第三讲 简单优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
简单的优化模型
分析问题中的约束条 件
从问题中分析出各种约束条件，如资 源限制、时间限制、物理条件等。
02
将约束条件转化为数 学表达式
将上述约束条件转化为数学表达式， 如不等式、等式等。
03
将约束条件加入目标 函数中
将上述数学表达式加入目标函数中， 作为目标函数的约束条件。
选择适当的变量类型和范围
确定变量的类型和范围
03
优化算法的选择
梯度下降法
1 2
基本概念
梯度下降法是一种基于梯度下降的优化算法， 通过迭代计算函数梯度，逐步逼近函数的最小 值点。
应用场景
适用于凸函数或非凸函数，尤其在大数据处理 和机器学习领域，用于优化损失函数。
3
注意事项
在处理非凸函数时，可能会陷入局部最小值点 ，需要结合全局优化算法使用。
简单的优化模型
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 优化模型的分类 • 优化算法的选择 • 优化模型的建立 • 应用案例展示
01
引言
定义和重要性
定义
优化模型是一套用于描述、分析和解决特定问题的数学 模型，通过采用数学方法和算法，寻找最优解决方案。
重要性
优化模型在各行各业都有广泛的应用，如制造业、物流 、金融等。通过优化模型，可以提高效率、降低成本、 增加效益，为企业和社会创造价值。
金融投资优化模型
要点一
总结词
提高投资收益、降低投资风险
要点二
详细描述
金融投资优化模型是针对金融投资领域的一种优化模型 。它通过优化投资组合，提高投资收益、降低投资风险 。该模型考虑了多种资产价格波动、相关性等因素，并 利用统计学习或机器学习算法计算出最优的投资组合方 案。应用该模型可以帮助投资者在保证本金安全的前提 下获得更高的投资收益。
简单优化模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶 俊编制
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。
• 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。
每天费用5000元
• 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500 元，准备费5000元，总计9500元。
允许 T ' 缺货
模型
Q'
2c1
c 2
c 3
rc2 c3
2c1r c3 c2 c2 c3
不允 许缺 货模 型
T 2c1 rc2
Q rT 2c1r c2
记 c2 c3
c3
T T , Q Q
不 允
1 T ' T , Q' Q c3
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
10 0
0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
模型应用
c2 T,Q
r T ,Q
c1=5000, c2=1，r=100
• 回答问题
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
• 经济批量订货公式（EOQ公式）
用于订货、供应、存贮情形
每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到 零时，Q件立即到货。
单变量优化模型
3.2 模型参数的敏感性分析
问题：对于假设 r=0.01,g=5,当价格因子和品质因子在什么范围 变化是，最优售出时间t=8是(200 gt )(0.65 rt ) 0.45t 0.65 g 200r 0.45 t (r , g ) 2 gr
t 0
3.2 模型参数敏感性分析
• 一头重200磅的猪每天增重5磅, 饲养每天花费45美分. 猪的市场价格是每磅
65美分,但价格每天下降1美分,问: 何时出售收益最大?
养殖猪的品质: 猪的 重量每天的增加因子 g
P(t ) (200 5t )(0.65 0.01t ) 0.45t
5 1 0.618 2
定义 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义， 满足
1)在[a,b]上f(x)有极小点x*:
xa ,b
min f x f x*
2)函数f(x)在x*处是左减右增： 对a≤x1≤x2≤b, 有 当x2 ≤ x*时，f(x1)> f(x2) 当x1 ≥ x*时，f(x1)< f(x2)
最优决策: 最 优出售时间
topt
市场价格因素: 猪肉价 格每天降价因子 r
P r , g (t ) (200 gt )(0.65 rt ) 0.45t
问题:当市场价格因素或养殖猪的品质发生变化时, 最优决策是否对这些变化敏感?
