自C1A1E
D A B
C
AD∥GF，AD=GF 平行四边形ADGE AE∥DG 又EH∥B1D1，GF∥B1D1 EH∥GF
故得平面AEH∥平面BDGF
略证：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz A1 则求得平面 AEF的法向 量为 n (2,2,1)
z F
D1
E
G
H C1 B1
用空间向量证(解)立体几何题
-----证明线面平行
用空间向量证(解)立体几何题 是现阶段的热门话题 。它可以把一 些复杂的证明或计算题用“程序 化”的计算来给出解答。
前段时间我们研究了用空间向量求 角(包括线线角、线面角和面面角)、求 距离(包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离)和证明垂直(包括线线 垂直、线面垂直和面面垂直)。
同理可得平面 CB1D 1的法向量为m (1,1,1)
通过本例的练习，同学们要进一步 掌握平面法向量的求法：即用平面内 的两个相交向量与假设的法向量求数 量积等于0，利用解方程组的方法求出 平面法向量(在解的过程中可令其中一 个未知数为某个数)。
例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF