第七章 线性相关分析
第七章线性相关
n
i
x )( yi y )
n
2 2 ( x x ) ( y y ) i i i 1 Nhomakorabea
xy x y / n [ x ( x ) / n][ y ( y )
2 2 2 2
2
/ n]
2
576161 ( 3376)( 3407) / 20 [571728 ( 3376) / 20][581081 ( 3407) / 20]
药理研究:服药剂量与某代谢产物的关系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
线性相关的概念 线性相关的统计学描述 线性相关的统计推断 等级相关 线性相关分析的注意事项
第一节 线性相关的概念
一、线性相关的概念：
独立是指一个指标的取值与另一指标取值多少无关。
两指标间不独立则为相关，即某一指标的取值与另 一指标的取值多少有关。 统计学中用一个统计量描述线性相关的密切程度， 称相关系数(Correlation coefficient)。
二、相关系数的区间估计
对样本相关系数r作变换 z tanh 1 r (反双曲正切函数变换) 按正态近似原理， 1 可得到 tanh 的1－置信区间
( z u n 3 , z u n3
对区间的上下限作反变换r=tanh z
样本相关系数r＝0.9296
z=tanh-10.9296=1.6554 1.6554 1.96 / 20 3 (1.1800，2.1308)
二、相关系数的特点
相关系数r的绝对值必然在0到1之间。 r=0，表示无相关; |r|=1，表示函数关系。 相关系数的符号表示相关的方向。 相关系数的绝对值表示相关的密切程度。
线性相关分析
tr t0.01/ 2,14 ，则 P<0.01，按 0 .0 5 水准拒绝 H0，接受 H1，可
认为体重指数和收缩压之间存在正相关关系。
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2. 查表法 根据自由度 1，4查附表13相关系数r界值表，
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r lX Y 10.6315 0.91 lX XlY Y 2.635051.6836
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三、应用线性相关系数r时应注意的问题： 1. r只表示两个服从正态分布的随机变量之间线 性关系的密切程度和相关方向，r=0只能说X与Y之 间无线性关系，并不能说X与Y之间无任何关系。 2. 相关关系并不一定是因果关系。相关分析的 任务就是对相关关系给以定量的计算和描述。
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第五节 直线回归与相关应用的注意事项
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1．根据分析目的选择变量及统计方法
Ø 直线相关用于说明两变量之间直线关系的方向和密切 程度，X与Y没有主次之分； Ø 直线回归则进一步地用于定量刻画应变量Y对自变量X
在数值上的依存关系，其中应变量的定夺主要依专业要求而 定，可以考虑把易于精确测量的变量作为X，另一个随机变 量作Y，例如用身高估计体表面积。
（13-1）
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例13-2 （续例13-1）计算表13-1中体重指
数和收缩压的相关系数。
解： 1．绘制散点图，观察两变量之间是否有线性趋势。 从图13-1可见，体 重指数与收缩压之间呈线性趋势，且方向相同，为正相关。
2．计算相关系数。从表13-1的合计栏中，已得出基本数据：
X 56.50 , Y 314.66 , X 2 202.1506, Y 2 6239.8658 ， XY 1121.7746 ，n=16。代入
第七章 相关分析和线性回归分析
❖对样本来自的两总体是否存在显 著的净相关进行推断。
练习
❖ 高校科研研究.sav：高级职称的人年数 可能是共同影响课题总数和发表论文数 的变量，希望考察控制高级职称的人年 数的影响后，课题总数和发表论文数之 间的关系。
❖ 教养方式.sav：父亲对情感温暖的理解 是否成为父亲惩罚严厉以及拒绝否认的 中介变量？
线性回归分析
❖ 回归分析是一种应用极为广泛的数量分 析方法。它用于分析事物之间的统计关 系，侧重考察变量之间的数量变化规律， 并通过回归方程的形式描述和反映这种 关系，帮助人们准确把握变量受其他一 或者多个变量影响的程度，进而为控制 和预测提供两个或两个以上变量之间关系的方法。 从广义上说，相关分析包括了回归分析。严格地说， 二者有区别：
❖偏相关也称净相关，它在控制其 他变量的线性影响的条件下分析 两变量间的线性相关，所采用的 工具是偏相关系数。
❖控制变量数为1时，偏相关系数称 为一阶偏相关；当控制两个变量 时，称为二阶偏相关；当控制变 量的个数为0时，偏相关系数称为 零阶偏相关，也就是相关系数。
❖ 如果需要进行相关分析的两个变量其取值 均受到其他变量的影响，就可以利用偏相 关分析对其他变量进行控制，输出控制其 他变量影响后的相关系数。
❖相关系数
（二）散点图
❖含义 ❖简单散点图：生成一对相关变量的散
点图 ❖重叠散点图：生成多对相关变量的散
点图 ❖矩阵散点图：同时生成多对相关变量
的矩阵散点图 ❖三维散点图：生产成三个变量之间的
三维散点图
散点图的基本操作
❖简单散点图 ❖重叠散点图 ❖矩阵散点图 ❖三维散点图
练习
❖高校科研研究.sav: ❖绘制课题总数与论文数的简单散点
北师版高中数学选择性必修第一册课后习题 第7章 统计案例 相关系数 成对数据的线性相关性分析
07§2成对数据的线性相关性2.1 相关系数 2.2 成对数据的线性相关性分析A级必备知识基础练1.[探究点一](多选题)对两组数据进行统计后得到的散点图如图,关于其相关系数的结论正确的是( )A.r1<0B.r2>1C.r1+r2>0D.|r1|>|r2|2.[探究点一]北极冰融是近年来最引人注目的气候变化现象之一,白色冰面融化变成颜色相对较暗的海冰,被称为“北极变暗”现象.21世纪以来,北极的气温变化是全球平均水平的2倍,被称为“北极放大”现象.若北极年平均海冰面积(单位:106 km2)与年平均CO2(单位:ppm)浓度图如图所示,则下列说法正确的是( )A.北极年海冰面积逐年减少B.北极年海冰面积减少速度不断加快C.北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成负相关D.北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成正相关3.[探究点二]用模型y=ce kx拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=ln y,将其变换后得到线性回归方程Z=0.5X+2,则c=( )A.0.5B.e0.5C.2D.e24.[探究点一]现随机抽取了某中学高一10名在校学生,他们入学时的数学成绩X与入学后第一次考试的数学成绩Y如下表:请问:这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系?注:若|r|>0.75,则我们可以认为Y与X之间具有较强的线性相关关系.5.[探究点二]维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度” Y来衡量,这个指标越高,耐热水性能也越好,而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素,在生产中常用甲醛浓度X(单位:g/L)去控制这一指标,为此必须找出它们之间的关系,现安排一批实验,获得如下数据:(1)画出散点图;(2)求Y关于X的线性回归方程;(3)求相关系数r.B级关键能力提升练6.如图,有6组数据,去掉哪组数据后(填字母代号),剩下的5组数据的线性相关性最大( )A.AB.BC.CD.D7.设(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)是变量X和Y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论正确的是( )A.直线l 过点(x,y )B.X 和Y 的相关系数为直线l 的斜率C.X 和Y 的相关系数在0到1之间D.当n 为偶数时,分布在l 两侧的样本点的个数一定相同8.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:现有如下5个模拟函数:①Y=0.58X-0.16;②Y=2X -3.02;③Y=X 2-5.5X+8;④Y=log 2X;⑤Y=(12)X+1.74. 请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选 .(填序号)9.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验. (1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出Y 关于X 的线性回归方程Y=b ^X+a ^;(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?C 级学科素养创新练10.中国有句话叫民以食为天,中国人认为吃对于人来说是一件很重要的事情,不但要能吃,也要会吃.但是好吃不等于健康,有人对不同类型的某些食品做了一次调查,制作了下表.其中X 表示某种食品所含热量的百分比,Y 表示一些人以百分制给出的对应的评分.(1)试用r 对两个变量X,Y 的相关性进行分析(r 的结果保留两位小数); (2)求Y 关于X 的线性回归方程. 参考公式:r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1n(x i -x )√∑i=1n(y i -y )b ^=∑i=1nx i y i -nxy ∑i=1nx i2-nx 2,a ^=y −b ^x .参考数据:√185≈13.60.参考答案§2 成对数据的线性相关性2.1 相关系数2.2 成对数据的线性相关性分析1.AC 由散点图可知,相关系数r 1的图象表示y 与x 负相关,故-1<r 1<0,故A 正确;相关系数r 2的图象表示y 与x 正相关,故0<r 2<1,故B 错误;因为相关系数r 2的点较相关系数r 1的点密集,故|r 2|>|r 1|,故r 1+r 2>0,故C 正确,D 错误.2.C3.D 对y=ce kx 两边取对数,可得lny=ln(ce kx )=lnc+lne kx =lnc+kx,故z=lnc+kx,∵Z=0.5X+2,∴lnc=2,解得c=e 2.故选D.4.解由表计算得,x =107.8,y =68,∑i=110x i 2=116584,∑i=110y i 2=47384,∑i=110x i y i =73796. 所以样本相关系数为 r=∑i=110(x i -x )(y i -y )√∑i=110(x i -x )2√∑i=110(y i -y )2=∑i=110x i y i -10xy√∑i=110x i 2-10x 2·√∑i=110y i 2-10y 2=√(116584-10×107.822≈0.7506>0.75.由此可看出这10名学生的两次数学成绩线性相关. 5.解(1)散点图如图.(2)可以看出,两变量之间有近似的线性相关关系,下面用列表的方法计算a ^,b ^.∑ 168202.944 144 4 900.16x =1687=24,y =202.947,b ^=∑i=17x i y i -7xy∑i=17x i 2-7x 2=4900.16-7×24×202.9474144-7×242≈0.264 3,a ^=y −b ^x ≈22.648,∴线性回归方程为Y=22.648+0.264 3X. (3)∑i=17y i 2≈5 892,r=∑i=17x i y i -7xy√∑i=17x i2-7x 2√∑i=17y i 2-7y 2=4900.16-7×24×202.947√4144-7×242×√5892-7×(7)2≈0.96. 6.C 7.A 8.④9.解(1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”,则A 表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”. 样本点总数为10,事件A 包含的样本点数为4. ∴P(A )=410=25,∴P(A)=1-P(A )=35.(2)x =12,y =27,∑i=13x i y i =977,∑i=13x i 2=434,∴b ^=∑i=13x i y i -3xy∑i=13x i 2-3x 2=977-3×12×27434-3×122=2.5,a ^=y −b ^x =27-2.5×12=-3, ∴Y=2.5X-3.(3)由(2)知:当X=10时,Y=22,误差不超过2颗; 当X=8时,Y=17,误差不超过2颗. 故所求得的线性回归方程是可靠的. 10.解(1)易得x =15+20+25+30+355=25,y =68+78+80+82+925=80,∑i=15(x i -x )2=(-10)2+(-5)2+02+52+102=250,∑i=15(y i -y )2=(-12)2+(-2)2+02+22+122=296,∑i=15(x i -x )(y i -y )=-10×(-12)+(-5)×(-2)+0+5×2+10×12=260, 所以r=∑i=15(x i -x )(y i -y )√∑i=15(x i -x )2∑i=15(y i -y )2=√250×296=√185≈1313.60≈0.96,0.96∈[0.75,1],即r 为正且接近于1,所以两个变量X,Y 之间正相关,并且有较强的相关性. (2)由(1)易得b ^=∑i=15(x i -x )(y i -y )∑i=15(x i -x )2=260250=2625=1.04,a ^=y −b ^x =80-1.04×25=54,所以Y关于X的线性回归方程为Y=1.04X+54.。
统计学第七章 相关与回归分析
（四）按变量之间的相关程度分为完全相关、不完全相 关和不相关。
二、相关关系的测定
（一）定性分析，相关表，相关图 判断现象间有无相关关系是一个定性认 识问题，单纯依靠数学方法是无法解决的。 因此，进行相关分析必须以定性分析为前 提，这就要求研究人员首先必须根据有关 经济理论，专业知识，实际经验和分析研 究能力等。对被研究现象在性质上作出定 性判断。 相关表是将相关变量的观察资料，按照 其对应关系和一定顺序排列而成的表格。
Se
y
2
a y b xy n2
(7－ 12)
这个公式可以直接利用前面计算回归系 数和相关系数的现成资料。以表7－1的资 料计算如下：
Se y 2 a y b xy n2 56615-30.3 731-28.36 1213 10 2 65.02 8 2.85 (万件）
2
或
y- y R＝ 1－ 2 y y
ˆ 式中，y 为y的多元线性趋势值或回归估计值。
若变量间呈曲线（非直线）相关，则应
计算相关指数来测定变量间相关的密切程度。
ˆ y y y y
2 2
Ryx
( 7－7）
R
ˆ y y
由表7－4资料计算相关系数如下：
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2 2
2
10 1213－15.1 731
2
10 26.25－15.1 10 56615－731 1091.9 1091.9 38.49 31789 6.2 178.3 1091.9 0.988 1105.5
自考-数量方法-相关分析讲义(第七章)
第七章 相关与回归分析打印本页对于现实世界，不仅要知其然，而且要知其所以然。
顾客对商品和服务的反映对于商家是至关重要的，但是仅仅有满意顾客的比例是不够的，商家希望了解什么是影响顾客观点的因素，以及这些因素是如何起作用的。
通过本章学习，要对客观现象之间存在的相互依存、相互制约的关系加以分析，了解它们之间存在什么样的关系及其密切程度，并且能用一定的数量方式表现出来。
第一节 简单线性相关一、 相关关系及其表现形态（一）什么是相关关系任何事物的变化都与周围的其他事物相互联系和相互影响，我们如何根据统计数据确定变量间的关系形态及其联系程度，并探索其内在的规律性，人们在实践中发现变量之间的关系可以分为两种类型即函数关系和相关关系。
1.相关关系的概念相关关系：客观现象之间存在的互相依存关系，但存在不确定的数量关系。
如居民储蓄与居民家庭收入；父母身高与子女身高等。
身高与体重具有相关关系。
一般来说，身材较高的人，体重也较重。
反过来，体重较重的人，一般身体也较高。
同时，身高1.7米的人其体重有许多值；体重为60公斤的人，其身高也有许多值。
身高与体重之间没有完全严格的数量关系存在。
相关分析：对现象之间相关关系密切程度的研究。
就是研究两个或两个以上变量之间相关程度大小以及用一定函数来表达现象相互关系的方法。
2.相关关系与函数关系的区别函数关系：是指变量之间存在的相互依存的关系，它们之间的关系值是确定的。
如销售额与销售量之间的关系（在价格确定的条件下）；圆的半径与面积的关系等。
相关关系与函数关系的不同之处表现在：（1）函数关系指变量之间的关系是确定的，而相关关系的两变量的关系则是不确定的。
可以在一定范围内变动；（2）函数关系变量之间的依存可以用一定的方程y=f（x）表现出来，可以由给定的自变量来推算因变量，而相关关系则不能用一定的方程表示。
函数关系是相关关系的特例，即函数关系是完全的相关关系，相关关系是不完全的相关关系。
线性相关分析
Z的95%可信区间为：
1.5334 ± 1.96 / 16 − 3 = (0.9898,2.0770)
总体相关系数ρ的95%可信区间为 ：
−1 e −1 e ~ 2×2.0770 = (0.76,0.97 ) 2×0.9898 +1 e +1 e
TX = ∑ (t − t ) / 12
3
TY = ∑ (t − t ) / 12
3
48
秩相关的含义
• 秩相关反映的是两变量的秩之间的相关， 并不反映两变量间的数值关系
例1 例2 例3 例4
X 1 2 3 4 5
Y 1 2 3 4 5
X 1 2 3
Y 1 4 9
X 1
Y 1
X 1 2
Y 1 10
2 1.1 3 1.2 4 1.3 5 1.4
r= Σ( X − X )(Y − Y ) Σ( X − X )
2
Σ(Y − Y )
2
=
l XY l XX lYY
(ΣX )(ΣY ) l XY = Σ( X − X )(Y − Y ) = ΣXY − n 2 ( ΣX ) 2 2 l XX = Σ( X − X ) = ΣX − n
lYY = ∑ (Y − Y ) 2 = ∑ Y 2 − (∑ Y )2 n
3 100 4 1000 5 10000
49
4 16 5 25
本章重点内容
一、相关系数r的意义 二、相关系数r的计算和总体相关系数 ρ的假设检验 三、线性回归与相关的区别与联系 四、Spearman秩相关系数的应用
医学统计学(李琳琳)7 相关分析与回归分析-PPT文档资料
一、散点图
散点图能直观地看出两变量间的关系，因此研究 两变量的关系应先绘出散点图，而后再确定两者 的量化关系。
图9-1 常见的散点图
相关系数的方向示意图
3.6 肺 活 量 3.4 3.2
(L)
Y
3.0
2.8 2.6 2.4 2.2 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60
第七章
线性回归与相关
统计学的两个主要内容
参数估计和假设检验
指标变量之间关系
t检验
秩和检验
相关分析
回归分析
卡方检验
学习目标
①了解线性回归分析和相关分析的用途。 ②熟悉线性回归分析和相关分析的基本步
骤。
③掌握相关系数和回归系数的定义，简单
相关分析和回归分析的适用条件。
在医药科学研究中常常要分析两个变量间的关系，
如血药浓度和时间、年龄和血压、药片的硬度和
药片的消溶速度等。
一般来说，变量之间的关系可分为确定性和不确
定性两大类。
确定性的关系:两变量间的函数关系
R3 R R2 2 R1 R 1 1
2 2 2 S R 3 . 1 4 1 3 . 1 4 ( c m ) 1 1
2 2 S R 3 . 1 4 1 . 57 . 0 7 ( c m ) 2 2
表7-2 15名健康成人凝血酶浓度与血液凝固时间测定结果
编号 凝血酶浓 度(X) 凝血时间 (Y) 1 1.1 14 2 1.2 13 3 1.0 15 4 0.9 15 5 1.2 13 6 1.1 14 7 0.9 16 8 0.9 15 9 1.0 14 10 0.9 16 11 1.1 15 12 0.9 16 13 1.1 14 14 1.0 15 15 0.8 17
第七章 线性相关分析.
2018/12/14
“相关分析”主对话 框 Variables框：摄食量、耗 氧量 选中pearson法和Twotailed检验
2018/12/14
陕西师范大学
Shaanxi Normal University
上图相关分析对话框说明：
a. Correlation Coefficients复选框组： Pearson法：计算连续变量或是等间隔测度的变量间的相 关系数r。 Spearman法：用于Spearman相关系数的计算。是最常用的 非参数相关分析（秩相关）。 Kendall’s法：计算Kendall’s等级相关系数，是一个用于反 映分类变量一致性的指标（主观评分），只能在两个变量均 属于有序分类时使用。
2018/12/14
陕西师范大学
Shaanxi Normal University
Options：选Means and standard deviations
2018/12/14
陕西师范大学
Shaanxi Normal University
3.结果分析：
平均值与标准差 两变量的相关分析结果。 摄食量与耗氧率之间的 相关系数r＝0.990，P值 为0.000<0.01，差异极显 著。表明两变量存在极 显著的正相关关系，即 耗氧率随摄食量的增加 而增加。
2018/12/14
陕西师范大学
Shaanxi Normal University
评定结果
1、数据输入：
变量名为“甲”、“乙”；小数位（Decimals）依题意定义为 0。
陕西师范大学
Shaanxi Normal University
《线性相关关系》课件
04
CATALOGUE
多元线性回归分析
多元线性回归模型
定义
多元线性回归模型是用来 描述因变量与两个或两个 以上的自变量之间的线性 关系的模型。
公式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
假设
误差项 ε 满足独立同分布 ，且均值为0，方差恒定。
最小二乘法估计参数
线性相关关系强调的是变量之间的关 联程度和变化趋势，而不是确定性的 数学关系；函数关系则强调变量之间 的确定性和规律性。在线性相关关系 中，两个变量的值可以相互影响，而 在函数关系中，一个变量的值是由另 一个变量的值确定的。
在某些情况下，线性相关关系可以转 化为函数关系，例如通过最小二乘法 拟合直线。但是，线性相关关系更广 泛，它可以包括非线性的情况，即两 个变量之间存在曲线或其他非线性关 系。
模型检验
在建立回归模型后，需要对模型进行检验，以确保其有效 性。常见的检验包括残差分析、回归系数检验和整体模型 显著性检验等。
预测
使用回归模型可以对未来的数据进行预测。通过将自变量 代入模型中，可以计算出对应的因变量的预测值。
注意事项
在使用回归模型进行预测时，需要考虑模型的适用范围和 局限性，以及数据的变化趋势和异常值对预测结果的影响 。
变量进行变换等。
05
CATALOGUE
线性相关关系的应用实例
经济学中的线性相关关系分析
总结词
在经济学中，线性相关关系被广泛应用于市场分析、经济预测和政策制定等方面。
详细描述
经济学家通过研究不同经济指标之间的线性相关关系，可以深入了解经济运行规律，预测未来经济趋势，为政策 制定提供科学依据。例如，研究国内生产总值（GDP）与失业率之间的关系，可以分析经济周期和政策效果。
统计学相关分析与回归分析
Adjusted R S0q.u9a3r9e2399
标准误差 41.078969
观测值
17
方差分析
回归分析 残差 总计
df
SS
MS
F Significance F
2 420740.67 210370.34 124.66526 1.201E-09
14 23624.744 1687.4817
16 444365.42
36.42
13
629
6.675
36.58
14
602.7
5.543
37.14
15
656.7
6.933
41.3
16
778.5
7.638
45.62
17
877.6
7.752
47.38
第七合章计回归分析
9054 101.268
471.1
例：某地区玻璃销 售量与汽车产量、 建筑业产值资料如 左，试建立回归模
型。
3
337.5
6.666
14.5
4
404.5
5.338
15.75
5
402.1
4.321
16.78
6
452
6.117
17.44
7
431.7
5.559
19.77
8
582.3
7.92
23.76
9
596.6
5.816
31.61
10
620.8
6.113
32.17
11
513.6
4.258
35.09
12
606.9
5.591
第七章 回归分析
SPSS统计分析第七章相关分析
例二
四川绵阳地区3年生中山柏的数据。分析月生长量与 月平均气温、月降雨量、月平均日照时数、月平均湿 度四个气候因素哪个因素有关。Month:月份，hgrow: 生长量，temp:月平均气温，rain: 月降雨量，hsun: 月平均日照时数，humi: 月平均湿度。 数据编号data10－05 分析变量：hgrow（生长量）与hsun（月平均日照时 数） 控制变量：humi（月平均湿度）、rain（月降雨量）、 temp（月平均气温）