3.2 模型参数的敏感性分析
• 一头重200磅的猪每天增重5磅, 饲养每天花费45美分. 猪的市场价格是每磅
min f ( x) x 4 5x3 4x 2 6x 60
120
优点: 算法简单 缺点: 搜索次数 多, 接近极小值 点时反复搜索
100
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
深度学习中的模型优化方法
深度学习中的模型优化方法深度学习是一种以神经网络为基础的机器学习方法，已经成为人工智能领域的重要分支。
在深度学习中，提高模型的性能通常需要进行模型的优化，以便在训练数据上取得更好的结果。
在本文中，我们将讨论深度学习中的模型优化方法。
一、损失函数在深度学习中，我们需要优化一个损失函数，以便在训练数据上得到更好的结果。
损失函数可以看作是一个衡量模型在某个任务上表现的指标，通过最小化损失函数，可以使模型在这个任务上表现更好。
常见的损失函数包括均方误差、交叉熵损失、负对数似然损失等等。
选择合适的损失函数通常需要考虑所要解决的任务、模型的结构以及数据的特征等因素。
二、梯度下降梯度下降是一种常用的模型优化方法。
它利用损失函数关于模型参数的梯度信息来更新模型参数，以使得损失函数不断减小。
具体地，梯度下降算法的更新规则如下：θ<sub>t+1</sub> = θ<sub>t</sub> -α∇<sub>θ</sub>L(θ<sub>t</sub>)其中，θ表示模型的参数，L表示损失函数，α表示学习率，∇<sub>θ</sub>L(θ<sub>t</sub>)表示损失函数关于θ在点θ<sub>t</sub>处的梯度。
梯度下降算法是一种迭代算法，每次更新参数时都需要计算梯度。
当损失函数是凸的时，梯度下降可以保证收敛到全局最优解。
但当损失函数是非凸时，梯度下降可能会陷入局部最优解。
三、随机梯度下降随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）是一种变种的梯度下降方法。
与梯度下降每次都需要计算所有样本的梯度不同，SGD每次只计算一个样本的梯度，然后更新模型参数。
SGD的更新规则如下：θ<sub>t+1</sub> = θ<sub>t</sub> -α∇<sub>θ</sub>L(θ<sub>t</sub>, x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>)其中，(x<sub>i</sub>, y<sub>i</sub>)表示训练集中的一个样本。
第三讲 DPS应用(4、数学模型模拟分析)
一、非线性回归模型
一元非线性回归模型
实例：
先输入数据：行为样本， 列为变量；定义数据块时 要注意一元非线性回归只 允许定义2 列数据：第一 列为自变量，第二列为因 变量。
以测定的某种肉鸡在良好 生长条件下生长过程数据， 建立Logistic 生长方程为 例。
定义数据块(图阴影区)。
一、非线性回归模型
如果拟合效果不好，可选用其它的曲线类型，或 更改参数的初始值后重新拟合，并从中选择一个 较优的模型。
一、非线性回归模型
非线性回归分析
（1）普通非线性模型 例：研究“岱字棉”自播种至齐苗(以80%出苗
为准)期的天数(Y)和日平均土温(X，℃)的关系，
经试验得到数据后欲建非线性经验模型(莫惠栋 984)。 根据有效积温模型，描述自播种至齐苗期 天数和日平均土温相互关系最直观的回归方程的 数学表达形式为：
分析结果可以作出如下解释：
二、数学模型模拟与优化 第1 阶段，灵敏度大于1，这时的边际产量大于平均效应产量，且平均产量
效应是增加的，当肥料投入量达到10 个单位时，平均效应产量达到最高点。
该点的x 值约为10。
第2 阶段，灵敏度小于1 但仍大于0，目标函数在该阶段的终点达到最大值，
而边际效应值下降到0。这时的投入x 约为14。
第3 阶段，灵敏度小于0，目标函数趋于下降，平均效应虽为正值，但边际 效应为负。
二、数学模型模拟与优化
模型优化
所谓数学模型优化，就是寻求在什么条件下，模型的 目标函数达到最大(或最小)，即求函数的极值问题。
生产实践中的所谓优化问题，只要经验模型的目标函 数有明显的表达式，一般可用微分法、变分法、最大 (最小)值原理等方法求解，叫做间接寻优。如果目标 函数表达式过于复杂甚至根本没有明显的表达式，则 用数值方法或“试验最优化”等直接方法求解，叫做 直接寻优。
常见优化模型范文
常见优化模型范文在机器学习和数据科学领域中，为了获取更好的模型性能和效果，常见的优化模型方法有很多。
以下是一些常见的优化模型方法，包括参数调整、特征选择、模型集成、数据清洗和转换等。
1. 参数调整：在机器学习算法中，有很多参数可以调整以获得更好的模型性能。
例如，对于支持向量机（SVM），可以调整正则化参数C和核函数参数gamma。
