第三模块重点学习内容韩信点兵与中国剩余定理

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化繁为简的思想
当问题中有很多类似的条件时， 当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三 化繁为简。 个条件，这就是化繁为简 个条件，这就是化繁为简。 一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题 一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题 的特点和本质，那么简化就“不失一般性” 的特点和本质，那么简化就“不失一般性”。 学会“简化问题”与学会“推广问题”一样， 学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种 重要的数学能力。 重要的数学能力。
思考：此问题是否比原问题简单些吗？ 思考：此问题是否比原问题简单些吗？
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1）筛法
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,…（ 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23, （用2除余1） 除余1 5,11,17,23,… 除余2 5,11,17,23, （用3除余2） 11,23,… 除余3 11,23, （用4除余3） 再从中挑“用5除余4”的数，… 的数， 再从中挑“ 除余4 的数 一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。 一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。并且 看起来， 还不是唯一的；可能有无穷多个解。 看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多个解。 思考一下：解题的思路是什么？ 思考一下：解题的思路是什么？
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2.《孙子算经》 2.《孙子算经》
约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。 约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。 现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹 算筹记数的纵 现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵 横相间制度和筹算乘除法则， 横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法 和筹算开平方法。卷下第31 31题 可谓是后世“鸡兔同笼” 和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼” 题的始祖，后来传到日本 变成“鹤龟算” 日本， 题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。 书中是这样叙述的： 书中是这样叙述的：“今有鸡兔 同笼，上有三十五头，下有九十四足， 同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问鸡兔各几何？这四句话的意思是： 问鸡兔各几何？这四句话的意思是： 有若干只鸡兔同在一个笼子里， 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上 面数， 35个头 从下面数， 94只 个头； 面数，有35个头；从下面数，有94只 求笼中各有几只鸡和兔？ 脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 《孙子算经》 孙子算经》
第三模块重点学习内容
韩信点兵与中国剩余定理
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一、“韩信点兵”的故事与《孙子算经》中的题目 韩信点兵”的故事与《孙子算经》 韩信是中国古代一位有名的大元帅。 韩信是中国古代一位有名的大元帅。他少年时 就父母双亡，生活困难，曾靠乞讨为生， 就父母双亡，生活困难，曾靠乞讨为生，还经 常受到某些泼皮的欺凌， 常受到某些泼皮的欺凌，胯下之辱讲的就是韩 信少年时被泼皮强迫从胯下钻过的事。 信少年时被泼皮强迫从胯下钻过的事。 后来他投奔刘邦，展现了他杰出的军事才能， 后来他投奔刘邦，展现了他杰出的军事才能， 为刘邦打败了楚霸王项羽立下汗马功劳， 为刘邦打败了楚霸王项羽立下汗马功劳，开创 了刘汉皇朝四百年的基业。 了刘汉皇朝四百年的基业。 民间流传着一些以韩信为主角的有关聪明人的 故事，韩信点兵的故事就是其中的一个。 故事，韩信点兵的故事就是其中的一个。
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那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法外， 那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法外，还有 没有更加巧妙的解法？ 没有更加巧妙的解法？ 我们考察上边两个方程的特点，发现，两个“带余除法” 我们考察上边两个方程的特点，发现，两个“带余除法” 的式子，都是“余数比除数少1 的式子，都是“余数比除数少1”。 于是想到，如果把被除数再加 把被除数再加1 不是余数就为0了吗？ 于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为0了吗？ 换句话说，不是就出现整除的情况了吗？ 整除的情况了吗 换句话说，不是就出现整除的情况了吗？ 于是把上边每个方程两边都加上1 于是把上边每个方程两边都加上1，成为
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,… 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,
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n1 = 0,1,2,3, L
用上式求得的x正好 时，用上式求得的 正好
接着从中筛选出“ 的数， 接着从中筛选出“用3除余2”的数，就是挑出符合下 除余2 的数 面“带余除法”表达式 带余除法”
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1.“韩信点兵”的故事 韩信点兵” 韩信点兵
相传有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。 相传有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。 1500名将士与楚王大将李锋交战 双方大战一场，楚军不敌，败退回营。而汉军也有伤亡， 双方大战一场，楚军不敌，败退回营。而汉军也有伤亡， 只是一时还不知伤亡多少。于是， 只是一时还不知伤亡多少。于是，韩信整顿兵马也返回大 本营，准备清点人数。当行至一山坡时，忽有后军来报， 本营，准备清点人数。当行至一山坡时，忽有后军来报， 说有楚军骑兵追来。韩信驰上高坡观看， 说有楚军骑兵追来。韩信驰上高坡观看，只见远方尘土飞 杀声震天。汉军本来已经十分疲惫了， 扬，杀声震天。汉军本来已经十分疲惫了，这时不由得人 心大乱。韩信仔细地观看敌方，发现来敌不足五百骑， 心大乱。韩信仔细地观看敌方，发现来敌不足五百骑，便 急速点兵迎敌。不一会儿，值日副官报告，共有1035 1035人 急速点兵迎敌。不一会儿，值日副官报告，共有1035人。 他还不放心，决定自己亲自算一下。 他还不放心，决定自己亲自算一下。
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《孙子算经》中的题目 孙子算经》
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 的题目： 的题目： 今有物不知其数， 今有物不知其数， 三三数之剩2 三三数之剩2， 五五数之剩3 五五数之剩3， 七七数之剩2 七七数之剩2， 问物几何？ 问物几何？ 这里面又有什么秘密呢？题目给出的条件， 这里面又有什么秘密呢？题目给出的条件，也仅仅是 作除法时的余数 余数。 作除法时的余数。