两个或若干变量之间或两组观测量之间的关 系有时也可以用相似性或不相似性来描述。 相似性测度用大数值表示很相似，较小的数 值表明相似性小。不相似性使用距离或不相 似性来描述。大值表示相差甚远。
三、相关系数统计意义的检验
由于我们通常是通过抽样方法；利用样本研 究总体的特性。由于抽样误差的存在，样本 中两个变量间相关系数不为0，不能说明总体 中这两个变量间的相关系数不是0，因此必须 经过检验。检验的零假设是：总体中两个变 量间的相关系数为0。SPSS的相关分析过程 给出这假设成立的概率。
但实际上，如果对体重相同的人，分析身高 和肺活量。是否身高值越大，肺活量越大呢？ 结论是否定的。正是因为身高与体重有着线 形关系，体重与肺活量才存在线形关系，因 此，得出身高与肺活量之间存在较强的线形 关系的错误结论。偏相关分析的任务就是在 研究两个变量之间的线形相关关系时控制可 能对其产生影响的变量。
一、相关分析的概念
相关分析是研究变量间密切程度的一种常用统计方法。 线性相关分析研究两个变量间线性关系的程度。 相关系数是描述这种线性关系程度和方向的统计量， 通常用r表示。相关系数r没有单位；其值在-l～+1之 间。当数值愈接近-l或+1之间时，关系愈紧密，接近 于0时，关系愈不紧密。 对其数值可以从小到大排列的数据才能计算其相关系 数。例如不能计算宗教信仰与颜色喜好之间的关系。
统计学 第 七 章 相关与回归分析
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
第七章 相关分析与回归分析
第七章 相关分析与回归分析
• 主要内容：
– 第一节 相关分析 – 第二节 简单线性回归分析 – 第三节 多元线性相关与回归分析
统计学
统计学
第7章>>第1节
第一节 相关分析
• 一、函数关系与相关关系
– (一)函数关系
• 函数关系是指变量之间存在着严格确定的依存关系， 在这种关系中，当一个或几个变量取一定量的值时， 另一变量有确定值与之相对应，并且这种关系可以 用一个数学表达式反映出来。 • 例如：某种产品的成本S与该产品的产量Q以及该产 品的单位成本P之间的关系可用S=PQ表达，这就是 一种函数关系。
第七章>>第一节
统计学
第一节 相关分析
• 二、相关关系的种类
– (二)线性相关和非线性相关：按相关形式划分
• 按相关形式划分，可以分为线性相关和非线性相关 两种形式。 • 线性相关：当一个变量发生变动，另一个变量随之 发生大致均等的变动(增加或减少)，从图形上看， 其观测点的分布近似地表现为直线形式。 • 非线性相关：而当一个变量发生变动，另一个变量 也随之发生变动(增加或减少)，但是这种变动不是 均等的，从图形上看，其观察点的分布表现为各种 不同的曲线形式，这种相关关系称为非线性相关。 • （本章仅讨论线性相关关系）。
第七章>>第一节
统计学
第一节 相关分析
• 五、相关系数的检验
– 检验步骤：
• 首先，计算相关系数r的t值：
t= r n-2 1-r 2
• 其次，根据给定的显著性水平和自由度V=n-2，查找t分布 表中相应的临界值tα/2。若|t|≥ tα/2，表明r在统计上是显著的， 即总体两个变量之间存在显著的线性关系；若|t|≤ tα/2，表 明r在统计上是不显著的，即不足以证明总体两个变量之间 存在一定程度的线性相关关系。
第七章 相关分析
（二）测定相关关系的密切程度
（三）选择适当的数学模型，确定现象之 间的关系值 （四）衡量估计值的准确程度 （五）预测因变量
第一节完
第二节 简单线性相关分析
一、相关图和相关表（P344）
（一）相关图（P344）
1、相关图的概念 2、相关图的作用
（二）相关表（P344-347）
y c 57.2 1.8x
n2
上例中:
15048 57.2 300 1.8 1182 4 15.6 1.97 4
xy 1182
a=57.2
b=-1.8
(三)估计标准误差与相关系数的关系
s yx δ y 1 r 2
Γ 1
s2 yx δ2 y
相关系数的绝对值越大，则估计标准误差越小，相关程 度就越高；相关系数的绝对值越小，则估计标准误差越 大，相关程度越低。 当 r 0，则 s yx δy 当 r 1，则 s yx 0
第七章 相关分析
教学目的与要求：
本章介绍相关分析与回归分析的基本原 理和基本方法。通过本章的教学，要求学生
正确理解相关分析的意义和作用，掌握相关
分析的方法；掌握回归模型的建立及回归预 测的方法。
本章重点与难点：
1.相关系数 2.直线回归分析 3.估计标准误差
第一节 相关分析的意义和种类
一、相关关系的概念（P339）
y 2 y 2 …… (3)
将（1）（2）（3）代入积差法公式得：
Γ 1 xy x y n 1 1 2 2 2 2 x x y ( y ) n n
n x 2 x
x 2 x
2
北师大版选择性必修第一册第七章2.12.2相关系数 成对数据的线性相关性分析课件(26张)
)
数学
探究点二
成对数据的线性相关性
[问题2] 两个变量Y与X的回归模型中,分别选择了4个不同的模型,它们的
相关系数r如表,其中拟合效果最好的模型是哪一个?
模型
模型1
模型2
模型3
模型4
相关系数r
0.15
0.48
0.96
0.50
∑ ( -)(-)
最小二乘估计公式分别为 b̂ ==
∑ ( -)
=
, â =- b̂ .
数学
∑ ( -)( -) .