对于决策树算法，可以调整树的深度、叶子节点的最小样本数等。
通过使用交叉验证的方法，可以系统地尝试不同的参数组合，并选择效果最好的参数。
2.特征选择：在建立模型时，选择恰当的特征非常重要。
特征选择可以帮助提高模型的精度和泛化能力，并减少过拟合的风险。
常见的特征选择方法包括方差选择、相关系数选择、L1正则化等。
方差选择可以通过计算特征的方差来选择稳定性较高的特征；相关系数选择可以通过计算特征与目标变量之间的相关系数来选择与目标变量相关性较高的特征；L1正则化可以通过加入L1惩罚项来鼓励模型选择少量的重要特征。
3. 模型集成：模型集成是将多个模型的预测结果进行组合，以获得更好的整体性能。
常见的集成方法包括随机森林、Adaboost、梯度提升等。
这些方法使用不同的策略来组合多个模型，以弥补单个模型的不足。
例如，随机森林采用了多个决策树进行集成，通过投票或平均的方式来确定最终结果；Adaboost则通过多轮迭代，对那些分类错误的样本增加权重，从而训练出多个分类器，最终通过加权平均的方式得到最终结果。
4.数据清洗和转换：在建立模型之前，对原始数据进行清洗和转换是非常重要的。
常见的数据清洗方法包括处理缺失值、处理异常值、处理重复值等。
缺失值的处理可以通过删除包含缺失值的样本，或者通过填充缺失值进行处理；异常值的处理可以通过删除异常值或者使用替代值进行处理；重复值的处理可以通过删除重复值来进行处理。
此外，数据转换也是常见的优化模型的方法，例如特征缩放、特征编码等。
特征缩放可以通过将数值特征缩放到一些范围内，以保证不同尺度的特征对模型的影响权重相当；特征编码可以将非数值特征转换为数值特征，以便模型能够处理。
简单的优化模型
智能优化算法
对于难以用数学规划方法求解的混合 型优化问题，可以考虑采用智能优化 算法，如遗传算法、粒子群算法、模 拟退火算法等。这些算法通过模拟自 然界的演化过程，利用群体搜索的方 式寻找最优解。
05
应用案例：简单的生产计 划问题
问题描述
01
02
03
生产计划问题
某制造企业需要制定一周 的生产计划，以满足客户 需求并最大化利润。
客户需求限制
每天的生产量需满足客户需求，超过需求会造成库存 积压，低于需求会损失销售机会。
库存水平限制
周一至周日每天的库存水平不能低于设定的最低库存 水平，也不能高于设定的最高库存水平。
建立数学模型
原材料供应限制
每天的生产量需考虑原材料的供应情况 ，超过供应量会造成原材料短缺，低于 供应量会影响生产计划。
在线性优化模型中，我们通常用线性不等式、等式约束以及线性目标函数来表示问 题。
线性优化模型在现实生活中的许多场景中都有广泛的应用，如资源分配、成本效益 分析等。
线性优化模型的特点
线性优化模型的一个显著特点是它的严格性，即所有的约束条件和目标函数都是 线性的。
线性优化模型的另一个特点是它的可解性，即对于给定的线性优化问题，我们可 以通过特定的算法在有限的时间内找到最优解。
02
简单整数优化模型
定义与概念
定义
简单整数优化模型是指在约束条件下，求解整数变量的最优化问题。整数变量是指取值只能为整数的 变量。
概念
整数优化模型是数学优化领域的一个重要分支，其主要目标是找到满足一定约束条件下，整数变量的 最优解。这个最优解通常是一个或多个整数变量的组合，可以最大化或最小化某个目标函数。
深度学习是一种基于神经网络 的机器学习方法，具有强大的 表示能力。它可以用于许多复 杂的优化问题，如图像识别、 自然语言处理等。
优化模型常用的方法
优化模型常用的方法以优化模型常用的方法为标题，写一篇文章。
在机器学习和深度学习领域，模型优化是一个非常重要的任务。
通过优化模型，我们可以提高模型的性能，使其能够更好地适应训练数据和测试数据。
本文将介绍一些常用的模型优化方法，并详细解释它们的原理和应用。
1. 学习率调整学习率是模型训练过程中一个非常重要的超参数。
合适的学习率可以加快模型的收敛速度，而过大或过小的学习率都会导致模型性能下降。
常用的学习率调整方法有学习率衰减、学习率预热和学习率自适应。
学习率衰减可以在训练过程中逐渐减小学习率，以保证模型在接近收敛时更加稳定。
学习率预热可以在训练初期使用较小的学习率，然后逐渐增加学习率，以加速模型的收敛。
学习率自适应方法则是根据模型的表现动态调整学习率，常见的方法有动量法和自适应学习率方法（如Adagrad、RMSprop和Adam）。
2. 权重初始化权重初始化是模型训练的第一步，合适的权重初始化可以帮助模型更快地收敛和更好地适应数据。
常用的权重初始化方法有随机初始化、预训练初始化和Xavier初始化。
随机初始化是一种简单的方法，将权重初始化为随机值。
预训练初始化是指使用预训练的模型参数来初始化权重。
Xavier初始化是一种通过考虑输入和输出节点数量的方法来初始化权重，以保证网络的稳定性和收敛性。
