概率论与数理统计第5讲 (2)

4º 若事件A与B 相互独立, 则以下三对事件 也相互独立.
(1) A 与 B ； (2) A 与 B ； (3) A 与 B .
注:称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.
4º 若事件A与B 相互独立, 则以下三对事件
也相互独立.
(1) A 与 B ； (2) A 与 B ； (3) A 与 B .
(二) 多个事件的独立性
1. 三事件两两相互独立的概念
定义2 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式
P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), 则称事件 A, B , C 两两相互独立 .
2. 三事件相互独立的概念
定义3
设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
2 . 若 n 个 事 件 A1 , A2 , , An ( n 2)相 互 独 立 , 则 将 A1 , A2 , , An 中 任 意 多 个 事 件 换 成 们 它的 对 立事件 , 所 得 的n 个 事 件 仍 相 互 独 立 . (独 立 性 关 于 运算封闭 )
P ( AB ) P ( A) P ( B )
定义1: 设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB) P ( A) P ( B )
则称事件 A, B 相互独立, 简称 A, B 独立.
说明
事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.
事件独立性的性质(结论)
1º 若 P ( A) 0, 则 P ( B A) P ( B) P ( AB) P ( A) P ( B)
2º独立与互斥的关系
这是两个不同的概念.
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B )
独立是事件间的概率属性
两事件互斥
AB
互斥是事件间本身的关系
二者之间没有必然联系.
第六节
独立性
事件的相互独立性 几个重要定理 例题讲解 小结
一、事件的相互独立性
(一) 两个事件的独立性
P ( AB ) 由条件概率，知 P ( A B ) P ( B)
一般地，P ( A B) P ( A)
这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率 有影响. 然而，在有些情形下又会出现：
结论： 当 P ( A) 0, P ( B) 0时，有
A,B互不相容与A,B相互独立不能同时成立.
证 若A与B 独立, 则 P ( AB) P ( A) P ( B)
P ( A) 0, P ( B) 0 P ( AB) P ( A) P ( B) 0
故 AB , 即 A与B 不互斥(相容).
反例： 若 P( A) 1 2, P( B) 1 2
则 P ( AB) 0, P ( A) P ( B) 1 4,
B A
故 P ( AB) P ( A) P ( B ) 所以两事件互斥 两事件相互独立.
3º 必然事件S 及不可能事件与任何事
件A相互独立.
证
∵ S A=A, P(S)=1 ∴ P(S A) = P(A)=1• P(A)= P(S) P(A) 即 S与A独立.
(1) A 与 B ； (2) A 与 B ； (3) A 与 B .
(3) A B A B
(对偶律)
P ( A B ) P ( A B) 1 P ( A B ) 1 [ P ( A) P ( B) P ( AB)] 1 [ P ( A) P ( B) P ( A) P ( B)] [1 P ( A)] P ( B)[1 P ( A)] [1 P ( A)] [1 P ( B)] P ( A ) P ( B ).
证 (1) P ( AB ) P ( A) P ( AB)
又∵ A与B相互独立
P ( AB ) P ( A) P ( AB) P ( A) P ( A) P ( B)
P ( A)[1 P ( B)] P ( A) P ( B )
4º 若事件A与B 相互独立, 则以下三对事件也相互独立.
P ( A B ) P ( A)
1.引例 盒中有5个球( 3绿2红), 每次取出一个,
有放回地取两次 .记 A 第一次抽取, 取到绿球, B 第二次抽取, 取到绿球, 3 P( B) P ( B A) 则有 5 它表示 A 的发生并不影响B 发生的可能性大小 .
P ( B A) P ( B)
则称A1，A2， An相互独立.
注.
A1 , A2 ,, An相互独立
2 3 n 共 Cn Cn Cn 0 1 (1 1)n C n Cn
2n 1 n 个式子.
A1 , A2 ,, An两两相互独立
两个结论
1. 若事件 A1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则 其中任意 k ( 2 k n)个事件也是相互独立 .
注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不 可的．即：前三个等式的成立推不出最后一个等式；反 之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立．
3. n个事件的独立性
定义4
若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j )
则称A1，A2， An两两相互独立.
共C 个Biblioteka Baidu子.
2 n
定义5
设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1<k≤n), 及 1≤i 1< i 2< · · ·< i k≤n 有 P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik )