《简单的线性规划问题》参考教案

课题: §3.3.2简单的线性规划

第1课时

授课类型：新授课【教学目标】

1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【教学重点】

用图解法解决简单的线性规划问题

【教学难点】

准确求得线性规划问题的最优解

【教学过程】

1.课题导入

[复习提问]

1、二元一次不等式0

By

Ax在平面直角坐标系中表示什么图形？

+C

+

>

2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？

3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：

2841641200

x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪

≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ………………………………………………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

（4）尝试解答：

设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：

当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？

把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z

的直线。当z 变化

时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个

点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833y x =-+），这说明，截距3z

可以由平面内的一

个点的坐标唯一确定。可以看到，直线233

z

y x =-+与不等式组（1）的区域的交点满足不等式

组（1），而且当截距3

z

最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线

233

z

y x =-+与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点

P ，使直线经过点P 时截距3z

最大。

（5）获得结果：

由上图可以看出，当实现233

z

y x =-+金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，

截距3z 的值最大，最大值为14

3，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，

工厂可获得最大利润14万元。 2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 3、变换条件，加深理解 探究：课本第100页的探究活动

（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应

当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。

（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

3.随堂练习

1．请同学们结合课本P 103练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧-≥≤+≤.1,1,

y y x x y

解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当x =0,y =0时，z =2x +y =0 点（0，0）在直线0l :2x +y =0上. 作一组与直线0l 平行的直线

l :2x +y =t ,t ∈R .

可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.

所以z m ax =2×2-1=3.

（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x

解：不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线3x +5y =t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，

-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（8

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,89）的直线所对应的t 最大.

所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11.

z m ax =3×89+5×8

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=14 4.课时小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解

5.评价设计 【板书设计】

第2课时

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】

利用图解法求得线性规划问题的最优解； 【教学难点】

把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。 【教学过程】