3. 正则化正则化是一种常用的模型优化方法，通过在损失函数中加入正则化项来惩罚模型的复杂度，以防止过拟合。
常用的正则化方法有L1正则化和L2正则化。
L1正则化通过在损失函数中加入权重绝对值的和来惩罚大的权重，从而使模型更稀疏。
L2正则化通过在损失函数中加入权重平方的和来惩罚大的权重，从而使模型的权重更加平滑。
4. 批归一化批归一化是一种常用的模型优化方法，通过对每个批次的输入数据进行归一化来加速模型的训练和提高模型的性能。
批归一化可以使模型更加稳定，减少内部协变量偏移问题。
在卷积神经网络中，批归一化通常在卷积层和激活函数之间进行操作。
机器学习模型优化和调参：优化模型性能和参数配置
机器学习模型优化和调参：优化模型性能和参数配置在机器学习中，模型的优化和调参是非常重要的一个环节。
一个好的模型可以帮助我们更好地理解数据，并且能够从数据中发现隐藏的规律，从而帮助我们做出更加准确的预测。
在本文中，我们将讨论机器学习模型的优化和调参，并且介绍一些常用的优化方法和调参技巧。
1.模型的优化模型的优化是指通过一系列的方式来提高模型的性能，使得模型可以更好地拟合数据。
模型的优化可以分为两大类：一类是在模型选择的时候做一些优化，另一类是在模型已经选择好之后，对模型的参数进行优化。
在下文中，我们将介绍这两大类优化的方法。
1.1模型选择的优化在选择模型的时候，我们可以通过交叉验证的方式来选择最合适的模型。
交叉验证是一种通过将数据分成多个子集，然后对每一个子集进行一次训练和测试，并计算测试结果的均值的方法。
通过交叉验证，我们可以选择出最合适的模型，并且可以避免因为数据的划分方式造成的模型选择不当的问题。
1.2模型参数的优化一般来说，模型的优化不仅仅是在选择模型的时候，还需要在模型已经选择好之后对模型的参数进行优化。
模型的参数优化一般是通过调参来进行的。
调参是指通过改变模型的某些参数，使得模型的性能达到最优的状态。
常见的调参方法有网格搜索、随机搜索、贝叶斯优化等。
2.调参技巧在调参的过程中，有一些技巧是非常有用的。
下面我们将介绍一些常用的调参技巧。
2.1网格搜索网格搜索是一种通过遍历指定的参数空间来寻找最优参数的方法。
具体来说，网格搜索会先确定每个参数可以取的值的范围，然后通过遍历每个参数可能的取值的组合来寻找最优的参数组合。
网格搜索的优点是简单易懂，缺点是当参数的取值范围较大时，会耗费大量的时间和计算资源。
2.2随机搜索与网格搜索不同，随机搜索是一种通过从指定的参数空间中随机选择若干参数组合来寻找最优参数的方法。
随机搜索的优点是在参数空间较大的情况下也能够找到比较好的参数组合，同时也可以大大减少计算的时间和资源的消耗。
数学建模之优化模型
从最小规模的子问题开始，逐步求解更大规模的子问 题，最终得到原问题的最优解。
自顶向下求解
从原问题开始，将其分解为子问题，通过迭代求解子 问题，最终得到原问题的最优解。
状态转移方程
通过状态转移方程描述子问题之间的关系，从而求解 子问题和原问题。
动态规划模型的应用实例
最短路径问题
如Floyd-Warshall算法，通过动 态规划求解所有节点对之间的最 短路径。
遗传算法
03
模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制，通过种群迭代优化
，找到最优解。
整数规划模型的应用实例
生产计划问题
通过整数规划模型优化生产计划，提高生产效 率、降低成本。
投资组合优化
通过整数规划模型优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
资源分配问题
通过整数规划模型优化资源分配，提高资源利用效率。
THANKS
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
背包问题
如0-1背包问题、完全背包问题和 多重背包问题等，通过动态规划 求解在给定容量的限制下使得总 价值最大的物品组合。
排班问题
如工作调度问题，通过动态规划 求解满足工作需求和工人技能要 求的最优排班方案。
05
CATALOGUE
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊的线性规划，要求决策变量取整数值。
关于优化模型的特点、常用命令写个简短的总结
关于优化模型的特点、常用命令写个简短的总结关于优化模型的特点、常用命令的简要总结优化模型是指在特定的约束条件下，通过最大化或最小化目标函数来找到最优解的一种数学模型。
在实际应用中，常常需要使用一些特定的命令来优化模型以达到更好的结果。
本文将介绍优化模型的特点，并提供一些常用的优化命令来帮助读者更好地理解和应用优化模型。
1. 目标函数：优化模型的核心是目标函数，它定义了需要最大化或最小化的指标。
目标函数可以是各种形式的代价、效益或利润函数。
