高中数学选修计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结

第一章基数原理

1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办

法中有n m 种不同的方法 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方

法

2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”

3.两个计数原理的区别:

如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理

4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.

（1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.

用符号m n A 表示

（2）排列数公式:)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A m n 用于计算，

或m

n

A )!

(!

m n n -=()

n m N m n ≤∈*,, 用于证明。

n

n

A =!n =()1231⨯⨯⨯⨯- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从

n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合

（1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，

用m

n C 表示

（2）组合数公式: (1)(2)(1)!

m m n n

m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算，

或)!

(!!

m n m n C m n -=

),,(n m N m n ≤∈*且 用于证明。

（3）组合数的性质：

①m n n m n C C -=．规定：10=n C ； ②m n C 1+＝m n C +1-m n C .

③ n C C n n n ==-11 ④1=n

n C

6.二项式定理及其特例：

（1）二项式定理()()

*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n n n n n n n n

r r r 110

展开式共有n+1项，其中各项的系数{}()n C n ,,2,1,

0r r ∈叫做二项式系数。

（2）特例：1

(1)1n r r

n n

n x C x C x x +=++++

+.

7.二项展开式的通项公式： r r r 1r b a C T n n -+= （为展开式的第r+1项） 8．二项式系数的性质：

（1）对称性：在()n

b a +展开式中，与首末两端 “等距”的两个二项式系

数相等,即m n n m n C C -=，直线2

n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当2

1

r +<

n 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知

它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

当n 是偶数时，在中间一项2

2n +T 的二项式系数2n n

C 取得最大值；

当n 是奇数时，在中间两项2

1n +T ，2

3n +T 的二项式系数12n n

C

-，12n n

C +取得最大值．

9.各二项式系数和：

（1）

=+++n 210n n n n C C C C n 2， （2）1531

4202-=+++=+++n n n n

n n n C C C C C C ． 10.各项系数之和：（采用赋值法） 例：求()9

32y x -的各项系数之和

解：()9927281909

32y a y x a y x a x a y x ++++=-

令1,1==y x ，则有()()132329

92109

-=-=++++=-a a a a y x ，

故各项系数和为-1

第二章 概率

知识点：

1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 所有可能的值能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n

X 取每一个值 x i 的概率p 1，p 2,..... , p i ,......, p n ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2，… n ；② p 1 + p 2 +…+p n = 1．

5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：

其中0

为和中的较小的一个()(0,n M )m n m M N M

n

N

C C P X m m l l C --==≤≤， 7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发

生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率

8、公式：

.

0)(,)()

()|(>=

A P A P

B A P A B P

9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影

响,这样的两个事件叫做相互独立事件。(|)()P B A P B =

10、n

次独立重复试验：在相同条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，一般就称它为n 次独立重复试验

11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数设为X ．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那

么在n 次独立重复试验中 ，事件A 恰好发生k 次的概率是()k k n k

n

P X k C p q -==（其中 k=0,1, ……,n ）

于是可得随机变量X 的分布列如下：