解:(2)计算 b̂ ==
∑ ( -)
=
≈0.219,
=
â =- b̂ ≈3-0.219×11=0.591,
所以 Y 关于 X 的线性回归方程为 Y=0.219X+0.591.
令 Y=0.219X+0.591>6,解得 x>24.699≈24.70,
即实现产品销量超 6 万件,预测至少需要投入促销费用 24.70 万元.
数学
变式训练2-1:为分析人体肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响,在肥胖人
群中随机抽出8人,他们的体质指数BMI值、总胆固醇TC指标值(单位:mmol/L)、
提示:模型3.
知识点2:样本的线性相关系数满足|r|值越接近1,两个随机变量之间的线
性相关 程度越强
,|r|值越接近0,说明两个随机变量之间的线性相关
程度越弱
.我们认为两个变量存在着很强的线性相关关系,这时求线性
回归方程有必要也有意义.
统计学原理第七章_相关分析
各类相关关系的表现形态图
三、相关分析与回归分析
• （一）相关分析 • 是用一个指标（相关系数）来表明现象 之间相互依存的密切程度。 • （二）回归分析 • 是根据相关关系的具体形态，选择一个 合适的数学模型，来近似地表达变量之 间的平均变化关系。（高度相关）
• （三）相关分析与回归分析的联系
• 1. 它们有具有共同的研究对象。
n
(x x )(y y ) n
σx
(x x )
n
2
(x x ) n
(y y ) n
1
1
2
σy
(y y )
n
2
2
再代入到原公式中，得：
r σ
2 xy
σx y σ
( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y )
2
·· ·②
销售收入 （百万元）
40 30 20 10 0 0 20 40 60 80 100
广告费（万元）
钢材消费量与国民收入
2500
2000
1500
钢材消费量（万吨）
1000
500
0
（相关图）
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
国民收入（亿元）
例子
表1 某企业产量与生产费用的关系
企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8
量，哪个是因变量，变量都是随机的。
• 2. 回归分析是对具有相关关系的变量间
的数量联系进行测定，必须事先确定变
量的类型。通常因变量是随机的，自变
量可以是随机的，也可以是非随机的。
第二节 简单线性相关分析
《SPSS统计分析案例教程》第七章相关分析
2023-11-06
目 录
• 相关分析概述 • 描述性相关分析 • 参数相关分析 • 偏相关分析 • 距离相关分析 • 相关分析的注意事项
01
相关分析概述
定义
相关分析是用来研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
它探究变量之间的依赖性、关联程度和预测能力。
变量设置
在变量视图中，设置每个变量的类型 、标签、值等属性。
执行偏相关分析
在菜单栏中选择“分析”->“回归 ”->“多元”->“偏相关”，进入 偏相关分析对话框。
设置自变量和因变量
在偏相关分析对话框中，将需要分析 的自变量和因变量拖入相应的区域。
调整选项
根据需要，可以勾选“校正变量” 和“显示非参数检验结果”等选项 。
运行分析
点击“确定”按钮，开始偏相关分 析，并生成相应的结果。
05
距离相关分析
距离相关系数的概念与计算
距离相关系数概念
距离相关系数是用来度量两个变量之间相似或不相似的一种方 法，它基于两个变量值之间的距离来计算。
距离相关系数的取值范围
距离相关系数的取值范围在-1到1之间，其中1表示完全正相关， -1表示完全负相关，0表示无相关。
在弹出的“距离相关”对话框中，将需 要分析的变量拖入“变量”框中。
06
相关分析的注意事项
数据质量对相关分析的影响
缺失值处理
数据清洗
数据正态性
在相关分析前，应检查数据中 是否存在缺失值。对于缺失值 ，需要选择合适的处理方法， 如插值、删除或使用特定的统 计方法来处理。
数据中可能存在异常值、离群 点或错误数据，这些数据会影 响相关分析的结果。在进行相 关分析前，应对数据进行清洗 ，以消除这些潜在问题。
第七章 相关与回归分析
总体一元线性 回归方程:
Yˆ EY X
以样本统计量估计总体参数
(估计的回归方程)
样本一元线性回归方程： yˆ a bx
（一元线性回归方程）
截距 斜率（回归系数）
截距a 表示在没有自变量x的影响时，其它各 种因素对因变量y的平均影响；回归系数b 表
明自变量x每变动一个单位，因变量y平均变 动b个单位。
n x2 x2 n y2 ( y)2
1637887 916 625
0.9757
16 55086 9162 16 26175 6252
r 2 0.97572 0.9520
第七章 回归分析与相关分析
第七章 相关与回归分析
STAT
★ 第一节 相关分析概述 ★ 第二节 一元线性回归分析
第七章 回归分析与相关分析
yˆ a bx是理论模型，表明x与y变量 之间的平均变动关系，而变量y的实际
值应为yi (a bxi ) i yˆ i
X对y的线性影响而形 成的系统部分，反映两 变量的平均变动关系， 即本质特征。
随机干扰：各种偶然 因素、观察误差和其 他被忽视因素的影响
体重（Y）
75 70 65 60 55 50 45 40
b
n xy x y
n x2 x2
16 37887 916 625 16 55086 9162
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
函数关系 相关关系
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2.简明分析步骤：
Analyze－Correlate－Bivariate
Variables框：甲、乙 进入要分析的变量甲、乙
Kendall's tau-b
要求计算Kendall's 秩相关系数
Spearman
要求计算Spearman秩相关系数
第七章 线性相关分析
2018/12/14