在建立优化模型时，需要明确目标函数的定义和要求。
2. 变量和约束：优化模型通常涉及一组变量和一组约束条件。
变量是需要调整的参数，约束条件则是限制变量取值范围的限制条件。
在建立优化模型时，需要明确变量和约束条件的定义和限制。
3. 可行性和最优性：优化模型的解决方案必须满足所有约束条件，才能称为可行解。
在可行解中，最优解是指在满足约束条件的前提下，使得目标函数取得最大或最小值的解。
优化模型的目标通常是寻找最优解。
1. 模型创建命令：优化模型的第一步是创建模型并定义变量、目标函数和约束条件。
常用的模型创建命令包括"create model"、"define variable"、"set objective"和"add constraint"等。
这些命令用于创建并设置模型的各个组成部分。
2. 模型求解命令：一旦模型创建完成，就可以使用求解命令来求解模型并得到最优解。
常用的求解命令包括"solve model"和"optimize model"等。
这些命令会根据模型的定义和设定进行求解，并输出最优解的数值和变量取值。
3. 变量调整命令：在得到模型的最优解后，有时候需要对变量进行调整，以进一步优化模型的结果。
常用的变量调整命令包括"changevariable"和"adjust variable"等。
第三章无约束优化模型
第三章无约束优化模型无约束优化模型是指在给定的条件下，寻找一个自变量的值，使得目标函数取得最大或最小值。
这种模型中，没有对自变量的取值范围进行限制，可以在整个定义域内最优解。
本章将介绍几种常见的无约束优化模型及其求解方法。
一、无约束优化模型的定义和性质优化模型可以表示为以下形式：minimize f(x)maximize f(x)其中，x是一个自变量，f(x)是目标函数。
目标函数可以是线性函数、非线性函数、凸函数等。
当优化问题是求解目标函数的最小值时，称为最小化问题；当优化问题是求解目标函数的最大值时，称为最大化问题。
在无约束优化模型中，自变量x的取值范围是整个定义域。
这意味着x可以取任意值，可以在整个定义域内最优解。
无约束优化模型常常用于物理、工程、经济等领域的问题求解，如最小二乘法、回归分析等。
二、无约束优化模型的求解方法无约束优化模型的求解方法主要有以下几种。
1.解析法：对于一些简单的优化模型，可以通过求解目标函数的一阶、二阶导数来得到最优解。
一阶导数为0的点是可能的最优解的候选集，二阶导数的正负性可以判断这些点的最优性。
通过解析法可以得到精确的最优解，但对于复杂的优化模型，解析法的求解过程可能非常复杂，甚至无法得到显式的表达式。
2.数值法：数值法是使用计算机进行近似求解的方法。
常见的数值方法有穷丁牛顿法、梯度下降法、共轭梯度法等。
这些方法通过迭代计算，不断逼近最优解。
数值法的求解过程比较简单直观，但从字面意义上，这些算法只能找到局部最优解，无法保证全局最优解。
3. 优化软件：对于较为复杂的优化模型，通常需要使用专业的优化软件进行求解。
这些软件包括MATLAB、Python中的scipy.optimize等。
优化软件通常提供了许多不同的算法来求解优化问题，并能够在较短的时间内得到较为准确的最优解。
三、应用实例无约束优化模型的应用非常广泛，下面以两个实例来说明。
1. 线性回归模型：假设有一组数据点(x,y)，我们希望找到一条直线y=ax+b，使得这条直线能够最好地拟合这些数据点。
简单的优化模型
血管，分叉点附近两条血管共面；
2.物理上假设
体在刚性管道中的运动； 根据粘性流体在管道中流
动时所受的阻力定律知，血液流动时所受阻力与流程
成正比，与半径的4次方成反比。即血液流动时所受 L 阻力 R k 4 ，这里L为血管长度，r为血管半径，R r 为阻力，k为比例常数。
模型建立（机理建模法）
设主动脉与辅助动脉夹角为θ， PQ a , QR b 当血液沿着通路 PSR 流动时 所受阻力大小为
例 生猪出售的时机问题 一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力。 估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤，目前生 猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低 0.1元，问该场应该什么时候出售这样的生猪。 问题分析 投入资金可使生猪体重随时间增长，但 售价随时间减少，应该存在一个最佳出售时机，使获 得利润最大，这是一个优化问题。
设计变量（决策变量） 目标函数 可行域
下的最大值或最小值，其中
x f (x ) x
min(or max) u f ( x) x
s. t. hi ( x ) 0, i 1,2,..., m.
gi ( x ) 0( gi ( x ) 0), i 1,2,..., p.