寻找规律的思想
把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步， 把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质 筛法 的飞跃——找到规律了。 找到规律了。 的飞跃 找到规律了 筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。 筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。
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2)公倍数法 2)公倍数法 ① 化繁为简
x = 3 n 2 + 2, (0 ≤ 2 < 3)
的数，这里 n 2 可取0，1，2，3，4，… 可取0 的数， 再继续做下去…….. .. 再继续做下去 如果我们不分上面两步，而是一上来就综合考虑两者， 如果我们不分上面两步，而是一上来就综合考虑两者， 综合考虑两者 则就是要解联立方程组
x = 2 n1 + 1 中 的 x. x = 3n2 + 2
源自文库
x + 1 = 2 ( n1 + 1) x + 1 = 3( n 2 + 1)
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这说明， 这说明， x+1既是2的倍数，又是3的倍数，因此，它 1既是2的倍数，又是3的倍数，因此， 的公倍数。由此想到对整个问题寻找规律 对整个问题寻找规律。 是2与3的公倍数。由此想到对整个问题寻找规律。 再看问题： 再看问题： 今有物不知其数，二二数之剩1 三三数之剩2 今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四 数之剩3 五五数之剩4 六六数之剩5 七七数之剩6 数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6， 八八数之剩7 九九数之剩8 问物几何？ 八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？
对整个问题寻找规律
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②寻找规律
设问题中,需要求的数是x,则被2,3,4,5,6,7,8,9去除， 设问题中,需要求的数是 ,则被2,3,4,5,6,7,8,9去除， 2,3,4,5,6,7,8,9去除 所得的余数都是比除数少1 于是我们把被除数 再加1,则 再加1, 所得的余数都是比除数少1，于是我们把被除数x再加1,则 x+1就可被2,3,4,5,6,7,8,9均整除.也就是说，x+1是 +1就可被2,3,4,5,6,7,8,9均整除 +1就可被2,3,4,5,6,7,8,9均整除.也就是说， 是 2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数 的公倍数， 2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数 [2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。 [2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。 的倍数
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韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过， 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过， 他记下最后一行士兵的人数（ ）；再让这队士兵 再让这队士兵6 他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一 行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（ 行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）； 再让这队士兵7人一行排队从他面前走过， 再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行 士兵的人数（ ），再让这队士兵11人一行排队从他面前 再让这队士兵11 士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前 走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。然后韩信就 走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。然后韩信就 凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。 凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。 思考题：这里面有什么秘密呢？ 思考题：这里面有什么秘密呢？韩信好像非常重视作 除法时的余数 余数。 数的除法运算以及余数” 除法时的余数。 “数的除法运算以及余数”是小学数学的 内容。现在，每个学生都具有这样的基础， 内容。现在，每个学生都具有这样的基础，但能否会运用 就有差别了，你能够分析它吗？ 就有差别了，你能够分析它吗？
0≤r<b
当余数r =0时 整除” 当余数 =0时，则 a=bq，称为 “a被b整除”，或“b ， 被 整除 的另一种表达形式。 ” 的另一种表达形式。
所以，带余除法是通常除法的推广。 所以，带余除法是通常除法的推广。
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回到求“用2除余1的数”的问题。 回到求“ 除余1的数”的问题。 设这样的数为x， 这里x是被除 设这样的数为 ，则 x = 2n1 + 1。这里 是被除 是除数， 是商， 是余数， 数，2是除数， n1 是商，1是余数，且 0 ≤ 1 < 2 。 就是“带余除法” x = 2n1 + 1(0 ≤ 1 < 2) 就是“带余除法”的式 子. 当取 组成上述数列
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二、问题的解答
1．先从另一个问题入手 问题： 问题： 今有物不知其数，二二数之剩1 三三数之剩2 今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四 四数之剩3 五五数之剩4 六六数之剩5 七七数之剩6 四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6， 八八数之剩7 九九数之剩8 问物几何？ 八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？
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所谓“带余除法” 是指整数的如下 除法” 所谓“带余除法”，是指整数的如下 “除法”： 整数
对任意给定被除数a，不为零的除数 ， 对任意给定被除数 ，不为零的除数b，必唯一存在商 q和余数 ，使 和余数r， 和余数
a = bq + r ,
a 整除a”，这是通常除法“ 整除 ，这是通常除法b = q “
我们还是先看只有前两个条件的简化题目。 我们还是先看只有前两个条件的简化题目。 除余1 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…（ 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25, （用2除余1） 5,11,17,23,… （用3除余2） 除余2 5,11,17,23, 上述筛选过程的第一步，得到: 上述筛选过程的第一步，得到: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,… 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,… 其实是列出了“ 其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数 除余1 的数组成的数列。 列实际上是用带余除法的式子得到的。 带余除法的式子得到的 列实际上是用带余除法的式子得到的。