矢量基本概念

(一) 矢量基本概念

定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。

表示法

定 义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度）AB ，a

。

特殊的向量

零矢量：长度为0的向量。零向量的方向是不确定的。 单位矢量：长度为1的矢量。

向量之间的关系

两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。 反矢量：长度相同，方向相反的矢量。 共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。 共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。

关于向量之间的关系，有下面结论：

零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面；

三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。

(二) 矢量的運算

（一）矢量的加法

矢量的和（三角形法则）

设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA

=，b AB =得一折线OAB ，从折线的端

点O 到另一端点B 的矢量c OB

=，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c +=。

矢量的和（平行四边形法则）

如图示，有b a c

+=。

一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...-+++=

运算规律：

1） 1） 交换律：a b b a

+=+； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a

++=++。

矢量的差

若a c b =+，则称c 为矢量a 与b

的差，并记作b a c -=。

由定义，得矢量减法的几何作图法：

矢量加法的性质

（1）)(b a b a

-+=-

（2）||||||b a b a

+≤+

（3）||||||b a b a +≤-

（4）⋅++≤+⋅⋅⋅++||||||2121a a a a a n ||n a ⋅+⋅

（二）矢量的数乘

定义（数量乘矢量）

实数λ与矢量a 的乘积a λ是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ⋅=λλ；

（2） （2） 其方向由下列规则决定：当0>λ时，a λ与a 方向相同；当0<λ时，a λ与a 方向相反；

当0=λ或0=a 时，是零向量，方向不定。

定义

如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0a

为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。 由定义，0

||a a a ⋅= |

|0

a a =∴

数量乘法的运算规律 1）结合律：a a )()(λμμλ=

2）第一分配律：a a a μλμλ+=+)(

3）第二分配律：b a b a λλλ+=+)(

由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。例如： )()(222111b a b a μλνμλν+-+

b a b a 22221111μνλνμνλν--+=

b a )()(22112211μνμνλνλν-+-=

（三）两矢量的数性积

一、 一、数性积的定义与性质

定义

),(||||b a Cos b a ∠⋅⋅，叫做矢量b a

与的数性积（也称内积或点积）

，记为b a ⋅。即：),(||||b a Cos b a b a

∠⋅⋅=⋅。

性质

1）),(||||b a Cos b a b a ∠⋅⋅=⋅=a j b b j a b

a

Pr ||Pr ||⋅=⋅。 2）2||a a a =⋅，叫做a 的数量乘方，并记作2

a 。

3）0=⋅⇔⊥b a b a

。

4）|

|||),(b a b a b a Cos

⋅⋅=∠。

矢量数性积的运算规律 1） 1） 交换律：a b b a ⋅=⋅。

2） 2） 结合律：)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅。 3） 3） 分配律：c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(。

同矢量的加，减，数乘运算一样，矢量的数性积运算，也可以象多项式的乘法那样去展开。

二、矢量的坐标表示矢量的数性积 定理

在右手系直角坐标系中，),,(111z y x a = ，),,(222z y x b = ，则212121z z y y x x b a ++=⋅

。

证明：k k z z j i y x i i x x k z j y i x k z j y i x b a

⋅++⋅+⋅=++⋅++=⋅212121222111)()( 又1=⋅=⋅=⋅k k j j i i ，0=⋅=⋅=⋅k j k i j i

， ∴212121z z y y x x b a ++=⋅ 。

三、矢量的方向角与方向余弦：

定义

矢量与坐标轴所成的角叫做矢量的方向角，记为λβα,,。方向角的余弦叫做矢量的方向余弦，记为λβαCos Cos Cos ,,。

定理

若

)

,,(z y x a =

，则2

2

2

|

|z

y x x a x

Cos ++=

= α，

2

2

2

|

|z

y x y a y

Cos ++=

= β，

2

2

2

|

|z

y x z a z

Cos ++=

= λ。

证明：αCos a i a ⋅=⋅|| ，且x i a =⋅，|

|,||a Cos x Cos a =

∴=∴αα。

同理可证另两个结论。

推论

{}1,,2220

=++⇒=γβαγβαCos Cos Cos Cos Cos Cos a 。