MB M
为最小。其中
水陆联运问题 有一工厂A距运河为a公里， 运河线上的B城与运河上离A厂最近的点D为b 公里，今欲修一公路AC到运河边，将A厂的产 品经由公路运到C，再水运到B城，设每吨货物 每公里的水、陆运费分别 A 为α与β元（α>β）， D C B 问C的位臵应在何处才 b 能使运费最省（如图）
A M
Ⅰ
B Ⅱ
对于所有的值，f (x)的一、二阶导数都存在，并且 f ( x ) 0 ，于是 f ( x ) 在 ( , ) 上单调增加，所 以最多有一次等于零，但是 c c f ( 0 ) 0 f ( c ) 0 2 2 2 2 v2 b c v1 a c 所以方程 f ( x ) 0 在0与c之间唯一的根 x 0 ，又因 f ( x0 ) 0 因此，此根对应函数值 f ( x0 )为极小值， 也是最小值。但要从 f ( x ) 0 中求 x 0比较繁复，为 此，引入两角（物理学中分别叫入射角和折射角）
第三讲 系统工程模型和模型化
建模的主要方法
1.推理法 （1）对象：比较简单的白箱系统； （2）方法：利用自然科学的各种定理、定律（如物理、化 学、数学、电学的定理、定律）和社会科学的各种规 律（如经济规律），经过一定的分析和推理，可以得 到S的数学模型。 生产优化安排的数学模型 某化工厂生产A、B两种产品，已知：生产A产品一公斤 需耗煤9T，电力4000度和3个劳动日，可获利700元；生产B 产品一公斤需耗煤4T，电力5000度和10个劳动日,可获利 1200元。因条件限制，这个厂只能得到煤360T，电力20万 度和劳动力300个，问：如何安排生产（即生产A、B产品各 多少？）才能获利最多，请建立解决此问题的数学模型。
• 尽量使用标准模型 在建立一个实际系统的模型 时，应该首先大量调阅模型库中的标准模型，如 果其中某些可供借鉴，不妨先试用一下。如能满 足要求，就应该使用标准模型，或者尽可能向标 准模型靠拢。这样有利于比较分析，有利于 节省 费用和时间
建模的主要方法
针对不同的系统对象，可用以下方法建造系统的数学模型：
建模的主要方法
设生产A、B产品各为x1，x2公斤，则此问题变为求x1，x2 满足下列条件:
9 x1+4 x2 ≦360 4 x1+5 x2 ≦200 3 x1+10 x2 ≦300
(1)
x1≧0, x2≧0
使得总获利最大： max 7 x1+12 x2
(2)
显然(1)为约束条件，(2)为目标函数，这是一个典型的 线性规划模型。
4. 系统建模方法
• 系统模型的要求 • 建模的原则
• 建模的主要方法
系统模型的要求
• 真实性 要求建立的模型能够很好地反映系统 的客观实际，应把系统本质特征和关系反映进 去，而把非本质的东西去掉，但又不影响反映 本质的真实程度。也就是说，系统模型应有足 够的精度，以保证它的真实性。精度要求不仅 与研究对象有关，而且与所处的时间、状态和 条件有关。因此，为满足真实性要求，对同一 对象在不同情况下可以提出不同的精度要求。
优化模型的原理与应用
优化模型的原理与应用1. 优化模型的概述优化模型是一种数学模型，目的是通过最大化或最小化某个目标函数，找到最优解或次优解。
在不同的领域中，优化模型都有广泛的应用，如工程、经济、管理等。
本文将介绍优化模型的原理和常见的应用场景。
2. 优化模型的原理优化模型的原理是基于数学规划的思想，主要包括以下几个方面： - 定义目标函数：根据具体问题的需求，定义一个目标函数，可以是最大化或最小化某个变量或一组变量。
- 约束条件：将问题分析为一组约束条件，这些条件必须在优化模型中得到满足。
- 变量定义：确定参与优化的变量，这些变量可以是连续的、整数的或是二进制的。
- 模型求解：通过数学方法，求解出能够最大化或最小化目标函数的变量值。
3. 优化模型的应用场景优化模型可以应用于多个领域，下面是一些常见的场景： ### 3.1 生产优化 - 生产线优化：通过优化生产线上的各个环节，实现生产效率的最大化。
- 生产调度优化：通过合理安排生产任务的优先级和时间，达到生产成本的最小化。
### 3.2 物流优化 - 路线优化：优化物流配送路径，减少运输时间和成本。
- 仓储优化：通过合理的仓储布局和库存管理，提高物流效率。
### 3.3 资源分配优化 - 人力资源优化：通过合理分配人员到不同任务中，实现人力资源利用率的最大化。
- 资金分配优化：通过优化资金投资组合，实现资金风险的最小化。
### 3.4 销售优化 - 客户分析优化：通过数据分析和模型建立，实现客户精细化管理和营销策略优化。
- 定价优化：通过分析市场需求和竞争情况，优化产品定价策略。
### 3.5 运筹学优化 - 排队论优化：通过优化队列排队系统，实现顾客等候时间的最小化。
- 存货控制优化：通过合理的存货管理和补货策略，减少存货积压和缺货情况。
4. 优化模型的工具和框架为了更高效地建立和求解优化模型，现有许多优化模型的工具和框架，如下所示： - Excel Solver：Excel自带的插件，适用于简单的优化问题。
机器学习知识：机器学习中的模型优化
机器学习知识：机器学习中的模型优化随着机器学习技术的不断发展，机器学习模型在各行各业中扮演着越来越重要的角色。
在训练机器学习模型时，模型优化是一个非常重要的环节。