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?自然界中的许多事物彼此间都存在相互联系、相互 制约的关系。因而在生物试验研究中，常常要研究两 个或两个以上变量间的关系。这种关系经常是一种不 确定的相关关系，即一个变量的取值受到另一个或多 个变量的影响，两者之间既有关系，但又不存在完全 确定的函数关系。例如：仔猪初生重与断奶重、鱼的 体长与体重、作物的产量与施肥量、药物的剂量与疗 效等问题。
Options：
Means and standard deviations 计算两变量的基本统计量
Continue
OK
2018/12/14
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“相关分析”主对话 框
Variables框：摄食量、耗 氧量
选中pearson法和Twotailed检验
Kendall's法：计算Kendall's 等级相关系数，是一个用于反 映分类变量一致性的指标（主观评分），只能在两个变量均 属于有序分类时使用。
2018/12/14
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b. Test of Significance 框。用于确定进行相关系数的 Two-tailed 双尾检验（系统默认设置）或 One-tailed 单尾检验
?相关分析就是研究变量间相关关系的一种常用方法。
2018/12/14
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1 线性相关分析
在spss统计软件中的相关分析有三个方面
? Bivariate：两个变 量间 的相关分析
? Partial：偏相关分 析
? Distances：距离相 关分析
2、3、4表示）。甲乙两评委对 10头母牛进行评定， 评定等级结果如下表所示。试分析甲乙两评委评分 的一致性。
2018/12/14
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评定结果
1、数据输入：
变量名为“甲”、“乙”；小数位（Decimals）依题意定义为 0。
2018/12/14
OK
2018/12/14
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2018/12/14
Variables 框：甲、乙。 选择计算 Kendall's tau-b 和Spearman 秩相 关系数 (黑白花奶牛 评分——等级变量 )。 OK！
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2018/12/14
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2.简明分析步骤：
Analyze－Correlate－Bivariate
Variables框：摄食量、耗氧率 进入要分析的变量摄食量、耗氧率
Pearson
要求计算Pearson 相关系数
Two-tailed
要求计算检验相关系数的双侧概率
两变量间的相关性，通常用相关系数r来描 述它们的密切程度和相关方向。 计算公式：
2018/12/14
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?例1 某科技人员养了 35尾团头鲂，共重 7.2kg，在水 温29℃条件下，测量摄食量（ g）与耗氧率 （mgO2/kg.h）间的关系，结果如下表所示，试计算 摄食量与耗氧率的线性相关系数。
2018/12/14
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?简单（线性）相关分析：对两个变量 间的直线关系进行的相关分析。
?偏相关分析：研究其余变量保持不变 的情况下两个变量间的线性相关。
2018/12/14
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1.1 两个变量间的相关分析
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1.2 两个等级（秩）变量的相关分析
在生产实际中 ，有时会遇到一些变量时以有序等级作 为取值的，即以自然数 1、2、……作为取值，这些变 量称为有序等级变量。
例2 中国黑白花奶牛的外貌评分等级一般分为特等 80 分，一等75分，二等70分，三等65分4个等级（用 1、
摄食量不同时团头鲂耗氧率的测定结果
2018/12/14
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1.数据输入
在Variable View 变量工作表中定义两个变量“摄食 量”、“耗氧率”。小数位（ Decimals）依题意分 别定义为 0和1。
在Data View 2/14
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上图相关分析对话框说明：
a. Correlation Coefficients复选框组：
Pearson法：计算连续变量或是等间隔测度的变量间的相 关系数r。
Spearman法：用于Spearman相关系数的计算。是最常用的 非参数相关分析（秩相关）。
c. Flag significant correlations 。选择此项将对显著的 相关系数加上星号“ *”标志（系统默认设置）， 单个星号“ *”表示显著，两个星号“ **”表示非 常显著。
2018/12/14
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Options：选Means and standard deviations
2018/12/14
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3.结果分析：
2018/12/14
平均值与标准差
两变量的相关分析结果。 摄食量与耗氧率之间的 相关系数r＝0.990，P值 为0.000<0.01，差异极显 著。表明两变量存在极 显著的正相关关系，即 耗氧率随摄食量的增加 而增加。