模型优化可以使模型在保持准确性的同时，更加高效地运行，从而提高模型的效果和应用价值。
本文将介绍机器学习模型的优化方法以及如何在训练机器学习模型时进行优化。
一、机器学习模型的优化方法1.超参数调优超参数是在模型训练前需要设置的参数，例如学习率、正则化系数等。
超参数的不同设置会影响模型的性能，因此调节超参数可以优化模型。
超参数的调整方式通常采用网格搜索、随机搜索等方法。
2.权重初始化一个模型的权重初始化对模型训练的影响非常大。
好的权重初始化可以加快学习率、减少过拟合等问题。
目前常用的权重初始化方法有均匀分布、正态分布、Xavier、He等方法。
3.梯度下降算法梯度下降算法是一种经典的优化算法。
它的目标是找到损失函数的最小值，从而优化模型。
常用的梯度下降算法有随机梯度下降（SGD）、批量梯度下降（BGD）、小批量梯度下降（MBGD）等。
不同的梯度下降算法在模型优化中具有不同的优缺点，因此需要根据实际情况来选择。
4.正则化过拟合是机器学习算法中常见的问题。
过拟合指的是模型在训练集上表现很好，但在测试集上表现很差。
正则化技术可以帮助解决过拟合的问题，例如L1正则化、L2正则化、Dropout等。
5.学习率策略学习率是梯度下降算法中的一个关键参数。
如果学习率太大，可能会导致模型无法收敛；如果学习率太小，则模型收敛速度会很慢。
常用的学习率策略包括时间衰减、指数衰减、自适应学习率等。
二、如何进行机器学习模型的优化优化机器学习模型的过程并不是一次性完成的，而是一个不断调整参数和优化模型的过程。
以下是一些优化机器学习模型的方法：1.控制数据的质量机器学习模型需要大量的数据来进行训练。
如果数据质量很差，则模型的性能也会受到影响。
因此，在训练模型之前，需要对数据进行清洗、预处理、特征提取等操作，以确保数据的质量。
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2014-6-19
1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量； 2 产品每日的需求量为常数 r ；
用），在什么情况下才可以不考虑它？
2 建模时作了“生产能力无限大”的简化假设， 如 果生产能力有限，是大于需求量的一个常数， 如何建模？ 注 敏感性分析：讨论参数对结果的影响。 意 技巧：从所给数据出发，得到粗略结论。
2014-6-19
问题2 允许缺货的存贮模型 模型假设
1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量； 2 产品每日的需求量为常数 r ； 3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2； 4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺 货，每天每件产品缺货损失费C3 ，但缺货数量需 在下次生产（订货）时补足。
1 S (T , c2 ) 2
1 S (T , r ) 2
意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5% ； 而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5% ；
日需求量增加1%时，生产周期减少0.5% 。
当 c1 , c2 , r 有微小变化对生产周期影响不太大。
2014-6-19
思考 1 建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费
当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大； 当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小； 当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。
这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系
数2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。
2014-6-19
T
在本例中
2c1 c2 r
C 2c1c2r
与不允许缺货模型相比较，有
c2 c3 c3
T T , Q Q / , R Q
2014-6-19
结果解释
T T , Q Q / , R Q
1） 1, T T , Q Q, R Q 即允许缺货时， 周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。
用微分法 令
C (T , Q) 0, T
Q
C (T , Q) 0 Q
c3 2c1r c2 c2 c3
2c1 c2 c3 T c2 r c3
每天平均最小费用 C C (T , Q)
2014-6-19
每个周期的供货量 R rT
2c1 c2 c3 Rr c2 r c3
和
x ( x1 , x2 ,...,xn )
在约束条件 hi ( x) 0, i 1,2,...,m.
gi ( x) 0( gi ( x) 0),i 1,2,..., p.
下的最大值或最小值，其中
x f ( x)
x
2014-6-19
设计变量（决策变量） 目标函数
可行域
min(or max)f j (x) x j J
线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
2014-6-19
（1）非线性规划
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
min(or max)f j (x) x j J
s. t. g i (x) bi , i I
2014-6-19
c2 c3 c3
T 愈接近 T ， 2）缺货损失费愈大， 愈小， Q, R
愈接近 Q 。
当c3 时， 1 ， T T , Q Q, R Q 3）
99年B题：“钻井布局”，非线性混合整数规划模
型。
00年B题：“钢管订购和运输”，二次规划模型。
01年B题：“公交车调度”，双目标规划模型。
02年A题：“车灯线光源的优化设计”，规划模型。
2014-6-19
03年B题：“露天矿生产的车辆安排”，非线性
规划模型。
04年B题：“电力市场的输电阻塞管理”，双目
第三讲 优化模型
2014-6-19
优化模型的一般意义 简单优化模型举例 线性规划模型举例
2014-6-19
优化模型是中国大学生建模竞赛常见的类型， 占很大的比重。 92 年以来，优化模型有： 94年A题：“逢山开路”设计最短路径。 95年A题：“一个飞行管理问题”，线性规划 和非线性规划模型。 96年A题：“最优捕鱼策略”，以微分方程为 基础的优化模型。
整数规划（0-1规划）和实数规划。
5. 根据变量具有确定值还是随机值
确定规划和随机规划。
2014-6-19
（三）建立优化模型的一般步骤
1.确定设计变量和目标变量； 2.确定目标函数的表达式； 3.寻找约束条件。
2014-6-19
二 简单优化模型举例
例1 存贮模型
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；
（2）线性规划（LP）
目标函数和所有的约束条件都是设计变量
的线性函数。
min u ci xi
i 1
n
aik xk bi , i 1,2,...,n. s.t. k 1 x 0, i 1,2,...,n. i
n
2014-6-19
（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
产不同的部件时因更换设备要付生产准备费
（与生产数量无关），同一部件的产量大于需 求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已 知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000 元，存贮费每日每件1元。如果生产能力远大于
需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的
生产计划，即多少天生产一次（称为生产周
期），每次产量多少，可使总费用最小。
当 c1 5000 , c2 1, r 100, 得 T 10 ，C 1000
这里得到的费用C与前面计算得950元有微
小差别，你能解释吗？
2014-6-19
讨论参数 c1 , c2 , r 有微小变化时对生产周期T 影响。 由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对c1 的敏感程度记为
T
Q (rT Q) C c1 c2 c3 2r 2r
2Leabharlann 2c1 Q (rT Q) 每天平均费用 C (T , Q) c2 c3 T 2rT 2rT 2014-6-19
2
2
模型求解
c1 Q2 (rT Q) 2 求T , Q满足min C (T , Q) c2 c3 T 2rT 2rT
2014-6-19
1.确定设计变量和目标变量
总费用为目标变量 生产周期和生产量为设计变量
2.确定目标函数的表达式
寻找设计变量与目标变量之间的关系
3.寻找约束条件
设计变量所受的限制
2014-6-19
若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产 准备费5000元，每天费用5000元；
若10天生产一次，每次1000件，存贮费 900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元， 总计9500元，平均每天费用950元；
标线性规划模型。
05年B题：“DVD在现租赁”，0-1规划模型。 06年A题：“出版社的资源优化配臵”，线性规 划模型。
2014-6-19
07年B题：“乘公交，看奥运”，动态规划模型。 08年B题： “高等教育学费标准探讨”，优化模型。 09年B题： 医院眼科病床的合理安排问题， 2010年A题： 储油罐的变位识别与罐容表标定， 非线性规划 2011年B题：交巡警服务平台的设置与调度 ，
2014-6-19
t
T1
0
q (t )dt
存贮量
A
r T1
B
T
T
T1
q(t )dt
允许缺货模型的存贮量q(t)
缺货量
一个周期内存贮费
c2
T1
0
Q2 QT1 c2 q(t )dt c2 2r 2
(rT Q)(T T1 ) 一个周期内缺货损失费 c3 q(t )dt c3 T1 2 (rT Q) 2 c3 一个周期的总费用 2r
车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；
商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；
水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
存贮量多少合适？
存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一
次性订购费用增加，或不能及时满足需求。
2014-6-19
问题1 不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生
存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减，
直至q(T) = 0，如图。q(t) = Q- r t， Q = r T 。 q Q r t T
不允许缺货模型的存贮量q(t)
2014-6-19
A
o
一个周期 内生产量 等于这个 周期内的 需求量
一个周期内存贮量
T
0
QT q(t )dt 2
2014-6-19
96年B题：“洗衣节水问题”，以用水量为目
标函数的优化模型。
97年A题：“零件的参数设计”，随机优化模型。
97年B题：“截断切割”，动态优化模型。
98年A题：“投资的收益和风险”，双目标优 化模型。 98年B题：“灾情巡视的最佳路线”，0-1线性 规划模型。
2014-6-19
99年A题：“自动化车床管理”，双参数规划模型。
2 1 c2 r c1 1 T T dT c1 S (T , c1 ) 2 2c1 T 2 c1 c1 dc1 T c2 r 1 1 S (T , c2 ) S (T , r ) 2 2